十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题08不等式文(含解析)
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专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1.【2019年新课标1文科02】已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=()A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}【解答】解:∵U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},∴∁U A={1,6,7},则B∩∁U A={6,7}故选:C.2.【2018年新课标1文科01】已知集合A={0,2},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则A∩B=()A.{0,2} B.{1,2}C.{0} D.{﹣2,﹣1,0,1,2}【解答】解:集合A={0,2},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则A∩B={0,2}.故选:A.3.【2017年新课标1文科01】已知集合A={x|x<2},B={x|3﹣2x>0},则()A.A∩B={x|x} B.A∩B=∅C.A∪B={x|x} D.A∪B=R【解答】解:∵集合A={x|x<2},B={x|3﹣2x>0}={x|x},∴A∩B={x|x},故A正确,B错误;A∪B={x||x<2},故C,D错误;故选:A.4.【2016年新课标1文科01】设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=()A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7}【解答】解:集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B={3,5}.故选:B.5.【2015年新课标1文科01】已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为()A.5 B.4 C.3 D.2【解答】解:A={x|x=3n+2,n∈N}={2,5,8,11,14,17,…},则A∩B={8,14},故集合A∩B中元素的个数为2个,故选:D.6.【2014年新课标1文科01】已知集合M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N=()A.(﹣2,1)B.(﹣1,1)C.(1,3)D.(﹣2,3)【解答】解:M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N={x|﹣1<x<1},故选:B.7.【2013年新课标1文科01】已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=()A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}【解答】解:根据题意得:x=1,4,9,16,即B={1,4,9,16},∵A={1,2,3,4},∴A∩B={1,4}.故选:A.8.【2012年新课标1文科01】已知集合A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},则()A.A⊊B B.B⊊A C.A=B D.A∩B=∅【解答】解:由题意可得,A={x|﹣1<x<2},∵B={x|﹣1<x<1},在集合B中的元素都属于集合A,但是在集合A中的元素不一定在集合B中,例如x∴B⊊A.故选:B.9.【2011年新课标1文科01】已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个【解答】解:∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴P=M∩N={1,3}∴P的子集共有22=4故选:B.10.【2010年新课标1文科01】已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|4,x∈Z},则A∩B=()A.(0,2)B.[0,2] C.{0,2} D.{0,1,2}【解答】解:∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|4,x∈Z}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}则A∩B={0,1,2}故选:D.考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:集合关系及其运算,历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为:交并补运算,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题 1.若集合,,则AB =( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】 解:,则,故选:A . 2.已知集合,,则AB =( )A .[2,3]B .(1,5)C .{}2,3D .{2,3,4}【答案】C 【解析】,,又,所以,故本题选C.3.已知集合,,则A B =( )A .B .{}1,0,1,2,3-C .{}3,2--D .【答案】B 【解析】因为,∴.4.已知全集U =R ,集合,则()U A B =ð( )A .(1,2)B .(]1,2 C .(1,3) D .(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >,可得13x <<,所以集合,(,2]U A =-∞ð,所以()U A B =ð(]1,2,故选B.5.已知集合,集合,则集合A B ⋂的子集个数为( ) A .1 B .2C .3D .4【答案】D 【解析】由题意得,直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点,故A B ⋂的子集有4个. 6.已知集合,,则()R M N ⋂ð=( )A .{-1,0,1,2,3}B .{-1,0,1,2}C .{-1,0,1}D .{-1,3}【答案】D 【解析】 由题意,集合,则或3}x ≥又由,所以,故选D.7.已知集合,,则()R A B I ð=( )A .{}1,0-B .{}1,0,1-C .{}1,2,3D .{}2,3【答案】B 【解析】 因为,所以,又,所以.8.已知R 是实数集,集合,,则()AB =Rð( )A .{}1,0-B .{}1C .1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】即故选A 。
十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n2.(2019·浙江·T10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2+b,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10D.当b=-4时,a 10>103.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 45.(2018·北京·理T4文T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23fB.√223fC.√2512fD.√2712f6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3C.3D.88.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>010.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )A.172B.192C.10D.1212.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.1D.114.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)216.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-1917.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=c n+a n2,c n+1=b n+a n2,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.620.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5D.-721.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= .2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .3.(2019·江苏·T8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 . 5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= .6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 .9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *),前n 项和为S n ,若lim n →∞S n a n+1=12,则q=.10.(2018·江苏·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 .11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k =____________.12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= .13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 18.(2015·湖南·理T14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = . 19.(2015·福建·文T16)若a,b 是函数f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 . 20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1- a n =n+1(n ∈N *).则数列{1a n}前10项的和为____________.21.(2015·全国2·理T16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= .23.(2015·陕西·文T13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是 . 25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5= .26.(2014·安徽·理T12)数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 27.(2014·全国2·文T16)数列{a n }满足a n+1=11-a n,a 8=2,则a 1=____________.28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 29.(2014·天津·理T11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 .30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= .32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n = . 33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q= . 三、计算题1.(2019·全国2·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.3.(2019·天津·文T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于0.已知a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c n ={1,n 为奇数,b n 2,n 为偶数,求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n ∈N *).4.(2019·天津·理T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k ,其中k ∈N *.①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式;②求∑i=12na i c i (n ∈N *).5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√a n n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *. 6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M- 数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M- 数列”; (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n−2b n+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M- 数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1成立,求m 的最大值.7.(2018·北京·文T15)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n .8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意x ∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,b n =a n+1+1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由; (2)设数列{a n }的前四项为a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求M 中元素的个数m:(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列.若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.9.(2018·江苏·T 20)设{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,{b n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列.(1)设a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,求d 的取值范围;(2)若a 1=b 1>0,m ∈N *,q ∈(1, √2m],证明:存在d ∈R,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d 的取值范围(用b 1,m,q 表示).10.