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1 基于影子长度变化的定位技术 摘要 随着互联网革命的到来，视频数据的利用日益重要。本文旨在通过分析太阳影子长度随各个因素的变化规律，探索出一种视频信息定位技术。 针对问题一，我们以国家大地坐标系为标准，建立数学模型，得出了太阳高度角、地理纬度、时角和太阳赤纬角等参数的函数关系 sinsinsincoscoscos



并将问题一中的数据带入该模型，可以得出太阳影子长度随时间的变化曲线。 针对问题二，由正午时分时角为0、太阳高度角最大、影长最短的规律，即可得当地与北京的经度差，由此可得当地的经度为111°23′28″E。我们运用最小二乘拟合法则，得出附件一的影子长度变化曲线。再利用各个参数的函数关系进行逆运算，得出当地的纬度为70°30′N，并使用正态分布假设检验检测数据质量。于是推测可能的测量地点的地理坐标可能为（70°30′N，111°23′28″E），在俄罗斯境内。 针对问题三，我们通过问题二求解经度的方法，求得附件二、三中的经度不同，从而可得附件二、三为不同拍摄地点，即纬度可能不同。又由于只有两组数据，但有两个拍摄地点的纬度和赤纬三个未知数，正常情况下无法求得唯一解，由此我们建立条件平差模型，通过设定适当的协因数矩阵，并依据最小二乘原则，得到三个未知数的最优解。再由赤纬的最优解反推日角和真太阳时，接着再由真太阳时求出对应的具体日期，公式210.30832.05790.4345LL

、

220.05991.87714.7903.LL

.

针对问题四，运用PHOTOSHOP以等时间间距取得21张图像，并量出影长和

杆长的像元点个数，再由2米杆长得出真实影长。首先，在拍摄日期已知的情况下，利用问题二的解决方法求解出拍摄地点的经纬度。其次，在拍摄日期未知的情况下，同理利用问题三中的解决方法求解出拍摄地点的经度，再由赤纬的最优解反推“日角”和“真太阳时”，接着再由“真太阳时”求出对应的具体日期。 本文的主要特点在于，建立的条件平差模型很好的解决了未知数个数大于方程个数的问题，并且可以利用条件平差的相关精度评定方法评定误差。另外，本文所建立的模型简单、所用算法比较清晰，易于程序实现。

关键词： 条件平差 最小二乘法 拟合 太阳高度角 影子长度 2

一、问题重述 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用我们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将我们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，得出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将我们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，得出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。我们需要建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用我们的模型得出若干个可能的拍摄地点。 另外，如果拍摄日期未知，请根据视频确定出拍摄地点与日期。

二、问题分析 2.1问题一的分析 通过参阅地理学相关文献，发现影子长度L是由太阳高度角决定的（物体自身高度H一定），而太阳高度角与赤纬角、地理纬度、太阳时角有关，利用球面三角可推出它们之间的函数关系，由此可以得出影子长度变化随各个参数的变化规律模型。通过该数学模型，利用Matlab编程利用Matlab编程可以求出给定时间、地点、杆长下太阳影子长度的变化曲线图，详见图二。 2.2问题二的分析

由第一问所得到的太阳影子长度变化曲线，联想到将附件一中的影子顶点坐标数据进行拟合，即可得到近似的影子长度变化曲线，由于直杆定长并且影子长度变化曲线与太阳高度角成非线性关系，另外，太阳高度角、赤纬角、时角和地 3

理纬度存在函数关系，那么在已知太阳高度角、赤纬角和时角的情况下可以得到当地的地理纬度。再对纬度进行正态分布假设检验，判断其是否为真地理纬度。再者，由于附件一所给数据的前提是北京时间，而且依据正午时分时角为0、太阳高度角最大、影长最短的规律，即可得当地与北京的经度差，由此可得当地的经度。 2.3问题三的分析

由于附件二和附件三中所给的数据仅有北京时间和影子长度，没有拍摄日期，因此我们通过问题二求解经度的方法，求得附件二、三中的经度不同，从而可得附件二、三为不同拍摄地点，即纬度可能不同。又由于只有两组数据，但有两个拍摄地点的纬度和赤纬三个未知数，正常情况下无法求得唯一解，由此我们建立条件平差模型，通过设定适当的协因数矩阵，并依据最小二乘原则，得到三个未知数的最优解。再由赤纬的最优解反推日角和真太阳时，接着再由真太阳时求出对应的具体日期。 2.4问题四的分析

通过量取视频中每隔2分2秒的影子长度和杆长，结合已知的真实杆长，求出影子的真实长度。首先，在拍摄日期已知的情况下，可以通过拟合得出影子长度变化曲线，并利用问题二中的解决方法求解出拍摄地点的经纬度。其次，在拍摄日期未知的情况下，需要先求解经度，再利用条件平差原理，求出最优的纬度和太阳赤纬角。同理，再由赤纬的最优解反推日角和真太阳时，接着再由真太阳时求出对应的具体日期。 三、模型假设

1．不考虑大气对太阳光线的折射、透射现象，且太阳光线近似是平行的；

2．假设问题二中某固定直杆的长度为3m；

3．假设问题三中直杆的长度为1、2、3、4、5m；

4．假设影子长度变化曲线符合二次函数；

5．假设问题三中附件二、三拍摄日期相同。 4

四、符号说明 L 影子长度  太阳高度角

H 物体自身高度

Eq 时差

 日角

NF 年份

floorX

Matlab语言中求出不大于X的最大整

数的标准函数

N 积日，即日期在年内的顺序号，例如平年12月31日的积日为365，闰年则为366 N 积日修正值

S、F

分别是观测时的时值和分值

D、E 分别是观测处经度的度值和分度值

TT 真太阳时 hs1、hs2 附件二、附件三数据中影长最短条件下的太阳高度角 fi1、fi2 附件二、附件三中数据的纬度

,,1,2,iiiabrin 条件方程系数

000,,abr 条件方程常数项系数和常数项

,,,abrwww 条件方程的闭合差，或称不符值

五、模型的建立与求解 5.1问题一的模型建立与求解 (1)太阳高度角的计算 太阳高度角随着太阳高度角随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化，其计算公式[1]： sinsinsincoscoscos （1—1） 5

(2) 赤纬角、太阳时角的计算 ①时差的计算

太阳在黄道上的运动时快时慢，真太阳日的长短也各不相同。但是在实际生活中，匀速不变的时间单位往往是人们需要的，因此需要需找一个假想的、以均匀速度运行的太阳。此太阳即为平太阳，平太阳日指的是它每天的持续时间，由此而来的小时即为平太阳时。 平太阳时无法观测的，但可以从真太阳时间接求出，同理也可通过平太阳时

来求得真太阳时，这二者之间的差值即为时差Eq，可通过下式求出：

0.00281.9857sin9.9059sin27.0924cos0.6882cos2Eq 式中的求解公式为：

00

2365.2422198579.67640.242219854ttNNNNFNNFfloor









当给定年、月、日分别为NF、Y、R时，相应的积日N可通过以下Matlab伪代码来实现，详见附录。N由观测时刻与格林威治0时时间差的修正值W和观测地与格林威治经度差所产生的时间差的修正值P(西经为正，东经为负)两项组成： 156060EPDFWS







由此可得N的计算公式：

24WPN

综上所述，根据N、N、0N可求处t，进而求出，最后求出时差Eq。

②太阳时角的计算 太阳时角的九三公式为：