2015-2016学年云南省玉溪市第一中学高一下学期期中考试数学试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集R U =，设集合(){}1ln |-==x y x A ，集合{}2|≥=x x B ，则()=B C A U （ ）A.[]2,1B.()2,1C.(]2,1D. [)2,1【答案】B考点：集合的交集补集运算．2．某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[)40,20，[)60,40， [)80,60，[]100,80，若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60【答案】B【解析】试题分析：低于60分的人数的频率为0.015200.3⨯=，所以该班人数150.350÷=人，故选B ． 考点：频率分布直方图．3．若2:≤a p ，()02:≤-a a q ，则p ⌝是q ⌝的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为(2)0a a -≤得：02a ≤≤，因此022a a ≤≤⇒≤，反之不成立，所以q 是p 成立的充分不必要条件，由互为逆否命题的关系知，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，故选A ．考点：充分必要条件．4．若()()()()() ,115,74,43,32,11=====f f f f f ，则()=10f （ ）A ．28B ．76C ．123D ． 199【答案】C考点：合情推理之归纳法．5．复数ii 21+的共轭复数是),(R b a bi a ∈+，i 是虛数单位，则点),(b a 为（ ） A ．()2,1 B ．()1,2- C ．()1,2 D ．()2,1-【答案】C【解析】 试题分析：122i i i+=-，共轭复数为2i +，所以),(b a 为(2,1)，故选C ． 考点：复数的运算．6．曲线x x y 23-=在()1,1-处的切线方程为（ ）A ．02=--y x B ．02=+-y x C ．02=-+y x D ．02=++y x【答案】A【解析】试题分析：因为211|(32)|1x x y x =='=-=，所以切线方程为11y x +=-，即02=--y x ，故选Ａ．考点：导数的几何意义．7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，351187=+++a a a ，则17S 的值为（ ）A ．117B ．118C ．119D ．120【答案】C考点：１、等差数列的性质； 2、等差数列和的性质．8．一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的半径为正方体的243s ππ==，故选B ．考点：球的结合体．9．已知函数()53x x x x f ++=，R x x x ∈321,，021<+x x ，0,01332<+<+x x x x ， 则()()()321x f x f x f ++的值（ ）A.一定小于0 B ．一定大于0 C ．等于0 D ．正负都有可能【答案】A考点：函数的奇偶性、函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性性质及函数的单调性，属于中档题题．解题时一定要注意观察条件，021<+x x ，0,01332<+<+x x x x ，可得两个自变量的大小，提示考查函数的单调性，易知函数是增函数，从而有12()()f x f x <-，23()()f x f x <-，31()()f x f x <-，涉及到()f x -，考虑函数的奇偶性，从而得到结果．10．已知在圆02422=+-+y x y x 内，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A.53 B ．56 C ．152 D ．154【答案】C【解析】试题分析：圆的标准方程22(2)(1)5x y -++=，过点()0,1E最短为与直径垂直的弦长ABCD的面积为C ．考点：圆的标准方程及其性质．11．在等比数列{}n a 中，10621=+++a a a ，5111621=+++a a a ，则 =⋅⋅⋅621a a a （ ）A ．2B ．8C ．21 D ．81 【答案】B 考点：等比数列前n 项和．【思路点晴】本题主要考查的是等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式及等比数列的性质，以及运算能力，属于中档题．本题把两个数列求和都用1a 和6a 及q 表示，特别是第二个数列是以11a 为首项，1q 为公比的等比数列，求和之后通过化简处理，让两个式子做比，得到162a a =，再根据等比数列的性质把126a a a ⋅⋅⋅用16a a 表示即可．12．在ABC Rt ∆中， 90=∠BCA ，1==CB CA ，P 为边AB 上的点，且AB AP λ=，若PB PA AB CP ∙≥∙，则λ的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,222 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+222,21 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222,222 【答案】B【解析】试题分析：以C 为坐标原点，CA,CB 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则C(0,0),A(1,0),B(0,1)，(1,1)AB =-，AB AP λ=，∴[0,1]λ∈，(1,1)AB λ=-，(1,)CP λλ=-,(1,1)PB λλ=--．因为CP AB PA PB ⋅≥⋅，所以221λλλλλλ-+≥-+-，解得λ≤≤，又[0,1]λ∈，所以λ⎤∈⎥⎦，故选Ｂ．考点：平面向量的运算．【方法点晴】本题主要考查的是向量在几何中的应用，向量的数量积及向量的坐标运算，属于难题．本题由于条件中存在向量的数量关系，且存在直角三角形，因此考虑建立直角坐标系，采用坐标的方式去进行运算，效果较好，把CP AB PA PB ⋅≥⋅用坐标表示后，建立关于λ的不等关系，解不等式即可求解λ的取值范围．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知0,0>>y x ，且112=+yx ，则y x 2+的最小值为 ． 【答案】8考点：均值不等式．14．在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好落在正方形与曲线x y =围成的区域内（阴影部分）的概率为 ．【答案】32 【解析】试题分析：因为阴影部分的面积312022|33S x ===⎰，正方形面积为1，由几何概型得：31222|133S x===⎰，22313p==，所以答案应填：32．考点：几何概型．15．已知定义在R上的奇函数()x f，满足()()x fxf-=-4且在区间()0,2上是增函数，则()()()80,11,25fff-的大小关系为．（用符号“<”连接）【答案】()()()258011f f f-<<考点：1、函数的周期性；2、函数的奇偶性；3、函数的对称性；4、函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查的是函数的周期性，奇偶性，单调性，及函数的对称性，属于中档题．本题利用条件()()x fxf-=-4，可得函数周期，形如此类问题都可以得到半周期，再利用此条件还可以得到函数的对称性，结合已知是奇函数，得到函数在(2,2)-上是增函数，又由对称性知在(2,6)上是减函数，且关于2x=对称，得到结果．16．已知21,FF分别是双曲线)0,0(12222>>=-babyax的左,右焦点,点1F关于渐近线的对称点恰好在以2F为圆心,2OF(O为坐标原点)为半径的圆上,则该双曲线的离心率为．【答案】2【解析】试题分析：设1(,0)F c-，2(,0)F c，设一条渐近线方程为ybxa=-，则1Fb=，设1F关于渐近线的对称点为M,1F M与渐近线交于A，所以12MF b=，A为1F M的中点，又O是1F F的中点，所以2OA F M , 12F MF ∠是直角，由勾股定理得：22244c c b =+，化简得：2e =，所以答案应填：2．考点：双曲线的离心率．【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和点关于直线的对称点，属于难题．本题利用点关于直线对称的关系，计算得到左焦点的对称点且该点在圆上，并利用点到直线的距离公式求出1F M 的长为2b ，再利用中位线得平行，从而有直角三角形，利用勾股定理得：22244c c b =+， 由此计算椭圆的离心率．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数()x x x x x f 22sin cos sin 32cos -+=． （Ⅰ）求()x f 的最小正周期和值域；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若22=⎪⎭⎫ ⎝⎛A f 且bc a =2，试判断ABC ∆的形状． 【答案】（Ⅰ）()[]2,2,-∈=x f T π；（Ⅱ）ABC ∆为等边三角形．考点：1、二倍角公式；2、辅助角公式；3、余弦定理．18．已知数列{}n a 满足n n a a a a -==+21,11． （Ⅰ）求432,,a a a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明．【答案】（Ⅰ）212a a =-，3232a a a -=-，43243a a a -=-；（Ⅱ）()()()an n a n n a n 121-----=，证明见解析． ②假设当()*N k k n ∈=时，有()()()ak k a k k a k 121-----=成立， 则当1+=k n 时， ()()()()()kak a k k ak k a k k a a k k -+--=------=-=+1112121211故当1+=k n 时，结论成立由①②可知，对*N n ∈，都有()()()a n n a n n a n 121-----=． 考点：数学归纳法．19．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，⊥PA 底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且2===AC AB PA ，22=BC ．（Ⅰ）求证：⊥CD 平面PAC ；（Ⅱ）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为510，求NB AN 的值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），P （0，0，2），B （2，0，0），C （0，2，0），D （﹣2，2，0），考点： 1、线面垂直；2、线面角．【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、线面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意线面角是锐角或直角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线等．利用向量证明时可先设动点坐标，最后利用条件解方程确定其位置．20．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 342=的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点)0,1(的直线l 与椭圆交于不同两点Q P ,，试问在x 轴上是否存在定点)0,(m E ，使QE PE ⋅ 恒为定值？若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）存在，17,08⎛⎫E ⎪⎝⎭，3364．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+ ∵()11,m x y PE =--，()22Q ,m x y E =--∴()()1212Q m x m x y y PE ⋅E =--+=m 2﹣m （x 1+x 2）+x 1x 2+y 1y 2=()()()2212121211m m x x x x k x x -+++-- =2222222222844448141414141k k k k m m k k k k k ⎛⎫---++-+ ⎪++++⎝⎭=()()2222481441m m k m k -++-+ =()()()222221148144814441mm k m m m k ⎛⎫-+++---+ ⎪⎝⎭+=()2217214481441m m m k --+++ 当17204m -=，即178m =时，Q PE ⋅E 为定值3364 当直线l 的斜率不存在时，⎛P⎝，Q 1,⎛ ⎝由17,08⎛⎫E ⎪⎝⎭可得9,8⎛PE = ⎝，9Q 8⎛E = ⎝，∴81333Q 64464PE ⋅E =-= 综上所述，当17,08⎛⎫E⎪⎝⎭时，Q PE ⋅E 为定值3364． 考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系．【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于难题．解决本类问题时先根据条件求出椭圆的标准方程是基础，然后先讨论直线斜率存在时情况，利用直线与圆锥曲线的位置关系，得到两点横坐标之和与积，利用向量数量积公式可求出含有.m k 关系的式子，通过变形化简知当公式及点在椭圆上表示出所求，再根据椭圆的范围求得17204m -=时为定值． 21．已知R a ∈，函数()()()x a x x x f 1ln -+-=． （Ⅰ）若()x f 在e x -=处取得极值，求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）求函数()x f 在区间[]12,---e e 上的最大值()a g ． 【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调增区间是(),e -∞-，单调减区间是(),0e -；（Ⅱ）()()122,1()1,2,21a a e a g a a e a e a --⎧-≥⎪⎪=-+≤-⎨⎪-<<⎪⎩．考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、利用导数求函数最值．【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、分类讨论的思想和方法，属于难题．利用导数求函数()f x 的极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．本题可以通过分类讨论，知函数在所求区间上增或者减，或者先增后减，从而求出最大值．22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l的参数方程为：24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），两曲线相交于,M N 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若()2,4P --，求PM PN +的值．【答案】（Ⅰ）20x y =﹣﹣；24y x =；（Ⅱ）．考点：１、极坐标方程与普通方程的转化；2、参数的几何意义．。

