行程模块1 相遇与追及讲义

追及、相遇模型一、对运动图象物理意义的理解(点线面看清楚）1.一看“轴”:先要看清两轴所代表的物理量，即图象是描述哪两个物理量之间的关系.2.二看“线”:图象表示研究对象的变化过程和规律.在v-t图象和x-t图象中倾斜的直线分别表示物体的速度和位移随时间变化的运动情况.3.三看“斜率”: x-t图象中斜率表示运动物体的速度大小和方向。

V-t图象中斜率表示运动物体的加速度、大小和方向。

4.四看“面积”:即图线和坐标轴所围的面积往往代表一个物理量，但也要看两物体量的乘积有无意义.例如v和t的乘积vt=x有意义，所以v-t图线与横轴所围“面积”表示位移，x-t图象与横轴所围“面积"无意义。

5.五看“截段”，截距一般表示物理过程的初始情况，例如t=0时的位移或速度。

6.看“特殊点”，例如交点、拐点，例如x-t图像的交点表示两个质点相遇，v-t图像的交点表示速度相等。

二、把握两个关键点1.一个临界条件速度相等:它往往是物体间能否追上或距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切人点;2.两个等量关系(1)位移关系:画运动草图，描述位移关系是列关系式的根本;(位移相同或有差值)(2)时间关系:两物体运动时间是否相等，也是解题的关键(同时运动或先后运动)三、主要解题方法1.临界法:寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离2.函数法:设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系x=0时，表示两者相遇。

若判别式为A：①若A>0，即有两个解，说明可以相遇两次;②若A=0,一个解，说明刚好追上或相遇;③若A<0，无解，说明追不上或不能相遇当;t=-b/2a 时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值3.图像法:将两个物体运动的速度-时间关系在同一图像中画出，然后利用图像分析求解相关问题4.相对运动法:用相对运动的知识求解追击相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量，在追及问题中，常把被追物体作为参考系解题流程三、通用思路（1）根据对两物体的运动过程分析，画出物体运动示意图（2）根据两物体的运动性质，（巧用“速度相等”这一条件）分别列出两个物体的位移方程，注意要将两物体的运动时间的关系反映在方程中（3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程（4）联立方程求解v-图象的应用注意：仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意t四、三种典型类型（1）同地出发，初速度为零的匀加速直线运动A 追赶同方向的匀速直线运动B ①当 B A v v =时，A 、B 距离最大；②当两者位移相等时， A 追上B ，且有B A v v 2=（2）异地出发，匀速直线运动B 追赶前方同方向的初速度为零的匀加速直线运动A 判断B A v v =的时刻，A 、B 的位置情况①若B 在A 后面，则B 永远追不上A ，此时AB 距离最小②若AB 在同一处，则B 恰能追上A③若B 在A 前，则B 能追上A ，并相遇两次（3）异地出发，匀减速直线运动A 追赶同方向匀速直线运动B①当B A v v =时，A 恰好追上B ，则A 、B 相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件； ②当B A v v =时，A 未追上B ，则A 、B 永不相遇，此时两者间有最小距离；③当B A v v >时，A 已追上B ，则A 、B 相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。

第1讲相遇问题我们学过简单的相遇问题，在解答时，我们要注意考虑两个物体出发的地点、方向、运动的过程以及运动结果的不同状况。

方向不同，出发地点不同，时间不同，就会出现不同的运动结果。

相遇问题的基本数量关系式是：速度和×相遇时间=路程解答相遇问题要认真分析数量关系，灵活运用数量关系式，在时间、速度、路程三者之间确定好以哪个量为主来考虑问题，对于较复杂的行程问题可以把问题转化成典型的相遇问题，必要时可画线段图帮助分析数量关系，正确解决问题。

例1. 甲、乙两列火车同时从A、B两地相对出发，甲车每小时行80千米，乙车每小时行120千米，经过2小时两车相遇。

A、B两地相距多少千米?例2.甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，甲车从A地、乙车从B地同时出发，相向而行，相遇后3小时，甲车到达B地。

求A、B两地的距离。

例3.甲、乙两人同时从相距100千米的两地出发，相向而行。

甲、乙的速度分别是每小时走6千米与4千米。

甲带了一条狗，狗每小时走10千米。

狗与甲同时出发，碰到乙的时候立即掉转头往甲这边走，碰到甲时，又掉转头往乙那边走。

这样往返来回走，直到甲、乙两人相遇为止。

问这只狗一共是走了多少千米？例4.甲、乙两人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18千米，两人相遇时距中点3千米。

