北师大版九年级数学《探索三角形相似的条件》典型例题(含答案)

探索三角形相似的条件（一）同步练习班级：_______ 姓名：_______一、请说一说什么是相似三角形答：_______________________________________________________.通过探索和学习，你知道怎样判定两个三角形相似？那么请把你的判定方法写在下面吧.（1）___________________________________________________________________.（2）______________________________________________________________________.（3）_____________________________________________________________________.二、请你填一填（1）如图4—6—1，在△ABC中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm,△ADE与△ABC是否相似________，若相似，相似比是________.图4—6—1 图4—6—2（2）如图4—6—2，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是_____________（只需填上你认为正确的一种情况即可）.（3）如图4—6—3，测量小玻璃管口径的量具ABC中，AB的长是10毫米，AC被分成60等份.如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是_____________毫米.图4—6—3 图4—6—4（4）如图4—6—4，在R t△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有________对，它们分别是_____________.三、认真选一选（1）下列各组图形中有可能不相似的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形（2）△ABC 和△A ′B ′C ′符合下列条件，其中使△ABC 和△A ′B ′C ′不相似的是（ ）A.∠A =∠A ′=45° ∠B =26° ∠B ′=109°B.AB =1 AC =1.5 BC =2 A ′B ′=4 A ′C ′=2 B ′C ′=3C.∠A =∠B ′ AB =2 AC =2.4 A ′B ′=3.6 B ′C ′=3D.AB =3 AC =5 BC =7 A ′B ′=3 A ′C ′=5 B ′C ′=7（3）如图4—6—5，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，那么在下列比例式中，正确的是（ ）A.ADOACD AB = B.BC OB OD OA = C.OCOBCD AB = D.ODOBAD BC =图4—6—5 图4—6—6（4）如图4—6—6，D 为△ABC 的边AB 上一点，且∠ABC =∠ACD ，AD =3 cm, AB =4 cm ，则AC 的长为（ ）A.2 cmB.3 cmC.12 cmD.23 cm四、用数学眼光看世界如图4—6—7，长梯AB 斜靠在墙壁上，梯脚B 距墙80 cm ，梯上点D 距墙70 cm ，量得BD 长55 cm ，求梯子的长.图4—6—7参考答案一、答：对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形判定两个三角形相似的方法详见课本，略. 二、（1）相似 3∶5 （2）∠C =∠ADE （或∠B =∠AED 等）（3）5 （4）三 △ACD ∽△ABC △BCD ∽△BAC △ACD ∽△CBD 三、（1）A （2）D （3）C （4）D 四、解：设梯子的长AB 为x cm （如图）由Rt △ADE ∽Rt △ABC 得：ABADBC DE = ∴xx 558070-= 解得：x =440答：梯子的长是440 cm.探索三角形相似的条件（二）同步练习班级：_______ 姓名：_______一、请你填一填（1）如图4—6—8，在△ABC 中，AC 是BC 、DC 的比例中项，则△ABC ∽________,理由是________.