十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题08不等式文(含解析)

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十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题01集合文(含解析)

专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科02】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，∴∁U A＝{1，6，7}，则B∩∁U A＝{6，7}故选：C．2．【2018年新课标1文科01】已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，2}．故选：A．3．【2017年新课标1文科01】已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B＝{x|x} B．A∩B＝∅C．A∪B＝{x|x} D．A∪B＝R【解答】解：∵集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}＝{x|x}，∴A∩B＝{x|x}，故A正确，B错误；A∪B＝{x||x＜2}，故C，D错误；故选：A．4．【2016年新课标1文科01】设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}【解答】解：集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝{3，5}．故选：B．5．【2015年新课标1文科01】已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．6．【2014年新课标1文科01】已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）【解答】解：M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝{x|﹣1＜x＜1}，故选：B．7．【2013年新课标1文科01】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝（）A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}【解答】解：根据题意得：x＝1，4，9，16，即B＝{1，4，9，16}，∵A＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，4}．故选：A．8．【2012年新课标1文科01】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A＝B D．A∩B＝∅【解答】解：由题意可得，A＝{x|﹣1＜x＜2}，∵B＝{x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x∴B⊊A．故选：B．9．【2011年新课标1文科01】已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【解答】解：∵M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，∴P＝M∩N＝{1，3}∴P的子集共有22＝4故选：B．10．【2010年新课标1文科01】已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：∵A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}B＝{x|4，x∈Z}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B＝{0，1，2}故选：D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题 1．若集合，，则AB =（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】解：，则，故选：A ． 2．已知集合，，则AB =（）A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】，，又，所以，故本题选C.3．已知集合，，则A B =（）A ．B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}3,2--D ．【答案】B 【解析】因为，∴．4．已知全集U =R ，集合，则()U A B =ð（）A ．(1,2)B ．(]1,2 C ．(1,3) D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >，可得13x <<，所以集合,(,2]U A =-∞ð，所以()U A B =ð(]1,2，故选B.5．已知集合，集合，则集合A B ⋂的子集个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点，故A B ⋂的子集有4个. 6．已知集合，，则()R M N ⋂ð=（）A ．{-1，0，1，2，3}B ．{-1，0，1，2}C ．{-1，0，1}D ．{-1，3}【答案】D 【解析】由题意，集合，则或3}x ≥又由，所以，故选D.7．已知集合，，则()R A B I ð=( )A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B 【解析】因为，所以，又，所以.8．已知R 是实数集，集合，，则()AB =Rð（）A ．{}1,0-B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】即故选A 。

十年高考真题分类汇编2010-2019数学专题09不等式Word版含解析

3
3
8
因为
S△ABC=S△ABM-S△ACM=12·(2+2m)·
(1 +
m)-
2+2m 3
=
(m+1)2,由已知得(m+1)2
3
3
=
4,解得
3
m=1(m=-3<-1
舍去).
- ≥ 0, 20.(2015·山东·理 T6)已知 x,y 满足约束条件 + ≤ 2,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=( )
x + y ≥ 0,
A.-1 B.1 C.10 D.12
【答案】C
【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角
形区域 ( 包含边界 ), 由图易得当直线 z=3x+2y 经过平面区域内的点 (2,2) 时 ,z=3x+2y 取得最大值
矩形.又 D(2,-2),C(-1,1),所以
+ -3 ≥ 0, 14.(2016·浙江·文 T4)若平面区域 2 - -3 ≤ 0, 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两条平行直线间
-2 + 3 ≥ 0
的距离的最小值是( )
A.3 5
5
【答案】B
B. 2
C.3 2
2
D. 5
【解析】作出可行域,如图阴影部分所示.
【答案】B
【解析】如图,作出变量 x,y 满足约束条件表示的可行域,为三角形 ABC 及其内部,点 A,B,C 的坐标依次为
(0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将 z=2x+5y 变形为 y=-2x+z,可知当 y=-2x+z经过点 B 时,z 取最小值 6.故选