云南省玉溪第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题A．324C．512．已知向量，a b→→满足a→+A．45 a b→→⋅=C．1322 a→⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，三、填空题四、解答题(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1//平面BCHG 18．在ABC 中，角,A B (1)求证：2C B =；(2)求3cos a bb B+的最小值.19．如图，在四棱锥P ABCD -CD =8，DA AB BC ===(1)求证：BD PA ⊥；(2)求二面角A BD P --的余弦值20．已知函数()log a f x =(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)若()()f m g n =，试比较21．已知函数(()3sin f x =的相邻两对称轴间的距离为(1)求()f x 的解析式与单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象向右平移变），得到函数()y g x =的图象，当的和.22．向量是解决数学问题的有力工具，我们可以利用向量探究(1)已知2AB =，5AC =(2)已知不共线的两个向量(3)已知()0,0O ，若抛物线OAB 面积的最小值．参考答案：故选：C9．AB【分析】利用线面之间的关系一一进行判断即可【详解】对于A，根据不共线三点确定一个平面，则两平面相交于一个平面，则这两个平面必重合，故A正确；对于B，只需将满足题意的一个平面绕该直线进行一定旋转，同时保证过直线外的定点，所得的平面均与该直线平行，故B对于C，分别在两个平面内的两条直线可能异面，也可能相交或平行，故对于D，两条直线与一个平面所成的角相等条母线.与底面所成角相等，但是母线是相交直线故选：AB.10．ABC(2A ，0，0)，(1E ，2，0)，(0F ，(1AE =- ，2，0)，(2AF =-，2，设平面AEF 的法向量(n x =，y ，则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取y 设(P a ，2，)c ，02a ≤≤，0c ≤≤1A P 平行于平面AEF ，设该组合体的内切球球心为点设内切球的半径为r，则所以，11CA CBrCA CB⋅⨯==++因此，该几何体的内切球的表面积为故答案为：16π9.17．(1)证明见解析(2)证明见解析因为PC PD =，所以PO CD ⊥3sin 4z =有两个根12,z z ,关于2z π=对称，即3sin 2z =-有345π45,,333z z z ππ=-==,3sin 434x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的根又3sin 4x π⎛⎫-=- ⎪的根为50,,ππ，。

玉溪一中2017—2018学年下学期高一年级期中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B = ，则U A B = ð( )A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,82、已知(3,2)M -，(5,1)N --，且12MP MN =，则P 点坐标为（ ） A ．(8,1)- B ．3(1,)2-- C ．3(1,)2 D ．(8,1)-3、下列命题中，一定正确的是( ) A ．若a b >，且0b ≠，则1a b> B ．若a b >，且0ab ≠，则11a b <C ．若a b >，且c d >，则ac bd >D ．若a b >，且c d >，则a d b c ->- 4、下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ）A ．y =B ．3y x =C ．cos y x =D ．ln y x = 5、已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则15a =（ ） A ．11 B ．13 C ．15 D ．17 6、tan 2040= （ ）A ．． C 7、设{}n a 是无穷等差数列，公差为d ，其前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（ ）A ．若10a d >，则n S 有最大值B ．若10a d <，则n S 有最小值C ．若120a a <<，则2a D ．若10a <，则()()21230a a a a -->8、已知正数,x y 满足41x y +=，则11x y+的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．129、某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．16B ．13C ．12D ．110、圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为（ ） A ．250cm π B ．2500cm π C ．25003cm πD ． 2100cm π 11、ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，且tan C =，则ba= ( ) A ．109 B ．149 C ．53D ．3212、ABC ∆中，已知()0AB AC BC AB AC+=，且AB BC AB BC=，则ABC ∆是( ) A ．三边互不相等的三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．顶角为钝角的等腰三角形二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、已知210()0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则((1))f f -= .14、函数)(x f y =的图象与函数2()log g x x =的图象关于原点对称，则()f x = .15、ABC ∆中，135BAC ∠= ，AC =，且ABC ∆AB 边上的高为 .16、已知数列{}n a 的通项公式是9(21)()10n n a n =+，*n N ∈，则{}n a 中的最大项的序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本题满分10分） （1）解不等式2log (23)1x +<； （2）解关于x 的不等式20x ax -<. 18、（本题满分12分）设数列{}n a 是公比为2的等比数列，且41a +是1a 与5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和为n S ，求使得1|1|2020n S -<成立的n 的最小值.19、（本题满分12分） 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2cos cos cos b A a C c A =+. （1）求A ；（2）若2b c +=，求a 的取值范围.20、（本题满分12分）已知(sin ,sin())6a x x π=-，(1b =，,sin())6c x x π=- .（1）若//a b，求tan x 的值；（2）若函数()12f x a c =- ，R x ∈，求()f x 的最小正周期和单调递减区间.21、（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n a S +=+*()n N ∈. （1）证明：数列{}n a 是等比数列； （2）设323221log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .22、(本小题满分12分）如果函数()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得00(1)()(1)f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“可拆分函数”.（1）试判断函数1()f x x=是否为“可拆分函数”？并说明理由； （2）证明：函数2()2x f x x =+为“可拆分函数”； （3）设函数()lg21x af x =+为“可拆分函数”，求实数a 的取值范围.玉溪一中2017—2018学年下学期高一年级期中考数学试卷参考答案一、选择题：1、A2、B3、D4、D 5 B 6、D 7、C 8、B 9、A 10、D 11、A 12、C二、填空题：13、 4 . 14、()f x = 2log ()x -- . 15、. 16、 9 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、解：（1） 22log (23)log 2x +<...1分，所以0232x <+<，...3分即3122x -<<-，解集为31(,)22--...4分（2）方程20x ax -=可化为()0x x a -=，其两根为0和a . ...6分 若0a =，原不等式的解集为∅； 若0a <，原不等式的解集为(,0)a ； 若0a >，原不等式的解集为(0,)a ....10分18、解：（1）由41a +是1a 与5a 的等差中项可得4152(1)a a a +=+，所以1112(81)16a a a +=+ 解得12a =.故2n n a =....4分 （2）由（1）得112n n a =....5分 1{}n a 为等比数列，首项为12，公比为12....6分所以11[1()]12211212n n n S -==--.....8分由1|1|2020n S -<，得11|11|22020n --<，即22020n >.....10分 因为101121024202020482=<<=， 所以11n ≥. 于是，使1|1|2020n S -<成立的n 的最小值为11. ....12分19、解：（1）由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos sin()sin B A A C C A A C B =+=+= ，.....4分 (0,)B π∈，sin 0B ≠，所以2cos 1A =，即1c o s 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=..6分（2）222222()2421cos 2222b c a b c bc a bc a A bc bc bc +-+----====， 所以243a bc -=，.8分因为2()12b c bc +≤=（当且仅当1b c ==时取等号）....10分， 所以243a -≤，解得1a ≥，又因为2a b c <+=，所以a 的取值范围是[1,2)....12分20、解： （1）由//a b可得sin()6x x π-=1cos 2x x x -=，1cos 22x x -=，tan x =分 （2）21()cos sin ()62f x x x x π=+--1cos(2)132222x x π--=+-112(cos 22)22x x x =-112cos 2sin(2)426x x x π=-=-.....8分所以()f x 的最小正周期22T ππ==.....10分 解不等式3222262k x k πππππ+≤-≤+可得：5[,]36x k k ππππ∈++，k Z ∈所以()f x 的单调递减区间是5[,],36k k k Z ππππ++∈....12分21、解：（1）121n n a S +=+*()n N ∈① 121n n a S -=+(2)n ≥② 当2n ≥时，①—②可得!12()2n n n n n a a S S a +--=-=，化简得13(2)n na n a +=≥， 所以{}n a 从第二项起是等比数列. .....4分 又因为11a =，21213a a =+=， 所以213a a =， 从而*13()n na n N a +=∈，所以数列{}n a 是等比数列.....6分 （2）由（1）可知：{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n a -=，.....8分21213311111()log 3log 3(21)(21)22121n n n b n n n n -+===--+-+ ，.....9分121111111...[()()...()]213352121n n T b b b n n =+++=-+-++--+11(1)22121n n n =-=++..12分22、解:(1) 1()f x x=的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，假设()f x 是“可分拆函数”,则方程(1)()(1)f x f x f +=+在(,0)(0,)-∞⋃+∞上有解， 即1111x x=++，所以210x x ++=（0,1x x ≠≠-）， 因为30∆=-<，所以方程无实数解，所以1()f x x=不是“可拆分函数”. .....4分(2)证明: 2()2x f x x =+的定义域为R令122()(1)()(1)2(1)23222x x x h x f x f x f x x x +=+--=++---=+-，x R ∈易知()h x 在(,)-∞+∞单调递增且是连续函数，又因为(0)1,(1)2h h =-=，(0)(1)0h h <由零点存在性定理可得：0(0,1)x ∃∈，使得0()0h x =，即0(0,1)x ∃∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，所以函数2()2x f x x =+为“可拆分函数”. .....8分(3）由题意可得0a >，()lg21x a f x =+的定义域为R ，因为()lg 21xaf x =+为“可拆分函数”，所以关于x 的方程(1)()(1)f x f x f +=+有解，即1lglglg21213x x aa a+=+++有解，所以21lg lg 213(21)x x a a +=++，即21213(21)x x a a +=++，11213(21)x x a +=++，方法一：由11213(21)x x a +=++可得：1111333(21)3(21)32222121221x xx x x a +++++++===++++，因为x R ∈，所以121(1,)x ++∈+∞，1332(0,)212x +∈+，3(,3)2a ∈ 方法二：由11213(21)x xa +=++可得：(32)23x a a -=-，若32a =，方程无解； 若32a ≠，方程可化为3232x a a -=-，因为x R ∈，所以20x >，所以3032a a->-，即(3)(23)0a a --<，解得3(,3)2a ∈.....12分。

