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二次函数专题课堂讲义

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二次函数复习专题讲义

二次函数复习专题讲义

二次函数【知识清单】 ※一、网络框架※二、清单梳理1、一般的，形如2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。

例如222212,26,4,5963y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。

注意：系数a不能为零，,b c 可以为零。

2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ⎧=≠⎧⎪⎪⎪><⎨⎪><>⎧⎪⎨⎪<<>⎩⎩最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。

在对称轴右边（即）,随的增大而增大。

增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。

在对称轴右边（即）,随的增大而减小。

二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≠⎧><⎪⎪-⎪⎨⎪⎪=⎪⎩--><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。

开口方向：，开口向上；，开口向下。

图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪<>⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪<<>⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边（即-）,随的增大而减小。

在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。

当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。

《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)

《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)

抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500

二次函数 公开课一等奖课件

二次函数 公开课一等奖课件

解 ： 方 程 x 2 2 x = k 在 [ - 1 , 1 ] 有 解 ,
即 y x 2 2 x (x 1 )2 1 , x [ 1 ,1 ] 与直线y =k有交点,
fm in(x)≤ k≤ fm a x(x),
y
由图象 ,得 f(1)≤ k≤f(1).
1≤ k≤ 3.
Y=k
x -1 1
(k )
k 0
f (k) 0
根的分布
k1x1x2k2
图象 y
k1 o k2 x
充要条件
0
k
1
b 2a
k2
f (k1) 0
f ( k 2 ) 0
m npq
y f (m ) 0
m x1 n
p x2 q
np mo
q
x
f (n ) 0 f(p) 0 f (q ) 0
主页
根的分布
两个实根有 且仅有一根 在区间[ k 1 , k 2 ] 内
图象
y
充要条件
k1
o x1
k2
x2 x
f(k1)f(k2)0
y
f (k1) 0
x1
o k1
k2
x2 x
k1
b 2a
k1
2
k2
y
x1
o k1
k2
x2 x
主页
f (k2) 0
k1
k2 2
b 2a
k2
【1】假设方程x2 -2x =k在区间[ -1,1]上有解, 那么实数k的取值范围为-_1_≤__k_≤__3______.
方,
f (2) 0, f (2) 0,
即22xx2 2 22xx130,0,

二次函数的课件ppt课件ppt课件ppt

二次函数的课件ppt课件ppt课件ppt

05
二次函数的应用场景
Chapter
生活中的二次函数应用
01
02
03
抛物线形状的物体
桥梁、隧道等，可以利用 二次函数找到最合适的弧 度，减少材料的使用和阻 力。
车辆的刹车距离
可以通过二次函数计算车 辆的刹车距离，从而更好 地掌握车辆的安全行驶速 度。
最佳投资组合
在投资中，可以利用二次 函数找到最佳的投资组合 ，从而获得最大的收益。
伸缩变换
横向伸缩
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在横向上进行伸缩变换，得到新的二次函数 $y = a(kx)^{2} + b(kx) + c$，其中$k > 1$表示横向伸长，$0 < k < 1$表示 横向缩短。
纵向伸缩
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在纵向上进行伸缩变换，得到新的二次函数$y = a(kx)^{2} + b(kx) + c \cdot k^{2}$，其中$k > 1$表示纵向伸长，$0 < k < 1$表示纵向缩短。
建议学习者按照课程安排，逐步学习，注重理解概念和 性质，多做练习题，加强实际操作能力。
学习过程中可结合多种学习方法，如小组讨论、在线互 动、做笔记等，以提高学习效率。
02
二次函数的基本概念
Chapter
什么是二次函数
二次函数是指形如`y = ax^2 + bx + c`（其中a、b、c是常数 ，且a≠0）的函数。
下一步学习计划建议
01
建议1：加强练习题量与难度
02
通过大量练习和挑战难度更高的题目，提高解题能力和思维水平。