2010-2019十年高考数学真题分类汇编专题08 数列学生版+解析版

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n2.(2019·浙江·T10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2+b,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10D.当b=-4时,a 10>103.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 45.(2018·北京·理T4文T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23fB.√223fC.√2512fD.√2712f6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3C.3D.88.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>010.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )A.172B.192C.10D.1212.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.1D.114.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)216.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-1917.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=c n+a n2,c n+1=b n+a n2,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.620.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5D.-721.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= .2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .3.(2019·江苏·T8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 . 5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= .6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 .9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *),前n 项和为S n ,若lim n →∞S n a n+1=12,则q=.10.(2018·江苏·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 .11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k =____________.12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= .13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 18.(2015·湖南·理T14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = . 19.(2015·福建·文T16)若a,b 是函数f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 . 20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1- a n =n+1(n ∈N *).则数列{1a n}前10项的和为____________.21.(2015·全国2·理T16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= .23.(2015·陕西·文T13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是 . 25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5= .26.(2014·安徽·理T12)数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 27.(2014·全国2·文T16)数列{a n }满足a n+1=11-a n,a 8=2,则a 1=____________.28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 29.(2014·天津·理T11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 .30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= .32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n = . 33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q= . 三、计算题1.(2019·全国2·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.3.(2019·天津·文T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于0.已知a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c n ={1,n 为奇数,b n 2,n 为偶数,求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n ∈N *).4.(2019·天津·理T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k ,其中k ∈N *.①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式;②求∑i=12na i c i (n ∈N *).5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√a n n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *. 6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M- 数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M- 数列”; (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n−2b n+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M- 数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1成立,求m 的最大值.7.(2018·北京·文T15)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n .8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意x ∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,b n =a n+1+1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由; (2)设数列{a n }的前四项为a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求M 中元素的个数m:(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列.若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.9.(2018·江苏·T 20)设{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,{b n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列.(1)设a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,求d 的取值范围;(2)若a 1=b 1>0,m ∈N *,q ∈(1, √2m],证明:存在d ∈R,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d 的取值范围(用b 1,m,q 表示).10.(2018·天津·文T18)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.11.(2018·天津·理T18)设{a n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是等差数列.已知a 1=1,a 3=a 2+2,a 4=b 3+b 5,a 5=b 4+2b 6. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *), ①求T n ;②证明∑k=1n(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(n ∈N *). 12.(2018·全国2·理T17文T17)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值.13.(2018·全国1·文T17)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =an n. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式.14.(2018·全国3·理T17文T17)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =63,求m.15.(2017·全国1·文T17)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列.16.(2017·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a 3+b 3=5,求{b n }的通项公式;(2)若T3=21,求S3.17.(2017·全国3·文T17)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)求数列{a n2n+118.(2017·天津·理T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).19.(2017·山东·理T19)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.20.(2017·山东·文T19)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和T n.(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列{b na n21.(2017·天津·文T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).22.(2016·全国2·理T17)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1 000项和.23.(2016·全国2·文T17)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 24.(2016·浙江·文T17)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *. (1)求通项公式a n ;(2)求数列{|a n -n-2|}的前n 项和.25.(2016·北京·文T15)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和.26.(2016·山东·理T18文T19)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1. (1)求数列{b n }的通项公式; (2)令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n,求数列{c n }的前n 项和T n .27.(2016·天津·理T18)已知{a n }是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n ∈N *,b n 是a n 和a n+1的等比中项.(1)设c n =b n+12−b n 2,n ∈N *,求证:数列{c n }是等差数列;(2)设a 1=d,T n =∑k=12n(-1)kb k 2,n ∈N *,求证:∑k=1n1T k<12d 2.28.(2016·天津·文T18)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且1a 1−1a 2=2a 3,S 6=63.(1)求{a n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项,求数列{(-1)nb n 2}的前2n 项和.29.(2016·全国1·文T17)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n+1=nb n . (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.30.(2016·全国3·文T17)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1, a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0. (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.31.(2016·全国3·理T17)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.32.(2015·北京·文T16)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,a 4-a 3=2. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7.问:b 6与数列{a n }的第几项相等? 33.(2015·重庆·文T16)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 34.(2015·福建·文T17)等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n -2+n,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值.35.(2015·全国1·理T17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和.36.(2015·安徽·文T18)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =an+1S n S n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .37.(2015·天津·理T18)已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a2n a 2n -1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.38.(2015·山东·文T19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为n2n+1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .39.(2015·浙江·文T17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *),b 1+12b 2+13b 3+…+1n b n =b n+1-1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .40.(2015·天津·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是等差数列,且a 1=b 1=1,b 2+b 3=2a 3,a 5-3b 2=7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.41.(2015·湖北·文T19)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=a nb n,求数列{c n}的前n项和T n.42.(2014·全国2·理T17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明:{a n+12}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+…+1a n<32.43.(2014·福建·文T17)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.(1)求a n;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.44.(2014·湖南·文T16)已知数列{a n}的前n项和S n=n 2+n,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.45.(2014·北京·文T14)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.46.(2014·大纲全国·理T18)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=1a n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.47.(2014·山东·理T19)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=(-1)n-14na n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.48.(2014·全国1·文T17)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{ann }的前n 项和.49.(2014·安徽·文T18)数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n ∈N *.(1)证明:数列{an}是等差数列;(2)设b n =3n·√a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .50.(2014·山东·文T19)在等差数列{a n }中,已知公差d=2,a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =a n (n+1)2,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)nb n ,求T n .51.(2014·大纲全国·文T17)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2. (1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.52.(2014·全国1·理T17)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n+1=λS n -1,其中λ为常数. (1)证明:a n+2-a n =λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.53.(2013·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列. (1)求{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.54.(2013·全国1·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列{1a2n -1a 2n+1}的前n项和.55.(2012·湖北·理T18文T20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和. 56.(2011·全国·文T17)已知等比数列{a n }中,a 1=13,公比q=13. (1)S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n =1-a n2; (2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.57.(2011·全国·理T17)等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 32=9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{1b n}的前n项和. 58.(2010·全国·理T17)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.59.(2010·全国·文T17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8n D.S n =12n 2-2n【答案】A【解析】由题意可知,{S 4=4a 1+4×32·d =0,a 5=a 1+4d =5,解得{a 1=-3,d =2.故a n =2n-5,S n =n 2-4n,故选A.2.(2019·浙江·T10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2+b,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10 D.当b=-4时,a 10>10【答案】A【解析】当b=12时,a 2=a 12+12≥12,a 3=a 22+12≥34,a 4=a 32+12≥1716≥1,当n≥4时,a n+1=a n 2+12≥a n 2≥1,则lo g 1716a n+1>2lo g 1716a n ⇒lo g 1716a n+1>2n-1,则a n+1≥（1716 ）2n -1(n≥4),则a 10≥（1716） 26=（1+116）64=1+6416+64×632×1162+…>1+4+7>10,故选A. 3.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12【答案】B【解析】因为3S 3=S 2+S 4,所以3S 3=(S 3-a 3)+(S 3+a 4),即S 3=a 4-a 3.设公差为d,则3a 1+3d=d,又由a 1=2,得d=-3,所以a 5=a 1+4d=-10.4.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 4 【答案】B【解析】设等比数列的公比为q,则 a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1-q 4)1-q ,a 1+a 2+a 3=a 1(1-q 3)1-q.∵a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3),∴a 1+a 2+a 3=e a 1+a 2+a 3+a 4,即a 1(1+q+q 2)=e a 1(1+q+q2+q 3).又a 1>1,∴q<0.假设1+q+q 2>1,即q+q 2>0,解得q<-1(q>0舍去). 由a 1>1,可知a 1(1+q+q 2)>1, ∴a 1(1+q+q 2+q 3)>0,即1+q+q 2+q 3>0,即(1+q)+q 2(1+q)>0,即(1+q)(1+q 2)>0,这与q<-1相矛盾. ∴1+q+q 2<1,即-1<q<0.∴a 1>a 3,a 2<a 4.5.(2018·北京·理T4文T 5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23f B.√223fC.√2512fD.√2712f【答案】D【解析】设第n 个单音的频率为a n ,由题意,a na n -1=√212(n≥2),所以{a n }为等比数列,因为a 1=f,所以a 8=a 1×(√212)7=√2712f,故选D.6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110 【答案】A【解析】设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n 组的项数为n,则前n组的项数和为n (1+n )2.第n 组的和为1-2n 1-2=2n -1,前n 组总共的和为2(1-2n )1-2-n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令n (1+n )2>100,得n≥14且n ∈N *,即N 出现在第13组之后.若要使最小整数N 满足:N>100且前N 项和为2的整数幂,则S N -S n (1+n )2应与-2-n 互为相反数,即2k-1=2+n(k ∈N *,n≥14),所以k=log 2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=29×(1+29)2+5=440,故选A. 7.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8【答案】A【解析】设等差数列的公差为d,则d≠0,a 32=a 2·a 6, 即(1+2d)2=(1+d)(1+5d), 解得d=-2,所以S 6=6×1+6×52×(-2)=-24,故选A.8.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97【答案】C 【解析】因为S 9=(a 1+a 9)×9=27,a 1+a 9=2a 5, 所以a 5=3.又因为a 10=8,所以d=a 10-a 510-5=1. 故a 100=a 10+(100-10)×1=98.9.(2015·浙江·理T13)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n ,若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( ) A.a 1d>0,dS 4>0 B.a 1d<0,dS 4<0 C.a 1d>0,dS 4<0 D.a 1d<0,dS 4>0【答案】B【解析】设{a n }的首项为a 1,公差为d,则a 3=a 1+2d,a 4=a 1+3d,a 8=a 1+7d. ∵a 3,a 4,a 8成等比数列,∴(a 1+3d)2=(a 1+2d)(a 1+7d),即3a 1d+5d 2=0. ∵d≠0,∴a 1d=-53d 2<0,且a 1=-53d. ∵dS 4=4d (a 1+a 4)2=2d(2a 1+3d)=-23d 2<0. 10.(2015·全国2·文T5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】A【解析】由a 1+a 3+a 5=3及等差中项,得3a 3=3,解得a 3=1.故S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5. 11.(2015·全国1·文T7)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10= ( ) A.172B.192C.10D.12【答案】B【解析】∵公差d=1,S 8=4S 4, ∴8(a 1+a 8)2=4×4(a 1+a 4)2, 即2a 1+7d=4a 1+6d,解得a 1=12. ∴a 10=a 1+9d=1+9=19.12.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21B.42C.63D.84【答案】B 【解析】由题意知a 1+a 3+a 5a 1=1+q 2+q 4=213=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.13.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2 B.1C.12D.18【答案】C【解析】∵a 3a 5=4(a 4-1),∴a 42=4(a 4-1),解得a 4=2.又a 4=a 1q 3,且a 1=14,∴q=2.∴a 2=a 1q=12.14.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C【解析】由等比数列前n 项和的性质,得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等比数列,所以(S 4-S 2)2=S 2(S 6-S 4),即(15-3)2=3(S 6-15),解得S 6=63,故选C.15.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( ) A.n(n+1) B.n(n-1)C.n (n+1)2D.n (n -1)2【答案】A【解析】∵a 2,a 4,a 8成等比数列, ∴ =a 2·a 8,即(a 1+6)2=(a 1+2)(a 1+14), 解得a 1=2. ∴S n =na 1+n (n -1)2d=2n+n 2-n=n 2+n=n(n+1). 16.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ) A.13 B.-13C.19D.-19【答案】C【解析】由S 3=a 2+10a 1,得a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1,整理得a 3=9a 1,所以q 2=a 3a 1=9.由a 5=9,得a 1=a 5q 4=992=19.17.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为2的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A.S n =2a n -1 B.S n =3a n -2 C.S n =4-3a n D.S n =3-2a n 【答案】D【解析】S n =a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q=1-23a n 1-23=3-2a n .18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n=1,2,3,….若 b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=c n +a n ,c n+1=b n +an ,则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列【答案】B【解析】因为b 1>c 1,不妨设b 1=4a 13,c 1=2a 13,p=12(a 1+b 1+c 1)=32a 1,则S 1=√3a 12·a 12·a 16·5a16=√1512a 12; a 2=a 1,b 2=23a 1+a 12=56a 1,c 2=43a 1+a 12=76a 1,S 2=√3a12·a12·2a13·a13=√66a 12;显然S 2>S 1.同理,a 3=a 1,b 3=76a 1+a 12=1312a 1,c 3=56a 1+a 12=1112a 1,S 3=√3a12·a12·512a 1·712a 1=√10524a 12,显然S 3>S 2.19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C【解析】∵S m-1=-2,S m =0,S m+1=3, ∴a m =S m -S m-1=2,a m+1=S m+1-S m =3. ∴d=a m+1-a m =3-2=1. ∵S m =m (a 1+a m )2=m (a 1+2)2=0, ∴a 1=-2,a m =-2+(m-1)×1=2.∴m=5.20.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7【答案】D【解析】∵{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=-8. 联立{a 4+a 7=2,a 4a 7=-8可解得{a 4=4,a 7=-2或{a 4=-2,a 7=4,当{a 4=4,a 7=-2时,q 3=-12, 故a 1+a 10=a4q 3+a 7q 3=-7;当{a 4=-2,a 7=4时,q 3=-2,同理,有a 1+a 10=-7. 21.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830【答案】D【解析】∵a n+1+(-1)na n =2n-1, ∴a 2=1+a 1,a 3=2-a 1,a 4=7-a 1,a 5=a 1,a 6=9+a 1,a 7=2-a 1,a 8=15-a 1,a 9=a 1,a 10=17+a 1,a 11=2-a 1,a 12=23-a 1,…,a 57=a 1,a 58=113+a 1,a 59=2-a 1,a 60=119-a 1,∴a 1+a 2+…+a 60=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 57+a 58+a 59+a 60) =10+26+42+…+234=15×(10+234)2=1 830. 二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= . 【答案】100【解析】设等差数列{a n }的公差为d,则{a 3=a 1+2d =5,a 7=a 1+6d =13,解得{a 1=1,d =2. 故S 10=10a 1+10×92d=10×1+10×92×2=100. 2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d. ∵a 1≠0,a 2=3a 1, ∴a 1+d=3a 1,即d=2a 1.∴S10S 5=10a 1+10×92d5a 1+5×42d=100a 125a 1=4. 3.(2019·江苏·T 8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 【答案】16【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为d,a 2a 5+a 8=0,S 9=27,∴{(a 1+d )(a 1+4d )+a 1+7d =0,①9a 1+9×82d =27,②整理②得a 1+4d=3,即a 1=3-4d,③ 把③代入①解得d=2,∴a 1=-5. ∴S 8=8a 1+28d=16.4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 . 【答案】0 -10【解析】等差数列{a n }中,由S 5=5a 3=-10,得a 3=-2,又a 2=-3,公差d=a 3-a 2=1,a 5=a 3+2d=0,由等差数列{a n }的性质得当n ≤5时,a n ≤0,当n ≥6时,a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为-10.5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= . 【答案】58【解析】设等比数列{a n }的公比为q. S 3=a 1+a 1q+a 1q 2=1+q+q 2=34, 即q 2+q+14=0.解得q=-12.故S 4=a 1(1-q 4)=1-(-12)41+12=5.6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.【答案】1213【解析】设等比数列{a n }的公比为q, 则a 4=a 1q 3=13q 3,a 6=a 1q 5=13q 5.∵a 42=a 6,∴19q 6=13q 5.∵q≠0,∴q=3.∴S 5=a 1(1-q 5)1-q=13(1-35)1-3=1213. 7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 【答案】-63【解析】∵S n =2a n +1,① ∴S n-1=2a n-1+1(n ≥2).②①-②,得a n =2a n -2a n-1,即a n =2a n-1(n ≥2).又S 1=2a 1+1,∴a 1=-1.∴{a n }是以-1为首项,2为公比的等比数列,则S 6=-1(1-26)1-2=-63.8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 . 【答案】a n =6n-3【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为d, ∴a 2+a 5=2a 1+5d=36.∵a 1=3,∴d=6.∴a n =3+(n-1)×6=6n-3.9.(2018·上海·T 10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *),前n 项和为S n ,若lim n →∞S na n+1=12,则q= . 【答案】3【解析】由a n =q n-1,得a n+1=q n.当q=1时,不满足题意;当q≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q=1-q n1-q. 若0<|q|<1,则lim n →∞1-q n(1-q )q n 不存在;若|q|>1,则lim n →∞Sn a n+1=lim n →∞1-q n(1-q )q n =lim n →∞1(1-q )·(1q n -1)=-11-q =12,解得q=3.10.(2018·江苏·T 14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 . 【答案】27【解析】①若a n+1=2k(k ∈N *),则S n =21+22+…+2k-1+1+3+ (2)-1=2k-2+(2k-1)2⇒(2k-1)2+2k-2>12·2k. 令2k=t ⇒14t 2+t-2>12t ⇒t(t-44)>8.∴t ≥64⇒k ≥6.此时,n=k-1+2k-1=37. ②若a n+1=2k+1(k ∈N *),则S n =21+22+ (2)+1+3+…+2k-1(2t<2k+1,t ∈N *), ∴S n =2t+1-2+k 2>12(2k+1)⇒2t+1>-k 2+24k+14. ∴-k 2+24k+14<2t+1<4k+2⇒k(k-20)>12.取k=21,此时772<2t <43(舍),取k=22,29<2t<45,t=5,n=5+22=27. 由①②,得n min =27.11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k=____________.【答案】2nn+1【解析】设等差数列的首项为a 1,公差为d,由题意可知{a 1+2d =3,4a 1+4×32d=10,解得{a 1=1,d =1.所以S n =na 1+n (n -1)2d=n (1+n )2. 所以1S n =2n (n+1)=2(1n -1n+1).所以∑k=1n1S k=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=2(1-1n+1)=2nn+1. 12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= . 【答案】-8【解析】设{a n }的公比为q,则由题意, 得{a 1(1+q )=-1,a 1(1-q 2)=-3,解得{a 1=1,q =-2,故a 4=a 1q 3=-8. 13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8= . 【答案】32【解析】设该等比数列的公比为q,则S 6-S 3=634−74=14,即a 4+a 5+a 6=14.①∵S 3=74,∴a 1+a 2+a 3=74. 由①得(a 1+a 2+a 3)q 3=14,∴q 3=1474=8,即q=2.∴a 1+2a 1+4a 1=7,a 1=1. ∴a 8=a 1·q 7=14×27=32.14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 【答案】1 121【解析】由题意,可得a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1, 所以a 1=1,a 2=3.再由a n+1=2S n +1,a n =2S n-1+1(n ≥2), 两式相减得a n+1-a n =2a n ,即a n+1=3a n (n ≥2).又因为a 2=3a 1,所以数列{a n }是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S 5=1-351-3=121. 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 【答案】6【解析】∵{a n }是等差数列,∴a 3+a 5=2a 4=0.∴a 4=0. ∴a 4-a 1=3d=-6.∴d=-2. ∴S 6=6a 1+15d=6×6+15×(-2)=6.16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 【答案】64【解析】由已知a 1+a 3=10,a 2+a 4=a 1q+a 3q=5,两式相除得a 1+a 3q (a 1+a 3)=105=2,解得q=12,a 1=8, 所以a 1a 2…a n =8n·(1)1+2+…+(n -1)=2-12n 2+7n2,函数f(n)=-1n 2+7n的对称轴为n=-722×(-12)=3.5,又n ∈N *,所以当n=3或4时,a 1a 2…a n 取最大值为2-12×32+7×32=26=64.17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 【答案】6【解析】∵a n+1=2a n ,即an+1a n=2,∴{a n }是以2为公比的等比数列.。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题08 数列无答案原卷版

