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双反对称矩阵反问题的最小二乘解

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Ａｂ ｔ ａ ｔ Ａ 一 （ ∈ Ｒ ｓ ｒ ｃ 口ｆ ）
ａ 一 ＋ ｌ
ｉ ａ ｌ ｄ ａ ｔ— ｉ ｙ ｍ ｅ ｒｃ ｍ ａ ｒｘ ｉ 一 一 ａ ｆ ａｊ 一 ｓ ｃ ｌ ｎ ｉｂ ｓ ｍ ｅ ｔ ｉ ｔ ｉ ｆａ 』， ， 一
，一ｆ ， ＋ｌ， 一 １， … ， ２， ｎ． Ｗ ｅ ｄｅ ｏｔ ｄ ｔ ｅ ｌ ｎ ｅ ｈｅ ｓ ｔｏｆａ ｌｎ× ｎ ａｎｔ— ｓ ｍ ｍ ｅ ｒｃ ｍ ａ ｉｂｉ ｙ ｔ ｉ —
ｅ ｘｐｒ ｓ ｏ ｈｅ ｓ ｕｔｏｎ ｈａ ｅ ｏｖ ｄｅ ｅｓ ｉ ｎ ｏｆｔ ｏｌ ｉ ｓ ｂｅ ｎ ｐｒ ｉ ｄ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ ａ ｉｂｉ ｙ ｍ ｅ ｒｃ ｍ ａ ｒｃ ｓ，ｍ ａ ｒ ｘ ｎｏｒ ，ｏｐｔｍ ａ ｐｐｒ ｘｉ ａ ｉ ｄ ｎｔ— ｓ ｍ ｔ ｉ ｔ ｉｅ ｔｉ ｍ ｉ ｌａ ｏ ｍ ｔｏｎ．
定义 设 Ａ一 （ Ｅ Ｒ ， 足 ｎ ） 满
口ｆ ＝ 一 口ｆ ｊ’ 口 ｆ ＝ 一 ａＭ
－
＋１ 一 ｌ ， ． 件 ，ｉ ． ＾ ，＝ １， … ，ｚ ２， ，
则称 为 阶 双 反 对 称 阵 ．所 有 阶双 反 对称 阵全 体 记 为 ＡＳ ． Ｒ
我 们提出如下问题 ：
阶 正 交 阵 的 集 合 ； 表 示 Ａ 的 Ｍｏ ｒ — ｅ ｒ ｓ Ａ ｏ ｅＰ ｎ ｏ ｅ广 义 逆 ； 表 示 ｋ阶 单 位 阵 ；ｌ Ｉ ｌ・ ｌ表 示 ｌ Ｆ ｏ ｅ ｉｓ范 数 ； Ｒ 表 示 ｎ阶 实 反 对 称 阵 的 全 体 ； ＊Ｂ 表 示 Ａ 与 Ｂ 的 Ｈａ ａ ｒ ｒｂ ｎｕ ＡＳ Ａ ｄ ｍａｄ乘
．
（． ） １ １
（． ） １ ２
其 中
是 问题 Ｉ 解 集 合 ． 的
２ 问 题 Ｉ的 解 的 表 达 式
首 先 ， 们讨 论 ＡＢ Ｒ 的结 构 令 我 Ｓ
０ ・ ・
Ｓ。 一
；
１
１
・・ ・
∈ Ｒ
Ⅳ
引理 １ 引理 ２
ＡＥＡＢ Ｒ 的 充 要 条 件 是 Ｓ
ｍｉ ｗｈ ｒ ｌ ｌ ｉ ｔ ｅＦｒｂ ｎｕ ｏ ｍ． ｘ， ｅｅ ｌ ｌ Ｓ ｈ ｏ ｅ ｉｓｎ ｒ Ｐｒｂｅ Ⅱ：Ｇｉｅ ， ｏ ｌｍ ｖ ｎ Ｘ ＢＥＲ ， ｉｄＡ ∈ＡＢ Ｒ ｆ ｎ Ｓ ｓ ｃ ｈ ｔ ｌ ｕ ｈ ｔ ａ ｌ Ａ 一Ａ — ｌ ｌ
问题 Ｉ 已知 Ｘ ， ＢＥＲ ， ＡＥＡＢ Ｒ ， 得 求 Ｓ 使 Ｉ ｌ Ａ — Ｂ Ｉ ｌ— ｍｉ ｎ 问 题 Ｉ 已知 Ａ ＥＲ ， ＡＥＳ ， 得 求 使 Ｉ ｌ Ａ 一 Ａ Ｉ ｌ— ｉｆ Ｉ ｎ ｌ 一 ＡＩ Ａ ｌ
