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大学数学《概率论》期末测试(一)(附参考答案)

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1

概率论试题

一．单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设事件A和B的概率为12(),()23PAPB 则()PAB可能为（ ）

(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6

2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（ ）

(A) 12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对

3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）

(A) 518; (B) 13; (C) 12; (D)以上都不对

4．某一随机变量的分布函数为()3xxabeFxe，则F(0)的值为（ ）

(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对

5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ）

(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对

二．填空题（每小题3分，共15分）

1．设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则()PAB=_____.

2．设随机变量~(,), ()3, ()1.2BnpED，则n=______.

3．随机变量ξ的期望为()5E，标准差为()2，则2()E=_______.

4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________.

5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22afxxx，a为常数，则P(ξ≥0)=_______.

三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率

(1) 4个球全在一个盒子里;

(2) 恰有一个盒子有2个球.

四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为

, 03()10, x<0x>3Axfxx当≤≤当或

(1) 求常数A; (2) 求P(ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望. 2

五．(本题10分)

设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是

η＝1 η=2 η＝4 η＝5

ξ＝0 0.05 0.12 0.15 0.07

ξ＝1 0.03 0.10 0.08 0.11

ξ＝2 0.07 0.01 0.11 0.10

(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求的分布及()E；

六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？

七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.

八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？

(注：(1.28)0.90,(1.65)0.95)

九．(本题6分)设事件A、B、C相互独立，试证明AB与C相互独立.

某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________.

十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：

1820，1834，1831，1816，1824

假定重复测量所得温度2~(,)N.估计10，求总体温度真值μ的0.95的置信区间.

(注：(1.96)0.975,(1.65)0.95)

3

参考答案

一．1．（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）

二．1．0.85、2. n=5、3. 2()E=29、4. 0.94、5. 3/4

三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分

（1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故

P(A)=5/625=1/125------------------------------------------------------5分

(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有

302415CC种方法----------------------------------------------------7分

4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法

因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故

12572625360)(BP--------------------------------------------------10分

四．解：（1）304ln1,4ln1)(AAdxxAdxxf---------------------3分

（2）10212ln1)1(AdxxAP-------------------------------6分

（3）3300()()[ln(1)]1AxExfxdxdxAxxx

13(3ln4)1ln4ln4------------------------------------10分

五．解：（1）ξ的边缘分布为

29.032.039.02 1 0--------------------------------2分

η的边缘分布为

28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分

因)1()0(05.0)1,0(PPP,故ξ与η不相互独立-------5分

（2）的分布列为

 0 1 2 4 5 8 10

P 0.39 0.03 0.17 0.09 0.11 0.11 0.10

因此， 4

16.310.01011.0811.0509.0417.0203.0139.00)(E

-------10分

另解：若ξ与η相互独立,则应有

P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1); P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2);

P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1); P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2);

因此，

)1()0()2,1()2,0()1,1()1,0(PPPPPP

但 10.012.003.005.0，故ξ与η不相互独立。

六．解：由全概率公式及Bayes公式

P(该种子能发芽)＝0.1×0.9+0.9×0.2＝0.27-----------------------------------5分

P(该种子来自发芽率高的一盒)＝(0.1×0.9)/0.27＝1/3---------------------10分

七．令Ak={在第k次射击时击中目标}，A0={4次都未击中目标}。

于是P(A1)=0.3; P(A2)=0.7×0.3=0.21; P(A3)=0.72×0.3=0.147

P(A4)= 0.73×0.3=0.1029; P(A0)=0.74=0.2401-----------------------------------6分

在这5种情行下，他的收益ξ分别为90元，80元，70元，60元，－140元。-------------------------------------------------------------------------------------------8分

因此，

65.26)140(2401.0601029.070147.08021.0903.0)(E

--------------------12分

八．解：设他至少应购买n个零件，则n≥2000，设该批零件中合格零件数ξ服从二项分布B(n,p), p=0.95. 因n很大，故B(n,p)近似与N(np,npq) ------------4分

由条件有

2000(2000)1()0.95npPnpq-------------------------------------------8分

因(1.65)0.95，故2001.65npnpq，解得n=2123,

即至少要购买2123个零件. -------------------------------------------------------------12分

九．证：因A、B、C相互独立，故P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B),

P(ABC)=P(A) P(B)P(C).