云南省玉溪第一中学2016---2017学高一上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集U ={}5,4,3,2,1，集合A ={}2,1，B ={}3,2，则A ∩C UB 是（ ） A ．{}45， B ．{}23， C .{}1 D ．{}2 2．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A ．x x g x x f ==)(,)(2B ．x x x g x x f 2)(,)(== C ．2(),()2ln f x lnx g x x == D.33)(),1,0log )(x x g a a a x f x a =≠>=（3.已知函数2,()20xx x f x ,x ⎧≥=⎨<⎩，则[(1)]f f =-（ ）A ．14 B ．12 C ．1 D ．24．函数)1(log 21-=x y 的定义域为（ ）A ．()+∞,1B ．),2[+∞C ．]2,1(D ．]2,1[5．令0.760.76,0.7,log 6a b c ===，则三个数c b a ,,的大小顺序是（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．b a c << D ．a b c <<6.幂函数253(1)m y m m x --=--在()0,x ∈+∞时为减函数，则=m （ ）A ．-1B ．2C ．2或-1D ．17．函数221)1(x x x x f +=-, 则=)3(f （ ） A ．8B ．9C ．11D ．108. 函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21的图象大致为（ ）A B C D9．已知函数[]10,284)(2在--=kx x x f 上具有单调性，则k 的取值范围是（ ） A ．),16[]80,(+∞-⋃--∞ B ．]16,80[-- C ．),80[]16,(+∞⋃-∞ D ．]80,16[10.函数312x y x -=+的图象一定（ ） A. 关于直线 2-=x 对称 B. 关于点 )3,2(-对称 C. 关于点)3,2(- 对称 D. 关于直线 3=y 对称11. 已知函数)(x f 的图象是连续不断的，x 与)(x f 的对应关系见下表，则函数)(x f 在区间[1,6]上的零点至少有（ ）个A. 2B.3C. 4D. 512.已知满足对任意的,,,2121x x R x x ≠∈0)()(2121<--x x x f x f 有成立，那么的取值范围是（ ）A. )31,71[B.)31,0( C. )1,71[ D. )1,31(第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2015-2016学年云南省玉溪一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集I＝R，集合A＝{y|y＝log2x，x＞2}，B＝{x|y＝}，则（）A．A⊆B B．A∪B＝A C．A∩B＝∅D．A∩（∁I B）≠∅2．（5分）某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②．那么（）A．①是系统抽样，②是简单随机抽样B．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样C．①是简单随机抽样，②是系统抽样D．①是系统抽样，②是系统抽样3．（5分）“a＝”是“直线y＝x与圆（x﹣a）2+y2＝1相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知f（1）＝1，f（2）＝3，f（3）＝4，f（4）＝7，f（5）＝11，…，则f（10）＝（）A．28B．76C．123D．1995．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，则z1z2＝（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i6．（5分）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是+2，则f（1）+f′（1）的值等于（）A．1B．C．3D．07．（5分）已知数列a n＝（n∈N*），则数列{a n}的前10项和为（）A．B．C．D．8．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为（）A．153πB．160πC．169πD．360π9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）＝0，则不等式f（）＞0的解集为（）A．（0，）∪（2，+∞）B．（，1）∪（2，+∞）C．（0，）D．（2，+∞）10．（5分）已知P是直线l：3x﹣4y+11＝0上的动点，P A、PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的两条切线，圆心为C，那么四边形P ACB面积的最小值是（）A．B．2C．D．211．（5分）已知各项均不为0的等差数列{a n}，满足2a3﹣a72+2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6•b8＝（）A．11B．12C．14D．1612．（5分）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D是BC边上的点，且•＝0，＝2，则•＝（）A．B．1C．D．2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5分）已知直线2ax+by﹣2＝0（a＞0，b＞0）经过圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的圆心，则+的最小值为．14．（5分）利用计算机产生0﹣1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＜0”发生的概率为．15．（5分）若函数f（x）＝，e＜a＜b，则f（a），f（b）的大小关系为．16．（5分）已知A（1，2），B（﹣1，2），动点P满足，若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）＝cos x•cos（x﹣）．（1）求f（）的值．（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合．18．（12分）某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统计了40名学生的政治成绩，这40名学生的成绩全部在40分至l00分之间，据此绘制了如图所示的样本频率分布直方图．（I）求成绩在[80，90）的学生人数；（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在[90，100]的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠P AD＝60°．（1）若M为P A的中点，求证：DM∥平面PBC；（2）求三棱锥D﹣PBC的体积．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C1：＝1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2+y2＝的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y 轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝2e x﹣ax﹣2（x∈R，a∈R）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1，C2的参数方程分别为（t 为参数）和（α为参数）．（1）将曲线C1，C2的参数方程化为普通方程，并指出是何种曲线；（2）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1，C2的交点所确定的直线的极坐标方程．2015-2016学年云南省玉溪一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集I＝R，集合A＝{y|y＝log2x，x＞2}，B＝{x|y＝}，则（）A．A⊆B B．A∪B＝A C．A∩B＝∅D．A∩（∁I B）≠∅【解答】解：由题意，A＝{y|y＝log2x，x＞2}＝（1，+∞），B＝{x|y＝}＝[1，+∞），∴A⊆B，故选：A．2．（5分）某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②．那么（）A．①是系统抽样，②是简单随机抽样B．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样C．①是简单随机抽样，②是系统抽样D．①是系统抽样，②是系统抽样【解答】解：∵牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，是等距的∴①为系统抽样；某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②为简单随机抽样法．故选：A．3．（5分）“a＝”是“直线y＝x与圆（x﹣a）2+y2＝1相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线和圆相切，则圆心到直线的距离d＝，即a＝，故“a＝”是“直线y＝x与圆（x﹣a）2+y2＝1相切”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）已知f（1）＝1，f（2）＝3，f（3）＝4，f（4）＝7，f（5）＝11，…，则f（10）＝（）A．28B．76C．123D．199【解答】解：由题意可得，f（3）＝f（1）+f（2），f（4）＝f（2）+f（3），f（5）＝f（3）+f（4），则f（6）＝f（4）+f（5）＝18，f（7）＝f（5）+f（6）＝29，f（8）＝f（6）+f （7）＝47，f（9）＝f（8）+f（7）＝76，f（10）＝f（8）+f（9）＝123，故选：C．5．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，则z1z2＝（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【解答】解：z1＝2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2＝﹣2+i，则z1z2＝（2+i）（﹣2+i）＝i2﹣4＝﹣1﹣4＝﹣5，故选：A．6．（5分）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是+2，则f（1）+f′（1）的值等于（）A．1B．C．3D．0【解答】解：由已知点点M（1，f（1））在切线上，所以f（1）＝，切点处的导数为切线斜率，所以，即f（1）+f'（1）＝3，故选C．7．（5分）已知数列a n＝（n∈N*），则数列{a n}的前10项和为（）A．B．C．D．【解答】解：数列a n＝＝，∴S n＝+…+＝＝，∴S10＝．故选：C．8．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为（）A．153πB．160πC．169πD．360π【解答】解：由题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC 为直角三角形，把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为＝，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积是4πR2＝169π．故选：C．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）＝0，则不等式f（）＞0的解集为（）A．（0，）∪（2，+∞）B．（，1）∪（2，+∞）C．（0，）D．（2，+∞）【解答】解：方法1：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以不等式f （）＞0等价为，因为函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （）＝0， 所以，即， 即或， 解得或x ＞2． 方法2：已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （）＝0，所以f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且f （﹣）＝0．①若，则，此时解得．②若，则，解得x ＞2．综上不等式f （）＞0的解集为（0，）∪（2，+∞）．故选：A ． 10．（5分）已知P 是直线l ：3x ﹣4y +11＝0上的动点，P A 、PB 是圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，圆心为C ，那么四边形P ACB 面积的最小值是（ ）A ．B ．2C ．D ．2【解答】解：把直线与圆相离如图，S 四边形P ACB ＝S △P AC +S △PBC而S △P AC ＝|P A |•|CA |＝|P A |，S △PBC ＝|PB |•|CB |＝|PB |，又|P A |＝，|PB |＝，∴当|PC |取最小值时，|P A |＝|PB |取最小值，即S △P AC ＝S △PBC 取最小值，此时，CP ⊥l ，|CP |＝＝2，则S△P AC ＝S△PBC＝×＝，即四边形P ACB面积的最小值是．故选：C．11．（5分）已知各项均不为0的等差数列{a n}，满足2a3﹣a72+2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6•b8＝（）A．11B．12C．14D．16【解答】解：由等差数列的性质：2a3﹣a72+2a11＝0得∵a72＝2（a3+a11）＝4a7∴a7＝4或a7＝0（舍去）∴b7＝4∴b6b8＝b72＝16故选：D．12．（5分）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D是BC边上的点，且•＝0，＝2，则•＝（）A．B．1C．D．2【解答】解：如图所示，∵•＝0，∴，∴AD⊥BC．∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝30°，AD＝1．∴•＝＝＝12＝1．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5分）已知直线2ax+by﹣2＝0（a＞0，b＞0）经过圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的圆心，则+的最小值为4．【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的圆心为（1，2），由题意可得2a+2b﹣2＝0，即a+b＝1，a，b＞0，则+＝（a+b）（+）＝2++≥2+2＝4，当且仅当a＝b＝时，取得最小值4．故答案为：4．14．（5分）利用计算机产生0﹣1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＜0”发生的概率为．【解答】解：由3a﹣1＜0得：a＜，数集（0，）的长度为，数集（0，1）的长度为1，∴事件“3a﹣1＜0”发生的概率为；故答案为：．15．（5分）若函数f（x）＝，e＜a＜b，则f（a），f（b）的大小关系为f （a）＞f（b）．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝，∴x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，∵e＜a＜b，f（a）＞f（b）．故答案为：f（a）＞f（b）．16．（5分）已知A（1，2），B（﹣1，2），动点P满足，若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是（1，2）．【解答】解：设P（x，y），由于点A（1，2）、B（﹣1，2），动点P满足，则（x﹣1，y﹣2）•（x+1）（y﹣2）＝0，即（x﹣1）（x+1）+（y﹣2）2＝0，即有x2+（y﹣2）2＝1，设双曲线﹣＝1的一条渐近线为y＝x，由于这条渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则d＝＞1，即有3a2＞b2，由于b2＝c2﹣a2，则c2＜4a2，即c＜2a，则e＝＜2，由于e＞1，则有1＜e＜2．故答案为：（1，2）．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）＝cos x•cos（x﹣）．（1）求f（）的值．（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合．【解答】解：（1）f（）＝cos cos（﹣）＝cos cos＝﹣cos2＝﹣；（2）f（x）＝cos x cos（x﹣）＝cos x（cos x+sin x）＝cos2x+sin x cos x＝（1+cos2x）+sin2x＝cos（2x﹣）+，∴f（x）＜，化为cos（2x﹣）+＜，即cos（2x﹣）＜0，∴2kπ+＜2x﹣＜2kπ+（k∈Z），解得：kπ+＜x＜kπ+（k∈Z），则使f（x）＜成立的x取值集合为{x|kπ+，kπ+（k∈Z）}．18．（12分）某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统计了40名学生的政治成绩，这40名学生的成绩全部在40分至l00分之间，据此绘制了如图所示的样本频率分布直方图．（I）求成绩在[80，90）的学生人数；（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在[90，100]的概率．【解答】解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80，90）的频率为1﹣（0.005×2+0.015+0.020+0.045）×10＝0.1，所以，40名学生中成绩在区间[80，90）的学生人数为40×0.1＝4（人）．（Ⅱ）设A表示事件“在成绩大于等于8（0分）的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间[90，100]内”，由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间[80，90）内的学生有4人，记这四个人分别为a，b，c，d，成绩在区间[90，100]内的学生有2人，记这两个人分别为e，f．则选取学生的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）基本事件数为15，事件“至少一人成绩在区间[90，100]之间”的可能结果为：（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）基本事件数为9，所以．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠P AD＝60°．（1）若M为P A的中点，求证：DM∥平面PBC；（2）求三棱锥D﹣PBC的体积．【解答】（1）证明：过C作CE⊥AB与E则AE＝CD＝3，CE＝AD＝4，∴BE＝，∴AB＝AE+BE＝6．取PB中点N，连接MN，CN．则MN是△P AB的中位线，∴MN∥AB，MN＝AB＝3，又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD，∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN，又DM⊄平面PBC，CN⊂平面PBC，∴DM∥平面PBC．（2）解：∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，∵∠P AD＝60°，∴PD＝AD＝4．又S△DBC＝＝6，∴V D﹣PBC ＝V P﹣DBC＝S△DBC•PD＝＝8．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C1：＝1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2+y2＝的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y 轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【解答】解：（1）由题意得：c＝1，所以a2＝b2+1，又因为点在椭圆C上，所以，可解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆标准方程为．（2）证明：由题意：C1：，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），因为M，N不在坐标轴上，所以，直线PM的方程为，化简得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④同理可得直线PN的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤把P点的坐标代入④、⑤得，所以直线MN的方程为，令y＝0，得，令x＝0得，所以，，又点P在椭圆C1上，所以，即为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝2e x﹣ax﹣2（x∈R，a∈R）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2e x﹣x﹣2，f′（x）＝2e x﹣1，f′（1）＝2e﹣1，即曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率k＝2e﹣1，又f（1）＝2e﹣3，故所求的切线方程是y＝（2e﹣1）x﹣2．（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立⇔[f（x）]min≥0．易知f′（x）＝2e x﹣a．①若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增；又f（0）＝0，∴当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）＝0，符合题意．②若a＞0，由f′（x）＝0，解得x＝ln．则当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴x＝时，函数f（x）取得最小值．当，即0＜a≤2时，当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）＝0，符合题意．当，即a＞2时，当时，f（x）单调递增，f（x）＜f（0）＝0，不符合题意．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1，C2的参数方程分别为（t 为参数）和（α为参数）．（1）将曲线C1，C2的参数方程化为普通方程，并指出是何种曲线；（2）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1，C2的交点所确定的直线的极坐标方程．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为y＝x2，曲线C2的普通方程为x2+y2＝2．∴曲线C1表示开口向上的抛物线，曲线C2表示圆心在原点，半径为的圆．（2）联立方程组，解得或．∴曲线C1，C2的交点所确定的直线方程为y＝1．∴曲线C1，C2的交点所确定的直线的极坐标方程为ρsinθ＝1．。

