最小项

例2.5.12 试将下列函数利 用真值表转化成两种标准 形式
Y ( A, B, C) AB AC BC
解：其真值表如表2.5.16 所示
表2.5.16 例2.5.12的逻辑函数真值表
AB C
Y
00 0
1
001
1
01 0
0
011
1
100
1
101
0
110
1
111
1
则逻辑函数的标准与或型为
F ( A, B,C) m(0,1,3,4,6,7)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC
逻辑函数的标准或与型为
F ( A, B, C) M (2,5)
( A B C)( A B C)
表2.5.16 例2.5.12的逻辑函数真值表
AB C
Y
000
1
001
1
01 0
0
011
1
100
1
101
0
110
1
111
1
2.利用公式A＋A＝1及A·A＝0将逻辑函数变换为 与或式和或与式
Y ((AC BC')')' ((AC)'(BC')')'
Y ((AC BC')')' ((AC)'(BC')')'
如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实 现该函数，其逻辑电路如图2.5.10所示。
A
＆
C
B
＆
C
＆
Y
图 2.5.10 输 入 有 反 变 量 输 入
A
＆
C
＆

2 无关项在化简逻辑函数中的应用
【例3】 化简具有约束的逻辑函数
Y ABCD ABCD ABCD
给定约束条件为
ABC D ABCD ABCD ABCD ABC D ABCD ABCD 0
解：采用公式化简法
Y ( ABCD ABC D) ( AB C D ABCD) ( ABCD ABCD) ( AB CD AB CD )
解: Y1 A BCD BCD A
Y2 A B CD A B CD B CD Y3 Y4
ABC A B C AB C AB C C BD C C BD C C
B D D B
i
【例1】将逻辑函数展开为最小项之和的形式。
Y ABCD ACD AC
解： Y A BC D A( B B )CD A( B B)C
ABC D ABCD ABCD ABC ABC ABC D ABCD ABCD ABC( D D) ABC ( D D) ABC D ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABC D
强化： 逻辑函数的公式化简法
1 逻辑函数的最简形式
乘积项最少；每个乘积项里的因子也最少 一. 最简与-或式 二. 最简与非-与非式等
_ _
F AB A B
F AB A B
__________ ______ ____ __ __
三.最简与或非表达式
F AB AB
__________ ___ __ __
变量的各组取值 对应的最大项及其编号 最大项 编 号 A B C
0 0 0 0 1 1 1 1

第六讲 逻辑函数的卡诺图表示※ 最小项定义及其性质 ※《数字电子技术基础》第六讲 逻辑函数的卡诺图表示█ 最小项定义 在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘 积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式 在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。

例：对三变量逻辑函数ABC （√） ABC （ √ ）ABC （ √ ）A + BC （×） AC（×）A + B + C （×）《数字电子技术基础》第六讲 逻辑函数的卡诺图表示表1 三变量最小项编号表《数字电子技术基础》第六讲 逻辑函数的卡诺图表示█ 最小项性质从最小项的定义出发可以证明它具有如下的重要性质：性质1：在输入变量的任何取值下必有一个 且仅有一个最小项的值为1；例：以三变量最小项为例，当输入A、B、C分别为 ‘0’、‘0’、‘1’时，仅有 m1 = ABC = 1 ，其余 各最小项均为0。

《数字电子技术基础》第六讲 逻辑函数的卡诺图表示性质2：全体最小项之和为‘1’；【证明】以三变量逻辑函数为例，其全体最小项之和为 Y，则有：Y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC= AB +AAB+AB+AAB=1 ，即全体最小项之和为‘1’。

【证毕】《数字电子技术基础》第六讲 逻辑函数的卡诺图表示性质3：某一最小项若不包含在F中，则必在 F 中； 性质4：任意两个最小项的乘积为‘0’； 性质5：具有相邻性的两个最小项之和可以合并成 一项并消去一对因子。

所谓“相邻性”是指两个最小项与式中仅有一对因 子取值不同。

例：ABC + ABC = AB《数字电子技术基础》。

逻辑函数表达式的转换
最大项表达式 真值表中每一个对应函数值为0的输入变量实际上就是一个 函数包含的最大项，例如三变量ABC=111，函数F=0，就对应最 大项 M7。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为0的那些 最大项取出相与，便是函数的最大项表达式。
逻辑函数表达式的转换
例 将函数 F(A, B,C) AC ABC 转换为最大项表达式。
AB C
0
1
00
01
11
10
1
0
0
1
0
1
1
0
ABC ABC BC
ABC ABC BC
逻辑函数化简—卡诺图化简
（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项， 可以合并为一项，并消去2个变量。
AB
C
00
01
11
10
ABC ABC ABC ABC
0
1
1
1
1 (AB AB AB AB)C
① 表达式中的与项最少； ② 在满足①的条件下，每个与项中的变量个数最少。
实现最简与-或式逻辑功能对应的电路所需要的与门最少，并 且与门总的输入引脚最少，因而电路的连线最少。
逻辑函数化简—代数化简
逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定 理和规则来化简逻辑函数。
（1）并项法
利用公式 AB AB A 将两个与项合并成一个与
逻辑函数化简—卡诺图化简
下图显示的是三变量（A、B、C）的卡诺图。格中标出相 应的最小项mi。
三变量的每个最小项有三个相邻的最小项，图中m2有三个 相邻最小项：m0、m3 、m6
AB
C
00 01 11 10
0 m0 m2 m6 m4 1 m1 m3 m7 m5