(())()()()()PABCPACBCPACPBCPABC------2分 5

()()()()()()()PAPCPBPCPAPBPC---------------------------4分

[()()()()]()()()PAPBPAPBPCPABPC

故AB与C相互独立. -------------------------------------------------------6分

十、解：1(18201834183118161824)18255-------------------2分

已知10.95, 0.05，0.02521.96uu---------------------------5分

10，n=5, 0.0252101.96108.7755uun-------------------8分

所求真值μ的0.95的置信区间为[1816.23, 1833.77]（单位：℃）-------10分

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(完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

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1

一、填空题(每小题3分，共15分）

1． 设事件BA,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(BPAP，则BA,至少有一个不发生的概率为__________。

答案：0.3

解：

3.0)(BABAP

即

)(25.0)()()()()()(3.0ABPABPBPABPAPBAPBAP

所以

1.0)(ABP

9.0)(1)()(ABPABPBAP。

2． 设随机变量X服从泊松分布，且)2(4)1(XPXP，则)3(XP______.

答案:

161e

解答：

eXPeeXPXPXP2)2(,)1()0()1(2

由 )2(4)1(XPXP 知 eee22

即 0122 解得 1，故

161)3(eXP

3． 设随机变量X在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2XY在区间)4,0(内的概率密度为)(yfY_________。

答案：

1,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它

解答：设Y的分布函数为(),YFyX的分布函数为()XFx,密度为()Xfx则

2()()()()()()YXXFyPYyPXyPyXyFyFy

因为~(0,2)XU，所以()0XFy，即()()YXFyFy

故 (完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

2 1,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它

另解 在(0,2)上函数2yx严格单调，反函数为()hyy

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案

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一、选择题（每题2分，共20分）

1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（ ）

A. 0.1

B. 0.3

C. 0.5

D. 0.7

参考答案：D

2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（ ）

A. 存在且大于0

B. 存在且小于0

C. 存在且等于0

D. 不存在

参考答案：A

3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（ ）

A. P(X<0) = 0.5 B. P(X>0) = 0.5

C. P(X=0) = 0.5

D. P(X≠0) = 0.5

参考答案：A

4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（ ）

A. p^n

B. (1-p)^n

C. np

D. n(1-p)

参考答案：A

5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（ ）

A. np(1-p)

B. np

C. np^2

D. n^2p^2

参考答案：A

二、填空题（每题3分，共15分） 1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) =

_______。

参考答案：μ

2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。

参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))

3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。

参考答案：B(n+m,p)

4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。

参考答案：ρ = 0

5. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。

概率论和数理统计期末考试题及答案

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概率论与数理统计期末复习题一

一、填空题（每空2分，共20分）

1、设X为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).

2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).

3、若随机变量X的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ).

4、设X服从N（1，4）分布，Y服从P(1)分布，且X与Y独立，则

E（XY+1-Y）=（ 1 ） ，D（2Y-X+1）=（ 17 ）.

5、已知随机变量X～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ).

6、已知随机变量(X,Y)的分布律为：

X Y 1 2

3 0.15 0.15

4 A B

且X与Y相互独立。

则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).

7、设X1,X2,…,Xn是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,nxxx,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X(n) ).

二、计算题（每题12分，共48分）

1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.

解：(1)以A1,A2,A3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B记找到钥匙.则

P(A1)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3)=0.25, P(B| A1)=0.9 ,P(B| A2)=0.3,P(B| A3)=0.1

所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31iiiABPAPBP

(2)21.049.0/)3.035.0()|(2BAP

概率论与数理统计期末考试题及答案

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模拟试题一（一）

一、 填空题（每空3分，共45分）

1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A) = 0.85, 则P(A|B) = 。

P( A∪B) = 。

3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：

；没有任何人的生日在同一个月份的概率；

4、已知随机变量X的密度函数为：,0()1/4,020,2xAexxxx, 则常数A=, 分布函数F(x)= , 概率{0.51}PX；

5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9PX，则p = ，若X与Y，则Z=max(X,Y)的分布律：；

6、设~(200,0.01),~(4),XBYP且X与Y相互，则D(2X-3Y)=,

COV(2X-3Y, X)=；

7、设125,,,XXX是总体~(0,1)XN的简单随机样本，则当k时，

12222345()~(3)kXXYtXXX；

8、设总体~(0,)0XU为未知参数，12,,,nXXX为其样本，11niiXXn为样本均值，则的矩估计量为：。

9、设样本129,,,XXX来自正态总体(,1.44)Na，计算得样本观察值10x，求参数a的置信度为95%的置信区间：；

二、 计算题（35分）

1、 (12分)设连续型随机变量X的密度函数为：

1,02()20,xxx其它 求：1）{|21|2}PX；2）2YX的密度函数()Yy；3）(21)EX；

2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为

1/4,||,02,(,)0,yxxxy其他

1） 求边缘密度函数(),()XYxy；

2） 问X与Y是否？是否相关？

3） 计算Z = X + Y的密度函数()Zz；

3、（11分）设总体X的概率密度函数为：