图4—6—8 图4—6—9（2）如图4—6—9，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，则△DEF ∽________,理由是________. （3）如图4—6—10，∠BAD =∠CAE ，∠B =∠D ，AB =2AD ，若BC =3 cm,则DE =________cm.图4—6—10 图4—6—11（4）如图4—6—11，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端分别在CB 、CD 上滑动，那么当CM =________时，△ADE 与△MN C 相似. 二、认真选一选（1）如图4—6—12，下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）A.ABACAD AE = B.∠B =∠ADE C.BCDEAC AE = D.∠C =∠AED图4—6—12 图4—6—13（2）在□ABCD 中，E 在BC 边上，AE 交BD 于F ，若BE ∶EC =4∶5，则BF ∶FD 等于（ ）A.4∶5B.5∶4C.5∶9D.4∶9（3）如图4—6—13，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，CD =2，BD =1，则AD 的长是（ ）A.1B.2C.2D.4三、开动脑筋哟如图4—6—14，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，∠ABD =∠ACD ，试找出图中的相似三角形，并加以证明.图4—6—14四、用数学眼光看世界如图4—6—15，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A ，再在河的这一边选定点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点D ，若测得BD =180米，DC =60米，EC =50米，你能知道小河的宽是多少吗？图4—6—15参考答案一、（1）△DAC 这两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，这两个三角形相似（2）△ABC 这两个三角形的三边对应成比例，这两个三角形相似（3）1.5 （4）552或55二、（1）C （2）D （3）D三、（1）△AOB ∽△DOC （2）△AOD ∽△BOC证明：（1）∵∠ABD =∠ACD ，∠AOB =∠DOC （对顶角相等） ∴△AOB ∽△DOC（2）由（1）知△AOB ∽△DOC∴OC OBOD OA =， ∴OCODOB OA = 又∵∠AOD =∠BOC ∴△AOD ∽△BOC四、解：∵由已知得∠ABD =∠DCE =90°,∠ADB =∠CDE∴△ABD ∽△ECD ∴DCBDEC AB = 将EC =50，BD =180，DC =60代入上式得：6018050=AB ，∴AB =150 即：小河的宽是150米.探索三角形相似的条件一、选择题:1.下列命题错误的是( )A.两角对应相等的两个三角形相似;B.两边对应成比例的两个三角形相似C.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;D.三边对应成比例的两个三角形相似 2.下面关于直角三角形的相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似;B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.直角边与斜边对应成比例的两个直角三角形相似;D.两个等腰直角三角形相似 3.使△ABC 和△ABC 不相似的条件是( ) A.∠A=∠A ′=65°,∠B=45°,∠C ′=70°B.AB=1,BC=1.2,AC=1.5,A ′B ′=6,B ′C ′=4,A ′C ′=4.8C.∠A=∠A ′,AB=4,BC=2,A ′B ′=6,B ′C ′=3D.AB=3,BC=4,AC=5,A ′B ′=6,B ′C ′=8,A ′C ′=10 4.有一个角等于40°的两个等腰三角形( )A.全等B.相似C.既不相似也不全等D.无法确定 5.