新概率1-2(1)

正态分布加减乘除计算公式正态分布是一种常见的概率分布，也被称为高斯分布。

它在自然界和社会科学中广泛应用，特别是在统计学和概率论中。

正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))其中，μ是分布的均值，σ是标准差，e是自然对数的底数。

根据该公式，我们可以进行正态分布的加减乘除计算。

让我们来看看正态分布的加法运算。

假设有两个正态分布X和Y，它们的均值分别为μ1和μ2，标准差分别为σ1和σ2。

我们可以将X和Y的概率密度函数相加，得到一个新的正态分布Z，其均值为μ1+μ2，标准差为√(σ1²+σ2²)。

这个过程可以用以下公式表示：Z ~ N(μ1+μ2, √(σ1²+σ2²))接下来，让我们讨论正态分布的减法运算。

假设有两个正态分布X 和Y，它们的均值分别为μ1和μ2，标准差分别为σ1和σ2。

我们可以将X和Y的概率密度函数相减，得到一个新的正态分布Z，其均值为μ1-μ2，标准差为√(σ1²+σ2²)。

这个过程可以用以下公式表示：Z ~ N(μ1-μ2, √(σ1²+σ2²))接下来，让我们来讨论正态分布的乘法运算。

假设有两个正态分布X和Y，它们的均值分别为μ1和μ2，标准差分别为σ1和σ2。

我们可以将X和Y的概率密度函数相乘，得到一个新的正态分布Z，其均值为μ1*μ2，标准差为√((σ1*μ2)²+(σ2*μ1)²)。

这个过程可以用以下公式表示：Z ~ N(μ1*μ2, √((σ1*μ2)²+(σ2*μ1)²))让我们来讨论正态分布的除法运算。

假设有两个正态分布X和Y，它们的均值分别为μ1和μ2，标准差分别为σ1和σ2。

我们可以将X和Y的概率密度函数相除，得到一个新的正态分布Z，其均值为μ1/μ2，标准差为√((σ1/μ2)²+(σ2/μ1)²)。

概率的定义及其确定⽅法1.2 概率的定义及其确定⽅法本节包括概率的公理化定义、排列与组合公式、确定概率的频率⽅法、古典⽅法、⼏何⽅法及主观⽅法。

主要介绍概率的定义，在排列、组合公式的基础上，利⽤频率⽅法、古典⽅法、⼏何⽅法及主观⽅法计算事件的概率。

概率是对随机事件发⽣可能性⼤⼩的数值度量。

1.随机事件的发⽣是带有偶然性的，但随机事件的发⽣的可能性是有⼤⼩之分的；2. 随机事件的发⽣的可能性是可以度量的，犹如长度和⾯积⼀样；3.在⽇常⽣活中往往⽤百分⽐来表⽰。

这⾥也是如此在概率论的发展史上，曾经有过概率的古典定义、概率的⼏何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义。

1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫⾸次提出了概率的公⾥化定义。

⼀、概率的公理化定义1.定义设Ω为⼀样本空间， F 为Ω上的某些⼦集组成的⼀个事件域，如果对任意事件A ∈F ，定义在F 上的⼀个实值函数P （A ）满⾜：（1）⾮负性公理：()0;P A ≥（2）正则性公理：()1;P A =（3）可列可加性公理：若12,,,n A A A 两两互不相容，有11()();n n n n P A P A +∞+∞===∑则称P （A ）为事件A 的概率，称三元素(,,)P ΩF 为概率空间。

1.并没有告诉我们应如何确定概率。

但概率的古典定义、概率的⼏何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义都是在⼀定的场合下确定概率的⽅法。

由于计算概率要⽤到排列与组合的公式。

2.概率是关于事件的函数。

⼆、排列与组合公式1.两⼤计数原理（1）乘法原理：如果某件事需要经过k 步才能完成，做完第⼀步有1m 种⽅法，做完第⼆步有2m 种⽅法，…，做完第k 步有k m 种⽅法，那么完成这件事共有12n m m m 种⽅法。

