答案解析1将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：x b ay b y a x -==+22222,111.因为a ＞b ＞0，因此，ab 11>＞0，所以有：椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项. 4.答案：B 2.答案：D ∵θ∈（0，4π），∴sin θ∈（0，22），∴a 2=tan θ，b 2=c ot θ∴c 2=a 2+b 2=tan θ+c ot θ，∴e 2=θθθθ222sin 1tan cot tan =+=a c ，∴e =θsin 1，∴e ∈（2，+∞） 3.答案：D 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上∴椭圆焦点（2253n m -，0），双曲线焦点（2232n m +，0）∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2∴m 2=8n 2又∵双曲线渐近线为y =±||2||6m n ⋅²x∴代入m 2=8n 2，|m |=22|n |，得y =±43x 4答案：C 由F 1、F 2的坐标得2c ＝3－1，c ＝1，又∵椭圆过原点a －c ＝1，a ＝1＋c ＝2，又∵e ＝21=a c ，∴选C. 5.答案：D 由题意知a =2，b =1，c =3，准线方程为x =±ca 2，∴椭圆中心到准线距离为6.答案：C 渐近线方程为y =±b a x ，由b a ²（－ba ）＝－1，得a 2＝b 2，∴c ＝2a ，14.答案：B y =－x 2的标准式为x 2＝－y ，∴p ＝21，焦点坐标F （0，－41）． 7.答案：A 不妨设F 1（－3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，±23），即|PF 2|=23，|PF 1|=2147，因此|PF 1|=7|PF 2|，故选A.8.答案：A 将已知椭圆中的x 换成－y ，y 换成－x 便得椭圆C 的方程为9)3(4)2(22+++y x＝1，所以选A.9.答案：A 由已知有⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2142a c c a a ＝2，c ＝1，b 2＝3,于是椭圆方程为3422y x +＝1, 10.答案：C 如图8—14，原点O 逆时针方向旋转90°到O ′，则O ′（－4，4）为旋转后椭圆的中心，故旋转后所得椭圆方程为25)4(9)4(22-++y x ＝1．所以选C. 11.答案：B 把已知方程化为25)1(9)3(22++-y x =1，∴a =5，b =3，c =4 ∵椭圆的中心是（3，－1），∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）.12.答案：A 由已知，直线l 的方程为ay +bx －ab =0，原点到直线l 的距离为43c ，则有c b a ab 4322=+，又c 2=a 2+b 2，∴4ab =3c 2，两边平方，得16a 2（c 2－a 2）=3c 4，两边同除以a 4，并整理，得3e 4－16e 2+16=0∴e 2=4或e 2=34.而0＜a ＜b ，得e 2=222221ab a b a +=+＞2，∴e 2=4.故e =2.13.答案：D ，得2)cos 2(2θ-x +（y +sin θ）2=1.∴椭圆中心的坐标是（2cos θ，－sinθ）.其轨迹方程是⎩⎨⎧-==θθsin cos 2y x θ∈［0，2π］.即22x +y 2=1（0≤x ≤2，－1≤y ≤0）.30.答案：C 将双曲线方程化为标准形式为x 2－32y＝1，其焦点在x 轴上，且a =1，b =3，故其渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以应选C.14.答案：D 原方程可变为ky x 2222+＝1，因为是焦点在y 轴的椭圆，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>220k k ，解此不等式组得0<k <1，因而选D.15.答案：A 解法一：由双曲线方程知|F 1F 2|＝25，且双曲线是对称图形，假设P （x ，142-x ），由已知F 1P ⊥F 2 P ，有151451422-=+-⋅--x x x x ，即1145221,52422=-⋅⋅==x S x ，因此选A.16.答案：23因为F 1、F 2为椭圆的焦点，点P 在椭圆上，且正△POF 2的面积为3，所以S =21|OF 2|²|PO |sin60°=43c 2，所以c 2=4.∴点P 的横、纵坐标分别为23,2c c ，即P （1，3）在椭圆上，所以有2231b a +=1，又b 2+c 2=a 2，⎩⎨⎧+==+22222243ba b a a b17.答案：（3，2）解法一：设直线y =x －1与抛物线y 2=4x 交于A (x 1，y 1),B （x 2，y 2）,其中点为P （x 0，y 0）.由题意得⎩⎨⎧=-=xy x y 412，（x －1）2=4x ，x 2－6x +1=0.∴x 0=221x x +=3.y 0=x 0－1=2.∴P （3，2）. 18.答案：1625)2(22y x +- =1由两焦点坐标得出椭圆中心为点（2，0），焦半径c =3 ∵长轴长为10，∴2a =10，∴a =5，∴b =22c a -=4∴椭圆方程为1625)2(22y x +-=1 19答案：（±7，0）由双曲线方程得出其渐近线方程为y =±2m x ∴m =3，求得双曲线方程为3422y x -=1，从而得到焦点坐标. 20.答案：（2，1）抛物线（y －1）2=4（x －1）的图象为抛物线y 2=4x 的图象沿坐标轴分别向右、向上平移1个单位得来的.∵抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0）∴抛物线（y －1）2=4（x －1）的焦点为（2，1）21.答案：－1椭圆方程化为x 2+ky 52-=1∵焦点（0，2）在y 轴上，∴a 2=k -5，b 2=1又∵c 2=a 2－b 2=4，∴k =－122答案：x 2－4y 2＝1设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）∴2,200y y x x == ∴2x ＝x 0，2y ＝y 0∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝1 23.答案：516设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ）a ＝3 b ＝4 c ＝5∴m －n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2 m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4³25－36＝64 mn ＝32.又利用等面积法可得：2c ²y ＝mn ，∴y ＝516 24.答案：16922y x -=1由已知a =3，c =5，∴b 2=c 2－a 2=16又顶点在x 轴，所以标准方程为16922y x -=1. 25.解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a =4，即a =2.又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b +=1得b 2=3，于是c 2=1.所以椭圆C 的方程为3422y x +=1，焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：2,2111yy x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 因此3)2(4)12(22y x ++=1.即134)21(22=++y x 为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由mx ny k m x n y k PN PM++=--=,， 得k PM ²k PN =2222m x n y m x n y m x n y --=++⋅--，将22222222,ab n b x a b y =-=m 2－b 2代入得k PM ²k PN =22ab .26解：（1）设F 2（c ，0）（c ＞0），P （c ，y 0），则2222by a c -=1.