(2018·天津·文T18)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.11.(2018·天津·理T18)设{a n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是等差数列.已知a 1=1,a 3=a 2+2,a 4=b 3+b 5,a 5=b 4+2b 6. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *), ①求T n ;②证明∑k=1n(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(n ∈N *). 12.(2018·全国2·理T17文T17)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值.13.(2018·全国1·文T17)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =an n. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式.14.(2018·全国3·理T17文T17)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =63,求m.15.(2017·全国1·文T17)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列.16.(2017·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a 3+b 3=5,求{b n }的通项公式;(2)若T3=21,求S3.17.(2017·全国3·文T17)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)求数列{a n2n+118.(2017·天津·理T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).19.(2017·山东·理T19)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.20.(2017·山东·文T19)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和T n.(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列{b na n21.(2017·天津·文T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).22.(2016·全国2·理T17)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1 000项和.23.(2016·全国2·文T17)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 24.(2016·浙江·文T17)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *. (1)求通项公式a n ;(2)求数列{|a n -n-2|}的前n 项和.25.(2016·北京·文T15)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和.26.(2016·山东·理T18文T19)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1. (1)求数列{b n }的通项公式; (2)令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n,求数列{c n }的前n 项和T n .27.(2016·天津·理T18)已知{a n }是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n ∈N *,b n 是a n 和a n+1的等比中项.(1)设c n =b n+12−b n 2,n ∈N *,求证:数列{c n }是等差数列;(2)设a 1=d,T n =∑k=12n(-1)kb k 2,n ∈N *,求证:∑k=1n1T k<12d 2.28.(2016·天津·文T18)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且1a 1−1a 2=2a 3,S 6=63.(1)求{a n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项,求数列{(-1)nb n 2}的前2n 项和.29.(2016·全国1·文T17)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n+1=nb n . (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.30.(2016·全国3·文T17)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1, a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0. (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.31.(2016·全国3·理T17)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.32.(2015·北京·文T16)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,a 4-a 3=2. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7.问:b 6与数列{a n }的第几项相等? 33.(2015·重庆·文T16)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 34.(2015·福建·文T17)等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n -2+n,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值.35.(2015·全国1·理T17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和.36.(2015·安徽·文T18)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =an+1S n S n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .37.(2015·天津·理T18)已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a2n a 2n -1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.38.(2015·山东·文T19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为n2n+1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .39.(2015·浙江·文T17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *),b 1+12b 2+13b 3+…+1n b n =b n+1-1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .40.(2015·天津·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是等差数列,且a 1=b 1=1,b 2+b 3=2a 3,a 5-3b 2=7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.41.(2015·湖北·文T19)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=a nb n,求数列{c n}的前n项和T n.42.(2014·全国2·理T17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明:{a n+12}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+…+1a n<32.43.(2014·福建·文T17)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.(1)求a n;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.44.(2014·湖南·文T16)已知数列{a n}的前n项和S n=n 2+n,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.45.(2014·北京·文T14)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.46.(2014·大纲全国·理T18)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=1a n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.47.(2014·山东·理T19)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=(-1)n-14na n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.48.(2014·全国1·文T17)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{ann }的前n 项和.49.(2014·安徽·文T18)数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n ∈N *.(1)证明:数列{an}是等差数列;(2)设b n =3n·√a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .50.(2014·山东·文T19)在等差数列{a n }中,已知公差d=2,a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =a n (n+1)2,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)nb n ,求T n .51.(2014·大纲全国·文T17)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2. (1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.52.(2014·全国1·理T17)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n+1=λS n -1,其中λ为常数. (1)证明:a n+2-a n =λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.53.(2013·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列. (1)求{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.54.(2013·全国1·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列{1a2n -1a 2n+1}的前n项和.55.(2012·湖北·理T18文T20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和. 56.(2011·全国·文T17)已知等比数列{a n }中,a 1=13,公比q=13. (1)S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n =1-a n2; (2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.57.(2011·全国·理T17)等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 32=9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{1b n}的前n项和. 58.(2010·全国·理T17)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.59.(2010·全国·文T17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8n D.S n =12n 2-2n【答案】A【解析】由题意可知,{S 4=4a 1+4×32·d =0,a 5=a 1+4d =5,解得{a 1=-3,d =2.故a n =2n-5,S n =n 2-4n,故选A.2.(2019·浙江·T10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2+b,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10 D.当b=-4时,a 10>10【答案】A【解析】当b=12时,a 2=a 12+12≥12,a 3=a 22+12≥34,a 4=a 32+12≥1716≥1,当n≥4时,a n+1=a n 2+12≥a n 2≥1,则lo g 1716a n+1>2lo g 1716a n ⇒lo g 1716a n+1>2n-1,则a n+1≥(1716 )2n -1(n≥4),则a 10≥(1716) 26=(1+116)64=1+6416+64×632×1162+…>1+4+7>10,故选A. 3.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12【答案】B【解析】因为3S 3=S 2+S 4,所以3S 3=(S 3-a 3)+(S 3+a 4),即S 3=a 4-a 3.设公差为d,则3a 1+3d=d,又由a 1=2,得d=-3,所以a 5=a 1+4d=-10.4.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 4 【答案】B【解析】设等比数列的公比为q,则 a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1-q 4)1-q ,a 1+a 2+a 3=a 1(1-q 3)1-q.∵a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3),∴a 1+a 2+a 3=e a 1+a 2+a 3+a 4,即a 1(1+q+q 2)=e a 1(1+q+q2+q 3).又a 1>1,∴q<0.假设1+q+q 2>1,即q+q 2>0,解得q<-1(q>0舍去). 由a 1>1,可知a 1(1+q+q 2)>1, ∴a 1(1+q+q 2+q 3)>0,即1+q+q 2+q 3>0,即(1+q)+q 2(1+q)>0,即(1+q)(1+q 2)>0,这与q<-1相矛盾. ∴1+q+q 2<1,即-1<q<0.∴a 1>a 3,a 2<a 4.5.(2018·北京·理T4文T 5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23f B.√223fC.√2512fD.√2712f【答案】D【解析】设第n 个单音的频率为a n ,由题意,a na n -1=√212(n≥2),所以{a n }为等比数列,因为a 1=f,所以a 8=a 1×(√212)7=√2712f,故选D.6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110 【答案】A【解析】设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n 组的项数为n,则前n组的项数和为n (1+n )2.第n 组的和为1-2n 1-2=2n -1,前n 组总共的和为2(1-2n )1-2-n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令n (1+n )2>100,得n≥14且n ∈N *,即N 出现在第13组之后.若要使最小整数N 满足:N>100且前N 项和为2的整数幂,则S N -S n (1+n )2应与-2-n 互为相反数,即2k-1=2+n(k ∈N *,n≥14),所以k=log 2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=29×(1+29)2+5=440,故选A. 7.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8【答案】A【解析】设等差数列的公差为d,则d≠0,a 32=a 2·a 6, 即(1+2d)2=(1+d)(1+5d), 解得d=-2,所以S 6=6×1+6×52×(-2)=-24,故选A.8.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97【答案】C 【解析】因为S 9=(a 1+a 9)×9=27,a 1+a 9=2a 5, 所以a 5=3.又因为a 10=8,所以d=a 10-a 510-5=1. 故a 100=a 10+(100-10)×1=98.9.(2015·浙江·理T13)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n ,若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( ) A.a 1d>0,dS 4>0 B.a 1d<0,dS 4<0 C.a 1d>0,dS 4<0 D.a 1d<0,dS 4>0【答案】B【解析】设{a n }的首项为a 1,公差为d,则a 3=a 1+2d,a 4=a 1+3d,a 8=a 1+7d. ∵a 3,a 4,a 8成等比数列,∴(a 1+3d)2=(a 1+2d)(a 1+7d),即3a 1d+5d 2=0. ∵d≠0,∴a 1d=-53d 2<0,且a 1=-53d. ∵dS 4=4d (a 1+a 4)2=2d(2a 1+3d)=-23d 2<0. 10.(2015·全国2·文T5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】A【解析】由a 1+a 3+a 5=3及等差中项,得3a 3=3,解得a 3=1.故S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5. 11.(2015·全国1·文T7)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10= ( ) A.172B.192C.10D.12【答案】B【解析】∵公差d=1,S 8=4S 4, ∴8(a 1+a 8)2=4×4(a 1+a 4)2, 即2a 1+7d=4a 1+6d,解得a 1=12. ∴a 10=a 1+9d=1+9=19.12.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21B.42C.63D.84【答案】B 【解析】由题意知a 1+a 3+a 5a 1=1+q 2+q 4=213=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.13.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2 B.1C.12D.18【答案】C【解析】∵a 3a 5=4(a 4-1),∴a 42=4(a 4-1),解得a 4=2.又a 4=a 1q 3,且a 1=14,∴q=2.∴a 2=a 1q=12.14.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C【解析】由等比数列前n 项和的性质,得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等比数列,所以(S 4-S 2)2=S 2(S 6-S 4),即(15-3)2=3(S 6-15),解得S 6=63,故选C.15.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( ) A.n(n+1) B.n(n-1)C.n (n+1)2D.n (n -1)2【答案】A【解析】∵a 2,a 4,a 8成等比数列, ∴ =a 2·a 8,即(a 1+6)2=(a 1+2)(a 1+14), 解得a 1=2. ∴S n =na 1+n (n -1)2d=2n+n 2-n=n 2+n=n(n+1). 16.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ) A.13 B.-13C.19D.-19【答案】C【解析】由S 3=a 2+10a 1,得a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1,整理得a 3=9a 1,所以q 2=a 3a 1=9.由a 5=9,得a 1=a 5q 4=992=19.17.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为2的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A.S n =2a n -1 B.S n =3a n -2 C.S n =4-3a n D.S n =3-2a n 【答案】D【解析】S n =a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q=1-23a n 1-23=3-2a n .18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n=1,2,3,….若 b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=c n +a n ,c n+1=b n +an ,则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列 【答案】B【解析】因为b 1>c 1,不妨设b 1=4a 13,c 1=2a 13,p=12(a 1+b 1+c 1)=32a 1,则S 1=√3a 12·a 12·a 16·5a16=√1512a 12; a 2=a 1,b 2=23a 1+a 12=56a 1,c 2=43a 1+a 12=76a 1,S 2=√3a12·a12·2a13·a13=√66a 12;显然S 2>S 1.同理,a 3=a 1,b 3=76a 1+a 12=1312a 1,c 3=56a 1+a 12=1112a 1,S 3=√3a12·a12·512a 1·712a 1=√10524a 12,显然S 3>S 2.19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C【解析】∵S m-1=-2,S m =0,S m+1=3, ∴a m =S m -S m-1=2,a m+1=S m+1-S m =3. ∴d=a m+1-a m =3-2=1. ∵S m =m (a 1+a m )2=m (a 1+2)2=0, ∴a 1=-2,a m =-2+(m-1)×1=2.∴m=5.20.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7【答案】D【解析】∵{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=-8. 联立{a 4+a 7=2,a 4a 7=-8可解得{a 4=4,a 7=-2或{a 4=-2,a 7=4,当{a 4=4,a 7=-2时,q 3=-12, 故a 1+a 10=a4q 3+a 7q 3=-7;当{a 4=-2,a 7=4时,q 3=-2,同理,有a 1+a 10=-7. 21.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830【答案】D【解析】∵a n+1+(-1)na n =2n-1, ∴a 2=1+a 1,a 3=2-a 1,a 4=7-a 1,a 5=a 1,a 6=9+a 1,a 7=2-a 1,a 8=15-a 1,a 9=a 1,a 10=17+a 1,a 11=2-a 1,a 12=23-a 1,…,a 57=a 1,a 58=113+a 1,a 59=2-a 1,a 60=119-a 1,∴a 1+a 2+…+a 60=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 57+a 58+a 59+a 60) =10+26+42+…+234=15×(10+234)2=1 830. 二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= . 【答案】100【解析】设等差数列{a n }的公差为d,则{a 3=a 1+2d =5,a 7=a 1+6d =13,解得{a 1=1,d =2. 故S 10=10a 1+10×92d=10×1+10×92×2=100. 2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d. ∵a 1≠0,a 2=3a 1, ∴a 1+d=3a 1,即d=2a 1.∴S10S 5=10a 1+10×92d5a 1+5×42d=100a 125a 1=4. 3.(2019·江苏·T 8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 【答案】16【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为d,a 2a 5+a 8=0,S 9=27,∴{(a 1+d )(a 1+4d )+a 1+7d =0,①9a 1+9×82d =27,②整理②得a 1+4d=3,即a 1=3-4d,③ 把③代入①解得d=2,∴a 1=-5. ∴S 8=8a 1+28d=16.4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 . 【答案】0 -10【解析】等差数列{a n }中,由S 5=5a 3=-10,得a 3=-2,又a 2=-3,公差d=a 3-a 2=1,a 5=a 3+2d=0,由等差数列{a n }的性质得当n ≤5时,a n ≤0,当n ≥6时,a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为-10.5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= . 【答案】58【解析】设等比数列{a n }的公比为q. S 3=a 1+a 1q+a 1q 2=1+q+q 2=34, 即q 2+q+14=0.解得q=-12.故S 4=a 1(1-q 4)=1-(-12)41+12=5.6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.【答案】1213【解析】设等比数列{a n }的公比为q, 则a 4=a 1q 3=13q 3,a 6=a 1q 5=13q 5.∵a 42=a 6,∴19q 6=13q 5.∵q≠0,∴q=3.∴S 5=a 1(1-q 5)1-q=13(1-35)1-3=1213. 7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 【答案】-63【解析】∵S n =2a n +1,① ∴S n-1=2a n-1+1(n ≥2).②①-②,得a n =2a n -2a n-1,即a n =2a n-1(n ≥2).又S 1=2a 1+1,∴a 1=-1.∴{a n }是以-1为首项,2为公比的等比数列,则S 6=-1(1-26)1-2=-63.8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 . 【答案】a n =6n-3【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为d, ∴a 2+a 5=2a 1+5d=36.∵a 1=3,∴d=6.∴a n =3+(n-1)×6=6n-3.9.(2018·上海·T 10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *),前n 项和为S n ,若lim n →∞S na n+1=12,则q= . 【答案】3【解析】由a n =q n-1,得a n+1=q n.当q=1时,不满足题意;当q≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q=1-q n1-q. 若0<|q|<1,则lim n →∞1-q n(1-q )q n 不存在;若|q|>1,则lim n →∞Sn a n+1=lim n →∞1-q n(1-q )q n =lim n →∞1(1-q )·(1q n -1)=-11-q =12,解得q=3.10.(2018·江苏·T 14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 . 【答案】27【解析】①若a n+1=2k(k ∈N *),则S n =21+22+…+2k-1+1+3+ (2)-1=2k-2+(2k-1)2⇒(2k-1)2+2k-2>12·2k. 令2k=t ⇒14t 2+t-2>12t ⇒t(t-44)>8.∴t ≥64⇒k ≥6.此时,n=k-1+2k-1=37. ②若a n+1=2k+1(k ∈N *),则S n =21+22+ (2)+1+3+…+2k-1(2t<2k+1,t ∈N *), ∴S n =2t+1-2+k 2>12(2k+1)⇒2t+1>-k 2+24k+14. ∴-k 2+24k+14<2t+1<4k+2⇒k(k-20)>12.取k=21,此时772<2t <43(舍),取k=22,29<2t<45,t=5,n=5+22=27. 由①②,得n min =27.11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k=____________.【答案】2nn+1【解析】设等差数列的首项为a 1,公差为d,由题意可知{a 1+2d =3,4a 1+4×32d=10,解得{a 1=1,d =1.所以S n =na 1+n (n -1)2d=n (1+n )2. 所以1S n =2n (n+1)=2(1n -1n+1).所以∑k=1n1S k=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=2(1-1n+1)=2nn+1. 12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= . 【答案】-8【解析】设{a n }的公比为q,则由题意, 得{a 1(1+q )=-1,a 1(1-q 2)=-3,解得{a 1=1,q =-2,故a 4=a 1q 3=-8. 13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8= . 【答案】32【解析】设该等比数列的公比为q,则S 6-S 3=634−74=14,即a 4+a 5+a 6=14.①∵S 3=74,∴a 1+a 2+a 3=74. 由①得(a 1+a 2+a 3)q 3=14,∴q 3=1474=8,即q=2.∴a 1+2a 1+4a 1=7,a 1=1. ∴a 8=a 1·q 7=14×27=32.14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 【答案】1 121【解析】由题意,可得a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1, 所以a 1=1,a 2=3.再由a n+1=2S n +1,a n =2S n-1+1(n ≥2), 两式相减得a n+1-a n =2a n ,即a n+1=3a n (n ≥2).又因为a 2=3a 1,所以数列{a n }是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S 5=1-351-3=121. 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 【答案】6【解析】∵{a n }是等差数列,∴a 3+a 5=2a 4=0.∴a 4=0. ∴a 4-a 1=3d=-6.∴d=-2. ∴S 6=6a 1+15d=6×6+15×(-2)=6.16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 【答案】64【解析】由已知a 1+a 3=10,a 2+a 4=a 1q+a 3q=5,两式相除得a 1+a 3q (a 1+a 3)=105=2,解得q=12,a 1=8, 所以a 1a 2…a n =8n·(1)1+2+…+(n -1)=2-12n 2+7n2,函数f(n)=-1n 2+7n的对称轴为n=-722×(-12)=3.5,又n ∈N *,所以当n=3或4时,a 1a 2…a n 取最大值为2-12×32+7×32=26=64.17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 【答案】6【解析】∵a n+1=2a n ,即an+1a n=2,∴{a n }是以2为公比的等比数列.。
