全等三角形专题之垂直模型经典习题练习

1 全等三角形辅助线训练专题

【倍长中线】

特点：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以构造全等三角形，从而进行边的等量代换。

典例分析

例1 已知AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3，求AD的取值范围．

例2 如图，AD是△ABC的中线，点E、F分别是AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF.

DBCA

2 【截长补短】

截长：1．过某一点作长边的垂线；2．在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短：1．延长短边；2．通过延长等方式使两短边拼合到一起。

典例分析

例3 如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD中，且OA平分∠BAC.

求证：AB＋CD＝AC．

例4 如图，AB＜BC，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA＝PC，求证：AB＋BC＝2BF．

N21FPCBA

3 例5 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD．

4 【构造一线三直角】

利用垂直相等作垂线构造全等三角形，实现坐标与线段的转化

典例分析

例6 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（0，n）以点B为直角顶点，点C在第二象限内，作等腰直角△ABC，则点C的坐标是____________．（用n表示）

例7 如图，△ACB为等腰直角三角形，A（－1，0），C（1，3），AC⊥BC，求B的坐标．

例8 如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，且B（－3，4），C（4，0），求A点坐标．

全等证明专题三 三垂直模型 姓名： 一、教材母题：P56 9

如图，90ACB，AC=BC，CEAD,CEBE,垂足分别为D，E，AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的长.

二、模型提炼：三垂直模型 （三垂直加线段相等可得三角形全等）

模型已知：如图，已知线段AB，OB且OA⊥OB，OA=OB．

模型构造：如图，过点O做水平直线l，分别过A、B两点作直线l的垂线，分别交该直线于点C、D．

模型结论：△ACO≌△ODB

模型证明：

模型变形1：

模型已知：如图，已知线段OA，OB，OE且OA=OB，OA⊥OB．

模型结论：△ACO≌△ODB．

模型证明：

模型的变形2：

模型已知：如图，已知线段OA，OB，OE，OF且OA=OB，OA⊥OB，OE⊥OF．

模型结论：△ACO≌△ODB

模型证明： 模型变形3：

模型已知：如图，已知线段AO，OB，BC，CD，AB且AB=CD，AO⊥OB，BC⊥OB

，CD⊥AB．

模型结论：△AOB≌△CDB

模型证明： E

D

CB

A

三、模型例题

例 1 .如图：RtΔABC 中， ∠BAC=90º ，AB=AC ，点 D 是 BC 上任意一点，过 B 作BE⊥AD 于点 E ，过 C 作 CF⊥AD 于点 F. (1)求证：BE-CF=EF； (2) 若 D 在 BC 的延长线上 (如图 (2))，(1) 中的结论还成立吗？若不成立，请写出新 的结论并证明.

变式 ：如图：RtΔABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D 在 BC的延长线上，过 B 作 BE⊥AD 于 点 E，交 AC 于点 G，过 C 作 CF⊥AC 交 AD 的延长线与于点 F.直接写出图中的全等三角形，以及线段AB，CF，CG之间的数量关系 .

例2 ：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB ，∠BAC＝90° ，点 D 是 AC 的中点，AF⊥BD 于点 E， 交 BC 于点 F，连接 DF，求证： ∠1=∠2。

全等变化模型四 三垂直模型【模型展示】

【模型图解】

【模型条件】【模型结论】

图1ECABAEDCB,DCABBC

图2BCABAFDCABC,ECCDAB

图3,,BCABAHDABEABCBEADBC

图4BCABAEDCABC,DCDEAB

图5BCABAEDDABC,DCEDAE

图6BCABBDCEABC,AEDECD【结论证明】请选取图1、图3、图5分别证明

【模型解析】从变化方式的角度分析，两个全等的直角三角形绕平面上一点

旋转而得；

从图形的结构分析，除一组对应边相等外，只需两直角三角形

一组非对应角互余即可得全等。

【知识链接】同角的余角相等、边的数量关系（等量代换）

【模型总结】

①三垂直模型中有很多边的数量关系，如图解表中所示；

②三垂直模型对应边的夹角相等，一般为90°（图4除外）；

③三垂直模型易形成等腰直角三角形，解题时要灵活运用。【模型巩固】

【例4-1】如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，BE＝

1cm，求DE的长．

【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠ADC＝∠E＝90°，

∴∠ACD+∠CAD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，

∴∠BCE＝∠CAD，

在△BCE和△CAD中，

，

∴△BCE≌△CAD（AAS），

∴CD＝BE＝1（cm），CE＝AD＝2.5（cm），

∴DE＝＝2.5﹣1＝1.5（cm）．

【例4-2】如图所示，直线MN一侧有一个等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB．直线MN过

顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别为点E，F，∠CAB的角平分线AG交BC

于点O，交MN于点G，连接BG，恰好满足AG⊥BG．延长AC，BG交于点D．

（1）求证：CE＝BF；

（2）求证：AC+CO＝AB．

1全等之一线三等角模型

1. 一线三垂直

【核心考点】：

只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模

型．必有如下全等三角形：

【经典图形】：

【变式图形】：

由得

由得≌

≌

2（1）

（2）1.如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点．求证：≌．若，求点到直线的距离．

2.如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点

，若，，则的长为 ．

（1

）

（

2）3.如图，在中，，，于点，于点，，．求证：．

求线段的长度．

34.如图，点在线段上，，，，且，，，，求的度数．5.如图，是等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为

点，则 ．

6.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为

点，则点坐标为 ．

4（1）

（2）7.如图，，，，，垂足分别为，．

证明：≌．若，，求的长．

（1）

（

2）

（3）8.在中，，，直线经过点，且于，于

．当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：．图

当直线绕点旋转到图②的位置时．求证：．图当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出

这个等量关系，并加以证明．

图

59.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为 ．

A.B.

C.D.10.如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）．

（1）

（2）11.如图，中，，，是过点的一条直线，且点，在的同侧时，于，于．

求证：．

变成如图，，在的异侧时，，，关系如何？并加以证明．

6（1）

（2）

（3）12.如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，另以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于点．如图，当点恰好在直线上时，（此时与重合），试说明．

如图，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间数量关系，并说明理由．

如图，当点在直线的下方时，线段，、之间的数量关系又如何？请写出你的