对一道中考选择题的思考

Ｖｏ１．２７　Ｎｏ．３４６　

（Ｓ）６．２００９　．５Ｏ．　物理教学探讨　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　第２７卷总第３４６期　

２００９年第６期（上半月）　

对一道中考题的分析与思考　

黄生强　

湖北省潜江市高石碑一中，湖北省潜江市４３３１２６　

下面是某市的一道中考压轴题。　

题　在水平桌面上放置一个空玻璃杯，它　

的底面积为０．０１ｍ　，它对桌面的压强为２００Ｐａ。　

（１）求玻璃杯的重量。　

（２）在玻璃杯中装入ｌｋｇ水后，水对杯底的　

压强为９００Ｐａ，求水的深度。　

（３）通过计算推测出玻璃杯的大致形状是　

图所示ｎ、６、ｃ中的那一种？（ｇ＝１０Ｎ／ｋｇ，杯壁的　

厚度可忽略）　

Ｌ＿ｊ　

ｂ　１３　图　１　

点评　这是命题老师精心设计的一道关于　

压力和压强的中考压轴题。对这类问题学生往往　

无从下手。他们主要的思维障碍是不善于分析容　

器中液体的重力Ｇ液与液体对容器底部的压力Ｆ　

之间关系，而不明确Ｇ泣与Ｆ的关系就无法找到　

解决问题的突破口。大多数学生错误认为容器的　

形状如图１６，即Ｇ液一Ｆ，这种思维定势直接诱导　

学生走进解题的误区。因此，确定Ｇ液与Ｆ的关　

系是解题的关键。　

分析　如图２６所示的容器可称作为柱形容　

器，即容器侧壁跟容器底面垂直。容器中液体的　

重力为Ｇｅ＝１０ｉ葭ｇＹ液，液体对容器底部的压力　

为Ｆ＝ｐＳ＝Ｐ液ｇＳｈ。由此可得图２６中液体的体　

积　渣等于柱形容器的容积　，即　＝＝＝Ｓｈ，因　

此在图ｂ的柱形容器中Ｇ液一Ｆ。　

ｂ　Ｃ　图　２　

而在上图口中可以看到液体的体积　液大于　柱形容器的容积　即Ｖ液＞　，因此Ｇ液＞Ｆ。　

同理，在图２ｃ中，液体的体积　渡小于柱形　

容器的容积　，即　液＜　，因此Ｇ谖＜Ｆ。　

由以上分析可知，只有在柱形容器中Ｇ液一　

Ｆ。此题中要判断玻璃杯韵大致形状，只有通过　

计算，分析比较Ｇ液与Ｆ的关系才可打破学生的　

思维定势。　

解答　

（１）玻璃杯放置在水平桌面上，玻璃杯的重　

２０１１年第５期　数学教学　５—３＇　

一道中考题的再思考　

４６６００１河南省周口市川汇区教体局教研室李世臣　

题目　已知边长为ａ的正三角形ＡＢ　，两顶　

点Ａ、Ｂ分别在平面直角坐标系的　轴、　轴的　

正半轴上滑动，点　在第一象限，如图１，连结　

＜二）　，则Ｄ　的长的最大值是　

图１　

这是２００９年山东潍坊市的一道中考填空题，　

文…通过改变正多边形的边数将正三角形推广　到正佗多边形的情形，本文拟从ＺｘＯｙ的大小进　

行探索，将问题进一步拓展．　

在文…的各个变式的解析中，总是取ＡＢ的　

中点Ｍ，将问题转化为△ＯＭＣ的三边关系，即　（二｝Ｃ≤０Ｍ＋ＭＣ，由于Ｄ　、ＭＣ均为定值，　

所以当《二）、　、　三点共线时，（二）　取得最大值．　

由ＭＡ＝ＭＢ：Ｍ０不难联想到△《二）ＡＢ的　

外接圆，可见文［１］明为取ＡＢ的中点，实则取直　角ＡＯＡＢ的外心．于是，改变ＺｘＯｙ的大小，确　

定△Ｄ　Ｂ的外心Ｉ的位置，然后建立ＯＩ、ＩＣ、　

ＯＣ三边的联系，自然成为将问题拓展延伸之路．　

命题１已知ＺｘＯｙ＝　，正三角形ＡＢＣ的　

边长为ａ，两顶点Ａ、Ｂ分别在射线Ｏｘ、射线Ｏｙ　

上滑动，顶点Ｃ和顶点（二）在直线ＡＢ的两侧，则　

ｆ１）当０。＜　＜１５０。时，　

０≤（二）　≤　ａ（　＋ｃｏｔ　ｇ）；　

（２）当　＝１５０。时，（＝）Ｃ＝０；　

（３）当１５０。＜　＜１８０。时，　

号（　＋ｃｏｔ　）≤ＯＣ≤ｎ．　２０＞６０。，ＡＯＡＢ的外心　在ＺＡＣＢ内，ＯＩ＝　

面ａ，ＩＣ＝　．　

ｏ、、　，　、、－一－　，　

所以《二）　＋　ｃ＝＝＝　ａ　＋　。＋　ａ　

＝　。＋　＝　ｎ＋＿Ｃ０ａ　ｔ黑　

＝　ａ（　＋ｃＯｔ鲁）．　

ＡＯＩＣ中，因为　．　ＯＣ≤ＯＩ＋ＩＣ≤　ａ（　＋ｃ。ｔ　），　

当０、　、Ｃ三点共线时，取等号；又在ＡＯＡＣ中，　易知（二）ｃ≥ｎ，所以。≤ｏｃ≤　ａ（　＋ｃｏｔ墨）；　

（２）当　＝１５０。时，如图３，设ＡＯＡＢ的外　

心为Ｉ，则（＝）　＝ａ，ＩＣ＝０，　、Ｃ重合．所以　０Ｃ＝０Ｉ＝ｎ：　

一道选择题引发的数学课堂教学思考

【摘 要】数学新课程标准的核心理念是“以人为本”，数学的应用价值在于运用数学知识解决实际问题，不是学生听懂了，记住了，就能解决问题，形成能力，而只有学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法才能够运用自如，而“悟”是在教学活动中进行的。本文结合自己在课堂教学实践中的一些体会，谈了四点做法。

