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22.1.1 二次函数导学案一、复习与回顾函数的定义:．【想一想】你学过什么函数？二、合作探究【做一做】写出下列实际问题中的函数关系式：问题1：正方体六个面是全等的正方形,设正方体棱长为x,表面积为y ,则y与x的函数关系式为．问题2: 用长为20cm的铁丝弯成一个矩形，则矩形的面积y（cm2）与一边长x（cm）之间的函数关系式为．问题3: 多边形的对角线数d 与边数n 的函数关系式为．问题4: 某工厂一种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定, 则y与x之间的函数关系式为 .【议一议】认真观察以上问题中的函数解析式，说出这些函数有什么共同点？这些函数的共同点：（1）等号左边是一个变量，右边是关于自变量的式；（2）这些函数中自变量的最高次项的次数都是 .三、归纳新知二次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量，ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
四、巩固新知【试一试】 【例1】下列函数中,哪些是二次函数？(1) y=3x ²+1； (2) s=3－2t 2； （3）v=8πr ²；(4) y = 21x x-； (5) y=(x+3)²－x ²； (6)y=x ²+x ³+5 【例2】（1）函数y=(m －3)x 2,当m 取什么值时,此函数是二次函数?（2）函数y=27m x -，当m 取什么值时,此函数是二次函数?（3）函数y=（m －3）27m x-，当m 取什么值时,此函数是二次函数?五、归纳与小结 （请同学们从数学知识和数学方法加以自我归纳小结）六、随堂练习1．在函数中：(1) y =3x －1 (2) y =3x 2+2 (3) y =3x 3+2x 2 (4)y =2x 2－2x +1(5)y =x 2－x (1+x )，其中是二次函数的有 ；是一次函数的有 ．2.函数 y=(m －n)x 2+ mx+n （m,n 是常数）是二次函数的条件是( )A 、m ≠0B 、n ≠0C 、m ≠nD 、 m 、n 为任何实数3. 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm 时,圆的面积增加ycm ²².(1)写出y 与x 之间的函数关系表达式； (2)当圆的半径增加1cm 时,圆的面积增加多少?七、拓展与延伸1、若函数22(2)2x x y x ⎧+=⎨⎩ ≤ （x>2），则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是（ ） A B ．4 C 或4 D ．42、将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就能卖出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量就会减少10个,设售价定为x元(x＞50)时的利润为y元。
人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案第二十二章复课1.知道二次函数的概念、图象和性质,能根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数的增减性.2.知道抛物线与对应的一元二次方程的关系,会用待定系数法求二次函数的解析式.3.能够运用二次函数解决一些实际问题,从中体会数学建模思想.4.重点:二次函数解析式的求法,二次函数的图象、性质和应用.◆体系构建◆核心梳理1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程的关系:(1)当b2-4ac>时,抛物线与x轴有2个交点,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解;(2)当b2-4ac=时,抛物线与x轴有1个交点,对应的一元二次方程有两个相等的实数解;(3)当b2-4ac<时,抛物线与x轴无交点,对应的一元二次方程无实数解.3.填表:特征函数启齿偏向对称轴极点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)最值最小值最大值最小值k最大值k最小值最大值最小值k最大值k最小值y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k a>时启齿向上a<时开口向下a>时开口向上a<时启齿向下a>时启齿向上a<时启齿向下a>时开口向上a<时开口向下a>时启齿向上y轴y轴x=hx=hy=ax2+bx+ca<时开口向下x=-(-,)最大值专题一:二次函数的概念、图象和性质1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个代数式中,值为正数的有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个2.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象可能是(C)3.如图,已知二次函数y 1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(-2,4),B(8,2),则能使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8.【方法归纳交流】根据抛物线的开口方向判断a的正负;根据抛物线与y轴的交点判断c的值;若抛物线的对称轴在y 轴左侧,则a与b同号,若抛物线的对称轴在y轴右侧,则a与b异号;根据抛物线与x轴交点的个数判断b2-4ac的符号.专题二:求抛物线的顶点和对称轴4.求抛物线y=x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标.(用两种方法)解:(1)y=(x2-8x+10)=[(x2-8x+16)-16+10]=(x-4)2-3,所以抛物线的开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,-3).(2)对称轴:x=-=4,y最小==-3,顶点坐标为(4,-3).【方法归纳交流】求抛物线的顶点和对称轴一般有两种方法:配方法和公式法.专题三:抛物线的平移5.申明抛物线y=-3x2-6x+8通过如何的平移,可获得抛物线y=-3x2.解:配方:y=-3x2-6x+8=-3(x2+2x-)=-3[(x2+2x+1)-1-]=-3(x+1)2+11,∴抛物线的顶点坐标是(-1,11),∴把抛物线y=-3x2-6x+8先向右平移1个单位长度,再向下平移11个单位长度得到y=-3x2.6.如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式.解:(1)把C(5,4)代入y=ax2-5ax+4a,得25a-25a+4a=4。