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=n2-2n2.(2019·浙江·T10)设a,b∈R,数列{a n}满足a1=a,a n+1=+b,n∈N*,则()A.当b=时,a10>10B.当b=时,a10>10C.当b=-2时,a10>10D.当b=-4时,a10>103.(2018·全国1·理T4)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )A.-12B.-10C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( )A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a45.(2018·北京·理T4文T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A. fB. fC. fD. f6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为( )A.-24B.-3C.3D.88.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>010.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )A. B. C.10 D.1212.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.14.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C. D.16.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A. B.- C. D.-17.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=,c n+1=,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m= ( )A.3B.4C.5D.620.(2012·全国·理T5)已知{a n}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( )A.7B.5C.-5D.-721.(2012·全国·文T12)数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为( )A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10= .2.(2019·全国3·理T14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则= .3.(2019·江苏·T8)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,S n的最小值为.5.(2019·全国1·文T14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4= .6.(2019·全国1·理T14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1==a6,则S5=________.7.(2018·全国1·理T14)记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1,则S6= .8.(2018·北京·理T9)设{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为.9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n-1(n∈N*),前n项和为S n,若,则q=.10.(2018·江苏·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}.记S n为数列{a n}的前n项和,则使得S n>12a n+1成立的n的最小值为.11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则=____________.12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8=.14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1= ,S5= .15.(2016·北京·理T12)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= .16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和.若S n=126,则n= .18.(2015·湖南·理T14)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .19.(2015·福建·文T16)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*).则数列前10项的和为____________.21.(2015·全国2·理T16)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n= .22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .23.(2015·陕西·文T13)中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为.24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .26.(2014·安徽·理T12)数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= .27.(2014·全国2·文T16)数列{a n}满足a n+1=,a8=2,则a1=____________.28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{a n}的前n项和最大.29.(2014·天津·理T11)设{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为.31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6= .32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n= .33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3+3S2=0,则公比q= .三、计算题1.(2019·全国2·文T18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n.求数列{b n}的前n项和.2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n-b n+4,4b n+1=3b n-a n-4.(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n-b n}是等差数列;(2)求{a n}和{b n}的通项公式.3.(2019·天津·文T18)设{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}满足c n=求a1c1+a2c2+…+a2n c2n(n∈N*).4.(2019·天津·理T19)设{a n}是等差数列,{b n}是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}满足c1=1,c n=其中k∈N*.①求数列{-1)}的通项公式;②求a i c i(n∈N*).5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=4,a4=S3.数列{b n}满足:对每个n∈N*,S n+b n,S n+1+b n,S n+2+b n成等比数列.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=,n∈N*,证明:c1+c2+…+c n<2,n∈N*.6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M- 数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M- 数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,,其中S n为数列{b n}的前n项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数.若存在“M- 数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.7.(2018·北京·文T15)设{a n}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求{a n}的通项公式;(2)求+…+.8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n},若无穷数列{b n}满足:对任意x∈N*,都有|b n-a n|≤1,则称{b n}与{a n}“接近”.(1)设{a n}是首项为1,公比为的等比数列,b n=a n+1+1,n∈N*,判断数列{b n}是否与{a n}接近,并说明理由;(2)设数列{a n}的前四项为a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{b n}是一个与{a n}接近的数列,记集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m:(3)已知{a n}是公差为d的等差数列.若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,且在b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.9.(2018·江苏·T 20)设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q的等比数列.(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n-b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1, ],证明:存在d∈R,使得|a n-b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).10.(2018·天津·文T18)设{a n}是等差数列,其前n项和为S n(n∈N*);{b n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为T n(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求S n和T n;(2)若S n+(T1+T2+…+T n)=a n+4b n,求正整数n的值.11.(2018·天津·理T18)设{a n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*),①求T n;②证明-2(n∈N*).12.(2018·全国2·理T17文T17)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.13.(2018·全国1·文T17)已知数列{a n}满足a1=1,na n+1=2(n+1)a n.设b n=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{b n}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{a n}的通项公式.14.(2018·全国3·理T17文T17)等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和,若S m=63,求m.15.(2017·全国1·文T17)设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.16.(2017·全国2·文T17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的前n项和为T n,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{b n}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.17.(2017·全国3·文T17)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.18.(2017·天津·理T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).19.(2017·山东·理T19)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.20.(2017·山东·文T19)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.1)求数列{a n}的通项公式;(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列的前n项和T n.21.(2017·天津·文T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).22.(2016·全国2·理T17)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1 000项和.23.(2016·全国2·文T17)等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.24.(2016·浙江·文T17)设数列{a n}的前n项和为S n.已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(1)求通项公式a n;(2)求数列{|a n-n-2|}的前n项和.25.(2016·北京·文T15)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设c n=a n+b n,求数列{c n}的前n项和.26.(2016·山东·理T18文T19)已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n,{b n}是等差数列,且a n=b n+b n+1.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)令c n=,求数列{c n}的前n项和T n.27.(2016·天津·理T18)已知{a n}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,b n是a n和a n+1的等比中项.(1)设c n=,n∈N*,求证:数列{c n}是等差数列;(2)设a1=d,T n=(-1)k,n∈N*,求证:.28.(2016·天津·文T18)已知{a n}是等比数列,前n项和为S n(n∈N*),且,S6=63.(1)求{a n}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,b n是log2a n和log2a n+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n项和.29.(2016·全国1·文T17)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和.30.(2016·全国3·文T17)已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1, -(2a n+1-1)a n-2a n+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{a n}的通项公式.31.(2016·全国3·理T17)已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求λ.32.(2015·北京·文T16)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{a n}的第几项相等?33.(2015·重庆·文T16)已知等差数列{a n}满足a3=2,前3项和S3=.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b1=a1,b4=a15,求{b n}的前n项和T n.34.(2015·福建·文T17)等差数列{a n}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.35.(2015·全国1·理T17)S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,+2a n=4S n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和.36.(2015·安徽·文T18)已知数列{a n}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设S n为数列{a n}的前n项和,b n=,求数列{b n}的前n项和T n.37.(2015·天津·理T18)已知数列{a n}满足a n+2=qa n(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{a n}的通项公式;(2)设b n=,n∈N*,求数列{b n}的前n项和.38.(2015·山东·文T19)已知数列{a n}是首项为正数的等差数列,数列的前n项和为.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(a n+1)·,求数列{b n}的前n项和T n.39.(2015·浙江·文T17)已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,a n+1=2a n(n∈N*),b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1(n∈N*).(1)求a n与b n;(2)记数列{a n b n}的前n项和为T n,求T n.40.(2015·天津·文T18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.41.(2015·湖北·文T19)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.42.(2014·全国2·理T17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明:是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)证明:+…+.43.(2014·福建·文T17)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.(1)求a n;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.44.(2014·湖南·文T16)已知数列{a n}的前n项和S n=,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.45.(2014·北京·文T14)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.46.(2014·大纲全国·理T18)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.47.(2014·山东·理T19)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(2)令b n=(-1)n-1,求数列{b n}的前n项和T n.48.(2014·全国1·文T17)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.49.(2014·安徽·文T18)数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设b n=3n·,求数列{b n}的前n项和S n.50.(2014·山东·文T19)在等差数列{a n}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,记T n=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)n b n,求T n.51.(2014·大纲全国·文T17)数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.52.(2014·全国1·理T17)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.53.(2013·全国2·文T17)已知等差数列{a n}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.54.(2013·全国1·文T17)已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0,S5=-5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.55.(2012·湖北·理T18文T20)已知等差数列{a n}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|a n|}的前n项和.56.(2011·全国·文T17)已知等比数列{a n}中,a1=,公比q=.(1)S n为{a n}的前n项和,证明:S n=;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{b n}的通项公式.57.(2011·全国·理T17)等比数列{a n}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列的前n项和.58.(2010·全国·理T17)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.59.(2010·全国·文T17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.。

高三数学试题不等式专题练习及答案

2010年高考数学试题分类汇编——不等式1、（2010浙江理数）（7）若实数，满足不等式组且的最大值为x y 330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩x y +9，则实数m =（A ）（B ）（C ）1（D ）22-1-解析：将最大值转化为y 轴上的截距，将m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C ，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题2、（2010全国卷2理数）（5）不等式2601x x x ---的解集为（）（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜【答案】C 【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C3、（2010江西理数）3.不等式22x x x x --> 的解集是（） A.B. C. D. (02)，(0)-∞，(2)+∞，(0)∞⋃+∞（-，0），【答案】 A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解20x x-<得A 。

或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。

4、（2010重庆理数）（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是A. 3 B. 4 C. D.112解析：考察均值不等式，整理得2228)2(82⎪⎭⎫⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ()()0322422≥-+++y x y x 即，又，()()08242≥++-+y x y x 02>+y x 42≥+∴y x 925、（2010北京理数）（7）设不等式组表示的平面区域为D ，若指数函110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩数y=的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是xa（A ）(1,3](B )[2,3](C ) (1,2](D )[ 3, ]答案：A+∞6、（2010四川理数）（12）设，则的最小0a b c >>>221121025()a ac c ab a a b ++-+-值是（A ）2 （B ）4 （C ）（D ）5解析：＝221121025()a ac c ab a a b ++-+-2211(5)()a c a ab ab ab a a b -+-+++-＝≥0＋2＋2＝4211(5)()()a c ab a a b ab a a b -+++-+-当且仅当a －5c ＝0,ab ＝1,a (a －b )＝1时等号成立如取a,b,c满足条件.答案：B7、（2010全国卷1文数）（10）设则123log 2,ln 2,5a b c -===（A ）（B ） (C) (D) a b c <>c=,,所以c<a,综上c<a<b.125-222log 4log 3>=>【解析2】a =2=,b =ln2=, ，； 3log 321log 21log e 3221log log 2e <<<32211112log log e<<<c =，∴c<a<b 12152-=<=8、（2010福建理数）8．设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩1Ω与关于直线对称,对于中的任意一点A 与中的任意一点B,2Ω1Ω3490x y --=1Ω2Ω的最小值等于( )||AB A ．B ．4C ．D ．2285125【答案】B【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线||AB 1Ω的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，3490x y --=可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为3490x y --=||AB ，所以选B 。

十年高考数学试卷汇编(10~19年解答题部分)

全国卷•十年高考（解答题部分）2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (2)2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (6)2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (10)2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (15)2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (20)2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (25)2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (31)2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (36)2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (41)2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (46)2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）三、解答题：共60分。

17．（2019•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sinC．18．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．19．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若＝3，求|AB|．20．（2019•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．21．（2019•新课标Ⅰ）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i﹣1+bp i+cp i+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．（i）证明：{p i+1﹣p i}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．（二）选考题：共10分。

专题08 不等式-高考数学(理)十年真题(2010-2019)深度思考(新课标Ⅰ卷)(解析版)

