新北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质(二)》公开课课件

3．两个相似三角形对应中线的比为 1：4 ，
则相似比为_1_:_4___,对应周长的比为1_:_4_ .
五、相似三角形对应的面积的比等于相似比
如图，△ABC∽△A1B1C1，相似比为k， 它们面积的比与相似比有什么关系？
△ABC和△ A1B1C1的对应高分别是AD和A1D1．
A
∵
∴
S△ABC S△A1B1C1
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形的性质
相 对应高的比
似 三
对应中线的比
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
形 周长的比
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3, 那么相似比为__2_∶__3____, 对应角的角平分线的比为_2_∶___3_. 2．两个相似三角形的相似比为1:4, 则 对应高的比为____1_:__4__, 对应角的角平分线的比为___1_:_4____.
3．两个相似三角形对应中线的比为 1：4 ，
则相似比为_1_:_4___,对应周长的比为1_:_4____ .
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3, 那么相似比为__2_∶__3____, 对应角的角平分线的比为_2_∶___3_. 2．两个相似三角形的相似比为1:4, 则 对应高的比为______1_:_4_, 对应角的角平分线的比为___1_:_4____.
课堂小结
相似三角形的性质
1、相似三角形对应边成比___例_,对应角_相__等___. 2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
对应角平分线的比都等于相__似__比____. 3、相似三角形周长的比等于_相__似__比___，
相似三角形面积的比等于相__似___比__的__平__方___.

图1 （1） △ACD与△A′C′D′ 相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. （2） 如果CD =1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
探究新知
图1
解：（1）△ACD与△A′C′D′ 相似. 理由是 A A，ADC ADC 90.
相似比是 1 : 2.
（2）由CD : C′D′ =1:2，得C′D′ = 2CD=3 cm，即模型房的房梁立柱高3 cm.
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质（第1课时）
回顾复习
还记得相似三角形的定义吗？还记得相似多边形的对应边、 对应角有什么关系吗？
相似三角形的对应边成比例、对应角相等.
在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例 这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.
探究新知
如图1，小王依据图纸上的△ABC，以 1：2 的比例建造了模型房 的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱.
C
比吗？
C'
A
B A'
B'
图1
由已知，得
C
∴ AB BC AC AB k.
AB BC AC AB
分别过点C与C′作△ABC和△A′B′C′的高CD，
C' A'
C′D′，如图2.
AD
B
D'
B'
∵定△理ABC∽△A′B′C′，
图2
∴相CC似DD 三 AA角BB 形（k周相长似三的角比形等对应于高相的似比等比于，相面似比积）比. 等于相似比的平方.
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？

特别提醒：
(1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段；
(2)相似比是有顺序的，不能颠倒线段的顺序.
例题欣赏
☞
例题&解析
例1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于△ABC，
且长边FG在BC上，AD与EH的交点为P，矩形相邻两边的比为1∶2.
若BC=30cm，AD=10cm， 求矩形EFGH的周长.
E
∴∠A′B′C′=∠ABC, ．
B
又AD、AD′分别为对应边的中线.
AB
BD

,
A' B ' B ' D '
AB
BC

A' B ' B 'C '
∴ △ABD∽△A′B′D′，
AD

k.
A'D'
C
D
A'
E'
B'
C'
D'
探索&交流
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比
都等于相似比．
AC
3
，BD=4cm，求B′D′的长.
第四章 图形的相似
4.7.1 相似三Байду номын сангаас形的性质
北师大版九年级数学上册
学习&目标
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点）
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）
情景&导入
问题1：△ABC与△A1B1C1相似吗？
A
B
A1
B1
△ABC∽ △A1B1C1
C
C1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.

【提问1】什么叫做相似三角形？
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
【提问2】相似三角形的判定方法有哪些？
三角形相似判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
【提问3】你知道相似三角形的性质有哪些？
∵
AC
A′ C′
CD
= C′ D′ =
1
2
∴ CD = 2C ′ D′ = 3cm
4）由此你发现相似三角形还有哪些性质？
探索与思考
如图， △ ∽△ ′ ′ ′ ，相似比为，其中 、 ′′分别是 、 ′′边上的中线，问
AD 、 A′D′有什么关系呢？
解：∵ △ ∽△
【详解】解：∵AD经过△ ABC的重心，∴点D是BC中点，
∵BC=12，∴CD=BD=6，
∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，
AE
AC
∵点E是AC中点，∴
解得：GE=3，故选D.
=
GE
CD
1
2
GE
6
= ，即
1
2
= ，
）
探索与思考
∴BD=
1
1
BC,B’D’= B’C’
3
3
∴
AB BD
=
A′ B′ B′ D′
∴
AB AD
=
=k
A′ B′ A′ D′
∴△ABE ∽△A' B' E' .
AB BC
=
A′ B′ B′ C′
=k
课堂小结
相似三角形的性质：
1）对应角相等，对应边成比例.

