数列的综合运用 人教版

数列〔1〕教学目标：理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.教学重点：1.理解数列概念；2.用通项公式写出数列的任意一项.教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程：Ⅰ.复习回顾在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f︰A→B就叫做A到B的函数，记作：y ＝f(x)，其中x∈A，y∈B.Ⅱ.讲授新课在学习第二章函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.1，2，3，4，…，50 ①1，2，22，23， (263)15，5，16，16，28 ③0，10，20，30，…，1000 ④23，…⑤请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有一定次序的.引出数列及有关定义.〔1〕数列：按照一定次序排成的一列数.看来上述例子就为我们所学数列.那么一些数为何将其按照一定的次序排列，它有何实际意义呢？也就是说和我们生活有何关系呢？如数列①，它就是我们班学生的学号由小到大排成的一列数.数列②，是引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成的一列数.数列③，好像是我国体育健儿在五次奥运会中所获金牌数排成的一列数.数列④，可看作是在1 km长的路段上，从起点开始，每隔10 m种植一棵树，由近及远各棵树与起点的距离排成的一列数.数列⑤23，….诸如此类，还有很多，举不胜举，我们学习它，掌握它，也是为了使我们的生活更美好，下面我们进一步讨论，好吗？现在，就上述例子，我们来看一下数列的基本知识.比如，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项〔或首项〕，第2项，…，第n项，….那么，数列一般可表示为a1，a2，a3，…，a n，….其中数列的第n项用a n来表示. 数列还可简记作{a n}.数列{a n}的第n项a n与项数n有一定的关系吗？数列①中，每一项的序号与这一项有这样的对应关系：序号 1 2 3 (50)↓↓↓…↓项 1 2 3 (50)即数列的每一项就等于其相对应的序号.也可以用一式子：a n=n(1≤n≤n∈N*)数列②中，每一项的序号与这一项的对应关系为：序号 1 2 3 (64)↓↓↓…↓项 1 2 22 (263)↓↓↓…↓2°21 22 (263)↓↓↓…↓21－1 22－123－1…264－1即：a n＝2n－1(n为正整数，且1≤n≤64)数列④中：序号 1 2 3 (101)↓↓↓…↓项0 10 20 (1000)↓↓↓…↓10×0 10×1 10×2 …10×100↓↓↓…↓10×(1－1) 10×(2－1) 10×(3－1) …10×(101－1)∴a n＝10(n－1)(n∈N*且1≤n≤101).数列⑤中：序号 1 2 3 4 …↓↓↓↓…项 1 2 3 …↓↓↓↓…0 1 2 3 …∴a n n－1(n≥1且n∈N*)数列{a n}的第n项a n与n之间的关系都可以用这样的式子来表示吗？不是，如数列③的项与序号的关系就不可用这样的式子来表示.综上所述，如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即：只要依次用1，2，3，…代替公式中的n,就可以求出该数列相应的各项.下面，我们来练习找通项公式.1，12，13，14，…. ①1，0.1，0.01，0.001，…. ②－1，1，－1，1，…. ③2，2，2，2，2，2. ④ 1，3，5，7，9，….⑤得出数列①的通项公式为：a n ＝1n且n ∈N *.数列②可用通项公式：a n ＝110n －1，(n ∈N *，n ≥1)来表示. 数列③的通项公式为：a n ＝(－1)n(n ∈N *)或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 〔n 为奇数〕1 〔n 为偶数〕数列④的通项公式为：a n ＝2(n ∈N *且1≤n ≤6) 数列⑤的通项公式为：a n ＝2n －1(n ∈N *). 数列与数集的区别和联系.在数列的定义中，要强调数列中的数是按一定次序排列的；而数集中的元素没有次序. 例如，数列4，5，6，7，8，9与数列9，8，7，6，5，4是不同的两个数列.如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列.而数集中的元素假设相同，那么为同一集合，与元素的次序无关.③与④，均有重复出现的数.数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体. {a n }与a n 又有何区别和联系？{a n }表示数列；a n 表示数列的项.具体地说，{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而a n 只表示这个数列的第nn 表示项的位置序号，如：a 1，a 2，a 3，a n 分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n 项.数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？从映射、函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N *(或它们的有限子集{1，2，3，…，n }〕的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象.看来，数列也可以根据其通项公式画出其对应图象，下面请同学们练习画数列①、⑤的图象.根据所求通项公式画出数列⑤、①的图象，并总结其特点：特点：它们都是一群弧立的点. ④只有6项，是有穷数列. ①、②、③、⑤都是无穷数列.［例1］根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝n n ＋1； (2)a n ＝(－1)n ·n分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.解：(1)在a n ＝n n ＋1中依次取n ＝1，2，3，4，5，得到数列{n n ＋1}的前5项分别为：12 ，23 ，34 ，45 ，56 .即：a 1＝12 ；a 2＝23 ；a 3＝34 ；a 4＝45 ；a 5＝56. (2)在a n ＝(－1)n ·n 中依次取n ＝1，2，3，4，5，得到数列{－1n ·n }的前5项分别为：－1，2，－3，4，－5.即：a 1＝－1；a 2＝2；a 3＝－3；a 4＝4；a 5＝－5.［例2］写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是以下各数：(1)1，3，5，7； (2)22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15(3)－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5.分析：认真观察各数列所给出项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.解：(1) 序号： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项： 1＝2×1－1 3＝2×2－1 5＝2×3－1 7＝2×4－1规律：这个数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是a n ＝2n －1；(2) 序号： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分母： 2＝1＋1 3＝2＋1 4＝3＋1 5＝4＋1↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22－1 32－1 42－1 52－1规律：这个数列的前4项22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去，所以它的一个通项公式是：a n ＝〔n ＋1〕2－1n ＋1；〔3〕 序号： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓项：－11×2 12×3 －13×4 14×5‖ ‖ ‖ ‖ 〔－1〕1)11(11+⨯ 〔－1〕2)12(21+⨯ 〔－1〕3)13(31+⨯ 〔－1〕4)14(41+⨯规律：这个数列的前4项－11×2，12×3，－13×4，14×5的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：a n＝(－1)n·1n〔n＋1〕.Ⅲ.课堂练习课本P32练习1，2，3，4，5，6Ⅳ.课时小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项求一些简单数列的通项公式.Ⅴ.课后作业课本P32习题 1，2，3。

