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课后导练基础达标1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 3,5后,曲线C 变为曲线2x′2+8y′2=1,则曲线C 的方程为( )A.50x 2+72y 2=1B.9x 2+100y 2=1C.25x 2+36y 2=1D.252x 2+98y 2=1 解析:把伸缩变换公式代入2x′2+8y′2=1,知A 成立.答案:A2.将曲线x 2+y 2=1伸缩变换为9422y x '+'=1的伸缩变换公式为( ) A.⎩⎨⎧='='y y x x 32 B.⎩⎨⎧='='yy x x 23 C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121 D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 2131 解析:观察知x=2x ',y=3y ',∴⎩⎨⎧='='yy x x 32选A. 答案:A 3.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x 2+y 2=1.解:由伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121,得⎩⎨⎧'='=y y x x 32①将⎩⎨⎧>='>=')0(),0(μμλλy y x x ①代入5x+2y=0得5x′+3y′=0, 经后仍为直线.(2)将①代入x 2+y 2=1中得914122y x '+'=1,圆变成了椭圆.综合运用4.在同一平面直角坐标系中,将曲线x 2-36y 2-8x+12=0变成曲线x′2-y′2-4x′+3=0,求满足图象变换的伸缩变换.解:设伸缩变换为⎩⎨⎧>='>=')0(),0(μμλλy y x x 将其代入方程x′2-y′2-4x′+3=0,得 λ2x 2-μ2y 2-4λx+3=0,与x 2-36y 2-8x+12=0比较系数得1238436122===λμλ,∴λ=21,μ=3. ∴变换为⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 321.5.△ABC 中,若BC 的长度为4,中线AD 的长为3,则点A 的轨迹方程是____________. 解析:A 点在以D(0,0)为圆心,以DA=3为半径的圆上.答案:x 2+y 2=9(y≠0)拓展探究6.在平面直角坐标系中,有一个以F 1(0,3-)和F 2(0,3)为焦点,离心率为23的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P 在C 上,C 在点P 处的切线与x,y 轴的交点分别为A,B,且向量+=.求:(1)点M 的轨迹方程; (2)|OM |的最小值.解:(1)椭圆方程可写为2222a x a y +=1,式中b<a, 且⎪⎩⎪⎨⎧==-,233,322a b a ,得a 2=4,b 2=1,故曲线C 的方程为x 2+42y =1(x>0,y>0). y=212x -(0<x<1),y′=212x x--.设P(x 0,y 0),因P 在C 上,有0<x 0<1,y 0=2201x -,y′0x x ==004y x -,得切线AB 的方程为 y=004y x -(x-x 0)+y 0.设A(x,0),B(0,y),由切线方程得x=01x ,y=04y . 由OB OA OM +=得M 的坐标为(x,y),由x 0,y 0满足C 的方程,得点M 的轨迹方程为2241yx ==1(x>1,y>2). (2)∵|OM |2=x 2+y 2且y 2=2114x -=4+142-x , ∴|OM |2=x 2-1+142-x +5≥4+5=9. 且当x 2-1=142-x 时,即x=3>1时,上式等号成立. 故||的最小值为3.。
第一讲坐标系
一、平面直角坐标系
级基础巩固
一、选择题．动点到直线＋－＝的距离等于它到点(，)的距离，则点的轨
迹是( )
．直线．椭圆
．双曲线．抛物线
解析：因为(，)在直线＋－＝上，
所以点的轨迹是过与直线＋－＝垂直的直线．
答案：．将点(－，)变换为′(－，)的伸缩变换公式为( )
解析：设伸缩变换为
则解得所以
答案：．已知两定点(－，)，(，)，如果动点满足＝，则点的轨迹所围
成的图形的面积等于( )
．π．π
．π．π
解析：设点的坐标为(，)，
因为＝，
所以(＋)＋＝[(－)＋]，即(－)＋＝.
故点的轨迹是以(，)为圆心、为半径的圆，它的面积为π.
答案：．在同一平面直角坐标系中，将曲线＝按伸缩变换后为( )
．′＝′．′＝′
．′＝′．′＝′
解析：由得
代入＝，得＝′，
所以′＝′.
答案：．在同一坐标系下，经过伸缩变换后，曲线变为曲线＋
＝，则曲线的方程为( )
．＋＝．＋＝
．＋＝．＋＝
解析：将代入曲线＋＝.
得＋＝.
所以曲线的方程为＋＝.
答案：
二、填空题．在平面直角坐标系中，动点到点(－，)的距离是到点(，)的距
离的倍，则动点的轨迹方程是．
解析：设(，)，则＝，即＋＋＋＝(－＋＋)，
整理得＋－＋＝.
答案：＋－＋＝．若点(－，)经过伸缩变换)，′＝( )))
后的点在曲线′′＝上，则＝．
解析：因为(－，)经过伸缩变换
)，′＝( )，))得)，′＝( )，))
代入′′＝，得＝－.。
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
温故知新
新知预习
1.通过直角坐标系,平面上的点与________,曲线与________建立了联系,从而实现了________
的结合.根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的________,通过________研究它的
性质及与其他几何图形的关系,这就是研究几何问题的坐标法.
2.设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:________________,yx的作用下,点P(x,y)
对应到点P＇(x＇,y＇),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称________.
基础示例
1.曲线y=sin3x由正弦曲线y=sinx经过怎样的变换得到( )
A.横坐标不变,纵坐标伸长为原来的3倍
B.横坐标不变,纵坐标缩为原来的31倍
C.横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变
D.横坐标缩为原来的31,纵坐标不变
答案:D
2.将正弦曲线y=sinx作如下变换x＇=21x,
y＇=3y得到的曲线方程为( )
A.y＇=3sin21x＇
B.y＇=31sin2x＇
C.y＇=21sin2x＇
D.y＇=3sin2x＇
解析:由yyxx321得.312yyxx
代入y=sinx,得31y′=sin2x′.∴y′=3sin2x′.
答案:D
