高中数学-第三章 指数函数和对数函数 3.4.2 换底公式课件 北师大必修1

第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。

数学必修14・2换底公式自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升入门答疑l.lg 100=? lg 10000=? log10010 000= ?这三个对数值有什么关系呢？请用lg 100和lg 10000表示lo gloo10 000.［提示］lg 100=2.1g 10 000=4, log10010 000=2,年10 000 故logioolO 000= lg 100 •10别 log*N=lo“ •这三个对数值又有什么关系呢？请用log 2Jw log 28表示10g!8.3.你能根据上面的两个关系得出一般结论吗?必修1自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升=—2, 10*28=3, logl8 — —2>标导航1. 了解换底公式.（易混点）2. 能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题.傩点）必修1logjylo%N= lo&0 , (a, b 〉0, a, bWl, N>0)1特别 log/4=吨0 ・(a>0, a^l, b>09 bHl)必修1走进教材对数换底公式［强化拓展］(1)对数换底公式的证明设x=M，化为指数式为a x=b,两边取以C为底的对数，得即xlogM=lo 訥lo励10&方所以工=10删，即1。

”=10凱⑵对数换底公式的选用①在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算.②在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值.③在实际问题中，把底数换成10或e,可利用计算器或对数表得到结果. ⑶关于换底公式的另外两个结论©10^10^ = 1;@log^4og^4og^=l.［自主练习］10叩1•破的值为（） 1 A.2 3 C.2解析:原式=log 39 = 2.必修1B. 2 9 D. 2答案：B必修12.己知lg2=a,申3=几则log36=()A. aB. b仇bD. Q+0lg6 lg2+lg3解析：log36=j^3= i g3=〒• 答案：B3. ______________________________________________ 若W -log b c log c 3=2,贝!的值为 ____________________________ ,lg Mg c lg 3 lg3解析：由已知可得lgtflg bUgc=2,即lg 仇=2, Alg3=21ga, .9.a 2=3f a=Rlo 爲 c lo&3「或由已知得loga^lo^iog/=2f 即 lo 爲3=2, •:a=\3 答案：巾必修1m4.用换底公式证明log ；矿=「log>〉0, b>0,少1, b^l).lg b" itilgb m 证明：lo 跖护=lg = nig a =/TlogA必修1必修11合作探究•课堂自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升例哄计算：（1）10陆2710帥32；⑵(10肪2+log 92)(log 43+log 83) •［思路探究］ 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底便于计算 求值.题型一利用换底公式化简求值lg27 lg32[边听边记](l)log16271og8132=ig 16Xi g 81lg33 lg25 31g3 51g2 15 =lg24Xl g34=41g2X41g3=i6.(2)(log32+log92)(log43+log83)' log32Ylog23 lo^3] =(10宙2+log39Alog24+log28J' 1 丫1 1 ]=“嘛+加酥近10迦3+310迦3丿3 5 5 lg2 lg3 5=21og32 X 61o&3=4 X lg 3 X lg 2=4・［规律方法］⑴换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一 般来讲，对数的底越小越便于化简，如“"为底的换为a 为底.必修1(2)换底公式的派生公式: 10^=10^-10^；1.⑴式子log 916-log 881的值为() 1 A. 18B-183D. 8(2)(log 43+log 83)(log 32+log 98)^f () 5 25 A.6 B. 12 D.以上都不对必修1I0变式训练〕自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升9 C.4必修1解析:⑴原式=10g322448=21og32-31og23=3.flog33 lo^3] ( 10務8](2)原式=〔10宙4+log38 川0宙2+log39)___________ O (310讷 =也0專+310制*0專+ 2 )5 5 25=610^2 X 21o 宙2=12 •答案：⑴C (2)B例酬＜ 已知10胡=训—5,用“，D 表示10歸5・ ［思路探究］运用换底公式，统一化为以18为底的对数.