十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=n2-2n2.(2019·浙江·T10)设a,b∈R,数列{a n}满足a1=a,a n+1=+b,n∈N*,则()A.当b=时,a10>10B.当b=时,a10>10C.当b=-2时,a10>10D.当b=-4时,a10>103.(2018·全国1·理T4)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )A.-12B.-10C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( )A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a45.(2018·北京·理T4文T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A. fB. fC. fD. f6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为( )A.-24B.-3C.3D.88.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>010.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )A. B. C.10 D.1212.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.14.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C. D.16.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A. B.- C. D.-17.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=,c n+1=,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m= ( )A.3B.4C.5D.620.(2012·全国·理T5)已知{a n}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( )A.7B.5C.-5D.-721.(2012·全国·文T12)数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为( )A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10= .2.(2019·全国3·理T14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则= .3.(2019·江苏·T8)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,S n的最小值为.5.(2019·全国1·文T14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4= .6.(2019·全国1·理T14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1==a6,则S5=________.7.(2018·全国1·理T14)记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1,则S6= .8.(2018·北京·理T9)设{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为.9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n-1(n∈N*),前n项和为S n,若,则q=.10.(2018·江苏·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}.记S n为数列{a n}的前n项和,则使得S n>12a n+1成立的n的最小值为.11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则=____________.12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8=.14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1= ,S5= .15.(2016·北京·理T12)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= .16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和.若S n=126,则n= .18.(2015·湖南·理T14)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .19.(2015·福建·文T16)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*).则数列前10项的和为____________.21.(2015·全国2·理T16)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n= .22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .23.(2015·陕西·文T13)中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为.24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .26.(2014·安徽·理T12)数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= .27.(2014·全国2·文T16)数列{a n}满足a n+1=,a8=2,则a1=____________.28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{a n}的前n项和最大.29.(2014·天津·理T11)设{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为.31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6= .32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n= .33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3+3S2=0,则公比q= .三、计算题1.(2019·全国2·文T18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n.求数列{b n}的前n项和.2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n-b n+4,4b n+1=3b n-a n-4.(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n-b n}是等差数列;(2)求{a n}和{b n}的通项公式.3.(2019·天津·文T18)设{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}满足c n=求a1c1+a2c2+…+a2n c2n(n∈N*).4.(2019·天津·理T19)设{a n}是等差数列,{b n}是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}满足c1=1,c n=其中k∈N*.①求数列{-1)}的通项公式;②求a i c i(n∈N*).5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=4,a4=S3.数列{b n}满足:对每个n∈N*,S n+b n,S n+1+b n,S n+2+b n成等比数列.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=,n∈N*,证明:c1+c2+…+c n<2,n∈N*.6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M- 数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M- 数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,,其中S n为数列{b n}的前n项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数.若存在“M- 数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.7.(2018·北京·文T15)设{a n}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求{a n}的通项公式;(2)求+…+.8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n},若无穷数列{b n}满足:对任意x∈N*,都有|b n-a n|≤1,则称{b n}与{a n}“接近”.(1)设{a n}是首项为1,公比为的等比数列,b n=a n+1+1,n∈N*,判断数列{b n}是否与{a n}接近,并说明理由;(2)设数列{a n}的前四项为a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{b n}是一个与{a n}接近的数列,记集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m:(3)已知{a n}是公差为d的等差数列.若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,且在b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.9.(2018·江苏·T 20)设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q的等比数列.(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n-b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1, ],证明:存在d∈R,使得|a n-b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).10.(2018·天津·文T18)设{a n}是等差数列,其前n项和为S n(n∈N*);{b n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为T n(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求S n和T n;(2)若S n+(T1+T2+…+T n)=a n+4b n,求正整数n的值.11.(2018·天津·理T18)设{a n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*),①求T n;②证明-2(n∈N*).12.(2018·全国2·理T17文T17)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.13.(2018·全国1·文T17)已知数列{a n}满足a1=1,na n+1=2(n+1)a n.设b n=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{b n}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{a n}的通项公式.14.(2018·全国3·理T17文T17)等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和,若S m=63,求m.15.(2017·全国1·文T17)设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.16.(2017·全国2·文T17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的前n项和为T n,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{b n}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.17.(2017·全国3·文T17)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.18.(2017·天津·理T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).19.(2017·山东·理T19)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.20.(2017·山东·文T19)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.1)求数列{a n}的通项公式;(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列的前n项和T n.21.(2017·天津·文T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).22.(2016·全国2·理T17)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1 000项和.23.