专题08不等式历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2014年新课标1理科09】不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y＝1与x﹣2y＝4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y＝2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y ≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y＝3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．2．【2018年新课标1理科13】若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝3x+2y得y x z，平移直线y x z，由图象知当直线y x z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z＝3×2＝6，故答案为：63．【2017年新课标1理科14】设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5．故答案为：﹣5．4．【2016年新课标1理科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z＝2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z＝2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100＝216000元．故答案为：216000．5．【2015年新课标1理科15】若x，y满足约束条件．则的最大值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），k OA3，即的最大值为3．故答案为：3．6．【2012年新课标1理科14】设x，y满足约束条件：；则z＝x﹣2y的取值范围为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z＝x﹣2y可得，y，则表示直线x﹣2y﹣z＝0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z＝0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z＝0平移到A 时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max＝3，Z min＝﹣3则z＝x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]7．【2011年新课标1理科13】若变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z＝x+2y，变化为y x，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y ＝x ﹣9与2x +y ＝3的交点得到A （4，﹣5） ∴z ＝4+2（﹣5）＝﹣6 故答案为：﹣6．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：不等关系与不等式，一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是（）A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩，又11x y -≤+≤，…∴①13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤…② ∴①+②得137x y ≤-≤．则371822,22yxx y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．故选C ．2．已知点()2,1A ，动点(),B x y 的坐标满足不等式组2023603260x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，设z 为向量OB 在向量OA 方向上的投影，则z 的取值范围为（） A．,55⎡⎢⎣⎦ B．55⎡⎢⎣⎦ C ．[]2,18D ．[]4,18【答案】A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：则(),OB x y =， ()2,2OA =，则OB 在向量OA方向上的投影为||cos ||OA O B z OA B O θ⋅===，设2u x y =+，则2y x u =-+，平移直线2y x u =-+，由图象知当直线2y x u =-+经过点()02,B 时直线的截距最小，此时2u =，当直线2y x u =-+经过D 时，直线2y x u =-+的截距最大，由23603260x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得66x y =⎧⎨=⎩，即()6,6D ，此时12618u =+=．即218u ≤≤z55z，即z的取值范围是⎣⎦，故选：A ．3．已知实数x ，y ，满足约束条件13260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若2z x y =-+的最大值为（）A ．-6B ．-4C ．2D ．3【答案】C 【解析】解：由z ＝﹣2x +y ，得y ＝2x +z ，作出不等式对应的可行域（阴影部分）,平移直线y ＝2x +z ，由平移可知当直线y ＝2x +z ，经过点A 时，直线y ＝2x +z 的截距最大，此时z 取得最大值，由1260x x y =⎧⎨+-=⎩，解得()1,4A ．将A 的坐标代入z ＝﹣2x +y ，得z ＝2，即目标函数z ＝﹣2x +y 的最大值为2．故选：C ．4．若直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]0,2C ．[]2,1-D ．(]2,2-【答案】B 【解析】画出不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域,如下图所示直线()1y k x =+过定点(1,0)A -要使得直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点则0AC k k ＃20=20(1)AC k -=--[]0,2k ∴∈.故选B5．已知,x y 满足约束条件20,20,20,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+ 的最大值与最小值之和为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,2B 处取得最大值，据此可知目标函数的最大值为：max 2226z =⨯+=，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：2020y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得点的坐标为：()0,2A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2022z =⨯+=. 综上可得：2z x y =+ 的最大值与最小值之和为8. 故选：C .6．设0.231log 0.6,log 20.6m n ==，则（） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．mn m n m n >->+ D ．m n m n mn +>->【答案】B 【解析】因为0.30.32211log 0.6log 10,log 0.6log 1022m n =>==<=，所以0,0mn m n <->，因为0.60.60.6112log 2log 0.250,log 0.30n m -=-=>=>，而0.60.6log 0.25log 0.3>，所以110n m->>，即可得0>+n m ，因为()()20m n m n n --+=->，所以m n m n ->+，所以m n m n mn ->+>，故选B.7．若x ，y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（）A ．8B ．4C ．2D ．6【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由4y xx y =⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A ，由2z x y =+，得122z y x =-+，平移直线122zy x =-+，由图象可知当直线经过点A ，直线的截距最大，此时z 最大，此时6z =，故选：D ．8．“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥成立”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】0x ∀>时，12x x +≥， ∴“0x ∀>，1x a x+≥”等价于2a ≤，而2a =可推出2a ≤，2a ≤不能推出2a =，所以“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥”成立的充分不必要条件，故选A. 9．已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（）A ．（4，+∞）B ．[3)++∞C ．[6，+∞）D ．(4,3+【答案】B 【解析】∵函数f （x ）＝|ln （x ﹣1）|，f （a ）＝f （b ），且x ＞1，不妨设a b <，则12a b <<<. ∴﹣ln （a ﹣1）＝ln （b ﹣1），∴11a -＝b ﹣1，∴b＝11a -+1，∴a+2b＝a+222133311a a a +=-+++=+--…a +1取等号，∴a+2b 的取值范围是[3)++∞ 故选：B ．10．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（） A ．32B ．83C ．114D ．不存在【答案】C 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+62a q，化简得，q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因为a m a n =16a 12，所以()()1111m n a qa q --=16a12，则q m+n-2=16，解得m+n=6，所以191191918(m n)10106663n m m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝… . 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>，验证可得，当m=2、n=4时，19m n+取最小值为114，故选：C ．11．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为（） A．3+B．3C．2+D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+，当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立，所以11m n+的最小值为3+ A.12．若实数满足，则的最大值是（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】由题得(当且仅当x=y=-1时取等)所以，所以x+y≤-2.所以x+y的最大值为-2.故选：B13．已知，则取到最小值时（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可得.所以，当时等号成立，解得.所以取到最小值时.故选D.14．已知函数，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可知：令又于是有因此所以当且仅当时取等号本题正确选项：15．在平面直角坐标系中，分别是轴正半轴和图像上的两个动点，且，则的最大值是A．B．C．4 D．【答案】D【解析】设M（m，0），N（n，n），（m，n＞0）．∵，∴，∴，当且仅当时取等号．可得：则∴的最大值是．故选：D．16．定义：区间的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为，则（）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】B【解析】当m＞0时，∵0⇔0，令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则0，且x1+x2，∵f（1）＝m﹣3﹣3m+2m+4＝1＞0，f（2）＝4m﹣6﹣6m+2m+4＝﹣2＜0，∴1＜x1＜2＜x2，所以不等式的解集为（1，x1]∪（2，x2]，∴l＝x1﹣1+x2﹣2＝x1+x2﹣3＝3，故选：B．17．关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，若，则原不等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为不是恒成立，所以舍去；当时，因为的解集为，所以只需，解得;综上，的取值范围为：.故选D18．若关于x的不等式上恒成立，则实数a的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】解：关于x的不等式上恒成立，等价于，当时，成立，当时，，即，因为恒成立，所以，故选：A ． 19．已知函数的导函数为的解集为,若的极小值等于-98,则a 的值是（） A ．- B ． C ．2 D ．5【答案】C 【解析】由题意，，因为的解集为,所以，且，则，的极小值为，解得，故答案为C.20．在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．11a -<对任意实数x 都成立，所以214(1)0a a ∆=--++<，即24430a a --<，解得1322a -<<，故选B 。

不等式选讲-2010-2019年高考文科数学真题专题分类汇编训练

专题十五不等式选讲第三十五讲不等式选讲答案部分 2019年1.解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---. 当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----. 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.2.解析（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥. 3.解析（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43.（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦„，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-…，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +…，解得3a -„或1a -…．2010-2018年1．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21≥a，故02<≤a ．综上，a 的取值范围为(0,2]．2．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．(2)()1≤f x等价于|||2|4++-≥x a x．而|||2||2|++-+≥x a x a，且当2=x时等号成立．故()1≤f x等价于|2|4+≥a．由|2|4+≥a可得6-≤a或2≥a，所以a的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U．3．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x xf x x xx x⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x=的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x=的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a≥且2b≥时，()f x ax b+≤在[0,)+∞成立，因此a b+的最小值为5．4．D．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z++++++≥．因为22=6x y z++，所以2224x y z++≥，当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时244333x y z===，，，所以222x y z++的最小值为4．5．【解析】（1）当1a=时，不等式()()f xg x≥等价于2|1||1|40x x x x-+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x < 所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<．（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-．6．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-4≥（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++ 23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+，所以3()8a b +≤，因此2a b +≤．7．【解析】（1）3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()fx 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤ 当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+．故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．8．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤. 9．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤．当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <， 113x -<<∴或312x <<，当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >，综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，． 10．【解析】（I ）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（Ⅱ）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．11．【解析】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+„，得13x -剟.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x-剟.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+…|1|a a =-+，当12x =时等号成立，所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+…. ① 当1a „时，①等价于13a a -+…，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a …. 所以a 的取值范围是[2,)+∞.12．【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<；当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤．所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<．（Ⅱ）有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，所以函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．所以a 的取值范围为(2,)+∞． 13．【解析】（Ⅰ）∵2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >得22>．>（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>>则22>，即a b c d ++>++ 因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-．因此||||a b c d -<-，>||||a b c d -<-的充要条件．14．【解析】（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33ab+≥a b ==时取等号．所以33ab +的最小值为（II ）由（I）知，23a b +≥≥．由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=．15．【解析】（I ）由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥．所以()f x ≥2. （Ⅱ）1(3)33f a a=++-. 当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a＜52+．当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5＜a ≤3．综上，a）． 16．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<．（Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤， ∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a-≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为(-1，43]．17．【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=．所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤（Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ ∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥ 18．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+-厖2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩„…或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩…或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩…… 1x ⇔„或4x …．(2)原命题()4f x x ⇔-„在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++--„在[1,2]上恒成立 22x a x ⇔---剟在[1,2]上恒成立30a⇔-剟．19．【解析】（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-． ( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩，即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aa x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-，由题设可得2a-=1-，故2a =．专题十五不等式选讲第三十五讲不等式选讲2019年1.（2019全国II 文23）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.2.（2019全国1文23）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．3.(2019全国III 文23）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 2010-2018年解答题1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．(1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．6．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)55()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．7．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．8．（2017江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．9．（2016年全国I 高考）已知函数()|1||23|f x x x =+--．（I ）在图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式|()|1f x >的解集．10．（2016年全国II ）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．（I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．11．（2016年全国III 高考）已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．12．（2015新课标1）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．13．（2015新课标2）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd a b c d >a b c d >||||a b c d -<- 的充要条件．14．（2014新课标1）若0,0a b >>，且11ab a b+=．(Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．15．（2014新课标2）设函数()f x =1(0)x x a a a++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围．16．（2013新课标1）已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.（Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 17．（2013新课标2）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）2221a b c b c a++≥ 18．（2012新课标）已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当|3-=a 时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．19．（2011新课标）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值．。

专题08 不等式-领军高考数学(文)十年真题(2010-2019)深度思考(北京卷)(解析版)

平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之
和最小，每批应生产产品（
）
A．60 件
B．80 件
C．100 件
D．120 件
【解答】解：根据题意，该生产 x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为
由基本不等式，得
9．【2018 年北京文科 13】若 x，y 满足 x+1≤y≤2x，则 2y﹣x 的最小值是
．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设 z＝2y﹣x，则 y x z，
平移 y x z，
由图象知当直线 y x z 经过点 A 时，直线的截距最小，此时 z 最小，
由
得
，即 A（1，2），
此时 z＝2×2﹣1＝3，故答案为：3
即有 x ，
由题意可得 m≥120，
可得 x
15，
则 x 的最大值为 15 元．故答案为：130，15
8．【2018 年北京文科 11】能说明“若 a＞b，则
”为假命题的一组 a，b 的值依次为
．
【解答】解：当 a＞0，b＜0 时，满足 a＞b，但
为假命题，
故答案可以是 a＝1，b＝﹣1，
4
故答案为：a＝1，b＝﹣1．
10．【2017 年北京文科 14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为
．
②该小组人数的最小值为
．【解答】解：①设男学来自女学生分别为 x，y 人，若教师人数为 4，

