江科大大一高数一D11映射与函数精品PPT课件

第一节 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.

X
定义域
D =X
第一节 映射与函数



()


()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.


Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.

f:M→N.是一一映射,是函数
(3)X=R,Y={非负实数},f:y=x4.
f:X→Y.非一一映射,是函数
例3. 点(x，y)在映射f下的象是(x－2y，3x＋2y)， (1) 、求点(5,3)在映射f下的像； (2)、求点(6,2)在映射f下的原象.
解 1、 ： 5231,35232,1
点 (2,3)在映 f下射 的像 1,2.1是
不是 (6)
复习 映射的概念
一般地，设A、B是两个非空集合，如果按
某一个确定的对应关系f，对于集合A中的每一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之 对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A到集合
B的一个映射（mapping）
我们把A中的元素x称为原像，B中的对应 元素y称为x的像
以下两个映射有什么共同的特点?
B的一个映射（mapping）。
思考：映射与函数有什么区别与联系？
思考：映射与函数有什么区别与联系？
函数 映射
建立在两个非空数集上的特殊对应
扩展
建立在两个任意集合上的特殊对应
（1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射． （2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数． （3）映射与函数都是特殊的对应
这种“特殊对应”有何特点：
1.可以是“一对一” 2.可以是“多对一” 3.不能“一对多” 4.A中不能有剩余元素 5.B中可以有剩余元素
下面对应是否为函数？
Ａ={高一（1）班同学} ，Ｂ={正实数} ，f：让每位同学与 学号数对应．对应如下表所示：
A
张三 李四
每位同学与学 B 号数对应
１
２
…… ……
王五
30
Ａ＝｛中国，日本，韩国 ｝，Ｂ＝｛北京，东京，首尔 ｝， f:相应国家的首都．

[1,1] [ 0, ]
[

, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x

2


2
0

2
x
| arctanx |
定义域 (,)

2

2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos

,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
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应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！

例如：函数链 : y f (u) u , u D f [0, ) 则 2. 书写复合函数时不一定写出其定义域,
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4. 初等函数（P368） (1) 基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步
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3. 函数的几种特性
(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
f (x) 为偶函数; f (x) 为奇函数.
y
x O
e x
xx
说明: 若 f ( x) 在 x = 0 有定义 , 则当
f ( x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如, e x e x 偶函数 y f ( x) 2 记 ch x 双曲余弦 Hyperbolic cosine 2018/11/10
定义域： 反正弦函数 正弦函数
2
值域：
y
1
1
O
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1x
2
1
2
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2
(2) 复合函数 设有函数链
y f (u), u D f
且 Rg D f
① ②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 1. 构成复合函数的条件 Rg D f不可少.
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
x, x0 可表为 y 例如 , y x , x 0
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x 2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .