初中数学竞赛最值问题

例9.已知a、b、c都是整数，且 ，则 的最小值是_________。
解：由 知
a、b、c中必有两负一正
不妨设
此时
∵a、b、c为整数
∴当 时，a取最大值1990
的最小值是：
十、逐步调整法
例10.已知 都是正整数，且 ，若 的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于________。
解：因为把58写成4，若
则 ，且
所以，当 时，可以把 逐步调整到1，这时 将增大；
同样地，可以把 逐步调整到1，这时 将增大。于是，
当 均为1， 时， 取得最大值
即
若存在两个数 ，使得
，则
这说明在 中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时 将减小。
所以，当 取到最小时， 中任意两个数的差都不大于1。
那么 的值依次为：
故 的最小值是
此时（x，y，z）＝（1，8，4）或（1，8，5）
相应的 或
故abc的最大值是10
六、等值代换法
例6.若a，c，d是整数，b是正整数，且满足 那么 的最大值是（）
A. B. C. 0D. 1
解：
，即
代入
得
等号成立当且仅当 时，此时
的最大值是 ，应选B。
七、放缩法
例7.设 为自然数，且 ，又 ，则 的最大值为__________。
则 ，所以s的最大值为3，最小值为2，其和为5。
四、分类讨论法
例4.设 均为正整数，且 ，则当 的值最大时， 的最小值是（）
A. 8B.9C. 10D. 11
解：由 ，知
由<1>得 ，从而
得 ，与题设矛盾
由<2>可取

第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,•然后再到集市的路程最短呢?(1) (2)解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP•′与切线MN•交于R,AR+BR>AP+BP.∵RP′+AP′>AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证: abcS是定值.(S表示△ABC的面积)解析 由三角形面积S=12absinC 和正弦定理sin c C =2R,∴c=2RsinC. ∴abc S =2sin c C =4sin sin R CC=4R 是定值. 点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2如图,已知⊙O 的半径为⊙O 上一点,过A 作一半径为r=3的⊙O ′,问OO ′何时最长?最长值是多少?OO ′何时最短?最短值是多少?解析 当O ′落在OA 的连线段上(即⊙A 与线段OA 的交点B 时)OO ′最短,且最短长度为当O ′落在OA 的延长线上(即⊙O 与OA 的延长线交点C 时)OO ′最长,且最长的长度为点评⊙O ′是一个动圆,满足条件的⊙O ′有无数个,但由于⊙O ′过A 点,所以⊙O ′的圆心O ′在以A 为圆心半径为3的⊙A 上.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,已知P 为定角O 的角平分线上的定点,过O、P•两点任作一圆与角的两边分别交于A 、B 两点.求证:OA+OB 是定值.证明 连结AP 、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.•另记x 1=OA,x 2=OB.对△POA 应用余弦定理,得x 12+OP 2-2OP ·cos ∠AOP ·x 1=r 2.故x 1为方程x 2-2OP ·cos 12∠AOB ·x+(O P 2-r 2)=0的根,同理x 2亦为其根. 因此x 1,x 2为此方程的两根,由韦达定理,得x 1+x 2=2OP(12∠AOB)是定值.点评当x 1=x 2时,x 1+x 2为此定值,事实上此时OP 一定是直径.例2 如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=9,⊙O 与外切,且⊙O 与AB 、BC•相切.⊙O ′与AD 、CD 相切,设⊙O 的半径为x,⊙O 与⊙O ′的面积的和为S,求S•的最大值和最小值. 解析 设⊙O ′的半径为y,过O 与O ′分别作CD 与BC 的垂线OH,O ′F,•垂足分别为H,F,OH 、O ′F 交于点E,则有:O ′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知1≤x ≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),=2π[(x-52)2+254], 故当x=52时,S min =252π;当x=4时,S=17π.点评先由已知求出⊙O ′的半径也⊙O 的半径x 之间的关系,然后再根据面积公式写出S 与x 之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例 (南京市中考题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,切⊙O 2•的直径BE 于点C,连结PC 并延长交⊙O 2于点⊙O 1,⊙O 2的半径分别为r 、R,且R ≥2r.•求证:PC ·AC 解析 若放大⊙O 1,使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2(如图显然此时有PC ·AC=PO 2·AO 2=2r ·R(定值). 再证明如图的情况:连结C O 1,PO 2,• 则PO 2•必过点O 1,•且O 1C ⊥BE,得CO 2, 从而.所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值. 