数学:三角形中的常用辅助线
典型例题
人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添？把握定理与概念。还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。
全等三角形辅助线
找全等三角形的方法:
(1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中;
(2)可以从已知条件出发,瞧已知条件可以确定哪两个三角形全等;
(3)可从条件与结论综合考虑,瞧它们能确定哪两个三角形全等;
(4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法:
①延长中线构造全等三角形;
②利用翻折,构造全等三角形;
③引平行线构造全等三角形;
④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种:
(1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式就是全等变换中的“对折”。
例1:如图,ΔABC就是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证:BD=2CE。
思路分析:
1)题意分析:本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用
2)解题思路:要求证BD=2CE,可用加倍法,延长短边,又因为有BD平分∠ABC 的条件,可以与等腰三角形的三线合一定理结合起来。
解答过程:
证明:延长BA,CE交于点F,在ΔBEF与ΔBEC中,
∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90°,
∴ΔBEF≌ΔBEC,∴EF=EC,从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,故∠1=∠3。
在ΔABD与ΔACF中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,
∴ΔABD≌ΔAC F,∴BD=CF,∴BD=2CE。
解题后的思考:等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力,而且还加强了相关知识点与不同知识领域的联系,为同学们开拓了一个广阔的探索空间;并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想,它就是解决问题的关键。
(2)若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式就是全等变换中的“旋转”。
例2:如图,已知ΔABC中,AD就是∠BAC的平分线,AD又就是BC边上的中线。求证:ΔABC就是等腰三角形。
思路分析:
1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识。
2)解题思路:在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件,一般这些条件都就是解题的突破口,本题给出了AD又就是BC边上的中线这一条件,而且要求证AB=AC,可倍长AD得全等三角形,从而问题得证。
解答过程:
证明:延长AD到E,使DE=AD,连接BE。
又因为AD就是BC边上的中线,∴BD=DC
又∠BDE=∠CDA
ΔBED≌ΔCAD,
故EB=AC,∠E=∠2,
∵AD就是∠BAC的平分线
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠E,
∴AB=EB,从而AB=AC,即ΔABC就是等腰三角形。
解题后的思考:题目中如果出现了三角形的中线,常加倍延长此线段,再将端点连结,便可得到全等三角形。
(3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式就是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常就是角平分线的性质定理或逆定理。
例3:已知,如图,AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD。求证:∠B+∠ADC=180°。
思路分析:
1)题意分析:本题考查角平分线定理的应用。
2)解题思路:因为AC就是∠BAD的平分线,所以可过点C作∠BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题。
解答过程:
证明:作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F。
∵AC平分∠BAD,
∴CE=CF。
在Rt△CBE与Rt△CDF中,
∵CE=CF,CB=CD,
∴Rt△CBE≌Rt△CDF,
∴∠B=∠CDF,
∵∠CDF+∠ADC=180°,
∴∠B+∠ADC=180°。
解题后的思考:
①关于角平行线的问题,常用两种辅助线;
②见中点即联想到中位线。
(4)过图形上某一点作特定的平行线,构造全等三角形,利用的思维模式就是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
例4:如图,ΔABC中,AB=AC,E就是AB上一点,F就是AC延长线上一点,连EF 交BC于D,若EB=CF。
求证:DE=DF。
思路分析:
1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识:作平行线。
2)解题思路:因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等,又知EB=CF,所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换:过E作EG//CF,构造中心对称型全等三角形,再利用等腰三角形的性质,使问题得以解决。
解答过程:
证明:过E作EG//AC交BC于G,
则∠EGB=∠ACB,
又AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠EGB,∴∠EGD=∠DCF,
∴EB=EG=CF,
∵∠EDB=∠CDF,∴ΔDGE≌ΔDCF,
∴DE=DF。
解题后的思考:此题的辅助线还可以有以下几种作法:
例5:△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC 交AC于Q,求证:AB+BP=BQ+AQ。