新人教版九年级数学上册导学案：第22章《二次函数》 教师寄语 今日事，今日毕。
不要把今天的事拖到明天。
学习目标教学重点 c bx ax y ++=2的顶点坐标公式教学难点 c bx ax y ++=2的顶点坐标公式教学方法导学训练学生自主活动材料 【学习过程】一、依标独学：1.抛物线()2231y x =+-的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x = 时y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。
2. 二次函数解析式2()+y a x h k =-中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、围标群学：（一）、问题：（1）你能说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？（2）你有办法解决问题（1）吗？解：222++=x x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 .（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式： ①222+-=x x y ②52212++=x x y （5）归纳：二次函数的一般式c bx ax y ++=2可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标是 ；对称轴是 ， （二）、用描点法画出12212-+=x x y 的图像. （1）顶点坐标为 ； （2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．） （3）描点，并连线： x … … 12212-+=x x y …x y -1-2-3-4-5-6-7123-1-2-3-4123456O（4）观察：①图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ； ②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小。
③该抛物线与y 轴交于点 。
④该抛物线与x 轴有 个交点. 三三、扣标展示求出12212-+=x x y 顶点的横坐标2-=x 后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。
第二十二章 二次函数第1课时 二次函数的概念◆学习目标1、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
2、注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识3、培养学生的良好的学习习惯 ◆学习过程 一、复习回顾1、一次函数的解析式设为___________，其中正比例的解析式设为 ；2、在以下函数中 ①x y 2= ②x y 3-= ③121--=x y ④22x y =⑤1212--=x y ⑥x x y 22+= ⑦2122-+=x x y一次函数的是 二、新课学习 1、课堂导入问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x ，表面积为y ，写出y 与x 的关系。
问题2：n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系？问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。
如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示？问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点？ 2、二次函数的定义：形如cbx ax y ++=2(a ≠0，a 、b 、c 为常数)的函数叫做二次函数．对二次函数概念的理解可从以下几方面入手：（1）强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y 是关于x 的二次多项式．对定义中的“形如”的理解，与一次函数类似地，仍然要注意二次函数的自变量与函数不仅仅局限于只用x 、y 来表示.（2）为什么二次函数定义中要求a ≠0？（3）b 和c 是否可以为零？三、典型与变式1、例题1、请判断下列函数中哪些是二次函数，若是二次函数则请确定它的二次项、一次项系数及常数项. ①21y x 4x 62=-+ （ ） 其中a=______,b=_______,c=________; ②2y 5x x =-++ （ ） 其中a=______,b=_______,c=________; ③2y 3x = （ ） 其中a=______,b=_______,c=________; ④2y 2x 1=-- （ ） 其中a=______,b=_______,c=________; ⑤()()22y x 2x 1=+-- （ ） 其中a=______,b=_______,c=________; 小结： 形如()2y ax bx c a 0=++≠的形式称为二次函数的 式； 2、巩固练习：（1）、下列函数中,是二次函数的有：______________ ○1y=3x-1 ; ○2y=3x 2+2; ○ 3y=3x 3+2x 2; ○4y=2x 2-2x+1; ○5y=x 2-x(1+x); ○6y=x -2+x. （2）、y ＝ax2＋bx ＋c(其中a 、b 、c 为常数)为二次函数的条件是( ) A ．b ≠0 B ．c ≠0 C ．a ≠0，b ≠0，c ≠0 D.a ≠0 （3）、对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是（ ）A ．22)1(x m y -=B ．22)1(x m y +=C ．22)1(x m y +=D ．22)1(x m y -= （4）、指出下列二次函数中二次项系数a 、一次项系数b 、常数项c 的值是多少？○1 y = 4x 2－3x 则a= ______ b=_______ c=_______ ○2 y = 232x x -- 则a=_______ b=_______ c=_______ 3、例题1、关于x 的函数m x m y m -+=+12)1(是二次函数, 求m 的值.小结： 4、巩固练习：（1）、当k 为何值时，函数21k y x -=+为二次函数？（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5（2）已知函数22(2)m y m x -=-是二次函数，求m 的值。