点评解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD 的边长为1,•点P 为边BC 上任意一点(可与点B 或点C 重合),分别过点B 、C 、D 作射线AP 的垂线,•垂足分别为点B ′、C ′、D ′.求BB ′+CC ′+DD ′的最大值和最小值.解析 ∵S △DPC = S △APC =12AP ·CC ′, 得S 四边形BCDA = S △ABP + S △ADP + S △DPC=12AP(BB ′+DD ′+CC ′), 于是BB ′+CC ′+DD ′=2AP.又1≤APBB ′+CC ′+DD•′≤2,∴BB ′+CC ′+DD最大值为2.点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求. 例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC 内接于⊙O,D 是BC•或其延长线上一点,AE 是△ABC 外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE 为定值.证明 如图 (1),当点D 是BC 上任意一点且∠BAE=∠CAD 时,连结BE, 则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD, ∴△ABE ∽△ADC. ∴AB AEAD AC=,即AD ·AE=AB ·AC 为定值. 如图 (2),当点D 在BC 的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB. ∴△AEB ∽△ACD,∴AB AEAD AC=即AD·AE=AB·AC为定值.综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值. 点评先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.•再就一般情况分点D•在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.全能训练A级1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.3.⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点,过P作任一直线交⊙O1于点E,交⊙O2于点F.求证:∠EQF 为定值.4.以O为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值和最小值.5.如图,已知△ABC的周长为2p,在AB、AC上分别取点M和N,使MN•∥BC,•且MN与△ABC的内切圆相切.求:MN的最值.AM NBA 级(答案)1.定长为圆的直径;2.利用特殊位置探求定值(当PC 构成直径时)(R,r 是两圆的半径). 3.因∠E,∠F 为定角(大小固定)易得∠EQF 为定值.4.如图,设OA=a(定值),过O 作OB ⊥PQ,OC ⊥RS,B 、C 为垂足, 设OB=x,OC=y,0≤x ≤a,(0≤y ≤a),且x 2+y 2=a 2.所以所以∴(PQ+RS)2=4(2-a 2+而x 2y 2=x 2(a 2-x 2)=-(x 2-22a )2+44a . 当x 2=22a 时,(x 2y 2)最大值=44a .此时当x 2=0或x 2=a 2时,(x 2y 2)最小值=0,此时(PQ+RS )最小值=2（）. 5.设BC=a,BC 边上的高为h,内切圆半径为r. ∵△AMN ∽△ABC,2MN h r BC h -=,MN=a(1-2rh),• 由S △ABC =rp,∴r=2ABC S ahp p∆=, ∴MN=a(1-a p )=p ·a p (1-a p )≤p 2(1)2aa p p⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=4p ,当且仅当a p =1-ap,即a=2p 时,取等号,∴MN 的最大值为4p .B级1.如图1,已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为( )E D CAB PSQA B PM(1) (2) (3)2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,•则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是__________.3.如图2,⊙O、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB•延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP·OS=_______.4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE•、•MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是( •)A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,•又PQ与⊙A 相切,切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值.6.如图,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,经过点B•的一直线和两圆分别相交于点C 和D,设此两圆的半径为R 1,R 2.求证:AC:AD=R 1:R 2.B 级(答案)1.B.∵A 、C 关于BD 对称,连结AE 交BD 于P,此时PE+PC=AE 最短.2.11.5 (1)当上底为7,下底分别为14,13,9时,中位线长分别为10.5,10,8; (2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3.