2015-2016学年云南玉溪一中高二（下）期中考试数学（理）试题一、选择题1．已知全集R U =，设集合(){}1ln |-==x y x A ，集合{}2|≥=x x B ，则()=B C A U （ ）A.[]2,1B.()2,1C.(]2,1D. [)2,1 【答案】B【解析】试题分析：(){}|ln 1={|1}A x y x x x ==->，{|2}U CB x x =<，()(1,2)U AC B = ，故选B ．【考点】集合的交集补集运算．2．某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[)40,20，[)60,40， [)80,60，[]100,80，若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60 【答案】B【解析】试题分析：低于60分的人数的频率为0.015200.3⨯=，所以该班人数150.350÷=人，故选B ． 【考点】频率分布直方图． 3．若2:≤a p ，()02:≤-a a q ，则p ⌝是q ⌝的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：因为(2)0a a -≤得：02a ≤≤，因此022a a ≤≤⇒≤，反之不成立，所以q 是p 成立的充分不必要条件，由互为逆否命题的关系知，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，故选A ． 【考点】充分必要条件．4．若()()()()() ,115,74,43,32,11=====f f f f f ，则()=10f （ ） A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C【解析】试题分析：观察规律，从第三项起每项等于前两项之和，所以(6)18,(7)29,(8)47,(9f f f f ====，(10)123f =，故选C ．【考点】合情推理之归纳法． 5．复数ii21+的共轭复数是),(R b a bi a ∈+，i 是虛数单位，则点),(b a 为（ ） A ．()2,1 B ．()1,2- C ．()1,2 D ．()2,1- 【答案】C【解析】试题分析：122ii i+=-，共轭复数为2i +，所以),(b a 为(2,1)，故选C ．【考点】复数的运算． 6．曲线x x y 23-=在()1,1-处的切线方程为（ ）A ．02=--y xB ．02=+-y xC ．02=-+y x D ．02=++y x【答案】A【解析】试题分析：因为211|(32)|1x x y x =='=-=，所以切线方程为11y x +=-，即02=--y x ，故选Ａ．【考点】导数的几何意义．7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，351187=+++a a a ，则17S 的值为（ ）A ．117B ．118C ．119D ．120 【答案】C【解析】试题分析：因为351187=+++a a a ，所以9535a =，97a =，17917177119S a ==⨯=，故选Ｃ．【考点】１、等差数列的性质；2、等差数列和的性质．8．一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π 【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为，利用球的表面积公式得243s ππ==，故选B ．【考点】球的结合体． 9．已知函数()53x x x x f ++=，Rx x x ∈321,，021<+x x ，0,01332<+<+x x x x ，则()()()321x f x f x f ++的值（ ）A.一定小于0 B ．一定大于0 C ．等于0 D ．正负都有可能 【答案】A【解析】试题分析：根据()53x x x x f ++=可知()f x 是奇函数，且在R 上是增函数，由条件得12x x <-，23x x <-，31x x <-，从而可以得到12()()f x f x <-，23()()f x f x <-，31()()f x f x <-，三式相加，再根据奇函数性质得()()()1230f x f x f x ++<，故选A ． 【考点】函数的奇偶性、函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性性质及函数的单调性，属于中档题题．解题时一定要注意观察条件，021<+x x ，0,01332<+<+x x x x ，可得两个自变量的大小，提示考查函数的单调性，易知函数是增函数，从而有12()()f x f x <-，23()()f x f x <-，31()()f x f x <-，涉及到()f x -，考虑函数的奇偶性，从而得到结果．10．已知在圆02422=+-+y x y x 内，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A.53 B ．56 C ．152 D ．154 【答案】C【解析】试题分析：圆的标准方程22(2)(1)5x y -++=，过点()0,1E 的最长弦为直径最短为与直径垂直的弦长所以四边形ABCD的面积为故选C ．【考点】圆的标准方程及其性质． 11．在等比数列{}n a 中，10621=+++a a a ，5111621=+++a a a ，则 =⋅⋅⋅621a a a （ ） A ．2 B ．8 C ．21D ．81【答案】B【解析】试题分析：由等比数列的前n 项和公式，16126101a a qa a a q-+++==- ，1612611111111a a q a a a q-⋅+++=-611651a q a a a q -==-，把1610(1)a a q q -=-代入，得162a a =，又3312616()28a a a a a ⋅⋅⋅=⋅== ，故选B ．【考点】等比数列前n 项和．【思路点晴】本题主要考查的是等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式及等比数列的性质，以及运算能力，属于中档题．本题把两个数列求和都用1a 和6a 及q 表示，特别是第二个数列是以11a 为首项，1q 为公比的等比数列，求和之后通过化简处理，让两个式子做比，得到162a a =，再根据等比数列的性质把126a a a ⋅⋅⋅ 用16a a 表示即可． 12．在ABC Rt ∆中， 90=∠BCA ，1==CB CA ，P 为边AB 上的点，且AB AP λ=，若CP AB PA PB ⋅≥⋅，则λ的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,222C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+222,21D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222,222【答案】B【解析】试题分析：以C 为坐标原点，CA,CB 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则C(0,0),A(1,0),B(0,1)，(1,1)AB =-， AB AP λ=，∴[0,1]λ∈，(1,1)AB λ=- ，(1,)CP λλ=- ,(1,1)PB λλ=--．因为CP AB PA PB ⋅≥⋅ ，所以221λλλλλλ-+≥-+-，解得λ≤≤，又[0,1]λ∈，所以λ⎤∈⎥⎣⎦，故选Ｂ．【考点】平面向量的运算．【方法点晴】本题主要考查的是向量在几何中的应用，向量的数量积及向量的坐标运算，属于难题．本题由于条件中存在向量的数量关系，且存在直角三角形，因此考虑建立直角坐标系，采用坐标的方式去进行运算，效果较好，把CP AB PA PB ⋅≥⋅用坐标表示后，建立关于λ的不等关系，解不等式即可求解λ的取值范围．二、填空题13．已知0,0>>y x ，且112=+yx ，则y x 2+的最小值为 ． 【答案】8 【解析】试题分析：根据112=+yx ，得2142()2)448y xx y x y x y x y+=++=++≥+=（，当且仅当2x y =时，即2,4y x ==时，等号成立，所以答案应填：8．【考点】均值不等式．14．在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好落在正方形与曲线x y =围成的区域内（阴影部分）的概率为 ．【答案】32 【解析】试题分析：因为阴影部分的面积312022|33S x ===⎰，正方形面积为1，由几何概型得：312022|133S x ===⎰，22313p ==，所以答案应填：32．【考点】几何概型．15．已知定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=-4且在区间()0,2上是增函数，则()()()80,11,25f f f -的大小关系为 ．（用符号“<”连接）【答案】()()()258011f f f -<<【解析】试题分析：因为()()x f x f -=-4，()x f 是奇函数，所以()()84()f x f x f x -=--=，所以T 8=，又函数是奇函数，所以函数在(2,2)-上是增函数，()()4(4)()f x f x f x f x -=+=-=-，所以2x =是一条对称轴，()()()25(1),11(3),80(0)f f f f f f -=-==，从而()()()258011f f f -<<，所以答案应填：()()()258011f f f -<<．【考点】1、函数的周期性；2、函数的奇偶性；3、函数的对称性；4、函数的单调性． 【方法点晴】本题主要考查的是函数的周期性，奇偶性，单调性，及函数的对称性，属于中档题．本题利用条件()()x f x f -=-4，可得函数周期，形如此类问题都可以得到半周期，再利用此条件还可以得到函数的对称性，结合已知是奇函数，得到函数在(2,2)-上是增函数，又由对称性知在(2,6)上是减函数，且关于2x =对称，得到结果．16．已知21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左,右焦点,点1F 关于渐近线的对称点恰好在以2F 为圆心,2OF （O 为坐标原点）为半径的圆上,则该双曲线的离心率为 ．【答案】2【解析】试题分析：设1(,0)F c -，2(,0)F c ，设一条渐近线方程为y bx a=-，则1F 到b=，设1F关于渐近线的对称点为M,1F M与渐近线交于A，所以12MF b=，A为1F M的中点，又O是1F F的中点，所以2OA F M, 12F MF∠是直角，由勾股定理得：22244c c b=+，化简得：2e=，所以答案应填：2．【考点】双曲线的离心率．【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和点关于直线的对称点，属于难题．本题利用点关于直线对称的关系，计算得到左焦点的对称点且该点在圆上，并利用点到直线的距离公式求出1F M的长为2b，再利用中位线得平行，从而有直角三角形，利用勾股定理得：22244c c b=+，由此计算椭圆的离心率．三、解答题17．已知函数()xxxxxf22sincossin32cos-+=．（Ⅰ）求()x f的最小正周期和值域；（Ⅱ）在ABC∆中，角CBA,,的对边分别是cba,,，若22=⎪⎭⎫⎝⎛Af且bca=2，试判断ABC∆的形状．【答案】（Ⅰ）()[]2,2,-∈=xfTπ；（Ⅱ）ABC∆为等边三角形．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和辅助角公式化简即可求出周期和值域；（Ⅱ）由22=⎪⎭⎫⎝⎛Af化简求角3π=A，再由余弦定理及bca=2可得：()02=-cb，所以cb=，3π==CB，所以ABC∆为等边三角形．试题解析：（1）()xxxxxf22sincossin32cos-+=xx2cos2sin3+=⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin2πx,所以()[]2,2,-∈=xfTπ（Ⅱ）由22=⎪⎭⎫⎝⎛Af,得26sin22=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛πAAf,所以16sin=⎪⎭⎫⎝⎛+πA因为π<<A0，所以26ππ=+A，即3π=A,由余弦定理Abccba cos2222-+=及bca=2，得()02=-cb，所以cb=，所以3π==CB，所以ABC∆为等边三角形．