中南大学矩阵论课件Chapter5(1)

%用循环结构实现
a=0;
for i=1:n
a=a+1/(i^2);
end
disp(a);
j=1:n;
%用 sum 函数实现
b=sum(1./(j.^2)); 输入一个数：34
b=
(2)( )( )( ) (
) (= )
clear n=input('输入一个数：'); a=1; for i=1:n a=((2*i*i*2)/((2*i-1)*(2*i+1)))*a; end disp(a); 输入一个数：8
1/5 1/6 1/7 1/8
1/5
1/6
1/7
1/8
1/9
P=pascal(5)
P= 1 1 1 1 1
1
1
1
1
2
3
4
5
3
6
10
15
4
10
20
35
5
15
35
70
Hh=det(H)
Hh = 1/0000
Hp=det(P)
Hp = 1
Th=cond(H)
Th = 476607
Tp=cond(P)
Tp = 178868/21 P 矩阵性能更好，因为 Tp 更接近 1. 5.已知 A，求 A 的特征值及特征向量，并分析其数学意义。 A=[-29,6,18;20,5,12;-8,8,5]
min=a(i); end end max min 请输入二十个数[ 3 4 6 5 3 44 5 5 5 6 6 5 5 4 3 32 2 2 2 6]
max =
44
min =
2
4.
,当 a 取、、、…、、、时，求各点的函数值。要求分别用顺序结

习 题 一13. 设A ∈ C n n ⨯是Hermite 矩阵。

证明A 是Hermite 正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite 正定矩阵B ，使得A=B 2。

解：若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U , 使得U H AU =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO21, i λ﹥0, I =1, 2, ,Λn . 于是A =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO 21U H= U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλO 21U H U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO21U H 令B =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO21U H 则 A =B 2.反之,当 A =B 2且B 是Hermit 正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit 正定矩阵,故A 是Hermit 正定的.14. 设A ∈ C n n ⨯是Hermite 矩阵，则下列条件等价:（1）A 是Mermit 半正定矩阵。

（2）A 的特征值全为非负实数。

（3）存在矩阵P ∈ C n n ⨯,使得A=P HP解：(1)⇒(2). 因A 是Hermit 矩阵,则存在酉矩阵U,使得U H AU =diag(n λλλ,,,21Λ)令x =Uy , 其中 y =e k . 则 x ≠0. 于是x H Ax =y H (U H AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, ,Λn ).(2)⇒(3). A =U diag(n λλλ,,,21Λ)U H =U diag(n λλλ,,,21Λ)diag(n λλλ,,,21Λ)U H 令 P =diag(n λλλ,,,21Λ)U H , 则 A =P H P . (3)⇒(1). 任取x ≠0, 有x H Ax =x H P H Px =22Px ≧0.习 题 二1.求向量x=（1+i ，-2,4i ，1,0）的1、2、∞范数。

解：1x =01i 42i 1+++-++=7+2, 2x =1i)4i(4)2(i)1i)(1(2+-+-+-+=23, ∞x =max {}1i 42i 1,,,-+=4.2. 设1ω，2ω…..n ω是一组给定的正数，对任意x=（1ξ,2ξ…..n ξ）T ∈ C n , 规定x =∑=nk kk 12ξω 。

由此可得 与 故 (sinia)A==sinA 与 5. 对A求得 P= , P=, PAP= 根据p69方法二, e=Pdiag(e,e,e)P= sinA=Pdiag(sin(－1),sin1,sin2)P= 6. D()==, D()=D()=1, A~J=. 现设 r(,t)=b+b+b, 则有 b=1, b=2e－te－2, b=te－e+1. 于是 e=r(A, t)=bI+bA+bA=I+(2e－te－2)+(te－e+1) = 同理,由 b=1, b=tsint+2cost－2, b=1－tsint－cost. 将其代入 cosAt=bI+bA+bA, 求出 cosAt= 7. 设 f(A)=,S=.则 f(A)=并且由于 (S)== 所以, f(A)==f(A). 8, (1) 对A求得 P=, P=P , J= 则有 e=PP= sinAt=PP= (cosia)I==cosA.
10. 利用定理2.12得 . 11. A= cond(A)=; cond(A)=. 12．设x是对应于的特征向量, 则A.又设 是C上与矩阵范数相容的向量范 数,那么 ≦ 因 ＞0, 故由上式可得 ≦≦. 习 题 三 1. , 当﹤1时, 根据定理3.3, A为收敛矩阵. 2. 令S=, =S , 则 . 反例: 设 A=, 则因 发散, 故 发散, 但 =O. 3. 设 A=, 则 ≦行和范数=0.9＜1, 根据定理3.7, =(I－A)=. 4. 我们用用两种方法求矩阵函数e: 相似对角化法. , 当 ia时, 解方程组 (ia－A)x=0, 得解向量 p=(i, 1). 当 =－ia时, 解方程组 (ia+A)x=0, 得解向量 p=(－i, 1).令 P=, 则P=, 于是 e=PP=. 利用待定系数法. 设e=(+a)q()+r(), 且 r()=b+b, 则由 b=cosa , b=sina .于是 e=bI+bA=cosa+sina=. 后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设 f()上面的分解变形可得 A= = = 3.对A的第1列向量, 构造Householder矩阵使得 ,

所以 2 x , y
即


2
4 x , x y , y 0
（５．１）
x , y
2
x , x y , y
上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式.
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二．正交向量组与正交化方法
１．正交向量组
１．正交向量组
当 x
y 0 时，定义向量
cos
２．施密特正交化方法
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三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵 定义５．２ 定理５．３
1.正交矩阵
2.正交变换
如果 n阶方阵 A 满足 AT A 则称 A 为正交矩阵．
I
如果 A , B均为 n阶正交矩阵，
T
1
那么：⑴ A1 AT ⑵ A 即 A 为正交矩阵
1 A A ⑶ 2 A A 为 2n 阶正交矩阵
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空 间 R n的一组正交基．
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例５．１
T 已知 R 3的一个向量 1 1 ,1 ,1， 求 R 3的一组正交基． T T 解：求 2 x21 , x22 , x23 ，使 1 2 0
即： x21 x22 x23 0
bi ( i 1 ,2 , , r ) 再取 i bi
显然 1 , 2 , , r为正交规范化的向量组， 且与 1 , 2 , , r 等价．
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T T T 例5.2：已知 1 1 ,1 ,1 , 2 1, 2 ,1 , 3 1 ,1 ,2
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定义５．１
设n 维向量 1 , 2 , , r是向量空间 V ( V R n )的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交规范基 或标准正交基．