北京市大兴区2018-2019学年度第二学期高三第一次(4月)综合练习数学文科试卷(解析版)

2018-2019学年北京师大实验中学高三（下）第一次质检数学试卷（文科）（3月份）考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.集合A={x|（x+1）（x-4）＜0}，B={x|ln x＜1}，则（）A. B. C. D. 以上都不对2.小明与爸爸放假在家做蛋糕，小明做了一个底面半径为10cm的等边圆锥（轴截面为等边三角形）状蛋糕，现要把1g芝麻均匀地全撒在蛋糕表面，已知1g芝麻约有300粒，则贴在蛋糕侧面上的芝麻约有（）A. 100B. 200C. 114D. 2143.为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），由最小二乘法求得回归直线方程为=0.67x+54.9．若已知x1+x2+x3+x4+x5=150，则y1+y2+y3+y4+y5=（）A. 75B.C. 375D. 4.某几何体的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则此几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 185.已知抛物线C：x2=4y，P在C的准线l上，直线PA，PB分别与C相切于A，B，M为线段AB的中点，则下列关于|AB|与|MP|的关系正确的是（）A. B. C. D.6.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后在根据统计数m估计π的值，假设统计结果是m=34，那么可以估计π的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）7.已知向量，，，．若 ∥，则=______8.若x，y满足约条条件，则z=x+y的最大值为______9.已知数列{a n}满足a1=1，a n-a n+1=2a n a n+1，则a6=______．10.已知双曲线＞，＞，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为a，则双曲线的离心率为______．11.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”丁说：“是A或D作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．12.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC=DB=，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为S n，现给出有关数列{S n}的四个命题：①数列{S n}是等比数列；②数列{S n}是递增数列；③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有S n＞2018；④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有S n＜2018．其中真命题的序号是______（请写出所有真命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）13.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2c•cos A-a=2b．（1）求C；（2）若a=b=4，D是AB边上一点，且△ACD的面积为，求sin∠BDC．14.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的维修服务次数．（1）若n=10，求y与x的函数解析式；（2）若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，求n的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2-b2=ac，且b=c．（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）=1+cos（2x+B）-cos2x，求函数f（x）的最大值．16.已知函数f（x）=e x+m-ln（x+2）+ax（x+2）-m，（Ⅰ）若a＞0，且f（-1）是函数的一个极值，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若a=0，求证：∀x∈[-1，0]，f（x）≥0．17.已知椭圆的右焦点为F，坐标原点为O．椭圆C的动弦AB过右焦点F且不垂直于坐标轴，AB的中点为N，过F且垂直于线段AB的直线交射线ON于点M．（I）证明：点M在直线上；（Ⅱ）当四边形OAMB是平行四边形时，求△MAB的面积．在的平面互相垂直，∠BAC=∠CBD=90°，AB=AC，∠BCD=30°，BC=6．（1）证明：平面ADC⊥平面ADB；（2）求B到平面ADC的距离．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|（x+1）（x-4）＜0}={x|-1＜x＜4}，B={x|lnx＜1}={x|0＜x＜e}，∴A∩B={x|0＜x＜e}，A B=A，故选：C．分别求出集合A，B，从而得到A∩B={x|0＜x＜e}，A B=A．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集的定义、不等式的性质的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由题意可知圆锥形蛋糕的底面半径为r=10cm，母线为l=20cm，∴圆锥的侧面积为S侧=πrl=200π，圆锥的表面积为S表=πr2+πrl=300π，∴贴在蛋糕侧面上的芝麻约有300×=200．