那么这些对应线段有什么关系呢？ 问题:两个相似三角形的面积 故 AC=60–15–20=25（厘米）A'C'=72–18–24=30（厘米）
图18.3.9
(2) 求正方形FGHI的边长
AD 相似多边形也有同样的结论
所以 所以∠B=∠B′（
AB
）
(相似三角形的对应边成比例)
A D A B 1：已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和 △DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.
AD⊥BC，E、D是垂足，FG=6，
k 1、已知两个等边三角形的边长之比为 2 ：3，且它们的面积之和为26cm2，则较小的等边三角形的面积为多少？
答：B´D´的长为1. 则相似比为______,对应高的比为______ .
结论：相似三角形对应
图18.3.9
高的比等于相似比.
自主思考---类似结论
解 :因 为 AB ∽C ABC,(已知 )
所以∠B=∠B′（ 相似三角形的对应角相）等 图18.3.9 又 AD A D B B 9 .0
所以ABD∽ABD.
图18.3.9
（ 两角对应相等,两三角形相似
）
探索新知 相似三角形的性质
问题 1:如图 ,ABC∽ ABC,相似比k为 ,
、 、 其中AD AD分别为 BC ①相似三角形的对应角_____________ BC边上的, 高
∴
ABBCCAk AB BC CA
∴ ABBCCAk ABBCCA
即△ABC、△ABC的 周长比等于相似比
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积 之间有什么关系呢？
例5:已知△ABC∽△ AB，C且相似比为k，

′
（2）若BE= BC， B′E′= B′C′，则
（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.
新知讲解
证明： (1) ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′ ， ∠BAC=∠B′A′C′
∵∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，
∴∠BAD=∠B′A′D′
∴△ABD∽△A′B′D′
（1）△ ACD和△ A′ C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
相似；三边对应成比例；相似比为1:2.
（2）如果CD=1.5m,那么模型房的房梁立柱有多高？
3cm
新知讲解
已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k，它们对应高的比
是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论.


∴′′ = ′′ =
新知讲解
（2）∵△ABC ∽△A′B ′C ′

′ ′
∴
=

′ ′
∠B＝∠B'




∵BE=
′ ′ = ′′
∴BC=3BE
′ ′ = ′ ′

∴ ′
′
=

′ ′
=

′ ′
∵∠B＝∠B'
∴△ABE ∽△A' B' E' .
又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线，
1
1
∴∠BAT= ∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′
2
2
∴△ABT∽△A′B′T′
∴
AT
AB
=
A′T′ A′B′
相似三角形对应角平分线的比等于相似比

AD⊥BC，A′D′⊥B′C′；AE 平分∠BAC，A′E′ 平分∠B′A′C′；F，F′ 分
别为 BC，B′C′ 的中点. 试探究 AD 与 A′D′ 的比值关系，AE 与 A′E′ 呢？
AF 与 A′F′ 呢？
A
A′
B
D
E F
C
B′ D′ E′ F′
C′
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
归纳
等于多少？
解：由“两边成比例且夹角相等的两个
三角形相似”，可知△ABE∽△A′B′E′，
于是
=
= k ( k > 0 ).
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
例 如图，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
∴AD : A′D′ = k.
∴AF : A′F′ = k.
A
符号语言：
∵△ABC∽△A′B′C′，
且∠BAE =∠EAC，∠B′A′E′ =∠E′A′C′，
∴AE : A′E′ = k.
B
A′
D
B′ D′ E′ F′
E F
C′
C
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
温馨提示
这些结论以后在解决问题过程中能作为定理直接用.
3. 已知△ABC∽△DEF，BG、EH 分△ABC 和△DEF 的角平分线，BC
= 6 cm，EF = 4 cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长.
A
解：∵ △ABC∽△DEF，
∴
∴
G
，
，
B
C

D
C
D′ C′
A
B
A′
B′
连接BD和B′D′
D
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′
∴ AB = BC = CD = DA = k
A
A'B' B'C' C'D' D'A'
C D′ C′
B A′
B′
∴ C四边形ABCD AB BC CD DA = k(A'B' B'C' C'D' D'A') = k C四边形ABCD A'B' B'C' C'D' D'A' A'B' B'C' C'D' D'A'
北师版九年级数学上册
第四章 图形的相似
7 相似三角形的性质
第2课时 相似三角形周长和面 积的性质
一 情境导入
问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应边 上高的比、中线的比和对应角的角平分线的比 都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么 关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
A1 A
B
C
B1
C1
二 新课探究
△ABC 与△A'B'C' 的周长比和面积比吗？
解：如图，由已知，得 AB BC CA k，
C
A1B1 B1C1 C1 A1
AB BC CA AB k. A1B1 B1C1 C1 A1 A1B1
分别作出 △ABC 和 △A′B′C′ 的高 CD 和 C′D′.
AD
B
C′
∵△ABC∽△A′B′C′.

A
D
B
G
C
E
H
F
作業佈置
1、習題 4,5 2、預習下節內容
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
面積之比嗎？
C
A
D
C`
B A`
D'
B`
由已知，得 AB BC AC K. AB BC AC
AB BC AC AB K AB BC AC AB
分别作ABC和ABC的高CD，CD 因为ABC ∽ ABC
CD AB K CD AB
SABC
1 AB.CD 2
AB . CD K 2
第三章 圖形的相似
第7節 相似三角形的性質（二）
探索新知
如圖，△ABC∽△A'B'C' ，相似比為2 (1)請你寫出圖中所有成比例的線段;
(2)△ABC與△A'B'C' 的周長比是多少？
面積比呢？
C
C`
A
D
B A` D'
B`
合作交流
如圖，△ABC∽△A'B'C' ，相似比為k，
那麼你能求△ABC與△A'B'C' 的周長之比和
9倍 。
（
）
發現新知
你能談談你的發現嗎？
相似多邊形周長的比等於相似比， 面積比等於相似比的平方。
實踐應用
例2：如圖：將∆ABC沿BC方向平移得到DEF， ∆ABC與∆DEF重疊部分（圖中陰影部分）
的面積是∆ABC的面積的一半。已知BC=2，
求∆ABC平移的距離。
A
D
G
B
E
F
C
暢談收穫與困惑
議一議：