【考点】1、二倍角公式；2、辅助角公式；3、余弦定理．18．已知数列{}n a满足nn aaaa-==+21,11．（Ⅰ）求432,,a a a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明． 【答案】（Ⅰ）212a a =-，3232a a a -=-，43243aa a -=-；（Ⅱ）()()()an n a n n a n 121-----=，证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）令2,3,4n =代入即可求解；（Ⅱ）猜想()()()an n a n n a n 121-----=，利用数学归纳法证明，注意格式． 试题解析：（1）由n n a a -=+211可得aa a -=-=212112，a a a a 2322123--=-= aa a a 34232134--=-=（2）猜想()()()an n a n n a n 121-----=下面用数学归纳法证明：①当1=n 时，左边a a ==1，右边()()()a aa =-----=1112111 所以等式成立②假设当()*N k k n ∈=时，有()()()ak k a k k a k 121-----=成立， 则当1+=k n 时，()()()()()ka k ak k ak k a k k a a k k -+--=------=-=+1112121211 故当1+=k n 时，结论成立由①②可知，对*N n ∈，都有()()()an n a n n a n 121-----=． 【考点】数学归纳法．19．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，⊥PA 底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且2===AC AB PA ，22=BC ．（Ⅰ）求证：⊥CD 平面PAC ；（Ⅱ）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为510，求NBAN的值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由边长条件知AC CD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，可得PA CD ⊥,从而易证⊥CD 平面PAC ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设00N x （，，），求平面的法向量，利用线面角的正弦值建立关于x 的方程，得1x =，从而1ANNB=． 试题解析：（Ⅰ）连结AC ，∵在△ABC 中，AB=AC=2，C B =∴BC 2=AB 2+AC 2，∴AB⊥AC， ∵AB∥CD，∴AC⊥CD，又∵PA⊥底面ABCD ，∴PA⊥CD， ∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC ； （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），P （0，0，2），B （2，0，0），C （0，2，0），D （﹣2，2，0）， ∵N 是在棱AB 上一点，∴设N （x ，0，0），C N=（﹣x ，2，0），．设直线CN 与平面MAB 所成角为α，因为平面MAB 的法向量n=（0，1，﹣1），5=， 解得x=1，即AN=1，NB=1， ∴ANNB=1【考点】1、线面垂直；2、线面角．【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、线面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意线面角是锐角或直角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线等．利用向量证明时可先设动点坐标，最后利用条件解方程确定其位置．20．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 342=的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点)0,1(的直线l 与椭圆交于不同两点Q P ,，试问在x 轴上是否存在定点)0,(m E ，使QE PE ⋅恒为定值？若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）存在，17,08⎛⎫E ⎪⎝⎭，3364．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线得焦点F ，椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形可得b 1=，从而求出椭圆方程；（Ⅱ）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用直线与圆锥曲线的位置关系，得1212,x x x x +，表示出PE ，QE，运算其数量积，化简即可得出，当斜率不存在时，用斜率存在时的结论检验下即可．试题解析：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点)F，∴c =又∵椭圆的短轴的两个端点与F 构成正三角形，∴b=1，∴椭圆的方程为2214x y += （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为：y=k （x ﹣1）代入椭圆方程，消去y ，可得（4k 2+1）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣4=0设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+∵()11,m x y PE =-- ，()22Q ,m x y E =--∴()()1212Q m x m x y y PE⋅E =--+=m2﹣m （x 1+x 2）+x 1x 2+y 1y 2=()()()2212121211m m x x x x k x x -+++--=2222222222844448141414141k k k k m m k k k k k ⎛⎫---++-+ ⎪++++⎝⎭=()()2222481441m m k m k -++-+=()()()222221148144814441mm k m m m k ⎛⎫-+++---+ ⎪⎝⎭+=()2217214481441m m m k --+++ 当17204m -=，即178m =时，Q PE⋅E 为定值3364当直线l的斜率不存在时，⎛P ⎝⎭，Q 1,⎛ ⎝⎭由17,08⎛⎫E ⎪⎝⎭可得9,82⎛⎫PE =- ⎪ ⎪⎝⎭，9Q ,82⎛⎫E = ⎪ ⎪⎝⎭ ，∴81333Q 64464PE ⋅E =-= 综上所述，当17,08⎛⎫E ⎪⎝⎭时，Q PE⋅E 为定值3364．【考点】1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系．【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于难题．解决本类问题时先根据条件求出椭圆的标准方程是基础，然后先讨论直线斜率存在时情况，利用直线与圆锥曲线的位置关系，得到两点横坐标之和与积，利用向量数量积公式可求出含有.m k 关系的式子，通过变形化简知当公式及点在椭圆上表示出所求，再根据椭圆的范围求得17204m -=时为定值． 21．已知R a ∈，函数()()()x a x x x f 1ln -+-=．（Ⅰ）若()x f 在e x-=处取得极值，求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）求函数()x f 在区间[]12,---e e 上的最大值()a g ．【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调增区间是(),e -∞-，单调减区间是(),0e -；（Ⅱ）()()122,1()1,2,21a a e a g a a e a e a --⎧-≥⎪⎪=-+≤-⎨⎪-<<⎪⎩．【解析】试题分析：（Ⅰ）当x e =-时，求函数的导数，然后令导数等于0，从而得：'10f x ln x =（）（﹣）﹣＜，可得0e x ﹣＜＜，'10f x ln x =（）（﹣）﹣＞，可得x e <-，即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）'f x ln x a =+（）（﹣） ，[1,2]ln x ∈-（﹣），分类讨论分1a ≥，2a ≤﹣，21a ﹣＜＜三种情况，分别求最值． 试题解析：（Ⅰ）()f x '=ln （﹣x ）+a ， 由题意知x=﹣e 时，()f x '=0，即：()f e '-=1+a=0，∴a=﹣1∴f（x ）=xln （﹣x ）﹣2x ，()f x '=ln （﹣x ）﹣1令()f x '=ln （﹣x ）﹣1=0，可得x=﹣e 令()f x '=ln （﹣x ）﹣1＞0，可得x ＜﹣e 令()f x '=ln （﹣x ）﹣1＜0，可得﹣e ＜x ＜0∴f（x ）在（﹣∞，﹣e ）上是增函数，在（﹣e ，0）上是减函数， （Ⅱ）()f x '=ln （﹣x ）+a ，∵x∈[]12,---e e ， ∴﹣x ∈[]21,e e-， ∴ln（﹣x ）∈[]2,1-， ①若a≥1，则()f x '=ln （﹣x ）+a≥0恒成立，此时f （x ）在[]12,---e e 上是增函数，f max （x ）=f （﹣e ﹣1）=（2﹣a ）e ﹣1②若a≤﹣2，则()f x '=ln （﹣x ）+a≤0恒成立，此时f （x ）在[]12,---e e 上是减函数，f max （x ）=f （﹣e 2）=﹣（a+1）e 2③若﹣2＜a ＜1，则令()f x '=ln （﹣x ）+a=0可得x=﹣e ﹣a∴当a e x e --<<-2时()f x '＞0，当1---<<-e x ea时()f x '＜0∴f（x ）在[]ae e ---,2上递增,在[]1,----e e a上递减，∴f max （x ）=f （﹣e ﹣a）=e ﹣a，综上：()()⎪⎩⎪⎨⎧<<--≤+-≥-=--12,2,11,2)(21a e a e a a e a a g a【考点】1、利用导数求函数的单调区间；2、利用导数求函数最值． 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、分类讨论的思想和方法，属于难题．利用导数求函数()f x 的极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．本题可以通过分类讨论，知函数在所求区间上增或者减，或者先增后减，从而求出最大值． 22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l的参数方程为：2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），两曲线相交于,M N 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若()2,4P --，求PM PN +的值．【答案】（Ⅰ）20x y =﹣﹣；24y x =；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据极坐标与普通方程的转化公式即可得到；（Ⅱ）将直线代入抛物线，得：12121248t t t t +=⋅=，，根据参数的几何意义可求PM PN +的值． 试题解析：（Ⅰ）根据x=ρcos θ、y=ρsin θ，求得曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ， 用代入法消去参数求得直线l 的普通方程x ﹣y ﹣2=0．（Ⅱ）直线l的参数方程为：2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入y 2=4x，得到2480t -+=，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则 t 1+t 2t 1•t 2=48，∴|PM|+|PN|=|t 1+t 2|=． 【考点】１、极坐标方程与普通方程的转化；2、参数的几何意义．。