故选：B．求出圆锥侧面积与表面积的比值即可得出答案．本题考查了圆锥的几何特征与表面积计算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：（1）=，回归直线方程为=0.67x+54.9．可得：=0.67×30+54.8≈75．则y1+y2+y3+y4+y5=•n=75×5=375．故选：C．由题意求出代入公式求值，从而得到，即可求y1+y2+y3+y4+y5的值．本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱SB与底面ABC垂直，其直观图如图：由三视图的数据可得OA=OB=OC=BS=3，∴几何体的体积V=×=9．故选：B．几何体是三棱锥，画出其直观图，判断数据所对应的几何量，代入体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．5.【答案】B【解析】解：设A（x1，），B（x1，），由y=，求导，y′=，则切线PA的斜率k1=x1，切线PB的斜率k1=x2，直线PA的方程：y-=x1（x-x1），整理得：y=x1x-，同理直线PB的方程y=x2x-，联立，解得：，由P在抛物线的准线方程x=-1，则=-1，则k PA•k PB =×==-1，∴PA⊥PB，则△PAB为直角三角形，由M为AB的中点，则|AB|=2|MP|，故选：B．设A，B，求导，根据导数的几何意义，求得PA，PB，联立求得P点坐标，且=-1，根据斜率公式，求得k PA•k PB=-1，则△PAB为直角三角形，即|AB|=2|MP|，即可求得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率公式的应用，导数的几何意义，考查转化思想，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：由题意，120对都小于l的正实数对（x，y），满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为-，因为统计两数能与l构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m=34，所以=-，所以π=．故选：B．由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数x，y，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为-，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．7.【答案】-10【解析】解：根据题意，向量．若∥，则有2m=4×（-1），解可得m=-2；即=（-1，-2），则=2×（-1）+4×（-2）=-10；故答案为：-10．根据题意，由向量平行坐标表示公式可得若∥，则有2m=4×（-1），解可得m的值，再由向量数量积的坐标计算公式可得=2×（-1）+4×（-2）=-10；即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算以及向量平行的坐标表示，关键是求出m的值．8.【答案】4【解析】解：由x，y满足约条条件作出可行域如图：化目标函数z=x+y为y=-x+z，由图可知，当直线y=-x+z过A时，z取得最大值，由，解得A（2，2）时，目标函数有最大值为z=4．故答案为：4．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9.【答案】【解析】解：数列{a n}满足a1=1，a n-a n+1=2a n a n+1，，所以：数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．故：，所以：，所以：．故答案为：首先求出数列的通项公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】【解析】解：双曲线，过其中一个焦点（c，0）作渐近线bx+ay=0的垂线段，垂线段为a，可得：=，可得：4b2=a2，即4c2=5a2，可得e==．故答案为：．求出双曲线的一个焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】C【解析】解：根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品A为一等奖，则甲、丙，丁的说法都正确，乙错误，不符合题意；假设参赛的作品B为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品C为一等奖，则乙，丙的说法正确，甲、丁的说法错误，符合题意；假设参赛的作品D为一等奖，则甲、乙，丙的说法都错误，丁的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品C为一等奖；故答案为：C．根据题意，依次假设参赛的作品为A、B、C、D，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．本题考查了合情推理的问题，注意“这四位同学中有两位说的话是对的”的这一条件．验证法的应用．12.【答案】②④【解析】解：由题意，得图1中的线段为a，S1=a，图2中的正六边形边长为，S2=S1+×4=S1+2a；图3中的最小正六边形的边长为，S3=S2+×4=S2+a图4中的最小正六边形的边长为，S4=S3+×4=S3+由此类推，S n-S n-1=，∴{S n}为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确，因为S n=S1+（S2-S1）+（S3-S2）+…+（S n-S n-1）=a+2a+a++…+=a+=a+4a（1-）＜5a，即存在最大的正数a=使得对任意的正整数n，都有S n＜2018即④正确，③错误，故填②④通过分析图1到图4，猜想归纳出其递推规律，再判断该数列的性质．