(2016·全国2·文T17)等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.24.(2016·浙江·文T17)设数列{a n}的前n项和为S n.已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(1)求通项公式a n;(2)求数列{|a n-n-2|}的前n项和.25.(2016·北京·文T15)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设c n=a n+b n,求数列{c n}的前n项和.26.(2016·山东·理T18文T19)已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n,{b n}是等差数列,且a n=b n+b n+1.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)令c n=,求数列{c n}的前n项和T n.27.(2016·天津·理T18)已知{a n}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,b n是a n和a n+1的等比中项.(1)设c n=,n∈N*,求证:数列{c n}是等差数列;(2)设a1=d,T n=(-1)k,n∈N*,求证:.28.(2016·天津·文T18)已知{a n}是等比数列,前n项和为S n(n∈N*),且,S6=63.(1)求{a n}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,b n是log2a n和log2a n+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n项和.29.(2016·全国1·文T17)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和.30.(2016·全国3·文T17)已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1, -(2a n+1-1)a n-2a n+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{a n}的通项公式.31.(2016·全国3·理T17)已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求λ.32.(2015·北京·文T16)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{a n}的第几项相等?33.(2015·重庆·文T16)已知等差数列{a n}满足a3=2,前3项和S3=.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b1=a1,b4=a15,求{b n}的前n项和T n.34.(2015·福建·文T17)等差数列{a n}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.35.(2015·全国1·理T17)S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,+2a n=4S n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和.36.(2015·安徽·文T18)已知数列{a n}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设S n为数列{a n}的前n项和,b n=,求数列{b n}的前n项和T n.37.(2015·天津·理T18)已知数列{a n}满足a n+2=qa n(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{a n}的通项公式;(2)设b n=,n∈N*,求数列{b n}的前n项和.38.(2015·山东·文T19)已知数列{a n}是首项为正数的等差数列,数列的前n项和为.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(a n+1)·,求数列{b n}的前n项和T n.39.(2015·浙江·文T17)已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,a n+1=2a n(n∈N*),b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1(n∈N*).(1)求a n与b n;(2)记数列{a n b n}的前n项和为T n,求T n.40.(2015·天津·文T18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.41.(2015·湖北·文T19)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.42.(2014·全国2·理T17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明:是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)证明:+…+.43.(2014·福建·文T17)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.(1)求a n;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.44.(2014·湖南·文T16)已知数列{a n}的前n项和S n=,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.45.(2014·北京·文T14)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.46.(2014·大纲全国·理T18)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.47.(2014·山东·理T19)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(2)令b n=(-1)n-1,求数列{b n}的前n项和T n.48.(2014·全国1·文T17)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.49.(2014·安徽·文T18)数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设b n=3n·,求数列{b n}的前n项和S n.50.(2014·山东·文T19)在等差数列{a n}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,记T n=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)n b n,求T n.51.(2014·大纲全国·文T17)数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.52.(2014·全国1·理T17)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.53.(2013·全国2·文T17)已知等差数列{a n}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.54.(2013·全国1·文T17)已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0,S5=-5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.55.(2012·湖北·理T18文T20)已知等差数列{a n}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|a n|}的前n项和.56.(2011·全国·文T17)已知等比数列{a n}中,a1=,公比q=.(1)S n为{a n}的前n项和,证明:S n=;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{b n}的通项公式.57.(2011·全国·理T17)等比数列{a n}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列的前n项和.58.(2010·全国·理T17)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.59.(2010·全国·文T17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.。
2010年高考数学试题分类汇编——不等式1、(2010浙江理数)(7)若实数,满足不等式组且的最大值为x y 330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩x y +9,则实数m =(A )(B )(C )1(D )22-1-解析:将最大值转化为y 轴上的截距,将m 等价为斜率的倒数,数形结合可知答案选C ,本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题2、(2010全国卷2理数)(5)不等式2601x x x ---的解集为( )(A ){}2,3x x x -<或> (B ){}213x x x -<,或<<(C ) {}213x x x -<<,或> (D ){}2113x x x -<<,或<<【答案】C 【解析】利用数轴穿根法解得-2<x <1或x >3,故选C3、(2010江西理数)3.不等式22x x x x --> 的解集是( ) A.B. C. D. (02),(0)-∞,(2)+∞,(0)∞⋃+∞(-,0),【答案】 A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数.,解20x x-<得A 。
或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。
4、(2010重庆理数)(7)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是A. 3 B. 4 C. D.112解析:考察均值不等式,整理得2228)2(82⎪⎭⎫⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ()()0322422≥-+++y x y x 即,又,()()08242≥++-+y x y x 02>+y x 42≥+∴y x 925、(2010北京理数)(7)设不等式组 表示的平面区域为D ,若指数函110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩数y=的图像上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是xa(A )(1,3](B )[2,3](C ) (1,2](D )[ 3, ]答案:A+∞6、(2010四川理数)(12)设,则的最小0a b c >>>221121025()a ac c ab a a b ++-+-值是(A )2 (B )4 (C )(D )5解析:=221121025()a ac c ab a a b ++-+-2211(5)()a c a ab ab ab a a b -+-+++-=≥0+2+2=4211(5)()()a c ab a a b ab a a b -+++-+-当且仅当a -5c =0,ab =1,a (a -b )=1时等号成立如取a,b,c满足条件.答案:B7、(2010全国卷1文数)(10)设则123log 2,ln 2,5a b c -===(A )(B ) (C) (D) a b c <<b c a <<c a b <<c b a <<10.C 【解析1】 a=2=, b=In2=,而,所以a<b,3log 21log 321log e22log 3log 1e>>c=,,所以c<a,综上c<a<b.125-222log 4log 3>=>【解析2】a =2=,b =ln2=, ,; 3log 321log 21log e 3221log log 2e <<<32211112log log e<<<c =,∴c<a<b 12152-=<=8、(2010福建理数)8.设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩1Ω与关于直线对称,对于中的任意一点A 与中的任意一点B,2Ω1Ω3490x y --=1Ω2Ω的最小值等于( )||AB A .B .4C .D .2285125【答案】B【解析】由题意知,所求的的最小值,即为区域中的点到直线||AB 1Ω的距离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如图所示,3490x y --=可看出点(1,1)到直线的距离最小,故的最小值为3490x y --=||AB ,所以选B 。
全国卷•十年高考(解答题部分)2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) (2)2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) (6)2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) (10)2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) (15)2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) (20)2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) (25)2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) (31)2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标) (36)2011年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标) (41)2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标) (46)2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)三、解答题:共60分。
17.(2019•新课标Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB﹣sinC)2=sin2A﹣sinBsin C.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sinC.18.(2019•新课标Ⅰ)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值.19.(2019•新课标Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.20.(2019•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=sinx﹣ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明:(1)f′(x)在区间(﹣1,)存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.21.(2019•新课标Ⅰ)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得﹣1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得﹣1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i﹣1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=﹣1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{p i+1﹣p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题:共10分。