玉溪一中2015—2016学年下学期高二年级期中考理科数学试卷第一卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共有12题,每题5分,共60分) 1. 已知全集R U =，设集合(){}1ln |-==x y x A ，集合{}2|≥=x x B ，则()=B C A U( )A.[]2,1B.()2,1C.(]2,1D. [)2,12. 某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[)40,20,[)60,40,[)80,60,[]100,80,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是 （ ） A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 3. 若2:≤a p ，()02:≤-a a q ，则p ⌝是q ⌝的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若()()()()() ,115,74,43,32,11=====f f f f f ，则()=10f （ ） A ．28 B ．76 C ．123D ．1995. 复数ii21+的共轭复数是),(R b a bi a ∈+，i 是虛数单位，则点),(b a 为 A ．()2,1 B ．()1,2- C ．()1,2 D ．()2,1-6. 曲线x x y 23-=在()1,1-处的切线方程为 ( )A ．02=--y xB ．02=+-y xC ．02=-+y x D ．02=++y x7. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，351187=+++a a a ，则17S 的值为 （ ） A ．117 B ．118 C ．119 D ．1208. 一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是 ( ) A ．2π B ．3π C ．4πD ．5π9. 已知函数()53x x x x f ++=，R x x x ∈321,，021<+x x ，0,01332<+<+x x x x ，则()()()321x f x f x f ++的值 ( )A.一定小于0 B ．一定大于0 C ．等于0D ．正负都有可能10.已知在圆02422=+-+y x y x 内，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （ ）A.53 B ．56 C ．152 D ．15411. 在等比数列{}n a 中，10621=+++a a a ，5111621=+++a a a ，则=⋅⋅⋅621a a a （）A ．2B ．8C ．21 D ．8112. 在ABC Rt ∆中，90=∠BCA ，1==CB CA ，P 为边AB 上的点，且AB AP λ=，若PB PA AB CP ∙≥∙，则λ的取值范围是 （ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,222 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+222,21 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222,222第二卷（非选择题 共90分） 二、填空题(本大题共有4 题,每题5分,共20分)13. 已知0,0>>y x ，且112=+yx ，则y x 2+的最小值为 .14. 在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好落在正方形与曲线x y =围成的区域内（阴影部分）的概率为 。