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题08 数列考试版

2010-2019历年高考数学《不等式综合应用》真题汇总含解析

2010-2019历年高考数学《不等式综合应用》真题汇总含解析专题七不等式第二十一讲不等式综合应用2019年1.（2019天津文13）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.2010-2018年一、选择题1．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a ，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >3．（2017天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,- D．[- 4．（2015福建）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．（2015湖南）若实数,a b满足12a b+=，则ab 的最小值为 AB ．2C ．D ．46．（2014重庆）若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是A ．326+B ．327+C ．346+D ．347+ 7．（2013福建）若122=+yx ，则y x +的取值范围是A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞8．（2013山东）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=．则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为 A ．0 B ．1 C ．94D ．3 9．（2013山东）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为A ．0B ．98 C ．2 D ．9410．（2012浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．245 B ．285C ．5D ．6 11．（2012陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a b <），其全程的平均时速为v ，则 A ．a v ab <)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，ba的最小值为 A ．2 B.82 C.384 D. 34413．（2011陕西）设0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b ab +<<，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B．a b +≥ C．11a b +> D ．2b aa b+≥ 二、填空题15．(2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为． 16．(2018天津)已知a ∈R ，函数22220()220x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩，≤，，．若对任意[3,)x ∈-+∞，()||f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是____．17．（2017天津）若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为．18．（2017山东）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为． 19．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是． 20．（2017北京）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为____________________． 21．（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是．22．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r≤，则点P 的横坐标的取值范围是．23．（2015重庆）设,0a b >，5a b +=________．24．(2015山东)定义运算“⊗”：22x y x y xy-⊗=（,x y ∈R ，0xy ≠）．当0x >，0y >时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值为．25．（2014浙江）已知实数,,a b c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值是__； 26．（2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为． 27．（2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为． 28．（2014湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++．（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加辆/小时． 29．（2013天津）设a + b = 2，b >0，则当a = 时， 1||2||a a b+取得最小值. 30．（2013四川）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__． 31．（2011浙江）若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是____． 32．（2011湖南）设,x y R ∈，则222211()(4)x y y x++的最小值为． 33．（2010安徽）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①1ab ≤；； ③222a b +≥；④333a b +≥； ⑤112a b+≥．答案部分 2019年1.解析0x >，0y >，24x y +=，而()()1212212552x y xy x y xy xy xy xyxy ++++++===+.由基本不等式有42x y =+…所以02xy <<（当且仅当22x y ==时，即2x =，1y =时，等号成立）.所以552xy…，5592222xy ++=…，所以()()121x y xy++的最小值为92.2010-2018年1．D 【解析】解法一点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a 的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．2．B 【解析】解法一因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．3．A 【解析】解法一函数()f x 的图象如图所示，当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x +=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2xf x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2x f x a +≥等价于||22xa +≤在R 上恒成立．当a =0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ；当a =-0x =，得|22x->，不符合题意，排除B ；选A ．4．C 【解析】解法一 ∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1)，所以111a b +=，所以111a b =+=≥(当且仅当2a b ==时去等号)2．又a b +≥当且仅当2a b ==时去等号)，所以4a b +≥(当且仅当2a b ==时去等号)．解法二∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1)，所以111a b +=，所以11()()224a b a b a b a b b a +=++=+++=≥(当且仅当2a b ==时去等号)．5．C 【解析】解法一由已知122b aa b ab ++==0,0a b >>，∴2b a =+≥ab ≥解法二由题意知0,0a b >>，∴12a b =+≥ab ≥6．D 【解析】由已知得34a b ab +=，且0ab >，可知0,0a b >>，所以431a b += (0,0a b >>)，43()()a b a b a b +=++=4377b aa b +++≥．当且仅当43b aa b =时取等号． 7．D 【解析】本题考查的是均值不等式．因为y x y x 222221⋅≥+=，即222-+≤yx ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号． 8．B 【解析】由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+．所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y yx =，即2x y =时取等号此时22y z =，1)(max =z xy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=1)221121(42=-+≤y y ，故选B.9．C 【解析】由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2＋4y 2－3xy ＝z ，22443331z x y xy xy xy xy +=-≥=-=，当且仅当x 2＝4y 2即x ＝2y 时，zxy 有最小值1，将x ＝2y 代入原式得z ＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ，当y ＝1时有最大值2.故选C.10．C 【解析】Q 35x y xy +=，135y x +=，113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=.11．A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S，则22211S ab v S S a b a ba b===<=+++∵ a b <,∴ 2222ab a v aa b a =>=+,∴a v <<选A.12．B 【解析】在同一坐标系中作出y m =，y =821m +(0m >)，2log y x=图像如下图，由2log x= m ，得122,2m mx x -==，2log x = 821m +，得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m mm m m mm b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++Q ，min()82b a ∴=13．B 【解】（方法一）已知a b <2a bab +<，比较a ab ，因为22)()0a ab a a b -=-<，所以a ab <22()()0b ab b b a -=->ab b ；作差法：022a b b a b +--=>，所以2a bb +<，综上可得2a b a ab b +<<；故选B ．（方法二）取2a =，8b =4ab =，52a b +=，所以2a ba ab b+<<<．14．D 【解析】对于A 取1a b ==，此时2222a b ab +==，因此A 不正确；对于B 取1a b ==-，此时222a b ab +=-<=，因此B 不正确；对于C 取1a b ==-，此时1122a b ab +=-<=，因此C 不正确；对于D ，∵0ab >，∴0b a >，0ba >，∴22b a b a a b a b +⋅=≥，D 正确．15．14【解析】由360a b -+=，得36a b =-，所以36331112222824a b b b --+=+=⨯=≥，当且仅当363122b b -=，即1b =时等号成立．16．1[,2]8【解析】当30x -≤≤时，()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x++--≤恒成立，即232a x x --+≤恒成立，所以2min (32)2a x x --+=≤；当0x >时()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x -+-≤恒成立，即22x x a -+≥恒成立，所以2max 1()28x x a -+=≥．综上，a 的取值范围是1[,2]8．17．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++=+≥≥ ，当且仅当222a b =，且12ab =，即22a =，24b =时取等号. 18．8【解析】由题意有121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=+++=≥．当且仅当4b a a b =，即4b =，2a =时等号成立． 19．30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x =，即30x =时等号成立．20．-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题，则它的否定“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +≤”是真命题，由于a b c >>，所以2a b c +>，又a b c +≤，所以0c <，因此a ，b ，c 依次取整数-1，-2，-3，满足a b c +≤．()123,1233->->--+-=->-相矛盾，所以验证是假命题．21．9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x +∈①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤，所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去）②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x =+-+=+≤，此时命题成立．③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则 |4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=，解得92a =或92a <，综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞． 22．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，得250x y -+≤，x如图由250x y -+≤可知，P 在¼MN 上，由2225050x yx y-+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M，(5,5)N--，所以P点横坐标的取值范围为[-．23．【解析】24a b=+++92+≤9418a b=+++=．当且仅当13a b+=+且5a b+=，即73,22a b==时等号成立．24．【解析】由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y xy xy x xy--⊗==，因为00x y>>，，所以，22222242(2)222x y y x x yx y y xxy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=，当且仅当x=时，(2)x y y x⊗+⊗．25．【解析】由0a b c++=得，a b c=--，则2222()2a b c b c bc=--=++()2222222b c b c b c+++=+≤，又2221a b c++=，所以232a≤，解得a，故a的最大值为．26．－1【解析】设|2|a b+最大，则必须,a b同号，因为22224463()2a ba b ab c ab c+++=++≤，故有2(2)4a b c+≤，22()2a bc+≥，当且仅当2a b=时取等号，此时2c b=，所以124a b c++=2244114()112b b b+=+--≥．27．－2【解析】设2a b t+=，则2a t b=-，因为224240a ab b c-+-=，所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①，由0∆≥解得t ，当2a b +取得最大值时，t =代入①式得b =2a t b =-得a = 所以345a b c -+=55c c =222=--≥．当且仅当52c =时等号成立．28．1900 100【解析】（Ⅰ）76000190020 6.0518F v v ==⨯++，当且仅当11v = 时等号成立．（Ⅱ）76000200020518F v v ==⨯++，当且仅当10v =时等号成立． 20001900100-=．29．－2【解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a b a a b ++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b =<，即2,4a b =-=时取等号故1||2||a a b +取得最小值时，2a =-．30．36【解析】因为0,0x a >>，()44a f x x a x =+≥=，当且仅当4a x x =，即3x ==，解得36a =．31．【解析】∵221x y xy ++=， ∴2()1x y xy +-=，即22()()12x y x y ++-≤，∴24()3x y +≤，3x y +≤． 32．9【解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x ++≥+=．33．①③⑤【解析】令1a b ==，排除②④；由21a b ab =+≥⇒≤，命题①正确；222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，命题③正确；1122a b a b ab ab ++==≥，命题⑤正确．。

十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题15 不等式选讲(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

专题15不等式选讲历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 不等式选讲2019年新课标1文科23解答题2018 综合测试题2018年新课标1文科23解答题2017 综合测试题2017年新课标1文科23解答题2016 综合测试题2016年新课标1文科24解答题2015 综合测试题2015年新课标1文科24解答题2014 综合测试题2014年新课标1文科24解答题2013 综合测试题2013年新课标1文科24解答题2012 综合测试题2012年新课标1文科24解答题2011 综合测试题2011年新课标1文科24解答题2010 综合测试题2010年新课标1文科24历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．2．【2018年新课标1文科23】已知f（）＝|+1|﹣|a﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（）＞1的解集；（2）若∈（0，1）时不等式f（）＞成立，求a的取值范围．3．【2017年新课标1文科23】已知函数f（）＝﹣2+a+4，g（）＝|+1|+|﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（）≥g（）的解集；（2）若不等式f（）≥g（）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．4．【2016年新课标1文科24】已知函数f（）＝|+1|﹣|2﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y＝f（）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（）|＞1的解集．5．【2015年新课标1文科24】已知函数f（）＝|+1|﹣2|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（）＞1的解集；（Ⅱ）若f（）的图象与轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．6．【2014年新课标1文科24】若a＞0，b＞0，且．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．7．【2013年新课标1文科24】已知函数f（）＝|2﹣1|+|2+a|，g（）＝+3．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（）＜g（）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当∈[，]时，f（）≤g（），求a的取值范围．8．【2012年新课标1文科24】已知函数f（）＝|+a|+|﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（）≥3的解集；②f（）≤|﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．9．【2011年新课标1文科24】设函数f （）＝|﹣a |+3，其中a ＞0．（Ⅰ）当a ＝1时，求不等式f （）≥3+2的解集（Ⅱ）若不等式f （）≤0的解集为{|≤﹣1}，求a 的值．10．【2010年新课标1文科24】设函数f （）＝|2﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y ＝f （）的图象：（Ⅱ）若不等式f （）≤a 的解集非空，求a 的取值范围．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，证明不等式为重点较佳. 最新高考模拟试题 1．已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈.（1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围． 2．已知()221f x x x =-++．（1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤．3．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|||2|(0)f x x m x m m =--+>.（1）当1m =，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.4．选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >.（1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥. 5．选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x a =+++（1）当1a =-时，解不等式()2f x ≥；（2）若存在0x 满足00()211f x x ++<，求实数a 的取值范围.6．已知函数()|2|f x ax =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围.7．已知函数()21f x x x a =-++，()2g x x =+．（1）当1a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设12a >-，且当1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 8．已知函数()|2|f x x =-．（Ⅰ）求不等式()|1|f x x x <++的解集；（Ⅱ）若函数5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，求实数a 的取值范围．9．已知函数()123f x x x =-+-．（Ⅰ）解关于x 的不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()20f x m m -->恒成立，求实数m 的取值范围．10．已知函数()211f x x x =-++.（Ⅰ）解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值. 11．已知函数()12f x x a x =+++.（Ⅰ）求1a =时，()3f x ≤的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值.12．选修4-5：不等式选讲已知函数()|23||1|f x x x =--+.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）设集合M 满足：当且仅当x M ∈时，()|32|f x x =-，若,a b M ∈，求证：228223a b a b -++≤. 13．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()31f x x m x m =----（1）若1m =，求不等式()1f x <的解集.（2）对任意的x R ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围.14．已知()21f x x x =+-．（1）证明()1f x x +≥；（2）若,,a b c +∈R ，记33311134abc a b c +++的最小值为m ，解关于x 的不等式()f x m <． 15．选修4—5：不等式选讲已知函数()11f x x mx =++-，m R ∈。

2010-2019“十年高考”数学真题分类汇总直线与圆 (可下载)

2010-2019“十年高考”数学真题分类汇总解析几何——直线与圆（附详细答案解析）1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β。

图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β（B ）4β+4sin β（C ）2β+2cos β（D ）2β+2sin β【答案】（B）.【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧 AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-.此时阴影部分面积BOP AOP AOB S S S S ∆∆++=扇形()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=βπβsin 2221222212ββsin 44+=.故选B.2.（2019北京文11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】()2214x y -+=.【解析】24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，故符合条件的圆为()2214x y -+=.3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当︒<∠90OBP 时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当︒≥∠90OBP 时，对线段PB 上任意一点F ，OB OF ≥，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ==此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，∴直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+- .在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+4.（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r 。

(新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题18不等式选讲文(含解析)