如图1,∠AED=∠B,一定可得 ( )A.AD:AC=AE:ABB.DE:BC=AD:DBC.DE:BC=AE:ACD.AD:AB=AE:ACEDCBACB APEDCBADBA(1) (2) (3) (4) 6.如图2,P 是AB 上一点,补充下列条件①∠ACP=∠B; ②∠APC=∠ACB;③AP ACAC AB=;④AP PCAC BC=,其中一定能使△ACP ∽△ABC 的是( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题:1.如图3,在Rt △ABC 中,AC ⊥BC,DE ⊥AB,则________∽________.2.P 是Rt △ABC 斜边BC 上异于B 、C 的一点,过点P 作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线共有________条.3.如图4,在△ABC 中,点D 在AB 上,请再添一个适当的条件,使△ADC ∽△ACB,•那么要添加的条件是_________.4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 是∠ABC 的平分线,则_______•和______________相似.5.一个直角三角形的两条直角边长分别为8cm 和12cm,另一个直角三角形的两条直角边长分别是6cm 和9cm,这两个直角三角形______相似三角形(填是或不是),理由是_____________.6.一个三角形的三边长分别为8、9、12,另一个三角形的三边长分别为12、272、18,•那么这两个三角形的关系是________,理由是_______. 三、计算题1.如图,根据图形中提供的数据,你能得到三角形相似吗?为什么?31.521EDCB A2.如图,∠A=52°,AB=2.5,AC=5.5,△DEF 中,∠E=52°,DE=7,EF=3,•△ABC•与△EDF 是否相似?为什么?52︒5.52.5C B A52︒37D EF3.如图,在□ABCD 中,E 为BA 延长线上一点,EC 交AD 于F,找出图中相似的三角形,并进行证DCBA明.DFE CBA四、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子,试问△ABE ∽△DAE 成立吗?D FECBA G五、已知:如图,D 、E 分别是△ABC 两边AB 、AC 上的点,∠A=60°,∠C=70•°,•∠AED=50°. 试问:AD ·AB=AE ·AC 成立吗?DECA六、如图,△ABC 中,D 为BC 上一点,且∠CAD=∠B,AD=8,AB=10,AC=9,求:DC 的长.•D CB A七、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB.(1)找出图中相似的三角形;(2)设计一种分法,把Rt △ABC 分割成四个小直角三角形,使每个小直角三角形与Rt △ABC 相似.DC BA答案:一、1.B 2.C 3.C 4.D 5.A 6.A二、1.△BDE;△BAC 2.33.∠ADC=∠ACB或其他的4.△ABC;△BDC5.是;两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似6.相似,对应边成比例的两个三角形相似三、1.能:因为11123ADAB==+,1.511.533AEAC==+所以AD AE AB AC=,又因为∠A=∠A所以△ADE∽△ABC2.不相似,因为对应边不成比例3.△EAF∽△EBC;△EAF∽△CDF;△EBC∽△CDF因为 ABCD中,AD∥BC,AB∥CD,所以∠EAF=∠B,∠EFA=∠ECB;∠EAF=∠D,∠E=∠FCD;∠B=∠D, 所以△EAF∽△EBC,•△EAF∽△CDF,△EBC∽△CDF四、成立,△ABC和△AFG都是等腰直角三角形∠B=∠DAE=45°∠ADE=∠B+∠BAD⇒∠ADE=∠DAE+∠BAD=∠BAE⇒△ABE∽△DAE五、成立, ∠A=60°,∠C=70°∴∠B=50°,∠AED=50°,∴∠B=∠AED，∠A=∠A⇒△ADE∽△ACB⇒AD AEAC AB=⇒AD·AB=AE·AC六、∠CAD=∠B,∠C=∠C⇒△ACD∽△BCA⇒CD ADAC AB= ,即8910CD=∴CD=7.2七、(1)△ADC∽△ACB;△ADC∽△CDB;△CDB∽△ACB(2)过点D作DE⊥AC,DF⊥CB即可.。