新人教版九年级数学上册导学案：第22章《二次函数》 教师寄语今日事，今日毕。
不要把今天的事拖到明天。
学习目标1．知道二次函数k ax y +=2与2ax y =的联系． 2.掌握二次函数k ax y +=2的性质，并会应用； 教学重点类比一次函数的平移和二次函数 的性质学习，要构建一个知识体系 教学难点类比一次函数的平移和二次函数 的性质学习，要构建一个知识体系 教学方法 导学训练学生自主活动材料【学习过程】一、依标独学：1、直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。
2、练习：若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。
解：3、由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗？猜想： 。
二、围标群学（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =，12+=x y ，12-=x y 的图象．2．可以发现，把抛物线2x y =向______平移______个单位，就得到抛物线12+=x y ；把抛物线2x y =向_______平移______个单位，就得到抛物线12-=x y . 3．抛物线2x y =，12+=x y ，12-=x y 的形状_____________．开口大小相同。
三、扣标展示：（一）抛物线k ax y +=2特点：1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；2. 顶点坐标是 ； x y y = x 21O3. 对称轴是 。
（二）抛物线k ax y +=2与2y ax =形状相同，位置不同，k ax y +=2是由2y ax =平移得到的。
（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：上 下 。
（三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。
因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。
教学反思：自我评价专栏(分优良中差四个等级)自主学习： 合作与交流： 书写： 综合：。
第二十二章 二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 22．1.1 二次函数
1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系． 2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．
重点 二次函数的概念和解析式． 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．
一、创设情境，导入新课 问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)． 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)．
(一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2 (2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项． 三、做一做 1．下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y＝x2 (2)y＝－1x2 (3)y＝2x2－x－1 (4)y＝x(1－x) (5)y＝(x－1)2－(x＋1)(x－1) 2．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)y＝x2＋1 (2)y＝3x2＋7x－12 (3)y＝2x(1－x) 3．若函数y＝(m2－1)xm2－m为二次函数，则m的值为________． 四、课堂小结 反思提高，本节课你有什么收获？ 五、作业布置 教材第41页 第1，2题.22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题．
重点 从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数y＝ax2的性质，掌握二次函数解析式y＝ax2与函数图象的内在关系． 难点 画二次函数y＝ax2的图象．
一、引入新课 1．下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？ (1)y＝3x－1 (2)y＝2x2＋7 (3)y＝x－2 (4)y＝3(x－1)2＋1 2．一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢？ 3．上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的y＝ax2的图象和性质． 二、教学活动 活动1：画函数y＝－x2的图象． (1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)． (2)提出问题：它的形状类似于什么？ (3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点． 活动2：在坐标纸上画函数y＝－0.5x2，y＝－2x2的图象． (1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确的画图过程． (2)引导学生观察二次函数y＝－0.5x2，y＝－2x2与函数y＝－x2的图象，提出问题：它们有什么共同点和不同点？ (3)归纳总结： 共同点：①它们都是抛物线；②除顶点外都处于x轴的下方；③开口向下；④对称轴是y轴；⑤顶点都是原点(0，0)． 不同点：开口大小不同． (4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数y＝ax2是当a＜0时的情况．系数a越大，抛物线开口越大． 活动3：在同一个直角坐标系中画函数y＝x2，y＝0.5x2，y＝2x2的图象． 类似活动2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质． 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质