专题18 不等式选讲不等式选讲大题：10年10考，而且是作为2个选做题之一出现的，主要考绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视），偶尔也考基本不等式．全国卷很少考不等式小题，如果说有考的话，可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题．不等式作为一种工具，解题经常用到，不单独命小题显然也是合理的．不等式的证明一般考在函数与导数综合题中出现．1．（2019年）已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．【解析】（1）要证1a+1b+1c≤a2+b2+c2；因为abc＝1．就要证：abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．故1a+1b+1c≤a2+b2+c2得证．（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b（b+c（c+a当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a24abc＝24；当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．故得证．2．（2018年）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．【解析】（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|＝2,12,11 2,1xx xx>⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩，由f（x）＞1，∴2111xx>⎧⎨-≤≤⎩或211x>⎧⎨>⎩，解得x＞12，故不等式f（x）＞1的解集为（12，+∞），（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x＜2a，∴a＜2x，∵2x＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．3．（2017年）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．【解析】（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x＝12的二次函数，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|＝2,12,112,1x xxx x>⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x＝171-，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，171-]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，1712-]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需()()2211201120aa⎧-⨯-≤⎪⎨--⨯--≤⎪⎩，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．4．（2016年）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．（1）在图中画出y＝f（x）的图象；（2）求不等式|f（x）|＞1的解集．【解析】（1）f（x）＝4,1332,1234,2x xx xx x⎧⎪-≤-⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如图：（2）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜32时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜13，即有﹣1＜x＜13或1＜x＜32；当x≥32时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或32≤x＜3．综上可得，x＜13或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，13）∪（1，3）∪（5，+∞）．5．（2015年）已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【解析】（1）当a＝1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即()11211xx x<-⎧⎪⎨---->⎪⎩①，或()111211xx x-≤<⎧⎪⎨+-->⎪⎩②，或()11211xx x≥⎧⎪⎨+-->⎪⎩③．解①求得x∈∅，解②求得23＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（23，2）．（2）函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|＝12,1312,112,x a xx a x ax a x a--<-⎧⎪+--≤≤⎨⎪-++>⎩，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A（213a-，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得12[2a+1﹣213a-]（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．6．（2014年）若a＞0，b＞0，且1a+1bab（1）求a3+b3的最小值；（2）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．【解析】（1）∵a＞0，b＞0，且1a+1babab1a+1b≥12ab，∴ab≥2，当且仅当a＝b2时取等号．∵a3+b3 ≥()3ab322＝42a＝b2时取等号，∴a3+b3的最小值为42（2）∵2a +3b ≥223a b ⋅＝26ab ，当且仅当2a ＝3b 时，取等号．而由（1）可知，26ab ≥212＝43＞6，故不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6成立．7．（2013年）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|2x +a |，g （x ）＝x +3．（1）当a ＝﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；（2）设a ＞﹣1，且当x ∈[2a-，12]时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．【解析】（1）当a ＝﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y ＝|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3，则y ＝15,212,1236,1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，它的图象如图所示：结合图象可得，y ＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（2）设a ＞﹣1，且当x ∈[2a-，12]时，f （x ）＝1+a ，不等式化为1+a ≤x +3，故x ≥a ﹣2对x ∈[2a -，12]都成立．故2a-≥a ﹣2，解得a ≤43，故a 的取值范围为（﹣1，43]．8．（2012年）已知函数f （x ）＝|x +a |+|x ﹣2|（1）当a ＝﹣3时，求不等式f （x ）≥3的解集；（2）f （x ）≤|x ﹣4|若的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【解析】（1）当a ＝﹣3时，f （x ）≥3 即|x ﹣3|+|x ﹣2|≥3，即2323x x x ≤⎧⎨-+-≥⎩，可得x ≤1；23323x x x <<⎧⎨-+-≥⎩，可得x ∈∅；3323x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩，可得x ≥4．取并集可得不等式的解集为 {x |x ≤1或x ≥4}．（2）原命题即f （x ）≤|x ﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x +a |+2﹣x ≤4﹣x 在[1，2]上恒成立，等价于|x +a |≤2，等价于﹣2≤x +a ≤2，﹣2﹣x ≤a ≤2﹣x 在[1，2]上恒成立．故当 1≤x ≤2时，﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x 的最小值为0，故a 的取值范围为[﹣3，0]．9．（2011年）设函数f （x ）＝|x ﹣a |+3x ，其中a ＞0．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥3x +2的解集（2）若不等式f （x ）≤0的解集为{x |x ≤﹣1}，求a 的值．【解析】（1）当a ＝1时，f （x ）≥3x +2可化为|x ﹣1|≥2．由此可得x ≥3或x ≤﹣1．故不等式f （x ）≥3x +2的解集为{x |x ≥3或x ≤﹣1}．（2）由f （x ）≤0得|x ﹣a |+3x ≤0，此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x aa x x <⎧⎨-+≤⎩，即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x aa x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩，因为a ＞0，所以不等式组的解集为{x |x 2a≤-}，由题设可得2a-＝﹣1，故a ＝2．10．（2010年）设函数f （x ）＝|2x ﹣4|+1．（1）画出函数y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【解析】（1）由于f（x）＝25,2 23,2x xx x-+<⎧⎨-≥⎩，函数y＝f（x）的图象如图所示．（2）由函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥12时，函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[12，+∞）．。

十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题15 不等式选讲(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之不等式