解得y 0=±a b 2∴|PF 2|=a b 2在直角三角形PF 2F 1中，∠PF 1F 2=30°解法一：|F 1F 2|=3|PF 2|，即2c =ab 23将c 2=a 2+b 2代入，解得b 2=2a 2 解法二：|PF 1|=2|PF 2|由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|=2a ，得|PF 2|=2a .∵|PF 2|=a b 2，∴2a =ab 2，即b 2=2a 2，∴2=a b故所求双曲线的渐近线方程为y =±2x .27.（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知2a =|F 1B |+|F 2B |=10，得a =5，又c =4所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1. （Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.（如图8—18） 因为椭圆右准线方程为x =425，离心率为54根据椭圆定义，有|F 2A |=54（425－x 1），|F 2C |=54（425－x 2）由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得54（425－x 1）+54（425－x 2）=2³59由此得出x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为P （x 0，y 0） 则x 0=28221=+x x =4. （Ⅲ）由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x 图8—18④⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）+25（y 12－y 22）=0. 即)))(2(25)2(921212121x x y y y y x x --+++=0（x 1≠x 2） 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+（k ≠0）代入上式，得 9³4+25y 0（－k1）=0（k ≠0）. 由上式得k =3625y 0（当k =0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m . 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称，如图8—18）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516. 28.解法一：由已知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2即|PF 1|2＝（6－|PF 1|）2＋20， 得|PF 1|＝314，|PF 2|＝34，故27||||21=PF PF ；若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即20＝|PF 1|2＋（6－|PF 1|）2，得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，故||||21PF PF ＝2.29.证法一：依题设得椭圆的半焦距c =1，右焦点为F （1，0），右准线方程为x =2，点E 的坐标为（2，0），EF 的中点为N （23，0）. 若AB 垂直于x 轴，则A （1，y 1），B （1，－y 1），C （2，－y 1），∴AC 中点为N （23，0），即AC 过EF 中点N .若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为y =k （x －1），k ≠0.记A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则（2，y 2）且x 1，x 2满足二次方程22x +k 2（x －1）2=1，即（1+2k 2）x 2－4k 2x +2（k 2－1）=0∴2221222121)1(2,214kk x x k k x x +-=+=+. 又x 12=2－2y 12＜2，得x 1－23≠0，故直线AN 、CN 的斜率分别为 )1(2232,32)1(22322211111-=-=--=-=x k yk x x k x y k .∴k 1－k 2=2k ²32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（x 1－1）－（x 2－1）（2x 1－3）=3（x 1+x 2）－2x 1x 2－4 =2211k+［12k 2－4（k 2－1）－4（1+2k 2）］=0， ∴k 1－k 2=0，即k 1=k 2.故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N .30.解：设椭圆C 的方程为12222=+b y a x ，由题意a =3，c =22，于是b =1.∴椭圆C 的方程为92x ＋y 2＝1．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=19222y x x y 得10x 2＋36x ＋27＝0， 因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝518-， 故线段AB 的中点坐标为（51,59-）．图8—22。
圆锥曲线高考题精选一、选择题：1、（1995）双曲线3322=-y x 的渐近线方程是（A ）x y 3±= （B ）x y 31±= （C ）x y 3±= （D ）x y 33±= 2、（1996）椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=.sin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是（A ）（-3，5），（-3，-3） （B ）（3，3），（3，-5） （C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1）3、（1996）设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点。
已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）332 4、（1996文）中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率为21的椭圆方程是 （A ）13422=+y x （B ）14322=+y x （C ）1422=+y x （D ）1422=+y x 5、（1996文）椭圆091891502522=+++-y y x x 的两个焦点坐标是 （A ）（-3，5），（-3，-5） （B ）（3，3），（3，-5）（C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1）6、（1997）曲线的参数方程是)0,(.1,112≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-=t t t y t x 是参数，它的普通方程是（A ）1)1()1(2=--y x （B ）2)1()2(x x x y --=（C ）1)1(12--=x y （D ）112+-=xxy7、（1997）椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线0=+y x 对称，椭圆C 的方程是 （A ）19)3(4)2(22=+++y x （B ）14)3(9)2(22=-+-y x （C ）14)3(9)2(22=+++y x （D ）19)3(4)2(22=-+-y x 8、（1998）曲线的极坐标方程θ=ρsin 4化成直角坐标方程为 （A ）4)2(22=++y x （B ）4)2(22=-+y x （C ）4)2(22=+-y x （D ）4)2(22=++y x9、（1998）椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上。