甲、乙两地相距多少千米?例5. 姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长770米．妹妹步行每分钟行60米，姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇．这时妹妹走了几分钟？练习1、甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？2、甲、乙两辆列车同时从两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行55千米，相遇时，甲车比乙车多行45千米，求两地相距多少千米?3、小明回家，距家门300米，妹妹和狗一齐向他奔来，小明和妹妹的速度都是每分钟50米，小狗的速度是每分钟200米，小狗遇到小明后返回，这样以同样速度往返于小明和妹妹之间，当小明和妹妹相距10米，小狗一共跑了多少米?华骑自行车每分钟行190米，几分钟后两人在距中点650米处相遇？5、兄妹两人同时离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。

经典行程（一）教学目标1、系统学习和复习流水行船和火车过桥问题；2、通过学习这三个专题理解和体会数学中差不变的数论思想和对比分析的思想；3、自己学会如何由专题思想渗透到解题思想的数学模块一、火车过桥常见题型及解题方法（一）、行程问题基本公式：路程= 速度×时间总路程= 平均速度×总时间；（二）、相遇、追及问题：速度和×相遇时间= 相遇路程速度差×追及时间= 追及路程；（三）、火车过桥问题1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间；2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间；3、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，（1）、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间；（2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间；（3）火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度±人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）；4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，（1）错车问题：相当于相遇问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间；（2）超车问题：相当于追及问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间；老师提醒学生注意：对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。

例题1 (2009 年第七届“希望杯”六年级一试)四、五、六3 个年级各有100 名学生去春游，都分成2 列(竖排)并列行进．四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别是1 米、2 米、3 米，年级之间相距5 米．他们每分钟都行走90 米，整个队伍通过某座桥用4 分钟那么这座桥长多少米？【巩固】一个车队以 6 米/秒的速度缓缓通过一座长 250 米的大桥，共用152 秒．已知每辆车长 6 米，两车间隔10 米．问：这个车队共有多少辆车？【巩固】一个车队以4 米/秒的速度缓缓通过一座长200 米的大桥，共用115 秒。

一、相遇甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A ,B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即=t S V 和和二、追及有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即=t S V 差差例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t 后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为v 甲和v 乙，那么我们可以看到经过时间t 后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t 内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t 追了乙5米知识框架相遇与追及三、相遇和追及在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同(2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。

例题精讲【例 1】一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。

3.5小时两车相遇。

甲、乙两个城市的路程是多少千米？【巩固】聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42米，经过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？【例 2】A、B两地相距90米，包子从A地到B地需要30秒，菠萝从B地到A地需要15秒，现在包子和菠萝从A、B两地同时相对而行，相遇时包子与B地的距离是多少米？【巩固】两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。

第01讲行程问题之相遇、追及问题（上）教学目标：1、通过相遇问题的学习，掌握行程问题中的基本数量关系的灵活运用；2、通过解决行程问题提升形象和抽象的综合能力；3、培养学员的学习兴趣及解题能力。

教学重点：能判断哪些是已知的量，哪些是需要求的量，并求解，提高审题与理解力。

教学难点：求解相遇和追及的综合题，分析比较复杂的数量关系。

教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。

操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。

主要介绍：①与数字相关的操作问题；②染色相关的操作问题；③计数方面的操作问题。

【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”。

如果“马”在88的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有★的位置），最短路线有条。

解析部分：本题通过标数法不难得到，示意图如下：给予新学员的建议：此题需要按照一定的逻辑条理进行问题的分析，在纸上进行逐步操作。

哈佛案例教学法：引导学员对于此题的积极思考，并鼓励学员能把自己的观点主动表达出来。

参考答案：标数法如下：最短路线有3+6+3=12（条）【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）一天，熊猫胖胖和兔分别开着甲、乙两车从相距800千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米。

（1）几小时后两车还相距200千米？（2）几小时后两车相遇？（3）几小时后两车相遇后又相距400千米?解析部分：本题是一个相遇问题，需要注意的是总路程的变化，准确找到正确的相遇路程。

给予新学员的建议：分析各数据的意义，然后找出其之间的关联，纸上画一画、写一写。

哈佛案例教学法：积极主动的回答老师提问，参与小组内讨论，并主动表达出自己的思考。