十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题08不等式本专题考查的知识点为：不等式，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：不等式的性质，基本不等式，不等式的实际应用等，预测明年本考点题目会比较稳定，会有所变化，备考方向以不等式的性质及其实际应用为重点较佳.1．【2019年北京理科05】若x ，y 满足|x |≤1﹣y ，且y ≥﹣1，则3x +y 的最大值为（） A ．﹣7 B ．1C ．5D ．72．【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2＝1+|x |y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③3．【2017年北京理科04】若x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x ，则x +2y 的最大值为（）A ．1B ．3C ．5D ．94．【2016年北京理科02】若x ，y 满足{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0，则2x +y 的最大值为（）A ．0B ．3C ．4D ．55．【2016年北京理科05】已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（）A ．1x−1y＞0 B ．sin x ﹣sin y ＞0C ．（12）x ﹣（12）y ＜0 D ．lnx +lny ＞06．【2015年北京理科02】若x ，y 满足{x −y ≤0x +y ≤1x ≥0，则z ＝x +2y 的最大值为（）A ．0B ．1C ．32D ．27．【2014年北京理科06】若x ，y 满足{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0，且z ＝y ﹣x 的最小值为﹣4，则k 的值为（） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−128．【2013年北京理科08】设关于x ，y 的不等式组{2x −y +1＞0，x +m ＜0，y −m ＞0表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0），满足x 0﹣2y 0＝2，求得m 的取值范围是（） A ．(−∞，43) B ．(−∞，13)C ．(−∞，−23)D ．(−∞，−53)9．【2019年北京理科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为． 10．【2018年北京理科12】若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y ﹣x 的最小值是．11．【2017年北京理科13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为．1．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则（） A ．a 2>b 2B ．ba<1C ．a −b >1D ．(12)a <(12)b2．【2020届北京市丰台区高三一模】“x>1”是“1x<1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．【2020届北京市顺义区高三第一次模拟】若b>a>1，则下列不等式一定正确的是（）A．ab>2B．a+b<2C．1a <1bD．ba+ab>24．【北京市丰台区2018年高三年级一模】已知a<b<0，则下列不等式中恒成立的是A．1a >1bB．√−a<√−b C．2a>2b D．a3>b35．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】已知a<b<0，则下列不等式成立的是（）A．a2<b2B．a2<ab C．1a <1bD．ba<16．【2020届陕西省汉中市高三下学期第二次模拟】若a<b<0，则下列不等式不能成立的是（）A．1a >1bB．1a−b>1aC．|a|>|b|D．a2>b27．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6=3，则a4+ a8=（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值38．【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知a>0，b>0，a+b=1，若α=a+1a ，β=b+1b，则α+β的最小值是（）A．3B．4C．5D．69．【北京市一五九中学2019-2020学年高一第一学期期中】设x∈R，则“x>12”是“2x2+x−1>0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．【2020届山西省高三（4月）适应性考试】已知a>0，b>0，m∈R，则“a≤b”的一个必要不充分条件是（）A．a m≤b m B．am2≤bm2C．am2≤bm2D．a+m2≤b+m211．【北京市海淀区2019届高三第二学期期中练习（一模）】已知x>y，则下列各式中一定成立（）A．1x <1yB．x+1y>2C．(12)x>(12)y D．2x+2−y>212．【2020届北京市西城区第十五中学高三模拟（一）】已知a、b∈R，且a>b，则（）A．1a <1bB．sina>sinb C．(13)a<(13)b D．a2>b213．【北京市陈经纶中学2019-2020学年高一上学期期中】设a,b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要14．【2020届北京理工大附中高三上学期9月开学】“x>0，y>0”是“yx +xy≥2”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件15．【北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习】已知a,b,c∈R,给出下列条件：①a2>b2；②1a <1b；③ac2>bc2，则使得a>b成立的充分而不必要条件是（）A．①B．②C．③D．①②③16．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】设a，b，c为非零实数，且a>c，b>c，则（）A．a+b>c B．ab>c2C．a+b2>c D．1a+1b>2c17．【北京工业大学附属中学2018-2019学年度第一学期摸底】已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( )A．72B．4C．92D．518．【2020届北京市东城区高三一模】已知x<−1，那么在下列不等式中，不成立的是()A．x2−1>0B．x+1x<−2C．sinx−x>0D．cosx+x>0 19．如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）A．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一20．【北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟】已知a>0，b>0，并且1a ，12，1b成等差数列，则a+9b的最小值为()A．16B．9C．5D．421．【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是______.22．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】若三角形三边成等比数列，则公比q的范围是____ _.23．【北京市西城区2017-2018学年高二下学期期末】已知x>1，则f(x)=x+1x−1的最小值是_________ _．24．已知x,y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为____________________.25．若对任意x>−1，不等式x+1x2+2x+2≤a恒成立，则a的取值范围是______.26．若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为______．27．【2020届北京市丰台区高三一模】若x>1，则函数f(x)=x+1x−1的最小值为______，此时x=______.28．【浙江省绍兴一中2018届高三下学期5月高考模拟】已知x,y>0，且x+y+1x +12y=194，则3x−716y的最小值是________.29．已知首项与公比相等的等比数列{a n}中，若m，n∈N∗，满足a m a n2=a42，则2m +1n的最小值为__________．30．已知a , b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18b的最小值为_____________.1．【2019年北京理科05】若x ，y 满足|x |≤1﹣y ，且y ≥﹣1，则3x +y 的最大值为（） A ．﹣7 B ．1C ．5D ．7【答案】解：由{|x|≤1−y y ≥−1作出可行域如图，联立{y =−1x +y −1=0，解得A （2，﹣1），令z ＝3x +y ，化为y ＝﹣3x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣3x +z 过点A 时，z 有最大值为3×2﹣1＝5．故选：C ．2．【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2＝1+|x |y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【答案】解：将x 换成﹣x 方程不变，所以图形关于y 轴对称，当x ＝0时，代入得y 2＝1，∴y ＝±1，即曲线经过（0，1），（0，﹣1）；当x ＞0时，方程变为y 2﹣xy +x 2﹣1＝0，所以△＝x 2﹣4（x 2﹣1）≥0，解得x ∈（0，2√33]，所以x 只能取整数1，当x ＝1时，y 2﹣y ＝0，解得y ＝0或y ＝1，即曲线经过（1，0），（1，1），根据对称性可得曲线还经过（﹣1，0），（﹣1，1），故曲线一共经过6个整点，故①正确．当x ＞0时，由x 2+y 2＝1+xy得x 2+y 2﹣1＝xy ≤x 2+y 22，（当x ＝y 时取等），∴x 2+y 2≤2，∴√x 2+y 2≤√2，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=12×2×1=1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2+1＝3，故③错误．故选：C ．3．【2017年北京理科04】若x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x ，则x +2y 的最大值为（）A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】解：x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x的可行域如图：由可行域可知目标函数z ＝x +2y 经过可行域的A 时，取得最大值，由{x =3x =y ，可得A （3，3），目标函数的最大值为：3+2×3＝9．故选：D ．4．【2016年北京理科02】若x ，y 满足{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0，则2x +y 的最大值为（）A ．0B ．3C ．4D ．5【答案】解：作出不等式组{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z ，由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大，此时z 最大．由{2x −y =0x +y =3，解得{x =1y =2，即A （1，2），代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝1×2+2＝4．即目标函数z ＝2x +y 的最大值为4．故选：C ．5．【2016年北京理科05】已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（） A ．1x−1y ＞0 B ．sin x ﹣sin y ＞0C ．（12）x ﹣（12）y ＜0 D ．lnx +lny ＞0【答案】解：∵x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则1x＜1y，sin x 与sin y 的大小关系不确定，(12)x ＜(12)y ，即(12)x −(12)y＜0，lnx +lny 与0的大小关系不确定．故选：C ．6．【2015年北京理科02】若x ，y 满足{x −y ≤0x +y ≤1x ≥0，则z ＝x +2y 的最大值为（）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】解：作出不等式组{x −y ≤0x +y ≤1x ≥0表示的平面区域，当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值＝0+2×1＝2．故选：D ．7．【2014年北京理科06】若x ，y 满足{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0，且z ＝y ﹣x 的最小值为﹣4，则k 的值为（）A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12【答案】解：对不等式组中的kx ﹣y +2≥0讨论，可知直线kx ﹣y +2＝0与x 轴的交点在x +y ﹣2＝0与x 轴的交点的右边，故由约束条件{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0作出可行域如图，当y ＝0，由kx ﹣y +2＝0，得x =−2k ， ∴B （−2k ，0）．由z ＝y ﹣x 得y ＝x +z ．由图可知，当直线y ＝x +z 过B （−2k ，0）时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小．此时z min =0+2k=−4，解得：k =−12．故选：D ．8．【2013年北京理科08】设关于x ，y 的不等式组{2x −y +1＞0，x +m ＜0，y −m ＞0表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0），满足x 0﹣2y 0＝2，求得m 的取值范围是（） A ．(−∞，43) B ．(−∞，13)C ．(−∞，−23)D ．(−∞，−53)【答案】解：先根据约束条件{2x −y +1＞0，x +m ＜0，y −m ＞0画出可行域，要使可行域存在，必有m ＜﹣2m +1，要求可行域包含直线y =12x ﹣1上的点，只要边界点（﹣m ，1﹣2m ）在直线y =12x ﹣1的上方，且（﹣m ，m ）在直线y =12x ﹣1的下方，故得不等式组{m ＜−2m +11−2m ＞−12m −1m ＜−12m −1，解之得：m ＜−23．故选：C ．9．【2019年北京理科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．【答案】解：①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元，可得（m ﹣x ）×80%≥m ×70%，即有x ≤m8，由题意可得m ≥120，可得x ≤1208=15，则x 的最大值为15元．故答案为：130，1510．【2018年北京理科12】若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y ﹣x 的最小值是．【答案】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z ＝2y ﹣x ，则y =12x +12z ，平移y =12x +12z ，由图象知当直线y =12x +12z 经过点A 时，直线的截距最小，此时z 最小，由{x +1=y y =2x 得{x =1y =2，即A （1，2），此时z ＝2×2﹣1＝3，故答案为：311．【2017年北京理科13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为．【答案】解：设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题，则若a ＞b ＞c ，则a +b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣31．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则（） A ．a 2>b 2 B ．ba<1C ．a −b >1D ．(12)a <(12)b【答案】D 【解析】A.取a =1，b =−2，则a 21，所以该选项错误；C.取a =2，b =32，则a −b <1，所以该选项错误；D.由于指数函数y =(12)x 为R 上的减函数，∵a >b ，∴(12)a <(12)b ，所以该选项正确.故选：D.2．【2020届北京市丰台区高三一模】“x>1”是“1x<1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：因为1x <1等价于x−1x>0等价于x>1或x<0，又“x>1”是“x>1或x<0”的充分而不必要条件，即“x>1”是“1x<1”的充分而不必要条件，故选：A.3．【2020届北京市顺义区高三第一次模拟】若b>a>1，则下列不等式一定正确的是（）A．ab>2B．a+b<2C．1a <1bD．ba+ab>2【答案】D【解析】因为：b>a>1对于A：当a=32,b=43,所以ab=32×43=2,故A错误；对于B：因为b>a>1,所以a+b>2,故B错误；对于C：因为b>a>1,所以0<1b <1a<1,故C错误；对于D：因为b>a>1,所以ba +ab≥2√ba⋅ab=2,又因为b>a>1,则ba ≠ab,故不取等,即ba+ab>2,故D正确；故选：D4．【北京市丰台区2018年高三年级一模】已知a<b<0，则下列不等式中恒成立的是A．1a >1bB．√−a<√−b C．2a>2b D．a3>b3【答案】A 【解析】构造函数y=1x 在(−∞,0)上是减函数，已知a<b<0,则1a>1b，故A正确;√−a>√−b,故B不正确；C构造函数y=2a是增函数，故2a<2b，故选项不正确；D.a3>b3，构造函数y=x3是增函数，故a3<b3，所以选项不正确.故答案为A.5．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】已知a<b<0，则下列不等式成立的是（）A．a2<b2B．a2<ab C．1a <1bD．ba<1【答案】D【解析】a2−b2=（a+b)(a−b)>0,∴a2>b2,所以A选项是错误的. a2−ab=a(a−b)>0,∴a2>ab.所以B选项是错误的.1 a −1b=b−aab>0,∴1a>1b.所以C选项是错误的.b a −1=b−aa<0,∴ba<1.所以D选项是正确的.故选：D.6．【2020届陕西省汉中市高三下学期第二次模拟】若a<b<0，则下列不等式不能成立的是（）A．1a >1bB．1a−b>1aC．|a|>|b|D．a2>b2【答案】B 【解析】选项A：由于a<b<0，即ab>0，b−a>0，所以1a −1b=b−aab>0，所以1a>1b，所以成立；选项B：由于a<b<0，即a−b<0，所以1a−b −1a=ba(a−b)<0，所以1a−b<1a，所以不成立；选项C：由于a<b<0，所以−a>−b>0，所以|a|>|b|，所以成立；选项D：由于a<b<0，所以−a>−b>0，所以|a|>|b|，所以a2>b2，所以成立.故选：B.7．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6=3，则a4+ a8=（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值3【答案】A【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)∵a6=3∴a4=a6q2=3q2，a8=a6q2=3q2∴a4+a8=3q2+3q2≥2√3q2⋅3q2=6当且仅当3q2=3q2即q=1时上式等号成立本题正确选项：A8．【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知a>0，b>0，a+b=1，若α=a+1a ，β=b+1b，则α+β的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】∵a>0，b>0，a+b=1，∴α+β=a+1a+b+1b=1+1ab≥1+1(a+b2)2=5，当且仅当a=b=12时取“＝”号．答案：C9．【北京市一五九中学2019-2020学年高一第一学期期中】设x∈R，则“x>12”是“2x2+x−1>0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，不等式2x2+x−1>0，解得x<−1或x>12，所以“x>12”是“2x2+x−1>0”的充分而不必要条件，故选A．10．【2020届山西省高三（4月）适应性考试】已知a>0，b>0，m∈R，则“a≤b”的一个必要不充分条件是（）A．a m≤b m B．am2≤bm2C．am2≤bm2D．a+m2≤b+m2【答案】C【解析】由题知a >0,b >0,a ≤b ⇔a m ≤b m ,故A 是“a ≤b ”的既不充分也不必要条件; 因为m 2≥0,所以1m 2>0(m ≠0),所以a ≤b ⇔am 2≤b m 2,故B 是“a ≤b ”的充要条件; 因为m 2≥0,所以a ≤b ⇒am 2≤bm 2, 若m 2=0,则am 2≤bm 2⇒a ≤b , 故C 是“a ≤b ”的必要不充分条件;a ≤b ⇔a +m 2≤b +m 2,故D 是“a ≤b ”的充要条件. 故选:C.11．【北京市海淀区2019届高三第二学期期中练习（一模）】已知x >y ，则下列各式中一定成立（） A ．1x <1y B ．x +1y >2C ．(12)x >(12)yD ．2x +2−y >2【答案】D 【解析】x ，y 的符号不确定，当x ＝2，y ＝－1时，x >y ，对于A ，1x <1y 不成立，所以错误；对于B 、x +1y =2−1=1>2也错；对于C ，y =(12)x 是减函数，所以，(12)x >(12)y 也错；对于D ，因为x −y >0，所以，2x +2−y ≥2√2x ·2−y =2√2x−y >2√20=2，正确，故选D12．【2020届北京市西城区第十五中学高三模拟（一）】已知a 、b ∈R ，且a >b ，则（） A ．1a<1bB ．sina >sinbC ．(13)a <(13)bD ．a 2>b 2【答案】C 【解析】对于A 选项，取a =1，b =−1，则a >b 成立，但1a >1b ，A 选项错误；对于B 选项，取a =π，b =0，则a >b 成立，但sinπ=sin0，即sina =sinb ，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数y =(13)x 在R 上单调递减，若a >b ，则(13)a <(13)b ，C 选项正确；对于D选项，取a=1，b=−2，则a>b，但a2<b2，D选项错误.故选：C.13．【北京市陈经纶中学2019-2020学年高一上学期期中】设a,b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】D【解析】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“a＞1b”，若“a＞1b”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“a＞1b”的既不充分也不必要条件，故选：D．14．【2020届北京理工大附中高三上学期9月开学】“x>0，y>0”是“yx +xy≥2”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】当x>0,y>0时，由均值不等式yx +xy≥2成立．但yx+xy≥2时，只需要xy>0,不能推出x>0,y>0．所以是充分而不必要条件．选A.15．【北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习】已知a,b,c∈R,给出下列条件：①a2>b2；②1a <1b；③ac2>bc2，则使得a>b成立的充分而不必要条件是（）A．①B．②C．③D．①②③【答案】C【解析】由①a2>b2，得：|a|>|b|，不一定有a>b成立，不符；对于②，当a=−1,b=1时，有1a <1b，但a>b不成立，所以不符；对于③，由ac2>bc2，知c≠0，所以，有a>b成立，当a>b成立时，不一定有ac2>bc2，因为c可以为0，符合题意；本题选择C选项.16．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】设a，b，c为非零实数，且a>c，b>c，则（）A．a+b>c B．ab>c2C．a+b2>c D．1a+1b>2c【答案】C【解析】a>c,b>c，故a+b>2c，a+b2>c，故C正确；取a=−1,b=−1,c=−2，计算知ABD错误；故选：C.17．【北京工业大学附属中学2018-2019学年度第一学期摸底】已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( )A．72B．4C．92D．5【答案】C 【解析】由题意可得：y=1a+4b=12×(a+b)(1a+4b)=12×(5+ba+4ab)≥12×(5+2√ba×4ab)=92，当且仅当a=23,b=43时等号成立.即y=1a +4b的最小值是92.故选：C.18．【2020届北京市东城区高三一模】已知x<−1，那么在下列不等式中，不成立的是()A．x2−1>0B．x+1x<−2C．sinx−x>0D．cosx+x>0【答案】D【解析】∵x<−1，则x2−1=(x−1)(x+1)>0，x+1x +2=x2+2x+1x=(x+1)2x<0，又∵sinx、cosx∈[−1,1]，∴sinx−x>0，cosx+x<0.可得：ABC成立，D不成立.故选：D.19．如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）A．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一【答案】A【解析】正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，∴4=a+b≥2√ab，即ab≤4，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4= cd≤(c+d2)2，∴c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值都为2，选A．20．【北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟】已知a>0，b>0，并且1a ，12，1b成等差数列，则a+9b的最小值为()A．16B．9C．5D．4【答案】A【解析】根据题意，a＞0，b＞0，且1a ，12，1b成等差数列，则1a +1b=2×12=1；则a+9b＝（a+9b）（1a +1b）＝10+9ba+ab≥10+2√9ba×ab=16；当且仅当9ba =ab，即a=4,b=43时取到等号，∴a+9b的最小值为16；故选A．21．【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是______.【答案】(−4,2)【解析】因为x +2y =(x +2y)(2x +1y )=4+4y x+xy≥4+2×2=8，要使x +2y >m 2+2m 恒成立，所以m 2+2m <8，解得−4<m <2. 故答案为：(−4,2)．22．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是_____.【答案】(√5−12,1+√52)；【解析】设三边：a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系：两短边和大于第三边a +b >c ，即（1）当q ⩾1时a +qa >q 2a ，等价于解二次不等式：q 2−q −1<0，由于方程q 2−q −1=0两根为：1−√52，1+√52，故得解：1−√52<q <1+√52且q ⩾1，即1⩽q <1+√52（2）当q <1时，a 为最大边，qa +q 2a >a 即得q 2+q −1>0，解之得q >√5−12或q <−1+√52且q >0即q >√5−12综合（1）（2），得：q ∈(√5−12,1+√52)故答案为：(√5−12,1+√52)23．【北京市西城区2017-2018学年高二下学期期末】已知x >1，则f(x)=x +1x−1的最小值是__________．【答案】3 【解析】 ∵x >1∴x −1>0由基本不等式可得，f(x)=x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)�1x−1+1=3，当且仅当x −1=1x−1即x −1=1时，x =2时取等号“=” 答案为3.24．已知x,y ∈R +，且满足x3+y4=1，则xy 的最大值为____________________. 【答案】3 【解析】本题考查了基本不等式求最值，考查了同学们的转化能力．因为1=x 3+y 4≥2√x 3.y 4=2√xy 12=√xy3，所以xy ≤3，当且仅当x 3=y 4，即x =32,y =2时取等号，所以xy 的最大值为3． 25．若对任意x >−1，不等式x+1x 2+2x+2≤a 恒成立，则a 的取值范围是______. 【答案】[12,+∞) 【解析】因为x >−1，则x +1>0依题意得：设y =x+1x 2+2x+2=x+1(x+1)2+1=1(x+1)+1(x+1)所以y =(x +1)+1(x+1)≥2√(x +1)⋅1(x+1)=2 得y =1(x+1)+1x+1≤12，即y ⩽12当且仅当x +1=1x+1时，即x =0时，取得最大值为12，又因为x+1x 2+2x+2≤a 恒成立，即y max ≤a ，得a ≥12，故答案为：[12,+∞).26．若实数x ，y 满足xy =1，则x 2+4y 2的最小值为______．【答案】4 【解析】若实数x,y 满足xy =1,则x 2+4y 2≥2⋅x ⋅2y =4xy =4, 当且仅当x =2y =±√2时,上式取得最小值4 故答案为：427．【2020届北京市丰台区高三一模】若x >1，则函数f(x)=x +1x−1的最小值为______，此时x =______. 【答案】32 【解析】f(x)=x −1+1x −1+1⩾2√(x −1)⋅1x −1+1=3 当且仅当x −1=1x−1，即x =2时，取等号即函数f(x)=x +1x−1的最小值为3，此时x =2 故答案为：3；228．【浙江省绍兴一中2018届高三下学期5月高考模拟】已知x,y >0，且x +y +1x +12y =194，则3x −716y的最小值是________. 【答案】−14 【解析】因为x +y +1x +12y =194，所以3x −716y =3x −716y +x +y +1x +12y −194=x +4x +y +116y −194≥92−194=−14，当且仅当x =4x ,y =116y ，即x =2,y =14时，取等号.故答案为：−1429．已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N ∗，满足a m a n 2=a 42，则2m +1n 的最小值为__________．【答案】1 【解析】设等比数列{a n }公比为q ，则首项a 1=q由a m a n 2=a 42得：a 1q m−1⋅(a 1q n−1)2=(a 1q 3)2 则：q m+2n =q 8∴m +2n =8∴2m +1n =18⋅(2m +1n )(m +2n)=18⋅(2+4n m +m n +2)=18⋅(4+4n m +mn) ∵m,n ∈N ∗∴4n m >0,mn>0 则4n m+m n≥2√4n m ⋅m n=4（当且仅当4n m =mn ，即2n =m 时取等号）∴(2m +1n )min =18×(4+4)=1 本题正确结果：130．已知a , b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为_____________.【答案】14 【解析】由a −3b +6=0可知a −3b =−6，且：2a +18b =2a +2−3b ，因为对于任意x ，2x >0恒成立，结合均值不等式的结论可得：2a +2−3b ≥2×√2a ×2−3b =2×√2−6=14.当且仅当{2a =2−3b a −3b =−6，即{a =−3b =1时等号成立.综上可得2a +18b 的最小值为14.。