Ａ∈ Ｓ Ｅ
Ａ — Ｓ Ｓ． Ａ 一 一 Ａ ． Ａ ，
日
∈
当ｎ ２ ＝ ｋ时 ，
＝
Ａ
Ｓ
＾
Ｒ
×
｛ＨＳｋＭ 撇川， 【 Ｍ Ｉ …｝ 【 ［ Ｈ 艇 Ｓ Ｓ Ｊ
ＡＭ Ｓ（ ９ １ ｕ ｊ ｃ ｌ ｓ ｉｉａ ｉｎｓ １ Ａ２ ． １ ９ ）ｓ ｂ ｅ ｔｃａ ｓｆｃ ｔｏ ４ ５
中图 法 分 类 号
Ｏ２ １ ６ ４ ． １ 引 言
Ｒ 表示 所有 ｎ ×ｍ 阶 实矩 阵 集 合 ，
表示 Ｒ 中秩 为 ｒ的 子 集 ； ＯＲ 表 示 所 有 ｎ
ｔｉｅ ｒｃ ｓ ｂｙ ＡＢＳＲ ． Ｉ ｈｉ ｐｅ ｎ ｔ ｓ ｐａ ｒ，ｗ ｅ ｄｉ ｃ ｓ ｔ ｏ ｌ ｗ ｉ ｗｏ ｐｒ ｓ ｕｓ ｈｅ ｆ ｌｏ ｎｇ ｔ ｏｂｌ ｍ ｓ： ｅ
Ｐ ｏ ｌｍ Ｉ：Ｇｉｅ ， ｒ ｂｅ ｖ ｎＸ ＢＥＲ ，ｆ ｄ ＡＥＡＢ Ｒ ｉ ｎ Ｓ ｓ ｃ ｈ ｔ ｌ ｕ ｈｔ ａ ｌＡＸ—Ｂ — ｌ ｌ
・
收 稿 日期 ：２ ０ — Ｏ — １ ． ０Ｏ ４ Ｏ
Hale Waihona Puke ｔ ｒ一 ’ … ‘
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盛 炎平 等 ： 双 反对 称矩 阵反 问题 的 最 小二乘 解
第 ３期
积 ， 对 于 Ａ一 （ ， 即 口 ） Ｂ一 （ ＥＲ ， ６ ） 则有 Ａ ＊Ｂ＿ （ ） ｊ － 口 ．
Ａ ６ Ｓ￣
ｉｆ ｌ 一Ａ ｌ， ｅｅＳＥ ｓｔ ｅｓ ｌｔ ｎｓ ｔｏ ｒ ｂ ｅ ｎ ｌ Ａ ｗｈ ｒ ｈ ｏｕ ｉ ｅ ｆＰ ｏ ｌｍ Ｉ ｌ ｉ ｏ ．
Ｆｏｒ ｐｒ ｌ ｍ Ｉ ，ｔ ｎ ａ ｏｒ Ｅｈａ ｅ ｎ ｇ ｖｅ ｏｂ ｅ ｈｅ ｇｅ ｅｒ ｌｆ ｍ ｏｆ ｓ ｂ ｅ ｉ ｎ． Ｆｏｒ ｐｒ ｏｂｌ ｍ ｅ Ⅱ ，ｔ ｈｅ
维普资讯
２０ ０ ２年 ９月
高 等 学 校 计 算 数 学 学 报
第 ３ 期
双 反 对 称 矩 阵 反 问 题 的 最 二 ’ 小 乘解
盛 炎平 谢 冬 秀
（ 京 机 械 工 业 学 院 基 础 部 ， 京 １０ ８ ） 北 北 ０ ０ ５
ＬＥＡＳ Ｓ Ｔ— ＱＵＡＲＥ Ｓ ｏＬＵＴ ｏＮＳ ｏＦ Ｉ Ｉ ＮＶＥＲＳ Ｅ
ＰＲｏ ＢＬＥＭ Ｓ ＦｏＲ ＡＮ ＴＩ ＢＩ — ＳＹＭ Ｍ ＥＴＲＩ Ｍ ＡＴＲＩ Ｃ ＣＥＳ
Ｓｈｅ ｎｐｉ ｎｇ Ｙａ ｎｇ
Ｘｉ ｅ Ｄｏｎｇ ｏｕ ｘｉ
（ ｓｃＤｅ ａ ｔ ｎ ，Ｂｅｊ ｇ Ｉ ｓ ｉｕ ｅｏ ａ ｈ ｎ ｒ Ｂａ ｉ ｐ ｒｍａ ｔ ｉ ｎ ｎ ｔｔ ｔ ｆＭ ｃ ｉ ｅ ｙ，Ｂ ｉｉｇ １ ０ ８ ） ｉ ｅｊ ０ ５ ｎ ０