《探索三角形相似的条件》同步测试底边长15cm ，底边上的高的长为22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm 的矩形纸条，如图4-57所示。

已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A ．第4张B ．第5张C ．第6张D ．第7张2. 如图4-90所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．3. 两个相似三角形的相似比为2∶3，面积之差为25 cm2，则较大三角形的面积为( )A ．45 cm2B ．50 cm2C ．65 cm2D ．75 cm21. 雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远的一小块积水处，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40 m ，该学生的眼部到地面的高度为1.5 m ，求旗杆的高度。

2. 某人身高为1.8米，站在一路灯下时无影子，然后背对路灯向前走了6米，此时的影长为2米。

求路灯的灯泡距地面的高度。

3. 如图4-73所示，路边有两根相距4m 的电线杆AB ，CD ，分别在高为3 m 的A 处和6 m 的C 处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD 与铁丝BC的交点M离地面的高度MH。

4. 一个钢筋三脚架的边长分别是20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，则有几种不同的截法?并简单说明理由。

5. 我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6 m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6 m，则这棵树的高度约为m。

6. 明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图4-77所示，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同，此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上)。

4.4《探索三角形相似的条件》习题2一、选择题1．下列各组图形中不一定相似的是( )A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知一个三角形的两个内角分别是30，70，另一个三角形的两个内角分别是70，80，则这两个三角形( )A．一定相似B．不一定相似C．一定不相似D．不能确定∆中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有( ) 3．如图，在Rt ABCA．1对B．2对C．3对D．4对4．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上(不与点A、C重合)，DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是( )A．△BFE；B．△BDC；C．△BDA；D．△AFD．5.如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，∆相似的是( )不能推出ABP∆与ECPA ．APB EPC ∠=∠ B ．90APE ∠= C ．P 是BC 的中点D ．:2:3BP BC =6.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，下列条件：①∠ABD =∠ACB ，②AB 2=AD ·AC ，③∠ADB =∠ABC ，④AB 2=AD ·DC .其中，单独能判定△ABD ∽△ACB 的个数是( )A ．4B ．1C ．3D ．27.如图，△ACD ∽△ABC 需具备的条件是( )A ．AC AB CD BC = B ．CD BC AD AC = C ．AC AB AD AC = D ．=CD BD AD CD8.如图，ABC 与ADE 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是( )A ．AE AD BE DC =B ．AE AB AB AC = C ．AD AB AC AE = D ．AE DE AC BC= 9.如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠D ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的( )A ．AC AB AD AE = B ．AC BC AD DE = C ．AC AB AD DE = D ．AC BC AD AE= 10.在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC ∽△DEF 的是( )①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( )A ．∠C=∠AEDB ．∠B=∠DC ．AB BC AD DE = D ．AB AC AD AE= 12.如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条13.如图，在ABC ∆中，7646A AB AC ︒∠===，，，将ABC ∆沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A ．B ．C ．D ．14.如图，下列选项中不能判定ACD ABC ∆∆的是( )A ．2AC AD AB =⋅B ．2BC BD AB =⋅ C ．ACD B ∠=∠ D ．ADC ACB ∠=∠15.如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )A ．B ．C ．D ．16.下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是( )A ．∠C ＝98°，∠E ＝98°，AC DE BC DF=；B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；D．∠B＝35°，BC ＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH ＝3.517.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD•AC D．AD AB AB BC=18.如图，点D在ABC的边AC上，要判定ADB△与ABC相似，添加一个条件，不正确的是( )A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABCC．ABBD＝CBCAD．ABAD＝ACAB19.如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC 的是( )A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C．AC ADAB AC=D．=CD ADBC AC20.如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是( )A ．AE AC AD AB = B ．∠B=∠ADEC ．AE DE AC BC =D ．∠C=∠AED21.在△ABC 中，直线DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，下列条件不能推出△ABC 与△ADE 相似的是( )A ．AD AE BD EC =B ．∠ADE=∠ACBC ．AE ﹒AC=AB ﹒ADD ．AD DE AB BC = 22.如图，点P 是△ABC 边AB 上一点(AB>AC)，下列条件不一定能使△ACP ∽△ABC 的是( )A ．AC AP AB AC = B ．