【关键词】课堂教学 问题情境 合作交流 兴趣 能力

北师大版初三（上）数学第一章过关测试卷中，有一道选择题：等腰三角形的底角为15°，腰长为20，此三角形的面积为（ ）

a、200b、400c、100d、

当时，这道题的正确率在我所教的两个班中仅有5%，结果出乎我的意料之外。其实，类似的题型在教科书第13页例2已出现，只不过教科书上是求一条腰上的高，这里是求三角形的面积。为了更好地找出原因，我找来几位学生要他们写出解答的过程。我归纳总结了一下，大致有三种解法：

第一种解法：如图，作的高cd，因为是等腰三角形，所以∠b=∠acb=15°，∠bac=150°，ab=ac=20，∠cad=30°，，在中，

，

因只有选项d中含有，故选d。

第二种解法：如图，作的高cd，因为是等腰三角形，所以∠b=∠acb=15°，ab=ac=20，∠cad=30°，，，，故选d。

第三种解法：与第一种方法类似地求得cd和ad，然后由求得，

而不是直接利用公式求得，故选c。

由以上学生的几种解答过程看：第一种解法的同学是钝角三角形的面积公式中的底边理解错误；第二种解法是对所学知识“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，30°的对边找错；第三种解法虽然正确，但钝角三角形的面积公式不会运用，而是间接求得，所花时间较长。以上三种情况不得不引起我们教育工作者的反思：数学的应用价值在于运用数学知识解决实际问题，不是学生听懂了，记住了，就能解决问题，形成能力，而只有学生自己悟出了道理、规律和思考方法才能够运用自如，而“悟”是在教学活动中进行的。下面谈几点做法：

对一道中考题的思考

湖北省嘉鱼县牌洲湾镇蓝天中学 游道军 殷祚忠

在一次习题课上，笔者看到这样一道规律探索题比较有意思，就同学生一起探讨。原题如下：

（2006，大连）如图1-1和图1-2分别是两个相同的正方形和正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处。

（1）求图1-1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；

（2）求图1-2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接写出答案）；

（3）根据前面探索和图1-3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况（n为大于2的偶数）？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。

对于第（1）（2）小题，同学们很容易就完成了，并且从中也找到了相应的方法。于是，同学们继续用相同的方法去完成第（3）问，最终得到如下结论，即图1-3中，重叠部分面积与阴影部分面积的比是（n－2）:(n＋2)。

本来，到此问题已经解决，但笔者总觉得其中图1-3有不当之处，很快笔者想到在上新课时遇到的一个问题，即：对于面积相同的正多边形，它们的周长有什么关系？于是笔者让学生思考并计算比较。几分钟后，学生给出了答案：边数越多，周长越小。再由这个问题出发，发现:同一个圆的内接正多边形的边数越多，其边长越小，并且，只有正三角形、正方形和正五边形的边长大于其半径，正六边形的边长等于它的半径，而其它的正多边形的边长都小于它的半径。如图2和图3中的两个正八边形分别都是两个相同的正八边形，从图中明显看到正八边形的边长小于它的半径。这样一来，前文中的图1-3的情形就不可能成立，更不说有一般的规律了。

并且，通过几何画板演示图2的情形，发现重叠部分的面积随着其中一个正八边形的旋转而发生改变：当一个正八边形的相邻两边与另一正八边形的半径重合（如图3）时，重叠部分面积最小；当它们各自的中心分别在对方的一个顶点（如图2）时，重叠部分的面积最大。

反思：前文中的中考题笔者在两本不同的资料上看到，其一是由吉林文史出版社出版的《点拨王系列丛书·中考新坐标·数学》P126页，其二是《中学数学教学参考》（2007年第1～2期·初中，P76页）。本题设计意图是让学生运用旋转的知识解决问题，让学生通过特殊情况归纳出一般规律。为什么会出现这样的错题，并且还在不同的资料上引用？笔者分析，可能是因为在对图1-1和图1-2中的两种特殊情况探究过程的正确性及结论的正确性的认识的基础上，用不完全归纳法将此结论推广到一般情况，从而导致了图1-3这样的与实际不符的问题的出现。由此看来，无论是在教学一线的教师还是进行教学研究的教研员，在设计试题或选择试题前都应该认真分析研究，特别是对于具有一般性规律的问题的处理上，必须结合相应的数学研究方法，使笔者们设计的问题科学、严谨、细致，真正让学生能从问题中学习和获得知识。