2019-2020学年高中人教A版数学选修2-3学案：2.2.1 条件概率 含解析

祝学子学业有成，取得好成绩

- 1 - / 9 2．2 二项分布及其应用

2。2.1 条件概率

Q错误! 错误!

在一次英语口试中，共有10道题可选择．从中随机地抽取5道题供考生回答,答对其中3道题即可及格．假设作为考生的你，只会答10道题中的6道题；

那么，你及格的概率是多少？在抽到的第一题不会答的情况下你及格的概率又是多少？

X错误! 错误!

1．条件概率

一般地,设A、B为两个事件，且P(A)〉0，称P（B｜A）＝__错误!__为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．一般把P（B｜A）读作__A发生的条件下B发生的概率__．

如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生,显然知道了A的发生,研究事件B时，基本事件发生变化，从而B发生的概率也相应的发生变化，这就是__条件概率__要研究的问题．

2．条件概率的性质

性质1：0≤P(B|A)≤1；

性质2:如果B和C是两个互斥事件,那么P(B∪C|A）＝P(B|A)＋P(C｜A)．

Y错误! 错误!

1．已知P（AB）＝错误!，P（A）＝错误!，则P（B｜A)为( B ）

A．错误! B．错误!

C．错误! D．错误!

［解析］ 由公式P(B｜A)＝错误!得P(B｜A）＝错误!．

2．（2019·武汉高二检测）据某地区气象台统计，在某季节该地区下雨的概率是错误!,刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上风又下雨的概率为错误!，设事件A为下雨,事件B为刮四级以上的风，祝学子学业有成，取得好成绩

- 2 - / 9 那么P（B｜A)＝__错误!__．

［解析］ 由题意P(A）＝错误!,P（B）＝错误!，P(A∩B)＝错误!，

∴P（B|A）＝错误!＝错误!．

故答案为错误!．

3．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为__错误!__．

[解析］ 解法一：在第一次取到不合格品以后，由于不放回，故还有99件产品，其中4件次品，故第二次再次取到不合格产品的概率为错误!．

解法二：第一次取到不合格品的概率为P1＝错误!＝错误!，两次都取到不合格产品的概率为P2＝错误!＝错误!,∴所求概率P＝错误!＝错误!＝错误!．

4．在一个口袋里装有大小相同的红色小球3个，蓝色小球5个,从中任取1球观察颜色，不放回，再任取一球,则

(1)在第一次取到红球条件下，第二次取到红球的概率为多少？

（2）在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为多少？

(3）在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到蓝球的概率为多少？

［解析］ 解法一：（1)第一次取到红球不放回，此时口袋里有2个红球，5个蓝球，故第二次取到红球的概率为P1＝错误!．

(2）第一次取到蓝球后不放回，这时口袋里有3红4蓝7个小球，从中取出一球,取到红球的概率为错误!．

（3）第一次取到蓝球后不放回，这时口袋里有3红4蓝7个小球，从中取出一球，取到蓝球的概率为P3＝错误!．

解法二：（1）记事件A为“第一次取到红球”,事件B为“第二次取到红球”，∵P（A∩B)＝错误!＝错误!，P(A）＝错误!，

∴P（B｜A）＝错误!＝错误!＝错误!．

（2)设C＝“第一次取到蓝球",B＝“第二次取到红球”,则P(CB)＝错误!＝错误!,P(C)＝错误!,

∴P(B｜C）＝错误!＝错误!．

(3)记C＝“第一次取到蓝球”，D＝“第二次取到蓝球”，

则P(CD）＝错误!＝错误!,P（C)＝错误!，

∴P(D｜C）＝错误!＝错误!． 祝学子学业有成，取得好成绩

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H错误! 错误!

命题方向1 ⇨利用条件概率公式求条件概率

典例1 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个,已知取到的是蓝球,问该球是E型玻璃球的概率是多少?

[思路分析］ 通过表格将数据关系表示出来，再求取到蓝球是E型玻璃球的概率．

[解析］ (1)令事件A＝{取得蓝球｝，B＝｛取得蓝色E型玻璃球}．

解法一：∵P(A）＝1116,P(A∩B）＝错误!＝错误!，

∴P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!．

解法二：∵n(A）＝11，n(A∩B)＝4，

∴P(B|A)＝错误!＝错误!．

『规律总结』 （1）在题目条件中，若出现“在……发生的条件下……发生的概率"时,一般可认为是条件概率．

(2)条件概率的两种计算方法

①在原样本空间中，先计算P（AB),P(A)，再利用公式P（B|A）＝错误!计算求得P（B|A）；

②若事件为古典概型，可利用公式P（B｜A)＝错误!，即在缩小后的样本空间中计算事件B发生的概率．

〔跟踪练习1〕

(1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0。75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ）

A．0。8 B．0。75

C．0。6 D．0。45

(2）分别用集合M＝｛2,4,5,6，7,8,11,12｝中任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是__错误!__．

[解析］ (1)本题考查条件概率的求法．

设A＝“某一天的空气质量为优良”，B＝“随后一天的空气质量为优良"，则 祝学子学业有成，取得好成绩

- 4 - / 9 P（B｜A）＝错误!＝错误!＝0。8，故选A．

（2）设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B，则n(A）＝7，n（AB)＝4，

所以P(B｜A）＝错误!＝错误!．

命题方向2 ⇨有关几何概型的条件概率

典例2 一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中）．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P（AB）、P(A｜B）．

［解析］ 如图,n（Ω)＝9，n(A）＝3，n（B）＝4,n（AB)＝1，∴P(AB)＝错误!，P(A｜B）＝错误!＝14．

『规律总结』 本题是面积型的几何概型，和小正方形的个数来等价转化，将样本空间缩小为n(B)．

〔跟踪练习2〕

如图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内"，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则

（1）P（A）＝__错误!__；

（2）P（B｜A)＝__错误!__．

［解析] （1）由题意可得，事件A发生的概率

P(A）＝错误!＝错误!＝错误!．

（2）事件AB表示“豆子落在△EOH内"，则P（AB）＝错误!＝错误!＝错误!。故P(B｜A）＝错误!＝错误!＝错误!．

命题方向3 ⇨缩小基本事件范围求概率

典例3 两台机床加工同一种机械零件如表： 祝学子学业有成，取得好成绩

- 5 - / 9 合格品 次品 总计

甲机床加工的零件数 35 5 40

乙机床加工的零件数 50 10 60

总计 85 15 100

从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的合格品的概率是__0。875__．

［思路分析] 所求概率样本空间包含的基本事件个数是40而不是100．

[解析] 记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件A,记“从100个零件中任取一件取得合格品”为事件B．则P（B|A）＝错误!＝错误!＝0。875．

『规律总结』 利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法

将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB．而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B｜A)＝错误!，这里n(A)和n(AB）的计数是基于缩小的基本事件范围的．

〔跟踪练习3〕

集合A＝{1，2,3,4,5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取（不放回），乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．

［解析] 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2），（1，3),（1,4),(1,5),(1，6),（3，1)，(3，2），(3,4)，（3,5)，(3，6)，(5，1），（5,2），(5,3)，（5,4）,（5,6)，共15个，在这15个中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，（1，3），（1，4)，（1，5）,(1,6），（3，4），(3,5)，(3，6），（5,6），共9个，所以所求概率P＝错误!＝错误!．

命题方向4 ⇨条件概率的性质

典例4 外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．若第二次取出的是红球,则称试验成功，求试验成功的概率．

［思路分析］ 本题考查条件概率,先设出基本事件,求相应事件的概率,再将试验成功分解成两个互斥事件的和．

[解析］ 设A＝｛从第一个盒子中取得标有字母A的球}， 祝学子学业有成，取得好成绩

- 6 - / 9 B＝｛从第一个盒子中取得标有字母B的球｝，

R＝{第二次取出的球是红球｝，

W＝{第二次取出的球是白球｝，

易得P（A)＝错误!,P(B）＝错误!，

P(R｜A)＝错误!，P（R｜B)＝错误!,

事件“试验成功”表示为RA∪RB,又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式得

P（RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB）

＝P(R|A)·P（A）＋P（R|B)·P（B）

＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝0.59．

『规律总结』 若事件B，C互斥，则P（B∪C｜A）＝P(B｜A)＋P（C｜A)，即为了求得比较复杂事件的概率,往往可以先把它分解成若干个互不相容的较简单事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用概率加法公式求得所求的复杂事件的概率．

〔跟踪练习4〕

抛掷红、蓝两颗骰子,记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8"，求：

（1)事件A发生的条件下事件B发生的概率;

（2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．

[解析] 抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6×6＝36，事件A的基本事件数为 6×2＝12,

则P（A）＝错误!＝错误!．

∵3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4〉8,4＋6＝6＋4＝5＋5〉8,5＋6＝6＋5〉8,6＋6>8，

∴事件B的基本事件总数为4＋3＋2＋1＝10．

∴P(B)＝错误!＝错误!．

又4＋5〉8，4＋6>8,6＋3>8，6＋4>8，6＋5>8,6＋6>8，

∴事件AB的基本事件数为6．

故P(AB)＝错误!＝错误!．

由条件概率公式,得

(1）P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!．