如某班共有45位同学，他们⽣⽇完全不相同的情况有365×364×363×…×321种。

（2）加法原理：如果某件事可由k 类不同的办法之⼀去完成，在第⼀类办法中有1m 种完成⽅法，在第⼆类办法中有2m 种⽅法，…，在第k 类办法中有k m种⽅法，那么完成这件事共有12n m m m +++ 种⽅法。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝()()a b a baa bb+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．2．若方程（m﹣1）x2﹣4x＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m≠1 B．m＝1 C．m≠0 D．m≥13．如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（）A．0＜CP≤1B．0＜CP≤2C．1≤CP＜8 D．2≤CP＜84．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y 与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．10 B．12 C．20 D．245．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=30°，则∠AOB的度数为（）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 6．小马虎在计算16-13x 时，不慎将“-”看成了“+”，计算的结果是17，那么正确的计算结果应该是（ ） A ．15 B ．13 C ．7 D ．1-7．下列几何体的左视图为长方形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若3a b +=，2a b -=，则22a b -的值为（ ） A ．6 B ．23 C ．5 D ．69．已知（﹣1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）在二次函数y ＝﹣x 2+4x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 210．如图，在⊙O 中，若点C 是AB 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°11．如图，在ABC ∆中，90C =∠，AB ＝5，BC ＝4，点D 为边AC 上的动点，作菱形DEFG ，使点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上.若这样的菱形能作出两个，则AD 的取值范围是( )A ．369378AD <≤B ．1575837AD ≤<C．575337AD≤<D．51538AD≤≤12．如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是9502cm，则x的值是（）A．3 B．4 C．4.8 D．5二、填空题（每题4分，共24分）13．一支反比例函数4yx=-，若02x<<，则y的取值范围是_____．14．如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第7个小三角形的面积为_________________15．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是__．16．小明制作了一张如图所示的贺卡. 贺卡的宽为xcm，长为40cm，左侧图片的长比宽多4cm. 若1416x，则右侧留言部分的最大面积为_________2cm.17．2018年10月21日，河间市诗经国际马拉松比赛拉开帷幕，电视台动用无人机航拍技术全程录像．如图，是无人机观测AB两选手在某水平公路奔跑的情况，观测选手A处的俯角为30︒，选手B处的俯角为45º．如果此时无人机镜头C处的高度CD＝20米，则AB两选手的距离是_______米．18．抛物线y ＝﹣2x 2+3x ﹣7与y 轴的交点坐标为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）已知抛物线()22y a x c =-+经过点()2,0A 和 90,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与x 轴交于另一点B ，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图，点,E F 分别在线段,AB BD 上（E 点不与,A B 重合），且DEF A ∠=∠，则DEF ∆能否为等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）若点P 在抛物线上，且PBD CBDS m S ∆∆=，试确定满足条件的点P 的个数．20．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，tan 1OAB ∠=，点A 的坐标是40（，）． （1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点P 在第一象限内，连接OP ，过点P 作PC OP ⊥交BA 延长线于点C ，且OP PC =，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，连接PD ，设点C 的横坐标为t ，OPD ∆的而积为S ，求S 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点B 作BE y ⊥轴，连接CE 、PE ，若45PEB POD ∠+∠=︒，5CE AD =时，求S 的值．21．（8分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）在扇统计图中，表示“QQ ”的扇形圆心角的度数为_____；根据这次统计数据了解到最受学生欢迎的沟通方式是______．（2）将条形统计图补充完整；（3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．22．（10分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A ，B 两种树苗共17棵，已知A 种树苗每棵80元，B 种树苗每棵60元。

1、已知等差数列的前n项和为Sn，若S3 = 6，S6 = 21，则S9等于多少？A. 45B. 54C. 63D. 72(解析：由等差数列前n项和的性质，Sn, S2n - Sn, S3n - S2n成等差数列，即6, 21-6, S9-21也成等差数列，解得S9=45+21=66-6=60-已给出的21的前一项和=39+21=60，但实际应为等差数列求和公式的应用，直接计算得S9=63。

)(答案：C)2、设集合A = {x | x是小于8的正整数}，B = {x | x是3的倍数}，则A ∩ B等于？A. {3}B. {3, 6}C. {1, 3, 5, 7}D. {3, 6, 9}(解析：集合A为{1,2,3,4,5,6,7}，集合B为所有3的倍数，取交集得A ∩ B = {3, 6}。

)(答案：B)3、在三角形ABC中，若sinA : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则角C为？A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 无法确定(解析：由正弦定理，边长比a:b=sinA:sinB=3:4:5，满足勾股定理，故三角形为直角三角形，且C为直角。

)(答案：B)4、若复数z满足(1 + i)z = 1 - i（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为？A. 1B. -1C. iD. -i(解析：由复数运算，z = (1 - i) / (1 + i) = ((1 - i)(1 - i)) / ((1 + i)(1 - i)) = -i，其共轭复数为i，虚部为1。

)(答案：A)5、已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，则向量a与b的点积为？A. 5B. 10C. 11D. 15(解析：点积公式为a·b = a1b1 + a2b2，代入得13 + 24 = 11。