专题08不等式历年考题细目表历年高考真题汇编1.【2014年新课标1理科09】不等式组的解集记为D,有下列四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1其中真命题是()A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3【解答】解:作出图形如下:由图知,区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域,p1:区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方,故:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2成立;p2:在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内,∃(x,y)∈D,x+2y≥2,故p2:∃(x,y)∈D,x+2y ≥2正确;p3:由图知,区域D有部分在直线x+2y=3的上方,因此p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3错误;p4:x+2y≤﹣1的区域(左下方的虚线区域)恒在区域D下方,故p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1错误;综上所述,p1、p2正确;故选:C.2.【2018年新课标1理科13】若x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最大值为.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由z=3x+2y得y x z,平移直线y x z,由图象知当直线y x z经过点A(2,0)时,直线的截距最大,此时z最大,最大值为z=3×2=6,故答案为:63.【2017年新课标1理科14】设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为.【解答】解:由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A(﹣1,1).∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5.故答案为:﹣5.4.【2016年新课标1理科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.【解答】解:(1)设A、B两种产品分别是x件和y件,获利为z元.由题意,得,z=2100x+900y.不等式组表示的可行域如图:由题意可得,解得:,A(60,100),目标函数z=2100x+900y.经过A时,直线的截距最大,目标函数取得最大值:2100×60+900×100=216000元.故答案为:216000.5.【2015年新课标1理科15】若x,y满足约束条件.则的最大值为.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).设k,则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率,由图象知OA的斜率最大,由,解得,即A(1,3),k OA3,即的最大值为3.故答案为:3.6.【2012年新课标1理科14】设x,y满足约束条件:;则z=x﹣2y的取值范围为.【解答】解:作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得,y,则表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距,截距越大,z越小结合函数的图形可知,当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时,截距最大,z最小;当直线x﹣2y﹣z=0平移到A 时,截距最小,z最大由可得B(1,2),由可得A(3,0)∴Z max=3,Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3,3]故答案为:[﹣3,3]7.【2011年新课标1理科13】若变量x,y满足约束条件,则z=x+2y的最小值为.【解答】解:在坐标系中画出约束条件的可行域,得到的图形是一个平行四边形,目标函数z=x+2y,变化为y x,当直线沿着y轴向上移动时,z的值随着增大,当直线过A点时,z取到最小值,由y =x ﹣9与2x +y =3的交点得到A (4,﹣5) ∴z =4+2(﹣5)=﹣6 故答案为:﹣6.考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:不等关系与不等式,一元二次不等式及其解法,二元一次不等式组与简单的线性规划问题,基本不等式及其应用等.历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为:一元二次不等式及其解法,二元一次不等式组与简单的线性规划问题,基本不等式及其应用等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点一元二次不等式及其解法,二元一次不等式组与简单的线性规划问题,基本不等式及其应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1.已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则182yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是( )A .82,2⎡⎤⎣⎦B .81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .72,2⎡⎤⎣⎦D .71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩,∴12s t =⎧⎨=⎩, 又11x y -≤+≤,…∴①13x y ≤-≤,∴()226x y ≤-≤…② ∴①+②得137x y ≤-≤.则371822,22yxx y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭.故选C .2.已知点()2,1A ,动点(),B x y 的坐标满足不等式组2023603260x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,设z 为向量OB 在向量OA 方向上的投影,则z 的取值范围为( ) A.,55⎡⎢⎣⎦ B.55⎡⎢⎣⎦ C .[]2,18D .[]4,18【答案】A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图: 则(),OB x y =, ()2,2OA =,则OB 在向量OA方向上的投影为||cos ||OA O B z OA B O θ⋅===,设2u x y =+,则2y x u =-+,平移直线2y x u =-+,由图象知当直线2y x u =-+经过点()02,B 时直线的截距最小, 此时2u =,当直线2y x u =-+经过D 时,直线2y x u =-+的截距最大,由23603260x y x y -+=⎧⎨--=⎩,得66x y =⎧⎨=⎩,即()6,6D ,此时12618u =+=.即218u ≤≤z55z, 即z的取值范围是⎣⎦, 故选:A .3.已知实数x ,y ,满足约束条件13260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,若2z x y =-+的最大值为( )A .-6B .-4C .2D .3【答案】C 【解析】解:由z =﹣2x +y ,得y =2x +z ,作出不等式对应的可行域(阴影部分),平移直线y =2x +z ,由平移可知当直线y =2x +z ,经过点A 时,直线y =2x +z 的截距最大,此时z 取得最大值,由1260x x y =⎧⎨+-=⎩,解得()1,4A .将A 的坐标代入z =﹣2x +y ,得z =2,即目标函数z =﹣2x +y 的最大值为2. 故选:C .4.若直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点,则实数k 的取值范围是( )A .(],1-∞B .[]0,2C .[]2,1-D .(]2,2-【答案】B 【解析】画出不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域,如下图所示直线()1y k x =+过定点(1,0)A -要使得直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点则0AC k k #20=20(1)AC k -=--[]0,2k ∴∈.故选B5.已知,x y 满足约束条件20,20,20,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩,则2z x y =+ 的最大值与最小值之和为( )A .4B .6C .8D .10【答案】C 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数即:2y x z =-+,其中z 取得最大值时,其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大, 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,2B 处取得最大值, 据此可知目标函数的最大值为:max 2226z =⨯+=,其中z 取得最小值时,其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小, 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值,联立直线方程:2020y x y -=⎧⎨+-=⎩,可得点的坐标为:()0,2A ,据此可知目标函数的最小值为:min 2022z =⨯+=. 综上可得:2z x y =+ 的最大值与最小值之和为8. 故选:C .6.设0.231log 0.6,log 20.6m n ==,则( ) A .m n mn m n ->>+ B .m n m n mn ->+> C .mn m n m n >->+ D .m n m n mn +>->【答案】B 【解析】因为0.30.32211log 0.6log 10,log 0.6log 1022m n =>==<=, 所以0,0mn m n <->,因为0.60.60.6112log 2log 0.250,log 0.30n m -=-=>=>,而0.60.6log 0.25log 0.3>, 所以110n m->>,即可得0>+n m , 因为()()20m n m n n --+=->,所以m n m n ->+, 所以m n m n mn ->+>, 故选B.7.若x ,y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =+的最大值是( )A .8B .4C .2D .6【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示:由4y xx y =⎧⎨+=⎩,解得(2,2)A ,由2z x y =+,得122z y x =-+,平移直线122zy x =-+,由图象可知当直线经过点A , 直线的截距最大,此时z 最大,此时6z =, 故选:D .8.“2a =”是“0x ∀>,1x a x+≥成立”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】0x ∀>时,12x x +≥, ∴“0x ∀>,1x a x+≥”等价于2a ≤,而2a =可推出2a ≤,2a ≤不能推出2a =, 所以“2a =”是“0x ∀>,1x a x+≥”成立的充分不必要条件,故选A. 9.已知函数()ln(1)f x x =-,若f (a )=f (b ),则a+2b 的取值范围为( )A .(4,+∞)B .[3)++∞C .[6,+∞)D .(4,3+【答案】B 【解析】∵函数f (x )=|ln (x ﹣1)|,f (a )=f (b ),且x >1,不妨设a b <,则12a b <<<. ∴﹣ln (a ﹣1)=ln (b ﹣1),∴11a -=b ﹣1,∴b=11a -+1,∴a+2b=a+222133311a a a +=-+++=+--…a +1取等号,∴a+2b 的取值范围是[3)++∞ 故选:B .10.已知正项等比数列{a n }满足:a 7=a 6+2a 5,若存在两项a m 、a n ,使得a m a n =16a 12,则1m +9n的最小值为( ) A .32B .83C .114D .不存在【答案】C 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ,且q >0,由a 7=a 6+2a 5得:a 6q=a 6+62a q, 化简得,q 2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去), 因为a m a n =16a 12,所以()()1111m n a qa q --=16a12,则q m+n-2=16,解得m+n=6,所以191191918(m n)10106663n m m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝… . 当且仅当9n m m n =时取等号,此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 因为mn 取整数,所以均值不等式等号条件取不到,则1983m n +>, 验证可得,当m=2、n=4时,19m n+取最小值为114,故选:C .11.若正数,m n 满足21m n +=,则11m n+的最小值为( ) A.3+B.3C.2+D .3【答案】A 【解析】由题意,因为21m n +=,则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+, 当且仅当2n mm n =,即n =时等号成立, 所以11m n+的最小值为3+ A.12.若实数满足,则的最大值是()A.-4B.-2C.2D.4【答案】B【解析】由题得(当且仅当x=y=-1时取等)所以,所以x+y≤-2.所以x+y的最大值为-2.故选:B13.已知,则取到最小值时()A.B.C.D.【答案】D【解析】由,可得.所以,当时等号成立,解得.所以取到最小值时.故选D.14.已知函数,若,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题可知:令又于是有因此所以当且仅当时取等号本题正确选项:15.在平面直角坐标系中,分别是轴正半轴和图像上的两个动点,且,则的最大值是A.B.C.4 D.【答案】D【解析】设M(m,0),N(n,n),(m,n>0).∵,∴,∴,当且仅当时取等号.可得:则∴的最大值是.故选:D.16.定义:区间的长度均为,若不等式的解集是互不相交区间的并集,设该不等式的解集中所有区间的长度之和为,则()A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,【答案】B【解析】当m>0时,∵0⇔0,令f(x)=mx2﹣(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1,x2,且x1<x2,则0,且x1+x2,∵f(1)=m﹣3﹣3m+2m+4=1>0,f(2)=4m﹣6﹣6m+2m+4=﹣2<0,∴1<x1<2<x2,所以不等式的解集为(1,x1]∪(2,x2],∴l=x1﹣1+x2﹣2=x1+x2﹣3=3,故选:B.17.关于的不等式的解集为,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】当时,,若,则原不等式可化为,显然恒成立;若,则原不等式可化为不是恒成立,所以舍去;当时,因为的解集为,所以只需,解得;综上,的取值范围为:.故选D18.若关于x的不等式上恒成立,则实数a的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】解:关于x的不等式上恒成立,等价于,当时,成立,当时,,即,因为恒成立,所以,故选:A . 19.已知函数的导函数为的解集为,若的极小值等于-98,则a 的值是( ) A .- B . C .2 D .5【答案】C 【解析】 由题意,,因为的解集为,所以,且,则,的极小值为,解得,故答案为C.20.在R 上定义运算⊗:(1)x y x y ⊗=-,若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A .11a -<< B .1322a -<< C .3122a -<< D .02a <<【答案】B 【解析】由题意,可知不等式()()1x a x a -+<对任意实数x 都成立,又由()()()(1)x a x a x a x a -+=---,即2210x x a a --++>对任意实数x 都成立,所以214(1)0a a ∆=--++<,即24430a a --<,解得1322a -<<, 故选B 。