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玉溪一中2017-2018学年下学期高一年级期中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知全集,集合，集合 ,则（ )A。

B. C. D。

【答案】A【解析】，所以,故选A.考点：集合的运算。

视频2. 已知，，且，则点坐标为（ )A。

B. C。

D。

【答案】B【解析】分析:设出P点的坐标，根据要用的点的坐标写出两个向量的坐标，根据所给的关于向量的等式，得到两个方程，解方程组即可得到要求的点的坐标.详解：设P点的坐标为，M(3，－2），N(－5,－1），且，。

点P的坐标为。

故选：B。

点睛:本题考查相等向量和相反向量，是一个基础题，解题的关键是写出要用的向量的坐标，根据两个向量相等，得到向量坐标之间的关系。

3. 下列命题中,一定正确的是( ）A. 若，且，则 B。

若，且,则C。

若,且，则 D。

若，且,则【答案】D【解析】【分析】利用特例法和不等式基本性质逐一判断即可。

【详解】A．a＞0,b＜0时，，因此不成立;B．a＞0，b＜0时,，因此不成立；C．取a=5，b=﹣3，c=1，d=﹣6，满足a＞b，c＞d，则ac＜bd,不正确；D．若，且，则即正确．故选:D．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力,属于基础题．4. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的是（）A。