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矩阵方程AXB+CYD=E的中心对称最小二乘解及其最佳逼近

矩阵方程AXB+CYD=E的中心对称最小二乘解及其最佳逼近

．
ｒ ｕ ｄｎ ｒｏ ｓｗｅ ｅ ｎ ｔｂ ａ ｅ ｎ ｏ ａ ｃ ｕ ｔ ａ ｄ ｔ ｅ ｓ ｌｔｏ ｔ ｅ ｓ ｏ ｍ ｏ ｌ ｅ ｏ ｔ ｉｅ ｙ ｏ ｎ ｉｇ ｅ ｒ ｒ ｒ ｏ ｅ ｔｋ ｎ ｉｔ ｃ ｏ ｎ ． ｎ ｈ ｏ ｕ ｉｎ ｗｉ ｌａ ｔｎ ｒ ｃ ｕ ｄ ｂ ｂ ａｎ ｄ ｂ ｈ ｃ ｏ ｓｎ ｐ ｃａ ｎ ｔ ｌｅ ｎ ｒ ｓ ｍ ｍｅ ｒｃ ｍａ ｒｘ Ｍ ｅ ｎ ｉ ｅ ｉｓｏ ｔｍａ ｐ ｒ ｘｍ ａｉｎ ｓ ｌ ｔ ｎ ｔ ｈ ｈ ｏ ｉｇ ａ ｓ ｅ ｉｌｉ ｉ ａ ｅ ｔｏ ｙ ｉ ｔｉ ｔｉ． ａ ｔ ， ｔ ｐ ｉ ｌａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｏｕ ｉ ｏ ｔ ｅ ｍ ｏ ｏ ｇｖ ｎ ｍ ａｒｘ ｃ ｕｄ ｂ ｂ ａｎ ｄ ｉｅ ｔｉ ｏ ｌ ｅｏ ｔ ｉｅ ．Ａ ｉｅ ｕ ｒｃ ｌ ｘ ｍｐ ｅｄ ｍｏ ｓｒ ｔｄ ｔ ａ ｈ ｓｉｅａ ｉｅａｇ ｒｔ ｍ ｓ ｇ ｖ ｎｎ ｍｅ ｉａ ａ ｌ ｅ ｎ ｔａｅ ｈ ｔ ｉ ｔｒ ｔ ｌｏ ｉ ｅ ｔ ｖ ｈ ｗａ
矩阵方程 Ａ Ｂ＋Ｃ Ｄ＝Ｅ的中心对称 Ｘ Ｙ 最小二乘解及其最佳逼近
刘 莉
（ 宁夏大学 数学计算机学院， 宁夏 银 川 ７０２） ５０１
摘 要：提 出一类求矩阵方程 Ａ Ｂ＋Ｃ Ｄ＝Ｅ 的中心对称最ｄ － 乘解的迭代 算法， Ｘ Ｙ ￣－ ： 并证 明迭代 算法的收敛性． 在不考
虑舍入误差时， 迭代算法能够在 有限步计 算后得到矩 阵方程 的中心对称最小二乘解； 选取特殊 的初始矩 阵时 ， 能够
得到矩阵方程的的极小 范数 中心对称最小二乘解．同时能够得到给定 矩阵的最佳逼近 中心 对称矩 阵． 数值 例子表 明， 这种方法是有效的．
关键词 ：中心对称矩阵；最小二乘解 ； 小范数解 ；最佳逼近 解 极
Radon变换综述