专题十五 不等式选讲 第三十五讲 不等式选讲答案部分 2019年1.解:(1)当a =1时,()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---. 当1x <时,2()2(1)0f x x =--<;当1x ≥时,()0f x ≥. 所以,不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. (2)因为()=0f a ,所以1a ≥.当1a ≥,(,1)x ∈-∞时,()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----. 所以,a 的取值范围是[1,)+∞.2.解析 (1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥,又1abc =,故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. (2)因为, , a b c 为正数且1abc =,故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥. 3.解析(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦,故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥,当且仅当x =53,y =–13,13z =-时等号成立. 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43.(2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦„,故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-…,当且仅当43a x -=,13a y -=,223a z -=时等号成立. 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +.由题设知2(2)133a +…,解得3a -„或1a -….2010-2018年1.【解析】(1)当1a =时,()|1||1|f x x x =+--,即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >.(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立. 若0≤a ,则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ; 若0a >,|1|1ax -<的解集为20x a <<,所以21≥a,故02<≤a . 综上,a 的取值范围为(0,2].2.【解析】(1)当1=a 时,24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x .(2)()1≤f x等价于|||2|4++-≥x a x.而|||2||2|++-+≥x a x a,且当2=x时等号成立.故()1≤f x等价于|2|4+≥a.由|2|4+≥a可得6-≤a或2≥a,所以a的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U.3.【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x xf x x xx x⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x=的图像如图所示.(2)由(1)知,()y f x=的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当3a≥且2b≥时,()f x ax b+≤在[0,)+∞成立,因此a b+的最小值为5.4.D.【证明】由柯西不等式,得2222222()(122)(22)x y z x y z++++++≥.因为22=6x y z++,所以2224x y z++≥,当且仅当122x y z==时,不等式取等号,此时244333x y z===,,,所以222x y z++的最小值为4.5.【解析】(1)当1a=时,不等式()()f xg x≥等价于2|1||1|40x x x x-+++--≤.①当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤; 当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而1x < 所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<. (2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥. 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一, 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥,得11a -≤≤. 所以a 的取值范围为[1,1]-.6.【解析】(1)556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-4≥(2)∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++ 23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+,所以3()8a b +≤,因此2a b +≤.7.【解析】(1)3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤,当1x <-时,()f x 1≥无解;当x -12≤≤时,由()fx 1≥得,x -211≥,解得x 12≤≤ 当>2x 时,由()f x 1≥解得>2x . 所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥.(2)由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤,而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时,2512=4x x x x +---+. 故m 的取值范围为5-,4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦.8.【解析】证明:由柯西不等式可得:22222()()()ac bd a b c d +++≤,因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤, 因此8ac bd +≤. 9.【解析】(1)如图所示:(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩,≤,,≥,()1f x >.当1x -≤,41x ->,解得5x >或3x <,1x -∴≤. 当312x -<<,321x ->,解得1x >或13x <, 113x -<<∴或312x <<,当32x ≥,41x ->,解得5x >或3x <,332x <∴≤或5x >,综上,13x <或13x <<或5x >,()1f x >∴,解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ,,,. 10.【解析】(I )当12x <-时,()11222f x x x x =---=-,若112x -<<-;当1122x -≤≤时,()111222f x x x =-++=<恒成立;当12x >时,()2f x x =,若()2f x <,112x <<.综上可得,{}|11M x x =-<<.(Ⅱ)当()11a b ∈-,,时,有()()22110a b -->, 即22221a b a b +>+,则2222212a b ab a ab b +++>++, 则()()221ab a b +>+, 即1a b ab +<+,证毕.11.【解析】(Ⅰ)当2a =时,()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+„,得13x -剟.因此,()6f x ≤的解集为{|13}x x-剟.(Ⅱ)当x R ∈时,()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+…|1|a a =-+,当12x =时等号成立, 所以当x R ∈时,()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+…. ① 当1a „时,①等价于13a a -+…,无解. 当1a >时,①等价于13a a -+…,解得2a …. 所以a 的取值范围是[2,)+∞.12.【解析】(Ⅰ)当1a =时,不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->,当1x -≤时,不等式化为40x ->,无解;当11x -<<时,不等式化为320x ->,解得213x <<; 当1x ≥时,不等式化为20x -+>,解得12x <≤.所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<. (Ⅱ)有题设可得,12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤,所以函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++,ABC ∆的面积为22(1)3a +.有题设得22(1)63a +>,故2a >.所以a 的取值范围为(2,)+∞. 13.【解析】(Ⅰ)∵2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+,ab cd >得22>.>(Ⅱ)(ⅰ)若||||a b c d -<-,则22()()a b c d -<-, 即22()4()4a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+,所以ab cd >>>则22>,即a b c d ++>++ 因为a b c d +=+,所以ab cd >,于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-. 因此||||a b c d -<-,>||||a b c d -<-的充要条件.14.【解析】(I11a b =+≥,得2ab ≥,且当a b ==故33ab+≥a b ==时取等号.所以33ab +的最小值为(II )由(I)知,23a b +≥≥.由于6>,从而不存在,a b , 使得236a b +=.15.【解析】(I )由0a >,有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥. 所以()f x ≥2. (Ⅱ)1(3)33f a a=++-. 当时a >3时,(3)f =1a a+,由(3)f <5得3<a<52+.当0<a ≤3时,(3)f =16a a-+,由(3)f <5<a ≤3.综上,a). 16.【解析】(Ⅰ)当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩,其图像如图所示,从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤, ∴2x a -≥对x ∈[2a -,12)都成立,故2a-≥2a -,即a ≤43,∴a 的取值范围为(-1,43].17.【解析】(Ⅰ)2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=,即2222221a b c ab bc ca +++++=.所以()31ab bc ca ++≤,即13ab bc ca ++≤(Ⅱ)∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ ∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥ 18.【解析】(1)当3a =-时,()3323f x x x ⇔-+-厖2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩„…或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩…或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩…… 1x ⇔„或4x ….(2)原命题()4f x x ⇔-„在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++--„在[1,2]上恒成立 22x a x ⇔---剟在[1,2]上恒成立30a⇔-剟.19.【解析】(Ⅰ)当1a =时,()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥.由此可得 3x ≥或1x ≤-.故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-. ( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤,此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩,即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aa x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤,因为0a >,所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-,由题设可得2a-=1-,故2a =.专题十五 不等式选讲第三十五讲 不等式选讲2019年1.(2019全国II 文23)已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--(1)当1a =时,求不等式()0f x <的解集;(2)若(,1)x ∈-∞时,()0f x <,求a 的取值范围.2.(2019全国1文23)已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1.