连结OQ 交AB 于M,则OQ ⊥AB.连结OA,则OA ⊥AQ. ∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,•Q,M 四点共圆,故OS ·OP=OM ·OQ. 又∵OM ·OQ=OA 2=2,∴OS ·OP=2.4.B.由图可知直线MN 可看作⊙O 和⊙O ′的割线, 当M 在点A 时,直线MN 变为⊙O•′的切线, 当M 在点B 时,直线MN 变为⊙O 的切线.这两种情况是以AB•为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线,交点是第三个顶点M.M 是AB 的中点时,MN 是AB•的垂直平分线,也过第三个顶点,所以选B. 5.如图,作⊙O 的直径AB,连结AD. ∵PQ 切⊙A 于D,∴AD ⊥PQ, ∴AP ·AQ=AD ·AB.•而AD=r,AB=2R,∴AP ·AQ=2Rr 为定值.6.作AN ⊥CD,垂足为点N,连结AB,有AC.AB=AN.2R1,① AB ·AD=AN ·2R 2 .② ①÷②,得12R AC AD R,∴AC:A D=R 1:R 2.。

2 中等数学叙#活幼镙程鉼雇初中数学竟赛中的组合最值仰题解法举例钟志强(四川省绵阳外国语学校，621000)中图分类号:〇157 文献标识码：A文章编号：1005 - 6416(2020)06 - 0002 - 05(本讲适合初中）组合最值问题是指变量随组合结构的安排方式不同而变化，适当安排这些对象可以使某些结构取得最大值或最小值.这类问题往往以整数、点、线、三角形、圆、集合等离散对象为背景，与代数最值和几何最值（连续变量最值问题）在思考方式上有很大的不同.组合最值问题处理三部曲：估计、证明、构造，有时证明和构造可以合二为一.(1)估计:对变量的取值做出猜想估计，猜想出最值的大概范围，估计出最大值或最小值；(2) 证明；(3) 构造:找到一种具体的安排方式，以说明前面估计的最大值或最小值是能够达到的.即先找“界”（估计可能的最值），再通过证明或构造说明等号能成立.先举例说明解决该类问题的三个步骤.例1已知〜<*2〈…<%7,且均为正整数，h +a;2 +…+ ：«7 = 158.求〜+a：2 +巧的最大值.解估计A +心+ 6的最大值为60.先证明：尤1 +巧+ %矣60.假设h +*2 +*3多61.则(«3~2)+ (x3-1) + A：3+X2+X3 ^61收稿日期:2020 - 05 - 06=> x3 ^22=> x4+x5+x6+x7+1 ++ 2 + 3 +4 = 4x3 + l〇5：4 x 22 + 10 =98=>X{ + x2+ ''• + X-J=(a：! + x2+^c3)+ (a:4+ac5+ x6+x-j)彡61 +98 =159，与已知等式矛盾.故〜备60，即々+ + ；t3的最大 值为60.再构造说明60可以取到.取丨1 = 19，丨2 = 20，丨3 = 21 ,丨4 = 22，丨5 =23，丨6 =24，尤7 =29.则;^ + ；*2 + 巧=60.到底是只需构造一例还是需严格证明，要看题目的描述.若题目要求是存在性的，则 构造一例即可;若题目要求是任意性的，则需 严格的证明，也需构造.组合最值问题，在初中阶段大体有如下一些处理方法，下面举例说明.1构造抽屉例2记正整数m的各位数字之和为S(m)，比如 S(2 017) = 2 +0 +1 + 7 = 10•现从1，2,…，2 017这2 017个正整数中任意取 出n个不同的数，都能在这n个数中找到八 个不同的数％，a2，…，a8，使得…= S(a8).2020年第6期3则正整数n的最小值是（）.[U(A)185 (B)187 (C)189 (D)191(2017,全国初中数学联赛四川赛区决赛）解注意到，1,2,…，2 017这2 017个 正整数中，数字之和的最小值为1，最大值为 28.易知，数字之和为1的有1、1〇、1〇〇、1 _这四个数;数字之和为2,3,…，26的数的个数均不少于八个;数字之和为27的仅有 999、1 899、1 989、1 998这四个数;数字之和 为28的仅有1 999这一个数.故数字之和为2,3,…，26的各取七个，其余数字之和的数全取，不满足条件.从而，r a彡4 + 7 x 25 + 4 + 1 +1 =185.又由抽屉原理，知n = 185时，符合条件.因此，正整数n的最小值是185，选(A). 2逐步调整例3已知n个正整数〜，〜…八满足〜+*2 +…+ ；»：… = 2 020•求这re个正整数乘 积•••；»：…的最大值.(根据2008年全国初中数学竞赛天津初 赛题改编）解设的最大值为M.由题意，知M中的每一个1(七>1)(/ = 1，2,…，n),若其中有乂 5=4,可将;k;分成\ - 2和2两个数，考虑其乘积，有(x{- 2)x2 =xi + (xt -4)于是，所有这样不小于4的正整数七分成^-2和2两个数后，其和不变，但乘积 变大.从而，在M中不可能出现不小于4的正整数.故乂 =2或3•这表明，M可写成2P x 39的形式.又因为2+2+2=3 +3,但23 <32,艮P在乘积中用两个3替代三个2,乘积更大，所以，/>矣2.又 2 020 =3 x672 +2 +2,贝I J心…、的 最大值为22x3672.3极端原理例4 (1)在4x4的方格表中，先把部分格染成红色，然后划去2行和2列.若无论 怎么划，都至少有一个红色的小格没有被划去，则至少要染多少个小格?证明你的结论.(2)若把（1)中的“4 x4的方格表”改成 “r a xra(/i多5)的方格表”，其他条件不变，贝！J 至少要染多少个小格?证明你的结论.[2]解设染m个红格.(1)当m矣4时，一定能全划去.当m=5时，由抽屉原理，知必有一行至 少有两个红格，则先划去这一行，剩下的红格 至多有三个，能被全划去.当m=6时，由抽屉原理，知必有一行至 少有三个红格或至少有两行恰各有两个红格.