二次函数阶段专题复习课件ppt

二次函数阶段专题复习课件ppt

详细描述
根据二次函数的单调 性，判断函数在某个 区间的单调性；
根据二次函数的奇偶 性，判断函数的奇偶 性并求出函数的对称 轴；
根据二次函数的周期 性，求函数的周期并 观察图像的变化规律 。
综合练习题及答案
详细描述
根据二次函数与实际问题的综合 应用，解决实际问题并求出最优 解；
总结词：二次函数与其他知识点 的综合应用
求二次函数的最大值或最小值的方法是：先确定函数的对称 轴，再根据a的符号确定最大值或最小值的坐标，最后代入函 数解析式计算最大值或最小值。
02
知识点详解
二次函数的表达式及求解
表达式
$y = ax^{2} + bx + c$
求法
通过已知的三个点或顶点及对称轴可求得 $a$、$b$、$c$的值，进而得到二次函数 的表达式
2023
二次函数阶段专题复习课 件ppt
目 录
• 知识点概述 • 知识点详解 • 经典例题解析 • 易错点及应对策略 • 练习题及答案
01
知识点概述
什么是二次函数
1
二次函数是指形如`y = ax^2 + bx + c`（其中a 、b、c为常数，且a≠0）的函数。
2
二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为(b/2a,c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a。
二次函数与实际问题的结合
要点一
总结词
要点二
详细描述
了解二次函数与实际问题的联系，能 够建立数学模型并解决实际问题。
二次函数与实际问题结合广泛，如最 优化问题、经济问题、物理问题等。 通过对实际问题的分析，可以更好地 理解二次函数的应用价值。
要点三
示例题目

二次函数复习专题讲义

二次函数复习专题讲义

二次函数【知识清单】※一、清单梳理1、一般的，形如2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。

例如222212,26,4,5963y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。

注意：系数a 不能为零，,b c 可以为零。

2、二次函数的三种解析式（表达式）①一般式：2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数②顶点式：2()(,,0)y a x h k a h k a =-+≠为常数，且，顶点坐标为(,)h k ③交点式：1212()()(0,,)y a x x x x a x x x =--≠其中是抛物线与轴的交点的横坐标3、二次函数的图像位置与系数,,a b c 之间的关系①a ：决定抛物线的开口方向及开口的大小。

当0a >时，开口方向向上；当0a <时，开口方向向下。

||a 决定开口大小，当||a 越大，则抛物线的开口越小；当||a 越小，则抛物线的开口越大。

反之，也成立。

②c ：决定抛物线与y 轴交点的位置。

当0c >时，抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴（即x 轴上方）；当0c <时，抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴（即x 轴下方）；当0c =时，抛物线过原点。

反之，也成立。

③ a b 和：共同决定抛物线对称轴的位置。

当02b a->时，对称轴在y 轴右边；当02b a -<时，对称轴在y 轴左边；当02b a-=（即当0b =时）对称轴为y 轴。

反之，也成立。

④特别：当1x =时，有y a b c =++；当1x =-时，有y a b c =-+。

反之也成立。

4、二次函数2()y a x h k =-+的图像可由抛物线2y ax =向上（向下），向左（向右）平移而得到。

具体为：当0h >时，抛物线2y ax =向右平移h 个单位；当0h <时，抛物线2y ax =向左平移h -个单位，得到2()y a x h =-；当0k >时，抛物线2()y a x h =-再向上平移k 个单位，当0k <时，抛物线2()y a x h =-再向下平移k -个单位，而得到2()y a x h k =-+的图像。

二次函数ppt课件

y=(100+x)(600-5x) =-5x²+100x+60000.
根据函数的
定义判断.
(4)关系式y==-5x²+100x+60000中，y是x的函数吗？
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
二、自主合作，探究新知
问题2：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是
说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银
一元二次方程 ＋＋＝（ ≠ ）有什么联系和区别？
二、自主合作，探究新知
知识要点
二次函数的一般式 = ＋＋（ ≠ ）与一元二次方程
＋＋＝（ ≠ ）的联系和区别：
联系：(1)等式一边都是＋＋且 ≠ ；
(2)方程＋＋ = 可以看成是函数 = ＋＋中 = 时得到的.
又∵x+1<2x≤12，
∴1<x≤6，
即y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)，
∴y是x的二次函数.
三、即学即练，应用知识
1．下列函数中，是的二次函数的是 (
A．y＝2x＋1
C． ＝3x＋1
B
)
B． = +
D． =

+


2.函数 = ( − ) + + 是二次函数的条件是(
子的个数、橙子的质量等；
自变量：橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；
因变量：橙子的个数、橙子的质量等．
二、自主合作，探究新知
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树
结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.