Radon变换综述

Radon变换综述研究背景Radon变换是一种投影方法,其基本思想是对某个被积函数在给定的路径上进行积分运算[1]。

当被积函数的积分路径是直线时,则称,,p为线性Radon变换,又称为变换或倾斜叠加,,当被积函数的积分路径不是直线时,则称为非线性Radon变换,或广义Radon变换。

,,q常见的非线性Radon变换有,抛物线Radon变换,又称为变换,,双曲Radon 变换(又称为速度叠加),多项式Radon变换。

这两种类型的Radon 变换实质上是统一的,它们可以用一个统一的公式表述。

Radon变换自建立起相应的理论之日起就为图像重构问题提供了一个统一的数学基础,Fourier投影定理证明Radon 变换和Fourier 变换有明确的对等关系,即凡能用Fourier 变换解决的问题都能用Radon变换解决,这又为Radon变换的快速求解提供了手段。

但是Radon变换本身的特点决定了Radon变换域中场的物理特征更为直观明确,有利于对比分析,易于为人们所接受和使用,所以Radon换在包含更多场的物理特征的地震勘探领域,如波场模拟、速度分析、偏移成像、平面波分解、噪声衰减、数据插值补道拓道、多次波衰减等方面得到广泛的应用。

由于Radon变换算子是非正交的,这也就导致了直接进行Radon正反变换能量的不对等性,于是提出了基于最小范数反演的Radon变换,这在一定程度上减少了拖尾现象,但是最小范数约束将会产生平滑效应,不能保证能量足够集中,所以不能在Radon域获得期望的分辨率。