本题考查了数列的应用，属难题．13.【答案】解：（1）根据正弦定理，2c•cos A-a=2b，等价于2sin C cos A-sin A=2sin B．又因为：在△ABC中，sin B=sin（π-A-C）=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C．可得：2sin C cos A-sin A=2sin A cos C+2cos A sin C，从而可得：-sin A=2sin A cos C，因为：A∈（0，π），所以：sin A≠0，得cos C=-，因为：C∈（0，π），所以：C=．（2）由a=b=4，可得A=B=，因为S△ACD=AC•AD•sin A=，所以：AD=．根据余弦定理，得CD2=（）2+42-2×=7，即CD=．在△ACD中，根据正弦定理有：=，得sin∠ADC=．因为：∠BDC+∠ADC=π，故：sin∠BDC=．【解析】（1）根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得-sinA=2sinAcosC，结合sinA≠0，得cosC=-，结合范围C∈（0，π），可得C的值．（2）由已知及三角形面积公式可求AD的值，根据余弦定理可求CD的值，据正弦定理可求sin∠ADC，由∠BDC+∠ADC=π，可求sin∠BDC的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题．14.【答案】解：（1）即x∈N．（2）因为“维修次数不大于10”的频率=＜，“维修次数不大于11”的频率=，所以若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，则n的最小值为11．（3）若每台都购买10次维修服务，则有下表：此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为=2730（元）若每台都购买11次维修服务，则有下表：此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为=2750（元）因为y1＜y2，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务【解析】（1）用分段函数表示；（2）若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，则n的最小值为11．（3）分别求出每台购买10次和11次维修服务所需费用的平均值，比较它们的大小可得．本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属中档题．15.【答案】解：（1）在△ABC中，∵a2+c2-b2=ac，∴cos B==，∴B=．∵b=c，由正弦定理可得且sin B=sin C，∴sin C=，∴C=，故A=π-B-C=．（2）∵a2+c2-b2=ac，且b=c，由（1）得f（x）=1+cos（2x+B）-cos2x=1+cos（2x+）-cos2x=1+cos2x-sin2x-cos2x=1-cos2x-sin2x=1+sin（2x+），∴f（x）的最大值为2．【解析】（1）在△ABC中利用余弦定理求得cosB的值，可得B的值；根据b=c，由正弦定理可得C 的值，从而求得A=π-B-C的值．（2）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再根据正弦函数的最大值求得f（x）的最大值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，正弦函数的最大值，属于中档题．16.【答案】解：（I）f（x）=e x+m-ln（x+2）+ax2+2ax-m，定义域为（-2，+∞），f′（x）=e x+m-+2ax+2a，由题意知f′（-1）=0，即e m-1-1=0，解得：m=1，所以f（x）=e x+1-ln（x+2）+ax（x+2）-1，f′（x）=e x+1-+2ax+2a，又y=e x+1、y=-、y=2ax+2a（a＞0）在（-2，+∞）上单调递增，可知f′（x）在（-2，+∞）上单调递增，又f′（-1）=0，所以当x∈（-2，-1）时，f′（x）＜0；当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0，得f（x）在（-2，-1）上单调递减，f（x）在（-1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）的最小值为f（-1）=1-a-1=-a；（II）若a=0，得f（x）=e x+m-ln（x+2）-m，f′（x）e x+m-，由f′（x）在（-1，0）上单调递增，可知f（x）在（-1，0）上的单调性有如下三种情形：①当f（x）在（-1，0）上单调递增时，可知f′（x）≥0，即f′（-1）≥0，即e m-1-1≥0，解得：m≥1，f（-1）=e m-1-m，令g（m）=e m-1-m，则g′（m）=e m-1-1≥0，所以g（m）单调递增，g（m）≥g（1）=0，所以f（x）≥f（-1）=g（m）≥0；②当f（x）在（-1，0）上单调递减时，可知f′（x）≤0，即f′（0）≤0，即e m-≤0，解得：m≤-ln2，得f（0）=e m-ln2-m≥e m-ln2+ln2=e m＞0，所以f（x）≥f（0）＞0；③当f（x）在[-1，0]上先减后增时，得f′（x）在[-1，0]上先负后正，所以∃x0∈（-1，0），f′（x0）=0，即=，取对数得x0+m=-ln（x0+2），可知f（x）min=f（x0）=-ln（x0+2）=-m=+x0=＞0，所以f（x）＞0；综上①②③得：∀x∈[-1，0]，f（x）≥0．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的极值求出m的值，从而求出函数的单调性、最值问题；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论函数的单调性求出函数的最小值，从而证明结论．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．17.【答案】（Ⅰ）证明：F（2，0），设AB所在直线为：y=k（x-2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组，化简得（5k2+1）x2-20k2x+（20k2-5）=0，由韦达定理得，，设N（x0，y0）则x0==，y0=k（x0-2）=-．即，，∴直线ON的方程为：．直线FM的方程为：，联立方程组，得-=-（x-2），解得x=．∴点M的横坐标为∴点M在直线上．（Ⅱ）解：∵点N是AB的中点，且四边形OAMB是平行四边形，∴点N是OM的中点，由（Ⅰ）知，，，，∴=，解得k2=．此时，，∴，．∴△ ．【解析】（I）设直线AB斜率为k，联立方程组，根据根与系数的关系得出N点坐标，从而求出直线ON 和FM的直线方程，联立两直线方程求出M的横坐标即可得出结论；（II）根据N为OM的中点即可求出AB的斜率k，从而得出|AB|和|FM|，于是得出三角形的面积．本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，注意根与系数的关系与弦长公式的应用，属于中档题．18.【答案】（本小题满分14分）（1）证明：∵面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，BD⊂面BC，∴BD⊥面ABC．（3分）又AC⊂面ABC，∴BD⊥AC．（4分）又AB⊥AC，且BD∩AB=B，∴AC⊥面ADB．（5分）又AC⊂面ADC，∴面ADC⊥面ADB．（6分）（2）解：在Rt△BCD中，BC=6，∠BCD=30°，∴BD=BC×tan30°=2，（7分）在等腰Rt△ABC中，BC=6，∴AB=AC=3．（8分）由（1）知BD⊥面ABC，∴BD⊥AB，（9分）在Rt△ABD中，AB=3，DB=2，∴AD==，（10分）又AC⊥面ADB，设B到面ADC的距离为h，由V C-ABD=V B-ACD，（12分）得=，（13分）解得h=，即B到平面ADC的距离为．（14分）【解析】（1）由已知得BD⊥面ABC，BD⊥AC，从而AC⊥面ADB，由此能证明面ADC⊥面ADB．（2）由已知得BD=BC×tan30°=2，AB=AC=3，AD==，设B到面ADC的距离为h，由V C-ABD=V B-ACD，能求出B到平面ADC的距离．本题考查平面与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．。

大兴区2019〜2020学年度第一学期期末检测试卷高三数学2020.01一、选择题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.（4 分）已知集合力={-1, 0, 1, 2}, 8={x£N|xV4},贝（）A. {-1, 0} B・（0, 1} C. {- b 0, 1} D. {0, 1, 2}2.（4分）已知一组数据：1, 2, 2, 3, 3, 3,则这组数据的中位数是（）7 RA. 2 B,《 C. 3 D.33 23.（4分）已知向量；=（2, 0），b=（l, 1），则下列结论正确的是（）A. a p b=lB. a // bC. | a |= |b | D, （a-b） J_ b4.（4分）已知复数z在复平面上对应的点为（m, I）,若〃为实数，则应的值为（）A. - 1B. 0C. 1D. 1 或-15.（4分）下列函数中，值域为（1, +g）的是（）A. y=2T+lB. y=—i―C. y=log2|^|D.x+16.（4分）若数列{&}满足：卅=1, 2砧=2%+1 （〃WN*）,则国与曲的等比中项为（）A. ±2B. 2C. ±V3D. y/37. “分）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1,那么该四棱锥体积为（）A.B. 10C. 12D. 308.（4分）设2E为非零向量，则“ G+El< la | + |E|"是W与E不共线”的（）D .既不充分也不必要条件9 .《4分）动点”位于数轴上的晚点处j 以每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离.且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后・V 在数轴上可能位置的个数为 （ ）10 . （4分）某种新产品的社会需求珏尸是时间亡的函数,记作；尸f 3）.若f 《0〉=>社会需求量 产的市场饱和水平估计为500万件，经研窕可得，/（力的导函数/' 满足；/'（八=”e（500 -/（f ））（〃为正的常数），则函数f （力的图象可能为（ ）二填空题共6小题,每小题5分，共30分.H. （5分）抛物线/ =彳的焦点到其准线的距离等于.12. （5分）已知f3 为偶函数，当/>0时，f Q ） = Inx,则F （ - - =. 13. （5分）在△月即中，若@=2, cosB=-挈，热的面积为1,贝46=,x2 214. （5分）圆心在1轴上，且与双曲线*-y2=i 的渐近线相切的一个圆的方程可以是A,充分而不必要条件B,必要而不充分条件C.充分必要条件A. 7B. 9C. 11D. 139X15.（5分）已知心0,函数f（x）= = ［若&=0,则f（x）的值域为；若方程-2=0恰有一个实根，则a的取值范围是.16.（5分）小明用数列｛&｝记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第左天下过雨时，记a=1,当笫4天没下过雨时，记a=-l （1WAW31）；他用数列｛6.J记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第A天有雨时，记4=1,当预报第4天没有雨时，记也=-1 （1S AW31）:记录完毕后，小明计算出苗仇+加3•…+&也】=25,那么该月气象台预报准确的的总天数为;若a心+a2bH…+块）=卬，则气象台预报准确的天数为（用处"表示）.三、解答题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（13 分）已知函数f （A） =V3sinxsin （--- - x） +sin2^r--. 乙乙（I ）求F J）的最小正周期；TT（1【）求FQ）在区间［0,亏］上的最大值.18.（13分）如图是2019年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图.180160100©新增确诊e新增疑似（I）从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率;（H）从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过140的天数，求X 的分布列和数学期望;（III）根据这20天统计数据，预测今后该地区甲流疫情的发展趋势.19.(13分)已知数列｛&｝为等比数列，且&>0,数列出｝满足4=log2&.若b=4,左=3.(I)求数列｛&｝的通项公式：(II)设数列｛>+就前〃项和为S,若当且仅当〃=5时，S取得最大值，求实数力的取值范围.20.(14分)如图，在四棱锥C-/L射中，平面力庞7」平面4%, △/!肉是边长为2的等边三角形，AB//EF, N4M=90° , BE=EF=1,羔 M为 BC的中点.(I )求证：用/〃平面力6五：(II)求证：AM1CE：(III)求二面角E- BC・一的余弦值.21.(13分)已知椭圆G 弓V=l(a>b>0)的离心率为浮，过焦点且与才轴垂直的直线被椭圆C a，L 2截得的线段长为2.(I )求椭圆。

大兴区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学一、选择题1． 记,那么ABC D2． 已知函数f （x ）=1+x﹣+﹣+…+，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）在（0，1）上恰有一个零点B ．f （x ）在（﹣1，0）上恰有一个零点C ．f （x ）在（0，1）上恰有两个零点D ．f （x ）在（﹣1，0）上恰有两个零点3． 已知x ＞0，y ＞0，+=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（ ） A ．（﹣∞，] B ．（﹣∞，] C ．（﹣∞，] D ．（﹣∞，]4． 函数f （x ）＝kx ＋bx ＋1，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．4 5． 已知a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为M ，则“a=0”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6． 下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是 （ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________7． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8． 某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S 的值为（ ）A ．9.6B ．7.68C ．6.144D ．4.91529． 已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣10．已知圆O 的半径为1,,PA PB 为该圆的两条切线,,A B 为两切点,那么PA PB ∙ 的最小值为A 、4-B 、3-C 、4-+D 、3-+11．函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（0，1）12．如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A ．（∁UB ）∩A B ．（∁U A ）∩BC ．∁U （A ∩B ）D ．∁U （A ∪B ）二、填空题13．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一 个红球的概率为 ．14．要使关于x 的不等式2064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________.【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.15．已知一个动圆与圆C ：（x+4）2+y 2=100相内切，且过点A （4，0），则动圆圆心的轨迹方程 ．16．复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．17．已知直线：043=++m y x （0>m ）被圆C ：062222=--++y x y x 所截的弦长是圆心C 到直线的距离的2倍，则=m .18．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分别是AC ，BD 的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.