)(答案：C)6、一个正方体骰子投掷一次，出现点数大于4的概率是？A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/3(解析：正方体骰子有6面，点数大于4的情况有2种（5和6），所以概率为2/6=1/3。

零一分布和二项分布的区别摘要：一、引言二、零一分布和二项分布的定义及含义三、零一分布和二项分布的区别1.概率质量函数不同2.累积分布函数不同3.期望值和方差不同四、实例分析五、总结与展望正文：一、引言在概率论和统计学中，零一分布和二项分布是两种常见的离散概率分布。

它们都与成功或失败的次数有关，但在数学模型和应用场景上存在一定差异。

本文将详细介绍零一分布和二项分布的区别，以及它们在实际应用中的特点。

二、零一分布和二项分布的定义及含义1.零一分布：又称两点分布、伯努利分布，表示一个随机试验的结果只有两种可能，如成功或失败、通过或未通过等。

其概率质量函数（PMF）为：P(X=0)=p，P(X=1)=1-p，其中p为成功概率。

2.二项分布：表示在n次独立重复试验中，成功次数X的概率分布。

其PMF为：P(X=k)=C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中k为成功次数，n为试验次数，p为成功概率，C(n, k)为组合数。

三、零一分布和二项分布的区别1.概率质量函数不同：零一分布的概率质量函数只包含0和1两个值，而二项分布的概率质量函数包含0到n的所有整数。

2.累积分布函数不同：零一分布的累积分布函数为F(x)=1-(1+p)^(-x)，二项分布的累积分布函数为F(x)=∑[C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)]，其中x为成功次数，k为0到n的整数。

3.期望值和方差不同：零一分布的期望值为0或1，取决于成功概率p；方差为p(1-p)。

二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。

四、实例分析假设一个产品在100次试验中，成功概率为0.8。

我们可以用零一分布描述每次试验的成功与否，用二项分布描述100次试验中成功的次数。

五、总结与展望本文从定义、概率质量函数、累积分布函数、期望值和方差等方面，详细分析了零一分布和二项分布的区别。

在实际应用中，应根据问题背景和需求，选择合适的概率分布进行建模和分析。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷（新课标Ⅱ卷）1.已知，则( ).1i z =--||z =A.0B.1 D.22.已知命题：，，命题，，则( ).:R p x ∀∈|1|1x +>:0q x ∃>3x x =A.p 和q 都是真命题 B.和q 都是真命题p ⌝C.p 和都是真命题D.和都是真命题q ⌝p ⌝q ⌝3.已知向量，满足，，且，则( ).a b ||1a = |2|2a b += (2)b a b -⊥ ||b =A. D.1124.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：）并部分整理如下表所示.kg 亩产[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1150)[1150,1200)频数612182410根据表中数据，下列结论正确的是( )A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于的稻田所占比例超过1100kg 40%C.100块稻田亩产量的极差介于到之间200kg 300kg D.100块稻田亩产量的平均值介于到之间900kg 1000kg 5.已知曲线，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线，为垂足，则线段22:16(0)C x y y +=>PP 'P '的中点M 的轨迹方程为( ).PP 'A. B.221(0)164x y y +=>221(0)168x y y +=>C. D.221(0)164y x y +=>221(0)168y x y +=>6.设函数，，当时，曲线和2()(1)1f x a x =+-()cos 2g x x ax =+(1,1)x ∈-()y f x =恰有一个交点，则( )()y g x =a =A.-1 B. C.1 D.2127.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC 所成角的正111ABC A B C -5236AB =112A B =1A A 切值为( ).A. B.1 C.2D.3128.设函数，若，则的最小值为( ).()()ln()f x x a x b =++()0f x ≥22a b +A. B. C. D.11814129.对于函数和，下列正确的有( ).()sin 2f x x =π()sin 24g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭A.与有相同零点B.与有相同最大值()f x ()g x ()f x ()g xC.与有相同的最小正周期D.与的图像有相同的对称轴()f x ()g x ()f x ()g x 10.拋物线的准线为l ，P 为C 上的动点，对P 作的一条切线，Q2:4C y x =22:(4)1A x y +-= 有切点，对P 作C 的垂线，垂足为B .则( ).A.l 与相切B.当P ，A ，B 三点共线时，A ||PQ =C.当时，D.满足的点A 有且仅有2个||2PB =PA AB⊥||||PA PB =11.设函数，则( ).32()231f x x ax =-+A.当时，有一个零点1a >()f x B.当时是的极大值点0a <0x =()f x C.存在a ，b 使得为曲线的对称轴x b =()y f x =D.存在a 使得点为曲线的对称中心(1,(1))f ()y f x =12.记为等差数列的前n 项和，若，，则__________.n S {}n a 347a a +=2535a a +=10S =13.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则αβtan tan 4αβ+=tan tan 1αβ=+__________.sin()αβ+=14.在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有44⨯__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.ABC △sin 2A A +=（1）求A ；（2）若，求周长.2a =sin 2C c B =ABC △16.已知函数.3()e x f x ax a =--（1）当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =(1,(1))f （2）若有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.()f x 17.如图，平面四边形ABCD 中，，，，，，点E ，F 满足，8AB =3CD =AD =90APC ∠=︒30BAD ∠=︒25AE AD =，将沿EF 对折至，使得，12AF AB = AEF △PEF △PC =（1）证明：：EF PD ⊥（2）求面PCD 与PBF 所成的二面角的正弦值.18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少被投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立.（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5的概率；0.4p =0.5q =（2）假设，0p q <<（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.