因此要想获得高分辨率的Radon变换结果,消除平滑效应,必须采用新的方法改进反演约束的方式。

首次提出高分辨率Radon变换方法是在频率空间域,是一种稀疏约束反演算法,得到频率域的稀疏解。

对应于Radon变换在频率域的Toeplitz结构[2],求解方法有,Levinson递推算法、Cholesky分解法、共轭梯度法、预条件共轭梯度法等。

线性流形上次对称矩阵的加权最小二乘解

线性流形上次对称矩阵的加权最小二乘解


了解 集合 中与给定矩 阵的加权 最佳逼近解的表 达式。 ［ 关键 词］ 加权 ； 次对称 矩阵 ； 最小二 乘解
［ 图 分 类 号 ］ Ｏ ４ ． ［ 献 标 识 码 ］ Ａ ［ 章 编 号 ］ １０ ４ ５ （０ １０ ０５ ０ 中 ２ １６ 文 文 ０ ８— ６ ７ ２ １ ）５— ０ ７— ４
Ｗ ： ∑ － ｆ Ｉ
＼０
（） ５
， ，－ Ｉ ｌＩ
第２ ６卷 第 ５期
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ ５ １２ ．
荆 楚 理 工 学 院 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉ ｇ ｈ ｎ ｖ ｒｉ ｆ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｆ ｎ ｃ ｕ Ｕ ｉｅ ｓｔ ｏ ｃ ｎ ｌｇ Ｊ ｙ Ｔ
２ １ 年 ５月 ０１
Ｍａ ｖ２０１ １
ｆ ｌ＝ｍｎ Ｓ 中存在唯一解 Ｇ＝ ［ ￥ ｉ￣ Ｒｘ ｓ （
８
ｒ
一 ｎ 一 ￡ ！ ｒ
．
，
≤ ｉ ≤ ｓ √ 。
Ｓ ｎ
，
２
２
定 理 １ 给定 ， ， ∈Ｊ Ｂ ＥＲ Ｗ ｓ
， Ｗ Ｘ的奇异值分解为 设
、、 ● ，＾ 、
１ 问题 的 提 出
对于矩 阵方 程在 加权 范数 下 的最小 二乘解 的研 究 到 目前 为止 已取 得 了一 系列 的成 果 （ 见文 献 ［ １— ４ ） 本文在 此基 础上运 用 矩 阵的奇 异值 分解研 究线 性 流形上 矩 阵方 程 Ａ ＝ Ｂ的加权 最／２－ ］， ｂ７ 乘解 。 记 尺 表示 所有 １Ｘｍ 阶实矩 阵集 合 ；Ｒ 表 示所 有 阶正交 矩 阵集合 ；Ｒ 表 示所有 凡阶实对 ２ Ｏ Ｓ 称矩 阵集合 ；尺 表 示所 有 ｎ阶实 对称 正 定 矩 阵集 合 ； 表 示 ｋ阶单 位 矩 阵 ； ＝ （ ｅ … ，。 ｓ ｓ ｅ， ｅ）∈
矩阵投影与最小二乘方法

矩阵投影与最小二乘方法

题目：《神奇的矩阵——矩阵投影与最小二乘方法》学校：哈尔滨工程大学姓名：黎文科联系方式： QQ群：53937814 联系方式： 190356321@矩阵投影与最小二乘方法最小二乘法(Least Squares Method,简记为LSE)是一个比较古老的方法，源于天文学和测地学上的应用需要。

在早期数理统计方法的发展中，这两门科学起了很大的作用。

丹麦统计学家霍尔把它们称为“数理统计学的母亲”。

此后近三百年来，它广泛应用于科学实验与工程技术中。

美国统计史学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)指出, 最小二乘方法是19世纪数理统计学的压倒一切的主题。

1815年时,这方法已成为法国、意大利和普鲁士在天文和测地学中的标准工具,到1825年时已在英国普遍使用。

追溯到1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。

经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。

随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。

时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。

奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。

高斯于其1809年的著作《关于绕日行星运动的理论》中。

在此书中声称他自1799年以来就使用最小二乘方法,由此爆发了一场与勒让德的优先权之争。

近代学者经过对原始文献的研究,认为两人可能是独立发明了这个方法,但首先见于书面形式的，以勒让德为早。

然而,现今教科书和著作中,多把这个发明权归功于高斯。

其原因,除了高斯有更大的名气外,主要可能是因为其正态误差理论对这个方法的重要意义。

勒让德在其著作中,对最小二乘方法的优点有所阐述。

然而,缺少误差分析。

我们不知道,使用这个方法引起的误差如何,就需建立一种误差分析理论。

高斯于1823年在误差e 1 ,… , e n 独立同分布的假定下,证明了最小二乘方法的一个最优性质: 在所有无偏的线性估计类中,最小二乘方法是其中方差最小的！在德国10马克的钞票上有高斯像，并配了一条正态曲线。