三、解答题19．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积．20．如图，底面为正三角形的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，D 为线段B 1C 1中点． （Ⅰ） 证明：AC 1∥平面A 1BD ；（Ⅱ） 在棱CC 1上是否存在一点E ，使得平面A 1BE ⊥平面A 1ABB 1？若存在，请找出点E 所在位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．21．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，他们的对边分别为a 、b 、c ，且．（1）求A ；（2）若，求bc 的值，并求△ABC 的面积．22．（本小题满分12分）已知()()2,1,0,2A B 且过点()1,1P -的直线与线段AB 有公共点, 求直 线的斜率的取值范围.23．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线PA 与圆O 相切于点A ，PBC 是过点O 的割线，CPE APE ∠=∠，点H 是线段ED 的中 点.（1）证明：D F E A 、、、四点共圆； （2）证明：PC PB PF ⋅=2.24．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣．（1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．25．已知F 1，F 2分别是椭圆=1（9＞m ＞0）的左右焦点，P 是该椭圆上一定点，若点P 在第一象限，且|PF 1|=4，PF 1⊥PF 2． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求点P 的坐标．26．（本题满分15分）正项数列}{n a 满足121223+++=+n n n n a a a a ，11=a ． （1）证明：对任意的*N n ∈，12+≤n n a a ；（2）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的*N n ∈，32121<≤--n n S ．【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.大兴区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】B 【解析】【解析1】,所以【解析2】，2． 【答案】B【解析】解：∵f ′（x ）=1﹣x+x 2﹣x 3+…+x 2014=（1﹣x ）（1+x 2+…+x 2012）+x 2014； ∴f ′（x ）＞0在（﹣1，0）上恒成立；故f （x ）在（﹣1，0）上是增函数；又∵f （0）=1，f （﹣1）=1﹣1﹣﹣﹣…﹣＜0；故f （x ）在（﹣1，0）上恰有一个零点；故选B ．【点评】本题考查了导数的综合应用及函数零点的个数的判断，属于中档题．3．【答案】D【解析】解：x＞0，y ＞0，+=1，不等式x+y ≥2m﹣1恒成立， 所以（x+y ）（+）=10+≥10=16，当且仅当时等号成立，所以2m ﹣1≤16，解得m；故m 的取值范围是（﹣]；故选D ．4． 【答案】【解析】解析：选B.设点P （m ，n ）是函数图象上任一点，P 关于（－1，2）的对称点为Q （－2－m ，4－n ），则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝km ＋b m ＋14－n ＝k （－2－m ）＋b－1－m，恒成立．由方程组得4m ＋4＝2km ＋2k 恒成立，∴4＝2k ，即k ＝2，∴f （x ）＝2x ＋b x ＋1，又f （－2）＝－4＋b－1＝3，∴b ＝1，故选B.5． 【答案】A【解析】解：若a=0，则z=﹣2i （1+i ）=2﹣2i ，点M 在第四象限，是充分条件，若点M 在第四象限，则z=（a+2）+（a ﹣2）i ，推出﹣2＜a ＜2，推不出a=0，不是必要条件； 故选：A ．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．6． 【答案】D 【解析】考点：平面的基本公理与推论． 7． 【答案】C【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个， 所以共有4×6=24个，而在8个点中选3个点的有C 83=56，所以所求概率为=故选：C【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．8． 【答案】C【解析】解：由题意可知，设汽车x 年后的价值为S ，则S=15（1﹣20%）x， 结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4=6.144．故选：C ．9． 【答案】C【解析】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，∴==，∴λ=﹣． 故选：C ．【点评】本题考查了空间向量平行（共线）的问题，解题时根据两向量平行，对应坐标成比例，即可得出答案．10．【答案】D.【解析】设PO t =，向量PA 与PB 的夹角为θ，21PA PB t ==-1sin2t θ=，222cos 12sin 12t θθ=-=-，∴222cos (1)(1)(1)PA PB PA PB t t tθ==-->，2223(1)PA PB t t t∴=+->，依不等式PA PB ∴的最小值为223.11．【答案】C【解析】解：由函数f （x ）=3x +x 可知函数f （x ）在R 上单调递增，又f （﹣1）=﹣1＜0，f （0）=30+0=1＞0，∴f （﹣1）f （0）＜0，可知：函数f （x ）的零点所在的区间是（﹣1，0）． 