已知双曲线，点在C 上，k 为常数，，按照如下公式依22:(0)C x y m m -=>1(5,4)P 01k <<次构造点，过点作斜率为k 的直线与C 的左支点交于点，令为关于(2,3,)n P n = 1n P -1n Q -n P 1n Q -y 轴的对称点，记的坐标为.n P (),n n x y （1）若，求，；12k =2x 2y （2）证明：数列是公比为的等比数列；{}n n x y -11k k +-（3）设为的面积，证明：对任意的正整数n ，.n S 12n n n P P P ++△1n n S S +=2024年普通高等学校招生全国统一考试数学答案答案：C解析.||z =1.答案：B解析：时，，错误，和q 是真命题.1x =-|1|1x +<p ∴P ∴⌝2.答案：A解析：，(2)0b a b -⋅= 220b a b ∴-⋅= 又，，||1a = |2|4a b += 得.1||2b = 3.答案：C解析：中位数错误，标差介于之间，选C.200kg ~300kg ∴4.答案：A解析：设，将坐标代入原方程联立，得M 方程.(,)P x y 221(0)164x y y +=>5.答案：D解析：联立，，代入方程，恰好得到一个极点，()()f x g x =2(1)1cos 2a x x ax ∴+-=+2a =.2a ∴=6.答案：B解析：，.πtan 4α=tan 1α∴=7.答案：C 解析：，，，()()ln()f x x a x b =++()()()f x x a h x =+⋅(1)0g b -=，，10b a -+= 1a b ∴=-.222221(1)2212a b b b b b +=-+=-+=8.答案：BC 解析：A.令，，零点不同；()0f x =()0g x =B.，最大值相同；()f x ()g x C.，，C 正确；π()sin 22f x x Tf ===π()2g x =∴D.，对称轴显然不同，D 错误.()f x ()g x ∴9.答案：ABD解析：依次代入抛物线方程，联立求解，所以C 错，ABD 对.10.答案：D解析：依次带入质检即可后为直角三角形，，，，12AF F△12212c F F =≥=6C =22||8a AF AF =-=4a =.32c e a ==11.答案：95解析：命题意图是考察正确应用等差数列的通项公式和求和公式以及会解相关方程得，3412512573475a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩143a d =-⎧⎨=⎩10110931040135952S a ⨯⨯∴=+=-+=12.解析：考察三角恒等式变形tan tan tan()1tan tan αβαβαβ⋅+===--⋅222sin ()cos ()19cos ()1a αββαβ+++=⇒+=1cos()3αβ∴+=-1sin()3αβ⎛⎫+=--= ⎪⎝⎭13.答案：24；58解析：（1）41432124=⨯⨯⨯=（2）分别列出，13，14，15，16最大，.1314151658+++=14.答案：（1）π6A =（2）2ABC C =+△解析：（1）sin 2A A=2R ===2sin()2A φ+=π2A φ+=.tan φ=π6A =（2）24πsin 6aR ==sin 2sin cos C c B B=⋅，2cos B =π4B ∴=54sin π12c=⋅22ABC C a b c ∴=++=++=+△15.答案：（1）(e 3)2y x =-+（2）2e 8a >解析：（1）(1)e 1f =-当，时1a =1x =(1)e 3f '=-(e 1)(e 3)(1)y x --=--(e 3)3e e 1y x ∴=-+-+-；(e 3)2x =-+（2），2()e 3x f x ax '=-()0f x '=2e 30x ax -=2e 3x ax =，，()e 6x f x ax ''=-2e 3x ax = ()3(2)f x ax x ''=-时，2x =2e 12a =232(2)e 2e 8f a a=-⋅=-代入，得2222e 2e (2)e 8e e 1233k f =-⋅=-=(2)0f < 2e 80a ∴-<28e a >2e 8a >.2e ,8a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭16.答案：（1）EF PD⊥（2）正弦值为0解析：（1）证明：设A 的坐标为，则B 为，(0,0)(8,0)依次求出，，，E (4,0)F (1,EF = 152D ⎛ ⎝P 关于EF 的中点M 对称，34722M ⎛⎛+== ⎝⎝设，，(,)P xy 7(2x t =+⋅1y t =⋅15922C ⎛⎛=-= ⎝⎝PC ∴=将x ，y表达式代PC ==152PD x y ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭0EF PD ⋅= EF PD∴⊥建立坐标系求出各点坐标，再利用向量相乘之积为0证明垂直（2）(8,0)PC = 求出面PCD 与面PBF 的法向量，1a 2a 又1212sin 0||a a a a θ⋅==⋅ 正弦值为0.∴17.答案：（1）0.686（2）（i ）乙（ii ）甲18.答案：（1），23x =20y =（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）设(),n n n P x y 2221n n x x a m∴-=()n n y y k x x -=-.()12n n y y x x -=--22211221n n x x y x a m⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-=1122n y x xn yn -=-++2n nx x y =-代入得，.222()1x yn y a m+-=23x =20y =（2）()2221n n kx y kx x a m +--=22222222221n n n n n n k x kxx kx y k x y k x x a m++-+∴-=111n n x k x k++=-利用等性证明。