PC AC BC AB= C ．∠ACP=∠BD ．∠APC=∠ACB二、填空 1.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，点E 是DC 上一点，∠DAE=∠BAC ，则EC 的长为________．2.如图，已知∠ACB ＝∠CBD ＝90°，AC ＝8，CB ＝2，当BD=______时，图中的两个直角三角形相似．3.点D 在ABC 的边AB 上，且2AC AD AB =⋅，则ABC ACD ，理由是_______．4.如图，若∠BAD=∠CAE ，∠E=∠C ，则 ∽ ．5.如图，若ABC EBD ∽△△，需添加的一个条件是______(填写一个条件即可)．6.如图，∠1=∠2，请补充一个条件：_____，使ABC ADE ．7.如图，△ABC 中，P 为AB 上点，在下列四个条件中：①∠AC P=∠B ；②∠APC =∠ACB ：③∠CAP =∠BAC ；④AC AP AB AC=．能确定△APC 和△ACB 相似的是___________(只填写序号)．8.如图，在ABC ∆中，6,8AB cm AC cm ==，D 是AB 上一点且AD 2cm =，当AE =________cm 时，使得ADE ∆与ABC ∆相似．9.如图，在ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，F 为BC 边上一点，添加一个条件：________________，可以使得FDB 与ADE 相似．(只需写出一个)三、解答题1.如图，BD 、CE 为ABC ∆的高，且BD 与CE 交于点O ．(1)求证：~AEC ADB ∆∆；(2)若40A ∠=，求BOC ∠的度数2.在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程．3.如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．4.已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB外一点，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点E、F，DF与AB交于点H，延长DE交BC于点G．求证：△DFG∽△BCA5.如图，在ABC ∆与ADE ∆中，AB AC AD AE=，且=EAC DAB ∠∠. 求证：ABC ADE ∆∆.6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，CE ⊥AB 于E ．求证：△ABD ∽△CBE ．7.如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC <，且5AD =，2AB DC ==，若点P 是AD 上的一点，且BPC A ∠=∠，求证：ABP DPC △△∽．8.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作,AE BC ⊥垂足为E ．连接,DE F 为线段DE 上一点，且AFE B ∠=∠．求证：ADF DEC ~．9.如图，在正方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 在CD 上，且4CD DF =，连接EF 、BE ．求证：ABE DEF △△∽．10.如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE ，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．11.如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．答案一、选择题1．B ．2．A.3．C ．4．C ．5.C6.C ．7.C ．8.D.9.C ．10.C ．11.C ．12.C ．13.D ．14.B ．15.C ．16.D.17.D ．18.C ．19.D ．20.C ．21.D.22.B ．二、填空 1.322.8或123.有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．4.△ABC 、△ADE5.∠BDE=∠BCA 或∠BDE=∠BCA 或BC BD BA BE=(任选其一即可)． 6..E C ∠=∠(答案不唯一)7.①②④． 8.83或1.5 9.∠A ＝∠BDF三、解答题1.解：(1)证明：BD 、CE 为ABC ∆的高，AEC ADB ∴∠=∠=90°，又A A ∠=∠，~AEC ADB ∴∆∆；(2)40A ∠=，904050ABD ∴∠=-=， CE 为ABC ∆的高，90BEC ∴∠=，5090140BOC ABD BEC ∴∠=∠+∠=+=．2.解：图中相似的三角形有：△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA．∵AD、CE分别是△ABC的两条高，∴∠ADB＝∠CDA＝∠CEB＝∠AEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，∵∠EBC＝∠ABD，∴△ABD∽CBE．3.∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90︒，DC=BC∵CE=CF∴△DCF≌△ECB∴∠CDF =∠CBE∵∠CDF＋∠F=90︒∴∠CBE＋∠F=90︒∴∠BGF=90︒=∠DCF∴△BGF∽△DCF4.∵ DF⊥BC于F，∠C=90°∴∠DFG＝∠C＝90°又DE⊥AB于点E∴∠DGB＋∠B＝90°又∠DGB＋∠D＝90°∴∠B=∠D∴△DFG∽△BCA．∠=∠，5.∵EAC DAB∠+∠=∠+∠，∴EAC BAE DAB BAE∠=∠，即DAE BAC又AB AC AD AE=， ∴ABCADE ∆∆．6.∵在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，∴AD ⊥BC ．又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B ，∴△ABD ∽△CBE ．7.证明：∵AD ∥BC ，AD ＜BC ，AB=DC=2，∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A ∴∠ABP=∠DPC ，∴△ABP ∽△DPC ．8.解：四边形ABCD 是平行四边形，//,//,AB CD AD BC ∴180,B C ADF DEC ∴∠+∠=∠=∠，180AFD AFE AFE B ∠+∠=︒∠=∠,，AFD C ∴∠=∠．∴△ADF ∽△DEC.9.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD CD ==，90A D ︒∠=∠=∵点E 是AD 的中点，∴22AB AD AE DE ===，即2AB DE= ∵CD=4DF ， ∴2AE DF =，即2AE DF= ∴2AB AE DE DF==， ∴90A D ∠=∠=︒，∴ABE DEF ∽10.∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE ，∴，BD=2CD ， ∴ED AD AD BD ==， ∵∠ADB=∠ADB ，∴△ADE ∽△BDA ．11.证明：如图，∵AB •AE=AD •AC ， ∴=AB AC AD AE ．又∵∠1=∠2，∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE ，即∠BAC=∠DAE ， ∴△ABC ∽△AED ．。

相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CD F S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆． 例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232xx -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。