《二次函数》参考PPT课件


y=kx(k≠0),
反比x2+bx+c(a≠0).
可以发现,这些函数的名称都反映了函数 表达式与自变量的关系.
布置作业
• 预习下一章节
x
即： y =-2x2+40x (0<x<20) m
y m2
x m
当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m
y =-2x2+40x＝-2×122+40×12
＝192（m2）
在实践中感悟
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函 数，求m、n的值。
这种产品的原产量是20 t, 一年后的产量是 20(1+x) t,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 t,即两年
后的产量为 y 201 x2
即 y 20 x2 40x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产 的倍数x之间的关系,对于x的每一个值 , y都有一个对应值,即y是x的函数.
观察
场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛
是同一场比赛，所以比赛的场次数
m 1 n(n 1) 2
即
m1n21n 22
②
②式表示比赛的场次
数m与球队数n的关系,对
于n的每一个值,m都有一
个对应值,即m是n的函数
.
问题：
问题2 某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量
.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.

二次函数复习专题讲义

二次函數【知識清單】 ※一、網路框架※二、清單梳理1、一般の，形如2(0,,,)y a x b x c a a b c =++≠是常数の函數叫二次函數。

例如222212,26,4,5963y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函數。

注意：係數a不能為零，,b c 可以為零。

2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ⎧=≠⎧⎪⎪⎪><⎨⎪><>⎧⎪⎨⎪<<>⎩⎩最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。

在对称轴右边（即）,随的增大而增大。

增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。

在对称轴右边（即）,随的增大而减小。

二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≠⎧><⎪⎪-⎪⎨⎪⎪=⎪⎩--><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。

开口方向：，开口向上；，开口向下。

图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪<>⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪<<>⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边（即-）,随的增大而减小。

在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。

当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。

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二次函数知识点汇总
1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.
2.二次函数2axy的性质
(1)抛物线2axy）（0a的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数2axy的图像与a的
符号关系.
①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶
点为其最高点
3.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用
(1)a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2,

故：
①0b时，对称轴为y轴；②0ab(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；

③0ab(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.
当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0，c)：
①0c，抛物线经过原点; ②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.

4.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
2
axy

当0a时
开口向上
当0a时
开口向下

0x
(y轴)

(0,0)

kaxy
2
0x

(y轴)

(0, k)


2

hxay
hx (h

,0)


khxay
2

hx (h,k
)

cbxaxy
2
abx2


(abacab4422，)

(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.
5.直线与抛物线的交点
(1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(c,0)
(2)与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点
(h,cbhah2).
(3)抛物线与x轴的交点
二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二

次方程
02cbxax
的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根

的判别式判定：
①有两个交点0抛物线与x轴相交；
②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；
③没有交点0抛物线与x轴相离.
(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相

等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.
(5)一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交
点，由方程组




cbxaxy
nkxy

2
的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;
②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为

0021，，，xBxA，由于1x
、2x是方程02cbxax的两个根，故

acxxa
b
xx2121,


aaacbaca

bxxxxxxxxAB44

4
2

2

2122122121

7.抛物线平移后的函数式怎么变化？
二次函数相关的考题

1. （2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线2yaxbxc的图像，A、B、C 为抛物线
与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是
A．a＋b=－1 B． a－b=－1 C． b<2a D． ac<0

2. （2011山东威海，7，3分）二次函数223yxx的图象如图所示．当y＜0时，自
变量x的取值范围是（ ）．
A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C． x＞3 D．x＜－1或x＞3
3. （2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，
则下列关系正确的是（ ）
A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h
C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h

4. （2011浙江温州，9，4分）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所
给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值

5．（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位
置如图所示，则下列结论中正确的是( )

A． a>0 B． b＜0 C． c＜0 D． a＋b＋c>0
6. （2011台湾台北，6）若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为何？
7．（2011四川广安，10，3分）若二次函数2()1yxm．当x≤l时，y随x的增大
而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m=l B．m>l C．m≥l D．m≤l
8. （2011上海，4，4分）抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是（ ）．
(A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） ．
9. （2011四川乐山5，3分）将抛物线2yx向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析
式是
A．2(2)yx B．22yx C．2(2)yx D．22yx
10. （2011浙江省嘉兴，15，5分）如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过点（-1，
0），（1，-2），该图象与x轴的另一个交点为A、C，则AC长为 ．

二、应用题。
11. （2011广东省，15，6分）已知抛物线212yxxc与x轴有交点．
(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．

x
y
（第15题）
O
1
1

（1,-2）

cbxxy
2
-1
A
B
C
12. （2011广东中山，15,6分）已知抛物线212yxxc与x轴有两个不同的交点．
(1)求c的取值范围；
(2)抛物线212yxxc与x轴两交点的距离为2，求c的值．

13. （2011江苏盐城，23，10分）已知二次函数y = - 12 x2 - x + 32 .
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．

x
y

O