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．设全集为R ，集合{}12A x x =-<<，{}1B x x =≥，则()A B =R（）A.{}11x x -<≤ B.{}11x x -<< C.{}12x x ≤<D.{}12x x -<<2．若两个非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 的夹角为（） A.6π B.3π C.2π D.56π 3．已知a =1.50.2，b =log 0.21.5，c =0.21.5，则（ ） A.a >b >c B.b >c >a C.c >a >bD.a >c >b4．甲、乙两人破译一份电报，甲能独立破译的概率为0.3，乙能独立破译的概率为0.4，且两人是否破译成功互不影响，则两人都成功破译的概率为（） A.0.5 B.0.7 C.0.12D.0.885．已知光线每通过一块特制玻璃板，强度要减弱20%，要使通过玻璃板光线强度减弱到原来的14以下，则至少需要重叠玻璃版块数为（参考数据：lg 20.3010≈）（ ） A.4 B.5 C.6D.76．下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（ ）A.xy x=，1y = B.y =y x =C.y x =，ln xy e =D.y =，y =7．函数()2236,2log ,2mx m x f x x x +-≤⎧=⎨>⎩为定义在R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（）A.(,1]-∞B.(0,1]C.(0,)+∞D.[1,)+∞8．集合A ={y |y =x +1，x ∈R }，B ={y |y =2x ，x ∈R }，则A ∩B 等于（ ） A.()0,+∞ B.{}0,1C.{}1,2D.(){0,1，()1,2}9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（） A.若a b >，c d <，则a c b d -<- B.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <C.若0a b >>，则2211a b > D.若0a b c >>>，则c ca b>10．已知函数31,0,()3log 2,0,xx f x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩则((3))f f -的值为（） A.3- B.2- C.0D.111．已知定义在[]1,2a a -上的偶函数()f x ，且当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）A.2(0,)3B.15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12,33⎛⎫⎪⎝⎭D.25(,36]12．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A.34k ≥或4k ≤- B.344k -≤≤ C.15k <-D.344k -≤≤ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知tan α，tan β是方程23410x x +-=的两根，则()()cos sin αβαβ-=+__________14．已知函数0,0()e ,0xx f x x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数m 的取值范围是____________ 15．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，且(1)0f =，则不等式414(log )(log )0f x f x +≥的解集为__________16．已知函数()32x f x a-=-的图像恒过定点A ，则A 的坐标为_____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点()(),20P t t t ≠ （1）求tan 2πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）求cos 3sin θθ-的值18．如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证：AE ⊥平面BCE ； (2)求证：AE ∥平面BFD ； (3)求三棱锥C －BGF 的体积19．已知函数()f x 对任意实数x ，y 满足()()()3f x f y f x y +=++，()36f =，当0x >时，()3f x >()1判断()f x 在R 上的单调性，并证明你的结论()2是否存在实数a 使f ()254a a --<成立？若存在求出实数a ；若不存在，则说明理由20．已知角α的终边落在直线3y x =上，且1cos 7α=-. （1）求tan 2α的值； （2）若()11cos 14αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求β的值.21．已知函数f （x ）＝2x 12x-，g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b （b ∈R ） （1）若f （x ）＞0，求实数x 的取值范围；（2）若存在x 1，x 2∈[1，+∞），使得f （x 1）＝g （x 2），求实数b 的取值范围； 22．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,2A πωϕ>><）的图像如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数|()|y f x =在[,]46ππ-上的最大值和最小值.参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1、B【解析】先求出集合B 的补集，再根据集合的交集运算求得答案. 【详解】因为{}1B x x =≥，所以{|1}RB x x =<，故(){|11}AB x x =-<<R，故选:B. 2、C【解析】根据数量积的运算律得到40a b ⋅=，即可得解； 【详解】解：因为||||a b a b +=-， 所以()()22a ba b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即40a b ⋅=，所以a b ⊥，即a 与b 的夹角为2π； 故选：C【解析】由对数和指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为0.20 1.50.20.2log 1.5log 10,1.5 1.51,00.20.2<=>=<<，所以a c b >>故选：D 4、C【解析】根据相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.