若有一行至少有三个红格，则先划去这一 行，剩下的红格至多有三个，必然能被全划去;若至少有两行恰各有两个红格，则先划 去这两行，则剩下只有两个红格，也必能被全 划去.当m=7时，如图1的染法符合条件.故至少要染七个红格.图1图2(2)当m专4时，一定能被全划去，当 /I= 5时，构造如图2的染法符合条件.故至少要染五个红格.4中等数学4分类讨论例5图3是由圆组成的一个五环，请 将数字1，2,…，9填入五环中的9个空白处，使得每一个圆中所填的数的和都相等•求这个相等的和的最大值和最小值.[3]解设图3中的数字和为则5S = (a + b)+(b+c + d) +(d + e +f) + (f+g +h) + (h +i)= (a+b+c + d + e +f + g + h + i) +(b+d+f+h)=(1 +2 + •■■+9)+ (b +d +f+h)=45 + (b + d +f + h).于是，6+d+/+/i能被5整除.而6+(/+/+/i的最大值为6 +7 +8 +9 =30,最小值为 1 +2 +3 +4=10,故 6 +/ + /i 的值可能为1〇、15、20、25、30.(\)^b+d+f+h =30 0t,S = 15,gpb + d +f+ h =6 +1+ 8 + 9,此时，包括9的圆环至少有一个圆环内数字和超过15,故S = 15不合题意.(2)当 6+(/+/+&=25 时，S = 14,此时，b+d+f+h=S+l+ 6+ 4=9+7+5+4=9+7+6+3=9 +8 +6+2,如图4,存在一种填法，使得b + d +f+h =9 +1+ 6+3.故S的最大值为14.(3)当6+4+/+ /1=1+2+3+4= 10时，S = 11，此时，存在一种填法如图5.5不等式控制例6如图6,将1，2,…，10这十个数分 别填入图6的十个圆圈内，使任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M.求M的最小值并完成你的填图.[4]图6解设满足已知条件的数依次为：％，a2，”.，a i。

初中数学竞赛辅导讲义怎样求最值在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．注：数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思 想，所谓最优，就是我们所期望的目标量能达到最大或最小．一次函数、反比例函数并无最值，但当自变量取值范围有条件限制的，最值在图象的端点处取得；定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的顶点处取-得．即： 对于c bx ax y ++=2（0≠a ） (1)若a>0，则当abx 2-=时，ab ac y 442-=最小值； (2)若a<0，则当abx 2-=时，ab ac y 442-=最大值．【例题求解】【例1】 设a 、b 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是 ．思路点拨 将原式整理成关于a 的二次多项式从配方法入手；亦可引入参数设t b a b ab a =--++222，将等式整理成关于a 的二次方程0)2()1(22=--+-+t b b a b a ，利用判别式求最小值．【例2】若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( )A ．3B ．1459C ．29 D ．6 思路点拨 设k z y x =-=+=-32211，则222z y x ++可用只含k 的代数式表示，通过配方求最小值．【例3】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2221x x +有最小值，并求这个最小值． 思路点拨 由韦达定理知2221x x +是关于m 的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m 的取值范围，从判别式入手．注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：(1)当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值；(2)当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．【例4】甲、乙两个蔬菜基地，分别向A、B、C三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A提供45吨，向B提供75吨，向C提供40吨．甲基地可安排60吨，乙基地可安排100吨．甲、乙与A、B、C的距离千米数如表，设运费为1元／(千米·吨)．问如何安排使总运费最低?求出最小的总运费值．思路点拨设乙基地向A提供x吨，向B提供y吨，这样总运费就可用含x，y的代数式表示；因为100x0，45≤y+0≤≤x，所以问0≤题转化为在约束条件下求多元函数的最值．【例5】 某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为[500)1(41+-x ]元． (1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y (元)表示为使用天数x (天)的函数； (2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废?思路点拨 在解本题时可能要用到以下数学知识点：对于确定的正常数a 、b 以及在正实数范围内取值的变量x ，一定有ba xb ax b x x a 22=≥+，即当且仅当bx xa =时，b x xa +有最小值ba2．注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有： (1)02≥a ； (2)ab b a 222≥+；（3）若0>a ，0>b ，则abb a 2≥+； (4)若0>a ，0>b ，0>x ，则babx xa 2≥+．