故选：C ．【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．12．【答案】A【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A ，但不属于集合B 的元素构成， ∴对应的集合表示为A ∩∁U B ． 故选：A ．二、填空题13．【答案】98 【解析】【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好．14．【答案】±.【解析】分析题意得，问题等价于264x ax ++≤只有一解，即220x ax ++≤只有一解，∴280a a ∆=-=⇒=±，故填：±.15．【答案】+=1 ．【解析】解：设动圆圆心为B ，半径为r ，圆B 与圆C 的切点为D ，∵圆C ：（x+4）2+y 2=100的圆心为C （﹣4，0），半径R=10，∴由动圆B 与圆C 相内切，可得|CB|=R ﹣r=10﹣|BD|， ∵圆B 经过点A （4，0），∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10， ∵|AC|=8＜10，∴点B 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，设方程为（a ＞b ＞0），可得2a=10，c=4，∴a=5，b 2=a 2﹣c 2=9，得该椭圆的方程为+=1．故答案为： +=1．16．【答案】 ．【解析】解：复数z==﹣i （1+i ）=1﹣i ，复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．17．【答案】9 【解析】考点：直线与圆的位置关系【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是222d R l -=，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离. 18．【答案】512【解析】三、解答题19．【答案】【解析】解：四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成的 几何体，如右图：S 表面=S 圆台下底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=πr 22+π（r 1+r 2）l 2+πr 1l 1===20．【答案】【解析】证明：（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点F，连接DF，△AB1C1中，D，F分别为A1B，B1C1中点，所以DF∥AC1．…因为DF⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD，所以AC1∥平面A1BD．…解：（Ⅱ）存在点E，为CC1中点，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1…证明如下：方法1：△A1BE中，因为A1E=BE，且F为A1B中点，所以，EF⊥A1B．△AB1E中，同理有EF⊥AB1．…因为A1B∩AB1=F，A1B，AB1⊂平面A1ABB1，所以EF⊥平面A1ABB1…又EF⊂平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1…方法2：取AB中点G，连接EF，CG，FG．因为FG∥AA1，且，CE∥AA1，且，所以FG∥CE，且FG=CE，所以，四边形CEFG为平行四边形，所以CG∥EF…因为AA1⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，所以CG⊥AA1．又CG⊥AB，且AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面A1ABB1，所以，CG⊥平面A1ABB1…因为CG∥EF，所以EF⊥平面A1ABB1…又EF⊂平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1…【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．【答案】【解析】解：（1）∵A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且cosBcosC ﹣sinBsinC=cos （B+C ）=，∴B+C=，则A=；（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，∴由余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ，即12=16﹣bc ，解得：bc=4，则S△ABC =bcsinA=×4×=． 【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．22．【答案】3k ≤-或2k ≥.【解析】试题分析：根据两点的斜率公式，求得2PA k =，3PB k =-，结合图形，即可求解直线的斜率的取值范围. 试题解析：由已知，11212PA k --==-，12310PB k --==-- 所以，由图可知，过点()1,1P -的直线与线段AB 有公共点, 所以直线的斜率的取值范围是:3k ≤-或2k ≥.