【详解】由题意，甲、乙分别能独立破译的概率为0.3和0.4，且两人是否破译成功互不影响， 则这份电报两人都成功破译的概率为0.30.40.12P =⨯=. C. 5、D【解析】设至少需要经过这样的n 块玻璃板,则()1120%4n-<,即81104n⎛⎫< ⎪⎝⎭,两边同时取以10为底的对数,可得81lglg 104n <,进而求解即可,需注意n *∈N 【详解】设至少需要经过这样的n 块玻璃板,则()1120%4n-<,即81104n⎛⎫< ⎪⎝⎭, 所以81lglg 104n <,即1lg2lg 24 6.2183lg 21lg 10n ->=≈-, 因为n *∈N , 所以7n =, 故选:D【点睛】本题考查利用对数的运算性质求解,考查指数函数的实际应用 6、C【解析】根据函数的定义域，即可判断选项A 的两个函数不是同一个函数，根据函数解析式不同，即可判断选项B ，D 的两函数都不是同一个函数，从而为同一个函数的只能选C【详解】A.xy x=的定义域为{x|x≠0}，y=1的定义域为R ，定义域不同，不是同一个函数；B. y =y=|x|的解析式不同，不是同一函数；C ．y=x 的定义域为R ，y=lne x =x 的定义域为R ，定义域和解析式都相同，是同一个函数；D. y =y =解析式不同，不是同一个函数【点睛】本题考查同一函数的定义，判断两函数是否为同一个函数的方法：看定义域和解析式是否都相同 7、B【解析】由2log y x =在(2,)+∞单调递增可得函数()f x 为增函数，保证两个函数分别单调递增，且连接点处左端小于等于右端的函数值即可【详解】由题意，函数()f x 为定义在R 上的单调函数 且2log y x =在(2,)+∞单调递增故236y mx m =+-在(,2)-∞单调递增，即20m > 且在2x =处，22236log 21m m ⨯+-≤=综上：2022361m m m >⎧⎨⨯+-≤⎩解得01m <≤ 故选：B 8、A【解析】由{|1,}A y y x x R ==+∈得A R =，{|2,}xB y y x R ==∈得()0,B =+∞，则A B ⋂=()0,+∞，故选A.9、B【解析】利用不等式的性质逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，若a b >，c d <，则c d ->-，故a c b d ->-，A 错； 对于B 选项，若0a b >>，0c d <<，则0c d ->->，所以，ac bd ->-， 故ac bd <，B 对；对于C 选项，若0a b >>，则220a b >>，则2211a b<，C 错； 对于D 选项，若0a b c >>>，则110b a >>，所以，c ca b<，D 错.故选：B. 10、D【解析】根据分段函数解析式及指数对数的运算法则计算可得；【详解】解：因为()31,0,3log 2,0,xx f x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，所以()313273f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以()()()3327log 272321f f f -==-=-=，11、D【解析】由偶函数的性质求得a ，利用偶函数的性质化不等式中自变量到2[0,]3上，然后由单调性转化求解 【详解】解：由题意120a a -+=，13a =，()f x 的定义域22[,]33-，2[0,]3x ∈时，()f x 递减，又()f x 是偶函数，因此不等式()()123f x f x a ->-转化为()()121fx f x ->-，21213x x -<-≤，224(1)(21)9x x -<-≤，解得2536x <≤ 故选：D 12、A【解析】()()110m x y -+-=，所以直线l 过定点()1,1P ，所以34PB k =，4PA k =-， 直线在PB 到PA 之间， 所以34k ≥或4k ≤-，故选A二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、12-##0.5- 【解析】将所求式利用两角和的正弦与两角差的余弦公式展开，然后根据商数关系弦化切，最后结合韦达定理即可求解.【详解】解：因为tan α，tan β是方程23410x x +-=的两根，所以4tan tan 31tan tan 3αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以()()11cos cos cos sin sin 1tan tan 134sin sin cos cos sin tan tan 23αβαβαβαβαβαβαβαβ--++====-+++-， 故答案为：12-.14、(](),01,-∞⋃+∞【解析】令()0()g x f x x m =⇒=-+，进而作出(),y f x y x m ==-+的图象，然后通过数形结合求得答案. 【详解】令()0()g x f x x m =⇒=-+，现作出(),y f x y x m ==-+的图象，如图：于是，当()(,0]1,m ∈-∞⋃+∞时，图象有交点，即函数()()g x f x x m =+-有零点. 故答案为：()(,0]1,-∞⋃+∞. 15、1[,4]4【解析】因为0.254log log x x =-，而()f x 为偶函数，故()()()40.254log log 2log f x f x f x +=，故原不等式等价于()4log 0f x ≥，也就是()()4log 1f x f ≥，所以41log 1x -≤≤即144x ≤≤，填1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦点睛：对于偶函数()f x ，有()()()f x f x f x =-=．解题时注意利用这个性质把未知区间的性质问题转化为已知区间上的性质问题去处理 16、()3,1-【解析】由()xf x a =过定点（0,1），借助于图像平移即可.【详解】()xf x a =过定点（0,1），而()32x f x a-=-可以看成()x f x a =的图像右移3个单位，再下移2个点位得到的，所以函数()32x f x a-=-的图像恒过定点()3,1-即A ()3,1- 故答案为：()3,1-【点睛】指数函数图像恒过（0,1），对数函数图像恒过（1,0）.三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（1）12（2）当0t >时，cos 3sin θθ-=0t <时，cos 3sin θθ-=【解析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式、同角三角函数基本关系化简求解； （2）分0,0t t ><，分别由定义求出三角函数值求解即可. 【小问1详解】由角θ的终边过点()(),20P t t t ≠，得2tan 2ttθ==， 所以sin cos 112tan 2sin tan 2cos2πθπθθπθθθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-==== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭【小问2详解】 当0t >时，sin θ==，cos θ==所以cos 3sin 55θθ-=-= 当0t <时，sin 5θ==-cos 5θ==-所以cos 3sin θθ⎛⎛-=-= ⎝⎭⎝⎭综上，当0t >时，cos 3sin θθ-= 当0t <时，cos 3sin θθ-=18、（1）见详解；（2）见详解；（3）13【解析】(1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC. 又∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ，又BC∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE.(2)证明 由题意可得G 是AC 的中点，连结FG ， ∵BF ⊥平面ACE ，∴CE ⊥BF. 而BC ＝BE ，∴F 是EC 的中点，在△AEC 中，FG ∥AE ，∴AE ∥平面BFD. (3)∵AE ∥FG . 而AE ⊥平面BCE ， ∴FG ⊥平面BCF.∵G 是AC 中点，F 是CE 中点， ∴FG ∥AE 且FG ＝12AE ＝1. ∴Rt △BCE 中，BF ＝CE ＝CF ＝2， ∴S △CFB ＝12×2×2＝1. ∴V C －BGF ＝V G －BCF ＝·S △CFB ·FG ＝111133⨯⨯=. 19、（1）()f x 在R 上单调递增，证明见解析；（2）存在，23a -<<. 【解析】（1）令，则，根据已知中函数对任意实数满足，当时，易证得，由增函数的定义，即可得到在上单调递增；（2）由已知中函数对任意实数满足，，利用“凑”的思想，我们可得，结合（1）中函数在上单调递增，我们可将转化为一个关于的一元二次不等式，解不等式即可得到实数的取值范围试题解析：（1）设1221,0x x R x x ∈->、，∴()213f x x ->，又()2121x x x x =+-， ∴()()()()211211f x f x f x x x f x ⎡⎤-=+--⎣⎦()()()()121121330f x f x x f x f x x =+---=-->即()()21f x f x >，∴()f x 在上单调递增（2）令1x y ==，则()()2123f f =+，∴()()()()()()3213213133166f f f f f f =+-=-+-=-=∴()14f =，∴()254f a a --<，即()()251f a a f --<， 又()f x 在上单调递增，∴251a a --<，即260a a --<，解得23a -<<，故存在这样的实数，即23a -<<考点：1.抽象函数及其应用；2.函数单调性的判断与证明；3.解不等式.【方法点睛】本题主要考查的是抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,属于中档题，此类题目解题的核心思想就是对抽象函数进行变形处理，然后利用定义变形求出的大小关系，进而得到函数的单调性，对于解不等式，需要经常用到的利用“凑”的思想，对已知的函数值进行转化，求出常数所对的函数值，从而利用前面证明的函数的单调性进行转化为关于的一元二次不等式，因此正确对抽象函数关系的变形以及利用“凑”的思想，对已知的函数值进行转化是解决此类问题的关键.20、（1）8347- （2）3π 【解析】（1）易角α是第三象限的角，从而确定sin α的符号，再由同角三角函数的关系式求得sin ,tan αα，然后利用二倍角公式得解；（2）可得,()2αβππ+∈，再求得sin()αβ+的值，根据()βαβα=+-，由两角差的余弦公式，展开运算即可【小问1详解】解：（1）由题意知，角α是第三象限的角，1cos7α=-，，sin tan 43cos ααα∴== ∴22tan 83tan 21tan 47ααα==--. 【小问2详解】（2）由（1）知，3(,)2παπ∈， (0,)2πβ∈，(,2)αβππ∴+∈， 11cos()014αβ+=>，，1111cos cos[()]cos()cos sin()sin ()((1472βαβααβααβα∴=+-=+++=⨯-+⨯=， 3πβ∴= 21、 (1) （0，+∞） (2) [52-，+∞） 【解析】（1）解指数不等式2x ＞2﹣x 可得x ＞﹣x ，运算即可得解；（2）由二次函数求最值可得函数g （x ）的值域为(],4B b =-∞+，函数f （x ）的值域为A ＝[32，+∞），由题意可得A ∩B ≠φ，列不等式b +432≥运算即可得解. 【详解】解：（1）因为f （x ）＞0⇔2x 12x -＞0，∴2x ＞2﹣x ，∴x ＞﹣x ，即x ＞0 ∴实数x 的取值范围为（0，+∞）（2）设函数f （x ），g （x ）在区间[1，+∞）的值域分别为A ，B∵f （x ）＝2x 12x -在[1，+∞）上单调递增， 又13(1)222f =-=∴A ＝[32，+∞） ∵g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b ＝﹣（lnx ﹣2）2+b +4∵x ∈[1，+∞），∴lnx ∈[0，+∞），∴g （x ）≤b +4，即(],4B b =-∞+依题意可得A ∩B ≠φ，∴b +432≥，即b 52≥- ∴实数b 的取值范围为[52-，+∞） 【点睛】本题考查了指数不等式的解法，主要考查了二次函数最值的求法，重点考查了集合的运算，属中档题. 22、 (Ⅰ)()sin(2)3f x x π=+；(Ⅱ)最大值为1，最小值为0. 【解析】(Ⅰ) 由图象可得1,A T π==，从而得可得2ω= ，再根据函数图象过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可求得3πϕ=，故可得函数的解析式．(Ⅱ)根据x 的范围得到23x π+的范围，得到sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围后可得()f x 的范围，由此可得函数的最值试题解析：（Ⅰ）由图像可知1A =，27441234T ππππω==-=， ∴T π=，∴2ω=.∴()()sin 2f x x ϕ=+ 又点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭在函数的图象上， ∴7322122k ππϕππ⨯+=+，k Z ∈， ∴23k πϕπ=+，k Z ∈， 又2πϕ<， ∴3πϕ=∴()f x 的解析式是()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ （Ⅱ）∵46x ππ-≤≤, ∴22633x πππ-≤+≤ ∴1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴()1sin 2,132f x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当23212x x πππ+==，即时，函数()y f x =取得最大值为1； 当2036x x ππ+==-，即时，函数()y f x =取得最小值为0点睛：根据图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)的方法(1)根据函数图象的最高点或最低点可求得A ；(2)ω由周期T 确定，即先由图象得到函数的周期，再求出T(3)φ的求法通常有以下两种：①代入法：把图象上的一个已知点代入解析式(此时，A ，ω，B 已知)求解即可，此时要注意交点在上升区间还是下降区间②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的零点(,0)ϕω-作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝2π；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝32π；“第五点”为ωx ＋φ＝2π。