必修1用已知对数表示其他对数所以 Iog3645=log 2xi8（5 X 9）=lopx 1818""=（a+亦 log2X 18】8・]又因为 log 2xi 818=iog 18（18X2）1 _________ 1=l+logi 82= 181+10018 9 ] 1 =l+l-log 189=2Za^必修1 自主学习•新知 突破［规范解答］法一：因为log 189=«,所以9=1 X5=18\合作探究•课堂互动 高效测评•知能提升a+D 所以原式=百・必修1法二：V 18^=5, Alog185=^, logis^ 10gi8(5X9)A log3645=log1836=log18(4 X 9)10宙85+10生89=21ogi82+logi89=1821ogi8 9 +log189a^b a+b=2 - 21og189+log189=2 -a-［规律方法］用己知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点:⑴增强目标意识，合理地把所求向己知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用.必修10变式训练〕2.⑴己知 log 62=p, log 65=^,则电 5= __________ •佣p, g 表示）⑵①己知 lo£i47=®14“=5,用 a, b 表加 Iog3s28.2 1②设3A =4}=36,求工+y 的值.必修1呃5 q q 解析：(l)lg 5=l og666(2)① T log"=為 14”=5 f .\^=log 145.理 logi428 呃4 7 log 3528—log 1435=log 14(5 X 7)10酗142_10宙47 2-a ~ logQ+logG —a+b ・必修1数学 第三章 指数函数和对数函数Ax=log336, j=log 436,1 __________ 1_ X =log 336=log3636=100363,log 363 1 __________ 1_y ~ log 436=log 3636=>10馭4 2 1• •工 +y=210^363+=log 36(9X4)=l.答案：(l»+g必修173X=36,4}=36,自主学习•新知合作探究•课堂高效测评•知能突破■■ ■互动■ ■提升自主学习新知突破合作探究•课堂互动高效测评知能提升例❸M 光线每通过-块玻璃板,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为通过兀块玻璃板以后的强度值为y ・(1)试写出y 关于x 的函数关系式;(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的羽下？(根据需要取用数据 lg 3=0.4771, lg 2=0.3010)题型三对数的实际应用必修1［思路探究］解答本题可先求强度值y与玻璃板兀之间的函数关系，再解决聲第三章 指数函数和对数函数其中5 xGN ；(9] 1 M 1(2)依题意得占廿也X 2410/<20.3010力(21g 3-l)^-lg 2=>x^i-2X0.4771^6.572,• •工 min —7.必修1自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升1}［规范解答］⑴依题意得j=41-io/1 答:通过7块以上(包括7块)的玻璃板后,光线强度减弱到原来强度的3以下.数学第三章指数函数和对数函数自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升［规律方法］解对数应用题的一般步骤:必修1必修1的变式训练）3.测量地震级别的里氏级是地震强度（地震释放的能量）的常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高，如日本1923年地震是8・9级，旧金山1906年地震是8.3级，1989年地震是7.1级，试计算一下日本1923年地震强度是8.3级的几倍，是7・1级的几倍.（lg 2=0.3）解析:由题意可设lgx=8.9, lgj=8.3, lgz=7.1, 则 lgx —lgj=8.9—8.3=0.6=21g2=lg4, 从而 lgx=lg4+lgj=lg(4y).Ax=4y.lgx-lgz=8.9—7.1=1.8=61g2=lg 26=lg 64, 从而 1 加=lgz+lg 64=lg(64z). Ax=64z.故8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍，是7.1级地震强度的64倍.数学 必修1自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评•知能提升从而有 xy=(x-2y)\ 整理,得 x 2-5xj+4y 2=0, 即(X -J )(X -4J )=0. 所以x=y,或得j=l 或4, 所以lo 曲2丿=0或4.选D ・对数性质求解 ＜未检验•必修1丨［错解】自主学习•新知 I 突破,可得W)=lg(x-2j)2,合作探究•课堂互动高效测评•知能提升【错因】 忽略了对数的真数必须大于0的限制,直接运用【正解】由已知，可得W)=lg(x-2j)2,从而有xy=(x-2y)\整理, ^x2—5xj+4y2=0,即(x-j)(x-4j)=0. 所以x=j,或x=4j.由工>0, j>0, x—2j>0,可得x>2j>0,所以工=y(舍去)，故x=4y,即严.X所以lo扁=0站=0贰2 (何=4・答案：C必修1自主学习•新知合作探究•课堂高效测评•知能突破■ ■互动■ ■提升■高效测评•知能点击进入WORD链接必修1。