2015-2016学年云南省玉溪一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共有12题，每题5分，共60分）1．（5分）已知全集U＝R，设集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）2．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45B．50C．55D．603．（5分）条件p：a≤2，条件q：a（a﹣2）≤0，则￢p是￢q的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知f（1）＝1，f（2）＝3，f（3）＝4，f（4）＝7，f（5）＝11，…，则f（10）＝（）A．28B．76C．123D．1995．（5分）复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（）A．（1，2）B．（2，﹣i）C．（2，1）D．（1，﹣2）6．（5分）曲线y＝x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2＝0B．x﹣y+2＝0C．x+y+2＝0D．x+y﹣2＝0 7．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a7+a8+…+a11＝35，则S17的值为（）A．117B．118C．119D．1208．（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π9．（5分）已知函数f（x）＝x+x3+x5，x1，x2，x3∈R，x1+x2＜0，x2+x3＜0，x3+x1＜0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定小于0B．一定大于0C．等于0D．正负都有可能10．（5分）已知在圆x2+y2﹣4x+2y＝0内，过点E（1，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．6C．D．211．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2+…+a6＝10，，则a1•a2•…•a6＝（）A．2B．8C．D．12．（5分）在直角△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，P为AB边上的点且＝λ，若•≥•，则λ的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]二、填空题（本大题共有4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知x＞0，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值是．14．（5分）在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线y＝围成的区域内（阴影部分）的概率为．15．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则f（﹣25），f（80），f（11）的大小顺序是．16．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好在以F2为圆心，|OF2|（O为坐标原点）为半径的圆上，则该双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共有6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x﹣sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若且a2＝bc，试判断△ABC的形状．18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，P A⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且P A＝AB＝AC＝2，BC＝2．（1）求证：CD⊥平面P AC；（2）如果如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．20．（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）＝xln（﹣x）+（a﹣1）x．（Ⅰ）若f（x）在x＝﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值g（a）．22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．2015-2016学年云南省玉溪一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12题，每题5分，共60分）1．（5分）已知全集U＝R，设集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）【解答】解：集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∁U B＝{x|x＜2}，A∩（∁U B）＝）}＝{x|x＞1}∩{x|x＜2}＝{x|1＜x＜2}，故选：B．2．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45B．50C．55D．60【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P＝（0.005+0.010）×20＝0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是＝50．故选：B．3．（5分）条件p：a≤2，条件q：a（a﹣2）≤0，则￢p是￢q的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵条件p：a≤2，∴P＝（﹣∞，2]∵条件q：a（a﹣2）≤0，∴Q＝[0，2]∵Q⊊P∴q是p的充分不必要条件根据互为逆否的两个命题真假性一致可得￢p是￢q的充分不必要条件故选：A．4．（5分）已知f（1）＝1，f（2）＝3，f（3）＝4，f（4）＝7，f（5）＝11，…，则f（10）＝（）A．28B．76C．123D．199【解答】解：由题意可得，f（3）＝f（1）+f（2），f（4）＝f（2）+f（3），f（5）＝f（3）+f（4），则f（6）＝f（4）+f（5）＝18，f（7）＝f（5）+f（6）＝29，f（8）＝f（6）+f （7）＝47，f（9）＝f（8）+f（7）＝76，f（10）＝f（8）+f（9）＝123，故选：C．5．（5分）复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（）A．（1，2）B．（2，﹣i）C．（2，1）D．（1，﹣2）【解答】解：因为，其共轭复数为2+i，即a+bi＝2+i，所以a＝2，b＝1．所以点（a，b）为（2，1）．故选：C．6．（5分）曲线y＝x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2＝0B．x﹣y+2＝0C．x+y+2＝0D．x+y﹣2＝0【解答】解：由题意得，y′＝3x2﹣2，∴在点（1，﹣1）处的切线斜率是1，∴在点（1，﹣1）处的切线方程是：y+1＝x﹣1，即x﹣y﹣2＝0，故选：A．7．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a7+a8+…+a11＝35，则S17的值为（）A．117B．118C．119D．120【解答】解：∵等差数列{a n}满足：a7+a8+…+a11＝35，∴5a9＝35，解得a9＝7．则S17＝＝17a9＝119．故选：C．8．（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为＝3π．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）＝x+x3+x5，x1，x2，x3∈R，x1+x2＜0，x2+x3＜0，x3+x1＜0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A ．一定小于0B ．一定大于0C ．等于0D ．正负都有可能 【解答】解：由f （x ）＝x +x 3+x 5，显然在定义域R 上为增函数，且f （﹣x ）＝﹣x ﹣x 3﹣x 5＝﹣f （x ），所以函数是奇函数．因为x 1+x 2＜0，所以x 1＜﹣x 2，所以f （x 1）＜f （﹣x 2）＝﹣f （x 2），所以f （x 1）+f （x 2）＜0，同理f （x 2）+f （x 3）＜0，f （x 1）+f （x 3）＜0，所以f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＜0．故选：A ．10．（5分）已知在圆x 2+y 2﹣4x +2y ＝0内，过点E （1，0）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ．6C ．D ．2【解答】解：圆x 2+y 2﹣4x +2y ＝0即（x ﹣2）2+（y +1）2＝5，圆心M （2，﹣1），半径r ＝，最长弦AC 为圆的直径为2， ∵BD 为最短弦∴AC 与BD 相垂直，ME ＝d ＝，∴BD ＝2BE ＝2＝2，∵S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △BDC ＝BD ×EA +×BD ×EC ＝×BD ×（EA +EC ）＝×BD ×AC ＝＝2．故选：D ．11．（5分）在等比数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 6＝10，，则a 1•a 2•…•a 6＝（ ）A ．2B ．8C ．D ． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ≠1，∵a 1+a 2+…+a 6＝10，，∴＝10，＝5，∴＝2．则a1•a2•…•a6＝q1+2+…+5＝＝23＝8．故选：B．12．（5分）在直角△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，P为AB边上的点且＝λ，若•≥•，则λ的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]【解答】解：∵直角△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：C（0，0），A（1，0），B（0，1），，∵＝λ，∴λ∈[0，1]，，．•≥•，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ．2λ2﹣4λ+1≤0，解得：，∵λ∈[0，1]∴λ∈[，1]故选：B．二、填空题（本大题共有4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知x＞0，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值是8．【解答】解：x+2y＝（x+2y）（+）＝2+++2≥4+2＝8，当且仅当＝时，等号成立，故x+2y的最小值为8，故答案为：8．14．（5分）在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线y＝围成的区域内（阴影部分）的概率为．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1＝1，而阴影部分的面积为＝＝，∴正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为＝，故答案为：．15．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则f（﹣25），f（80），f（11）的大小顺序是f（﹣25）＜f（80）＜f（11）．【解答】解：∵f（x）是奇函数且f（x﹣4）＝﹣f（x），即为f（x+4）＝﹣f（x），即有f（x+8）＝f（x），f（x）的最小正周期为8，∴f（x﹣4）＝f（﹣x），f（0）＝0，∴f（﹣25）＝﹣f（25）＝﹣f（24+1）＝﹣f（1），f（80）＝f（0）f（11）＝f（8+3）＝f（3）＝﹣f（﹣1）＝f（1），又∵函数在区间[0，2]上是增函数，0＝f（0）＜f（1）∴﹣f（1）＜f（0）＜f（1）∴f（﹣25）＜f（80）＜f（11）故答案为：f（﹣25）＜f（80）＜f（11）16．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好在以F2为圆心，|OF2|（O为坐标原点）为半径的圆上，则该双曲线的离心率为2．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y＝﹣x，则F1到渐近线的距离为＝b．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，可得|MF1|＝2b，A为F1M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F2M，则∠F1MF2为直角，由△MF1F2为直角三角形，由勾股定理得4c2＝c2+4b2即有3c2＝4（c2﹣a2），即为c2＝4a2，即c＝2a，则e＝＝2．故答案为：2．三、解答题（本大题共有6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x﹣sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若且a2＝bc，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）＝＝∴T＝π，f（x）∈[﹣2，2]（Ⅱ）由，有，∴．∵0＜A＜π，∴，即．由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A及a2＝bc，∴（b﹣c）2＝0∴b＝c，∴．∴△ABC为等边三角形．18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）由a n+1＝，可得a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝．（2）猜测a n＝（n∈N*）．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，左边＝a1＝a，右边＝＝a，猜测成立．②假设当n＝k（k∈N*）时猜测成立，即a k＝．则当n＝k+1时，a k+1＝＝＝＝．故当n＝k+1时，猜测也成立．由①，②可知，对任意n∈N*都有a n＝成立．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，P A⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且P A＝AB＝AC＝2，BC＝2．（1）求证：CD⊥平面P AC；（2）如果如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．【解答】（1）证明：连结AC．因为在△ABC中，AB＝AC＝2，，所以AB2+AC2＝BC2，所以AB⊥AC．因为AB∥CD，所以AC⊥CD．又因为P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD．因为AC∩P A＝A，所以CD⊥平面P AC．（4分）（2）解：如图，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0），因为M是棱PD的中点，所以M（﹣1，1，1）．所以，设＝（x，y，z）为平面MAB的法向量，则，令y＝1，得平面MAB的法向量＝（0，1，﹣1），因为N是在棱AB上一点，所以设N（x，0，0），＝（﹣x，2，0）．因为直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，设直线CN与平面MAB所成角为α，则sinα＝|cos＜＞|＝＝＝，解得x＝1，即AN＝1，NB＝1，所以＝1．20．（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点，∴…（1分）又∵椭圆的短轴的两个端点与F构成正三角形，∴b＝1，∴椭圆的方程为…（3分）（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为：y＝k（x﹣1）代入椭圆方程，消去y，可得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则…（5分）∵∴＝m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2＝＝＝…（7分）＝＝…（9分）当，即时，为定值…（10分）当直线l的斜率不存在时，由可得，∴综上所述，当时，为定值…（12分）21．（12分）已知a∈R，函数f（x）＝xln（﹣x）+（a﹣1）x．（Ⅰ）若f（x）在x＝﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值g（a）．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝ln（﹣x）+a，（2分）由题意知x＝﹣e时，f'（x）＝0，即：f'（﹣e）＝1+a＝0，∴a＝﹣1（3分）∴f（x）＝xln（﹣x）﹣2x，f'（x）＝ln（﹣x）﹣1令f'（x）＝ln（﹣x）﹣1＝0，可得x＝﹣e令f'（x）＝ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e令f'（x）＝ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数，（6分）（Ⅱ）f'（x）＝ln（﹣x）+a，∵x∈[﹣e2，﹣e﹣1]，∴﹣x∈[e﹣1，e2]，∴ln（﹣x）∈[﹣1，2]，（7分）①若a≥1，则f'（x）＝ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是增函数，f max（x）＝f（﹣e﹣1）＝（2﹣a）e﹣1（9分）②若a≤﹣2，则f'（x）＝ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是减函数，f max（x）＝f（﹣e2）＝﹣（a+1）e2（11分）③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）＝ln（﹣x）+a＝0可得x＝﹣e﹣a∵f'（x）＝ln（﹣x）+a是减函数，∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）[﹣e2，﹣e﹣1]上左增右减，∴f max（x）＝f（﹣e﹣a）＝e﹣a，（13分）综上：（14分）22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．【解答】解：（Ⅰ）根据x＝ρcosθ、y＝ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2＝0．（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2＝4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝12，t1•t2＝48，∴|PM|+|PN|＝|t1+t2|＝．。