考点：直线的斜率公式.23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】1111]试题解析：解：（1）∵PA 是切线，AB 是弦，∴C BAP ∠=∠，CPE APD ∠=∠， ∴CPE C APD BAP ∠+∠=∠+∠，∵CPE C AED APD BAP ADE ∠+∠=∠∠+∠=∠,∴AED ADE ∠=∠，即ADE ∆是等腰三角形又点H 是线段ED 的中点，∴ AH 是线段ED 垂直平分线，即ED AH ⊥又由CPE APE ∠=∠可知PH 是线段AF 的垂直平分线，∴AF 与ED 互相垂直且平分， ∴四边形AEFD 是正方形，则D F E A 、、、四点共圆. （5分）（2由割线定理得PC PB PA ⋅=2，由（1）知PH 是线段AF 的垂直平分线， ∴PF PA =，从而PC PB PF ⋅=2（10分） 考点：与圆有关的比例线段．24．【答案】【解析】解：（1）∵0＜α＜，且sin α=，∴cos α=，∴f （α）=cos α（sin α+cos α）﹣，=×（+）﹣=．（2）f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣．=sinxcosx+cos 2x ﹣=sin2x+cos2x=sin （2x+），∴T==π，由2k π﹣≤2x+≤2k π+，k ∈Z ，得k π﹣≤x ≤k π+，k ∈Z ，∴f （x ）的单调递增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ．25．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由已知得：|PF2|=6﹣4=2，在△PF1F2中，由勾股定理得，，即4c2=20，解得c2=5．∴m=9﹣5=4；（Ⅱ）设P点坐标为（x0，y0），由（Ⅰ）知，，，∵，，∴，解得．∴P（）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，属中档题．26．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.。

北京大兴区黄村第一中学2019年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.852 B．0.8192 C．0.75 D．0.8参考答案：C【考点】模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，∴所求概率为0.75．故选：C．2. 已知集合，则等于参考答案：D略3. 下列几种推理过程是演绎推理的是（）A．两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果和是两条平行直线的内错角，则B．金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电C．由圆的性质推测球的性质D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇参考答案：A4. 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（）A、2B、3C、4D、6参考答案：C略5. 设则是“”成立的 ( )A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件参考答案：C6.已知非空集合、、都是全集的子集,且,则( ).A. B. C. D.参考答案：答案：D7. 椭圆以轴和轴为对称轴，经过点，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（）A． B．C．或 D．或参考答案：C【知识点】椭圆及其几何性质H5由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a=2b，由于椭圆经过点（2，0），则若焦点在x轴上，则a=2，b=1，椭圆方程为；若焦点y轴上，则b=2，a=4，椭圆方程为．【思路点拨】运用椭圆的性质，得a=2b，再讨论焦点的位置，即可得到a，b的值，进而得到椭圆方程．8. 曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（）A.1B.2C.D.参考答案：A略9. 已知偶函数满足，且在区间上为减函数，不等式的解集为()A．B．C． D .参考答案：【知识点】函数的奇偶性B4【答案解析】C 解析：解：根据题意，不等式f（log2x）＞f（1），∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，∴转化为-1＜log2x＜1或log2x＞-1，∴故选：C．【思路点拨】根据题意，不等式f（log2x）＞f（1），偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，转化为-1＜log2x＜1或log2x＞-1，即可求出不等式f（log2x）＞0的解集．10. 在锐角三角形中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，设B=2A，则的取值范围是（）A． B． C. D．（0，2）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且点的横坐标为2，则.参考答案：略12. 所在平面上一点满足，若的面积为，则的面积为．参考答案：13. 在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是_____________.参考答案：略14. 已知△ABC的周长为，面积为，且，则角C的值为．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理得出a+b=，结合周长得出c和a+b，根据面积公式得出ab，利用余弦定理计算cosC．【解答】解：∵，∴a+b=．∵a+b+c=，∴，解得c=1．∴a+b=．∵S=，∴ab=．∴cosC===．∴C=．故答案为．15. 阅读右图的程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a= 。