专题28 基本不等式及其应用-2016年高考理数热点题型和提分秘籍(原卷版)

1．设x>0，y>0，且2x＋y＝6，则9x＋3y有( )

A．最大值27 B．最小值27

C．最大值54 D．最小值54

【答案】D

【解析】因为x＞0，y＞0，且2x＋y＝6，

所以9x＋3y≥29x·3y＝232x＋y＝236＝54，

当且仅当x＝32，y＝3时，9x＋3y有最小值54。

2．已知a，b为正实数，函数y＝2aex＋b的图象过点(0,1)，则1a＋1b的最小值是( )

A．3＋22 B．3－22

C．4 D．2

【答案】A

【解析】因为函数y＝2aex＋b的图象过(0,1)点，所以2a＋b＝1，所以1a＋1b＝2a＋ba＋2a＋bb＝3＋ba＋2ab≥3＋22，当且仅当ba＝2ab，即b＝2a时，取等号，所以1a＋1b的最小值是3＋22。

3．若正数a，b满足1a＋1b＝1，则1a－1＋9b－1的最小值为( )

A．1 B．6

C．9 D．16

【答案】B

4．设a＞1，b＞0，若a＋b＝2，则1a－1＋2b的最小值为( )

A．3＋22 B．6

C．42 D．22

【答案】A

【解析】由a＋b＝2可得，(a－1)＋b＝1。

因为a＞1，b＞0，所以1a－1＋2b＝1a－1＋2b(a－1＋b)＝ba－1＋a－b＋3≥22＋3。

当且仅当ba－1＝2a－b，即a＝2，b＝2－2时取等号。

5．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为( )

A.32 B.53

C.94 D.256

【答案】A

6．正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )

A．[3，＋∞) B．(－∞，3]

C．(－∞，6] D．[6，＋∞)

【答案】D

【解析】因为a＞0，b＞0，1a＋9b＝1，

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高考达标检测（二十八） 基本不等式

一、选择题

1．设0

A．a

C．a

解析：选B 因为00，故b>a＋b2；由基本不等式知a＋b2>ab，综上所述，a

2．(2017·某某模拟)设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“ab＋ba≥2”成立的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B 因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，

而ab＋ba≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“ab＋ba≥2”的必要不充分条件．

3．设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )

A.1a＋1b有最大值4 B.ab有最小值12

C.a＋b有最大值2 D．a2＋b2有最小值22

解析：选C 由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab≤12，∴ab≤14，1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，因此1a＋1b的最小值为4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－12＝12，(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋1＝2，所以a＋b有最大值2，故选C.

4．(2017·某某摸底考试)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )

A．3 B．4

C.92 D.112 word

解析：选B

由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－x＋2y22，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4，故选B.

5．(2017·江南十校联考)设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2,2a＋b＝8，则1x＋1y的最大值为( )

A．2 B．3

C．4 D．log23

专题3 不等式

【2016年高考考纲解读】

2016高考对本内容的考查主要有：

(1)一元二次不等式是C级要求，线性规划是A级要求．

(2)基本不等式是C级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.

【重点、难点剖析】

1．不等式的解法

(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解．

2．基本不等式

(1)基本不等式a2＋b2≥2ab取等号的条件是当且仅当a＝b.

(2)几个重要的不等式：①ab≤a＋b22(a，b∈R)．

② a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a＞0，b＞0)．

③a＋1a≥2(a＞0，当a＝1时等号成立)．

④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．

(3)最值问题：设x，y都为正数，则有

①若x＋y＝s(和为定值)，则x＝y时，积xy取得最大值s24；

②若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.

3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

(1)恒成立问题

若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)min>A；

若不等式f(x)

(2)能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上f(x)max>A； 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)

(3)恰成立问题

若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；

若不等式f(x)

4．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．

学必求其心得，业必贵于专精

【高频考点解读】

1。会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；

2。通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;

3。会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图．

【热点题型】

题型一 一元二次不等式的解法

例1、求下列不等式的解集:

(1）－x2＋8x－3〉0;

（2)ax2－(a＋1）x＋1<0.

解 (1）因为Δ＝82－4×（－1）×(－3)＝52〉0，

所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－错误!,x2＝4＋错误!。

又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，

所以原不等式的解集为{x｜4－错误!

当a＝0时，解集为{x｜x>1｝;当0

【提分秘籍】

含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．

（1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;

（2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；

（3）对方程的根进行讨论,比较大小，以便写出解集．

【举一反三】

（1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解为－错误!

(2)不等式错误!≤0的解集是________．

答案 (1）(－2,3） （2）(－错误!,1]

题型二 一元二次不等式的恒成立问题

例2、设函数f(x）＝mx2－mx－1。

(1)若对于一切实数x，f（x)<0恒成立，求m的取值范围；

（2)若对于x∈[1,3］，f(x）〈－m＋5恒成立，求m的取值范围．

解 （1）要使mx2－mx－1〈0恒成立,

若m＝0，显然－1〈0;

若m≠0,则错误!⇒－4〈m<0.

所以－4

(2)要使f（x)〈－m＋5在x∈［1,3]上恒成立，即

m错误!2＋错误!m－6〈0在x∈[1，3］上恒成立．