以上各式等号当且仅当b a = (或bx xa =)时成立．学历训练1．当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值为．2．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为 、 米． 3．已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，6222=++c b a ，则a 的最大值为 ．4．已知x 、y 、z 为三个非负实数，且满足523=++z y x ，2=-+z y x ，若z y x s -+=2，则s 的最大值与最小值的和为( )A ．21 B ．85 C ．1 D ．36 5．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB =4，S △COD =9，则四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD 的最小值为( )A ．2lB ．25C ．26D ．36 6．正实数x 、y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为( )A ．21B ．85C ．1D ．45 E ．27．启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x (万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且107107102++-=x x y ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：(1)试写出年利润S (万元)与广告费x (万元)的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元?(2)把(1)中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：元)收益(万0．55 0．4 0．6 0．5 0．9 l 元)如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的，收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目．8．某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：作物品种每亩地所需职工数每亩地预计产值11100元蔬菜21750元烟叶31600元小麦4请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．9．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为l0m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm，面积为sm2．(1)求s与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米?(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 10．设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为 ． 11．若抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积最小值为12．已知实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，则t 的最大值为 ，最小值为 ． 13．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距102km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．14．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m，为了使该商品的销售金额最大，那么m 的值应该确定为 ．15．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每 月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出 辆车(直接填写答案)；(2)设每辆车的月租金为x(x ≥3000)元，用含x 的代数式填空：(3)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少元?16．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p (万元)和q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式x p 51=，x q 53=．今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得多大的利润? 链接17．如图，城市A 位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半．问该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低?未租出的车辆数租出的车辆数所有未租出的车 辆每月的维护费租出的车每辆的月收益18．设1x ，2x ，…n x 是整数，并满足： （1）21≤≤-i x ，n i ,2,1=； （2）1921=+++n x x x ； （3）9922221=+++n x x x ．求33231n x x x +++ 的最大值和最小值．参考答案。