第八节 函数的间断点

f (x)
f ( x0 )
则称函数y = f ( x)在 x0点连续. x0称为f (x)的连续点.
若 f (x) 在点 x0 不连续，则称点 x0为f (x) 的间断点
【注】若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ), 则称函数 y = f (x)在x0
点左连续。
若
lim
x x0
f (x)
小结
1. 函数在一点连续
函数在一点左右连续
2. 区间上的连续函数;
3. 间断点的分类与判别;
间断点 第一类间断点: 可去型,跳跃型. 第二类间断点: 无穷型,振荡型.
作业 P64 习题1-8
2(1) 3(1)
第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性
内容提要
1 连续函数的和、差、积、商的连续性 2.反函数、复合函数的连续性 3.初等函数的连续性
二、函数的间断点
如果函数 f (x) 在点x0 处不连续，就称f (x) 在点 x0 处间断，x x0 点称为函数 f (x)的间断点或者 不连续点。 由函数连续性定义可知 , f(x) 在点 x0 连续必须
同时满足以下三个条件:
(1) 函数 f (x)在点 x0 有定义; (2) lim f ( x) 存在；
( g( x0 ) 0)
也在点 x0 处连续。
例如, sin x,cosx在(- ,+)内连续,
故 tanx,cot x,secx,cscx 在其定义域内连续.
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 如果函数的区间上单调增加（或单调减少） 且连续，那么他的反函数也在对应的区间上单调 增加（或单调减少）且连续。
教学要求

设 f ( x) 在点 x 0 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 之一, 函数 f (x) 在点 x 0 不连续 : (1) 函数 f ( x) 在 x 0 无定义 ;
(2) 函数 f ( x) 在 x 0 虽有定义 , 但 lim f ( x) 不存在;
xx0
(3) 函数 f ( x) 在 x 0 虽有定义 , 且 lim f ( x) 存在 , 但
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P65 题*8 提示:
1 1 f( x ) π sin π x sin x
y 1 O 1
x
作业
P65 4 ; 5
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备用题 确定函数 f (x)
xx0
(3)
x x 0
lim f( x ) f( x ) . 0
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若 f ( x) 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
[a ,b ] . 在闭区间 [a , b] 上的连续函数的集合记作 C
n 例如, P ( x ) a a x a x ( 有理整函数 ) 0 1 n
x x 0
lim f( x ) f( x ) 0
x 0 f ( x ) f ( x ) f ( x ) 0 0 0
lim [ f ( x x ) f ( x )] 0 0 0
左连续 2 . f (x ) 在点 x 0 间断的类型
第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点
右连续
左右极限都存在
左右极限至少有一 个不存在
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x x0
第 一 章 函 数 与 极 限
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
( 3) 虽然在 x x0 有定义 , 且 lim f ( x ) 存在,
x x0
但 lim f ( x ) f ( x0 );
x x0
则 f ( x ) 在 x0 不连续, x0 称为 f ( x ) 的不连续点(间断点).
高 等 数 学
思考与练习
3. 确定函数 f ( x )
第 一 章 函 数 与 极 限
1 1 e
x 1 x
的间断点的类型 .
解
间断点为 x 0 , x 1.
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
因为 lim f ( x ) , 所以 x 0 为无穷间断点 ; x 0
高 等 数 学
一、 函数的连续性
例1
第 一 章 函 数 与 极 限
1 x sin , 试证函数 f ( x ) x 0,
x 0, x 0,
在 x 0处
连续.
证
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
1 因为 lim x sin 0, x 0 x
又 f (0) 0,
由定义2知
lim f ( x ) f (0),
x 0
函数 f ( x ) 在 x 0 处连续.
上一张
下一张
返 回
高 等 数 学
一、 函数的连续性
例2 证明函数 y sinx在 (,)内每一点连续 . 证
第 一 章 函 数 与 极 限
任取 x ( ,),
y sin( x x ) sin x 2 sin

在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区 间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续. 连续函数,或者说函数在该区间上连续 间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续
如果函数在开区间 (a , b )内连续 , 并且在左端点
11
连 续 区 间
x = a处右连续 , 在右端点 x = b处左连续 , 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续 .
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定义1’. 设f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义. 且
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 ).
函数 f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件:
(1) f ( x )在点 0处有定义; 在点x
9
连 续 条 件
( 2) lim f ( x )存在;
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∆y = f ( x ) − f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于 ∆x的增量 .
5
y
y = f (x)
y
∆y
∆y
y = f (x)
∆x
x 0 + ∆x
0
∆x x0 x 0 + ∆x x
0
x0
x
①增量∆x、 ∆y可以是正的,可以是负的,也可以为零； ②记号∆x是一个整体不可分割的记号。
x→0 x→0
x→0 x→0
23
例
故 lim f ( x) = lim | x |= 0
x→0 x→0
又因为 f (0)=0.
从而 lim f ( x) = f (0)
x→0
故 f ( x) =| x | 在x = 0处连续.