十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版)：不等式

A.-15 B.-9
C.1 D.9
3x + 2y-6 ≤ 0,
8.(2017·全国 3·文 T5)设 x,y 满足约束条件 x ≥ 0,
则 z=x-y 的取值范围是( )
y ≥ 0,
A.[-3,0] B.[-3,2]
C.[0,2] D.[0,3] x + 3y ≤ 3,
9.(2017·全国 1·文 T7)设 x,y 满足约束条件 x-y ≥ 1, 则 z=x+y 的最大值为( ) y ≥ 0,
A.-7 B.-6
C.-5 D.-3
x ≥ 1,
x + y ≤ 3,
35.(2013·全国 2·理 T9)已知 a>0,x,y 满足约束条件
若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=( )
y ≥ a(x-3).
1
1
A.4
B.2
C.1
D.2
36.(2013·湖北·文 T9)某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分
x-3y + 3 ≥ 0,
A.8 B.7 C.2 D.1
2
2
33.(2013·重庆·文 T7)关于 x 的不等式 x -2ax-8a <0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a=( )
5
7
15
15
A.2
B.2
C. 4
D. 2
x-y + 1 ≥ 0,
34.(2013·全国 2·文 T3)设 x,y 满足约束条件 x + y-1 ≥ 0,则 z=2x-3y 的最小值是( ) x ≤ 3,
十年（2010—2019）数学高考真题分类汇编

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专题08不等式历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2017 线性规划2017年新课标1文科07单选题2014 线性规划2014年新课标1文科11单选题2012 线性规划2012年新课标1文科05单选题2010 线性规划2010年新课标1文科11填空题2018 线性规划2018年新课标1文科14填空题2016 线性规划2016年新课标1文科16填空题2015 线性规划2015年新课标1文科15填空题2013 线性规划2013年新课标1文科14填空题2011 线性规划2011年新课标1文科14历年高考真题汇编1．【2017年新课标1文科07】设x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：，则z＝x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，0），所以z＝x+y的最大值为：3．故选：D．2．【2014年新课标1文科11】设x，y满足约束条件且z＝x+ay的最小值为7，则a＝（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3【解答】解：如图所示，当a≥1时，由，解得，y．∴．当直线z＝x+ay经过A点时取得最小值为7，∴，化为a2+2a﹣15＝0，解得a＝3，a＝﹣5舍去．当a＜1时，不符合条件．故选：B．3．【2012年新课标1文科05】已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z＝﹣x+y的取值范围是（）A．（1，2）B．（0，2）C．（1，2）D．（0，1）【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB＝AC＝BC＝2即（a﹣1）2+（b﹣1）2＝（a﹣1）2+（b﹣3）2＝4∴b＝2，a＝1即C（1，2）则此时直线AB的方程x＝1，AC的方程为y﹣1（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3（x﹣1）当直线x﹣y+z＝0经过点A（1，1）时，z＝0，经过点B（1，3）z＝2，经过点C（1，2）时，z＝1∴故选：A．4．【2010年新课标1文科11】已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z＝2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z＝2x﹣5y得y，平移直线当直线经过点B（3，4）时，最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．5．【2018年新课标1文科14】若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝3x+2y得y x z，平移直线y x z，由图象知当直线y x z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z＝3×2＝6，故答案为：66．【2016年新课标1文科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z＝2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z＝2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100＝216000元．故答案为：216000．7．【2015年新课标1文科15】若x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝3x+y为y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为3×1+1＝4．故答案为：4．8．【2013年新课标1文科14】设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得A（3，3），z＝2x﹣y可转换成y＝2x﹣z，z最大时，y值最小，即：当直线z＝2x﹣y过点A（3，3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故答案为：3．9．【2011年新课标1文科14】若变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z＝x+2y，变化为y x，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y＝x﹣9与2x+y＝3的交点得到A（4，﹣5）∴z＝4+2（﹣5）＝﹣6故答案为：﹣6．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：不等关系与不等式，一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等为重点较佳.最新高考模拟试题 1．已知，13x y ≤-≤，则182yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是（） A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】令则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩，又，…∴①13x y ≤-≤，∴…②∴①+②得．则．故选C ．2．已知点()2,1A ，动点(),B x y 的坐标满足不等式组，设z 为向量OB uuu v 在向量OA u u u v方向上的投影，则z 的取值范围为（） A ．B ．C ．[]2,18D ．[]4,18【答案】A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：则(),OB x y =u u u v ， ()2,2OA =u u u v，则OB uuu v 在向量OA u u u v方向上的投影为，设2u x y =+，则2y x u =-+，平移直线2y x u =-+，由图象知当直线2y x u =-+经过点()02,B 时直线的截距最小，此时2u =，当直线2y x u =-+经过D 时，直线2y x u =-+的截距最大，由，得66x y =⎧⎨=⎩，即()6,6D ，此时．即218u ≤≤，则，即，即z 的取值范围是，故选：A ．3．已知实数x ，y ，满足约束条件，若2z x y =-+的最大值为（）A ．-6B ．-4C ．2D ．3【答案】C 【解析】解：由z ＝﹣2x +y ，得y ＝2x +z ，作出不等式对应的可行域（阴影部分）,平移直线y ＝2x +z ，由平移可知当直线y ＝2x +z ，经过点A 时，直线y ＝2x +z 的截距最大，此时z 取得最大值，由，解得()1,4A ．将A 的坐标代入z ＝﹣2x +y ，得z ＝2，即目标函数z ＝﹣2x +y 的最大值为2．故选：C ．4．若直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]0,2C ．[]2,1-D ．(]2,2-【答案】B 【解析】画出不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域,如下图所示直线()1y k x =+过定点(1,0)A -要使得直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点则0AC k k ＃[]0,2k ∴∈.故选B5．已知,x y 满足约束条件，则2z x y =+ 的最大值与最小值之和为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,2B 处取得最大值，据此可知目标函数的最大值为：，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：()0,2A ，据此可知目标函数的最小值为：.综上可得：2z x y =+ 的最大值与最小值之和为8.故选：C . 6．设，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为，所以，因为，而，所以，即可得0>+n m ，因为，所以，所以，故选B.7．若x ，y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（）A ．8B ．4C ．2D ．6【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由4y xx y =⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A ，由2z x y =+，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A ，直线的截距最大，此时z 最大，此时6z =，故选：D ．8．“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥成立”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】0x ∀>Q 时，12x x +≥， ∴“0x ∀>，1x a x+≥”等价于2a ≤，而2a =可推出2a ≤，2a ≤不能推出2a =，所以“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥”成立的充分不必要条件，故选A. 9．已知函数，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（）A ．（4，+∞）B ．C ．[6，+∞）D ．(4,322]+【答案】B 【解析】∵函数f （x ）＝|ln （x ﹣1）|，f （a ）＝f （b ），且x ＞1，不妨设a b <，则.∴﹣ln （a ﹣1）＝ln （b ﹣1），∴11a -＝b ﹣1，∴b＝11a -+1， ∴a+2b＝a+，当且仅当a ＝2+1取等号，∴a+2b 的取值范围是故选：B ．10．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（） A ．32B ．83C ．114D ．不存在【答案】C 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+62a q，化简得，q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因为a m a n =16a 12，所以=16a 12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，所以.当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>，验证可得，当m=2、n=4时，19m n+取最小值为114，故选：C ．11．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为（） A ．322+ B ．32+C ．222+D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则，当且仅当2n m m n =，即2n m =时等号成立，所以11m n+的最小值为322+，故选A.12．若实数满足，则的最大值是（）A．-4 B．-2 C．2 D．4【答案】B【解析】由题得 (当且仅当x=y=-1时取等)所以，所以x+y≤-2.所以x+y的最大值为-2.故选：B13．已知，则取到最小值时（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可得.所以，当时等号成立，解得.所以取到最小值时.故选D.14．已知函数，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可知：令又于是有因此所以当且仅当时取等号本题正确选项：15．在平面直角坐标系中，分别是轴正半轴和图像上的两个动点，且，则的最大值是A．B．C．4 D．【答案】D【解析】设M（m，0），N（n，n），（m，n＞0）．∵，∴，∴，当且仅当时取等号．可得：则∴的最大值是．故选：D．16．定义：区间的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为，则（）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】B【解析】当m＞0时，∵0⇔0，令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则0，且x1+x2，∵f（1）＝m﹣3﹣3m+2m+4＝1＞0，f（2）＝4m﹣6﹣6m+2m+4＝﹣2＜0，∴1＜x1＜2＜x2，所以不等式的解集为（1，x1]∪（2，x2]，∴l＝x1﹣1+x2﹣2＝x1+x2﹣3＝3，故选：B．17．关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，若，则原不等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为不是恒成立，所以舍去；当时，因为的解集为，所以只需，解得;综上，的取值范围为：.故选D18．若关于x的不等式上恒成立，则实数a的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】解：关于x的不等式上恒成立，等价于，当时，成立，当时，，即，因为恒成立，所以，故选：A．19．已知函数的导函数为的解集为,若的极小值等于-98,则a的值是（）A．- B． C．2 D．5【答案】C【解析】由题意，，因为的解集为,所以，且，则，的极小值为，解得，故答案为C.20．在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．11a -<<B ．1322a -<< C ．3122a -<< D ．02a <<【答案】B 【解析】由题意，可知不等式对任意实数x 都成立，又由，即对任意实数x 都成立，所以，即，解得1322a -<<，故选B 。

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