第二章数列第二章数列（人教A版必修5 ）2.3 等差数列的前n项和（第一课时）教材分析本节课教学内容是人教A版必修五第二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）.本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用.等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题.同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式的推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法.学情分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础.高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍.因此，在本节教学中，让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、活动、探究、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容；在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆猜想；在教法上，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体地位.教学目标【知识与技能】1.理解等差数列前n项和公式的推导过程，并掌握其公式；2.掌握等差数列的五个量a1,d,n,a n,S n的关系，能由其中的三个求另两个；3.了解倒序相加法的原理.【过程与方法】1.通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法；2.培养学生观察、归纳、反思的能力.【情感、态度与价值观】通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学来源于生活，又服务于生活的实际性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题.重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题.难点：等差数列前n项求和公式推导思路的获得.教学过程：课前准备工作：在上课之前的三分钟，让学生观看《泰姬陵》视频.(让数学课堂赋予人文历史的气息，缩短数学与现实的距离.)1.创设情景，引入课题师：刚才大家观看了《泰姬陵》的介绍，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？（教师用投影仪展示三角形图案）生：通过观察发现实质是求和：1+2+3+…+100=?师：该问题事实上是求一个等差数列的前n项和的问题.(由此展开新课) 2.新知探究【知识链接1】数列的前n项和的定义：一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即.练一练：对任意数列{a}，S1=________________________，S6=________________________.n问题1：传说泰姬陵陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见前面的示意图），奢靡之程度可见一斑.你知道这个图案一共花了多少颗圆宝石吗？【知识链接2】德国数学家高斯在10岁时就给出的解法：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050.高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…,n，…前100项的和的问题.思考：高斯的思路有什么特点？（首尾配对求和）问题2: 等差数列1,2,3,…,n,…的前n项和怎么求？由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”.问题3: 对于一般等差数列{an}，首项为a1,公差为d,如何推导它的前n项和公式Sn呢？∵S n=a1+a2+a3+⋯+a n−1+a nS n=a n+a+a n−2+⋯+a2+a1(两式相加)∴2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+(a3+a n−2)+⋯+(a n+a1)又∵a1+a n=a2+a n−1=⋯=a n+a1所以Sn =n(a1+a n)2.（公式一）思考：Sn有其他表示形式吗？把代入中，就可以得到（公式二）练一练：1. 已知a1=−4,a8=−18,求S8.2. 已知a1=5,d=6，求S10.3.新知应用例题已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件可以确定这个等差数列的前n项和的公式吗？解：方法一：由题意可知S10=310，S20=1200代入公式2，得{10a1+45d=310,|解方程组，得a1=4,d=6.所以，S n=3n2+n.方法二：由S10=10(a1+a10)2=310,得a1+a10=62,①S20=10(a1+a20)2=1220,所以a1+a20=122.②②-①，得10d=60,所以d=6.代入①，得a1=4,所以，S n=3n2+n.（说明：方法二教师可以点拨一下）【高考链接】：（2016全国卷1理）已知等差数列{an}的前9项的和为27，且a10=8,则a100=(C)A.100B.99C.98D.974.课堂练习1. 在等差数列{a n}中, a1=20，a n=54,S=999,求n.2.(2017兰州市第一次诊断)设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3+a5+a7=24，则S9=()A. 36B. 72C. 144D. 2885.课堂小结师同学们，本节课我们学习了哪些数学内容?生①等差数列的前n项和公式1：Sn =n(a1+a n)2,①等差数列的前n项和公式2：S n=na1+n(n−1)d2.师 通过等差数列的前n 项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法?生 ①通过等差数列的前n 项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.①“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量. 6. 作业1. 课后练习：（见导学案）2. 课后习题：习题2.3A 组2、4、5.3. 板书设计八、教后反思整理丨尼克本文档信息来自于网络，如您发现内容不准确或不完善，欢迎您联系我修正；如您发现内容涉嫌侵权，请与我们联系，我们将按照相关法律规定及时处理。