图象 (草图) 开口 方向 顶 点 对称轴 最高或 最低点 最值
a＞0当x＝____时， y有最____值， 是________. a＜0当x＝____时， y有最____值， 是________. 活动4：达标检测 (1)函数y＝－8x2的图象开口向________，顶点是________，对称轴是________，当x________时，y随x的增大而减小． (2)二次函数y＝(2k－5)x2的图象如图所示，则k的取值范围为________．
(3)如图，①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接________．
答案：(1)下，(0，0)，x＝0，＞0；(2)k＞2.5；(3)a＞b＞d＞c. 三、课堂小结与作业布置 课堂小结 1．二次函数的图象都是抛物线． 2．二次函数y＝ax2的图象性质： (1)抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点． (2)当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点；|a|越大，抛物线的开口越小． 作业布置 教材第32页 练习．
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 1．经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义． 2．了解y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k三类二次函数图象之间的关系． 3．会从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．
重点 从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征． 难点 对于平移变换的理解和确定，学生较难理解．
一、复习引入 二次函数y＝ax2的图象和特征： 1．名称________；2.顶点坐标________；3.对称轴________；4.当a＞0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)；当a＜0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)． 二、合作学习
在同一坐标系中画出函数y＝12x2，y＝12(x＋2)2，y＝12(x－2)2的图象． (1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？ (2)顶点和对称轴有什么关系？ (3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？ (4)由此，你发现了什么？ 三、探究二次函数y＝ax2和y＝a(x－h)2图象之间的关系
1．结合学生所画图象，引导学生观察y＝12(x＋2)2与y＝12x2的图象位置关系，直观得
出y＝12x2的图象――→向左平移两个单位y＝12(x＋2)2的图象． 教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如： (0，0)――→向左平移两个单位(－2，0)；
(2，2)――→向左平移两个单位(0，2)； (－2，2)――→向左平移两个单位(－4，2)． ②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程． 2．用同样的方法得出y＝12x2的图象――→向右平移两个单位y＝12(x－2)2的图象． 3．请你总结二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质． y＝ax2(a≠0)的图象――→当h＞0时，向右平移h个单位当h＜0时，向左平移|h|个单位y＝a(x－h)2的图象． 函数y＝a(x－h)2的图象的顶点坐标是(h，0)，对称轴是直线x＝h. 4．做一做 (1)
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y＝2(x＋3)2
y＝－3(x－1)2 y＝－4(x－3)2 (2)填空： ①抛物线y＝2x2向________平移________个单位可得到y＝2(x＋1)2； ②函数y＝－5(x－4)2的图象可以由抛物线________向________平移________个单位而得到． 四、探究二次函数y＝a(x－h)2＋k和y＝ax2图象之间的关系
1．在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y＝12(x＋2)2＋3的图象．
首先引导学生观察比较y＝12(x＋2)2与y＝12(x＋2)2＋3的图象关系，直观得出：y＝12(x＋2)2的图象――→向上平移3个单位y＝12(x＋2)2＋3的图象．(结合多媒体演示) 再引导学生观察刚才得到的y＝12x2的图象与y＝12(x＋2)2的图象之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线y＝12x2先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数y＝12(x＋2)2＋3的图象． 2．做一做：请填写下表：
函数解析式 图象的对称轴 图象的顶点坐标 y＝12x2
y＝12(x＋2)2 y＝12(x＋2)2＋3 3.总结y＝a(x－h)2＋k的图象和y＝ax2图象的关系 y＝ax2(a≠0)的图象――→当h＞0时，向右平移h个单位当h＜0时，向左平移|h|个单位y＝a(x－h)2的图象――→当k＞0时，向上平移k个单位当k＜0时，向下平移|k|个单位y＝a(x－h)2＋k的图象．