证明: (1)222111a b c a b c++≤++; (2)333()()()24a b b c c a +++≥++.3.(2019全国III 文23)设,,x y z ∈R ,且1x y z ++=.(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值;(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立,证明:3a ≤-或1a ≥-. 2010-2018年解答题1.(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5:不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--.(1)当1a =时,求不等式()1f x >的解集;(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立,求a 的取值范围.2.(2018全国卷Ⅱ) [选修4-5:不等式选讲](10分)设函数()5|||2|=-+--f x x a x .(1)当1a =时,求不等式()0≥f x 的解集;(2)若()1≤f x ,求a 的取值范围.3.(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5:不等式选讲](10分)设函数()|21||1|f x x x =++-.(1)画出()y f x =的图像;(2)当[0,)x ∈+∞时,()f x ax b +≤,求a b +的最小值.4.(2018江苏)D .[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)若x ,y ,z 为实数,且226x y z ++=,求222x y z ++的最小值.5.(2017新课标Ⅰ)已知函数2()4f x x ax =-++,()|1||1|g x x x =++-.(1)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集;(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,求a 的取值范围.6.(2017新课标Ⅱ)已知0a >,0b >,332a b +=,证明:(1)55()()4a b a b ++≥;(2)2a b +≤.7.(2017新课标Ⅲ)已知函数()|1||2|f x x x =+--.(1)求不等式()1f x ≥的解集;(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空,求m 的取值范围.8.(2017江苏)已知a ,b ,c ,d 为实数,且224a b +=,2216c d +=,证明8ac bd +≤.9.(2016年全国I 高考)已知函数()|1||23|f x x x =+--.(I )在图中画出()y f x =的图像;(II )求不等式|()|1f x >的解集.10.(2016年全国II )已知函数()1122f x x x =-++,M 为不等式()2f x <的解集. (I )求M ;(II )证明:当a ,b M ∈时,1a b ab +<+.11.(2016年全国III 高考)已知函数()|2|f x x a a =-+(Ⅰ)当a =2时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()|21|g x x =-,当x ∈R 时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.12.(2015新课标1)已知函数()|1|2||f x x x a =+--,0a >. (Ⅰ)当1a =时,求不等式()1f x >的解集;(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.13.(2015新课标2)设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+,证明:(Ⅰ)若ab >cd a b c d >a b c d >||||a b c d -<- 的充要条件.14.(2014新课标1)若0,0a b >>,且11ab a b+=.(Ⅰ) 求33a b +的最小值;(Ⅱ)是否存在,a b ,使得236a b +=?并说明理由.15.(2014新课标2)设函数()f x =1(0)x x a a a++-> (Ⅰ)证明:()f x ≥2;(Ⅱ)若()35f <,求a 的取值范围.16.(2013新课标1)已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.(Ⅰ)当a =-2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 17.(2013新课标2)设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤ (Ⅱ)2221a b c b c a++≥ 18.(2012新课标)已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ)当|3-=a 时,求不等式()3f x …的解集;(Ⅱ)若()|4|f x x -„的解集包含]2,1[,求a 的取值范围.19.(2011新课标)设函数()3f x x a x =-+,其中0a >.(Ⅰ)当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集;(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ,求a 的值.。
十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n2.(2019·浙江·T10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2+b,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10D.当b=-4时,a 10>103.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 45.(2018·北京·理T4文T 5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23fB.√223fC.√2512fD.√2712f6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3C.3D.88.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>010.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )A.172B.192C.10D.1212.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.1D.114.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)216.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-1917.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=c n+a n2,c n+1=b n+a n2,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.620.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5D.-721.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= .2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .3.(2019·江苏·T8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 .4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 .5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= .6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 .9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *),前n 项和为S n ,若lim n →∞S n a n+1=12,则q=.10.(2018·江苏·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 . 11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k=____________.12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= .13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 18.(2015·湖南·理T14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = .19.(2015·福建·文T16)若a,b 是函数f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 . 20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1- a n =n+1(n ∈N *).则数列{1a n}前10项的和为____________.21.(2015·全国2·理T16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= .23.(2015·陕西·文T13)中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为 .24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是 . 25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5= .26.(2014·安徽·理T12)数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 27.(2014·全国2·文T16)数列{a n }满足a n+1=11-a n,a 8=2,则a 1=____________.28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 29.(2014·天津·理T11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 .30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= .32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n = . 33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q= . 三、计算题1.(2019·全国2·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.3.(2019·天津·文T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于0.已知a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式; (2)设数列{c n }满足c n ={1,n 为奇数,b n 2,n 为偶数,求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n ∈N *).4.(2019·天津·理T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. ①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; ②求∑i=12na i c i (n ∈N *).5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√a n 2b n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *. 6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M - 数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M - 数列”; (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n−2b n+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M - 数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1成立,求m 的最大值.7.(2018·北京·文T15)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n .8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意x ∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,b n =a n+1+1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由; (2)设数列{a n }的前四项为a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求M 中元素的个数m:(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列.若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.。
2010-2019历年高考数学《不等式综合应用》真题汇总含解析专题七 不等式第二十一讲 不等式综合应用2019年1.(2019天津文13)设0x >,0y >,24x y +=,则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.2010-2018年一、选择题1.(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A .对任意实数a ,(2,1)A ∈B .对任意实数a ,(2,1)A ∉C .当且仅当0a <时,(2,1)A ∉D .当且仅当32a ≤时,(2,1)A ∉ 2.(2018浙江)已知1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则A .13a a <,24a a <B .13a a >,24a a <C .13a a <,24a a >D .13a a >,24a a >3.(2017天津)已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立,则a 的取值范围是A .[2,2]- B.[2]- C.[2,- D.[- 4.(2015福建)若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1),则a b +的最小值等于 A .2 B .3 C .4 D .5 5.(2015湖南)若实数,a b满足12a b+=,则ab 的最小值为 AB .2C .D .46.(2014重庆)若b a ab b a +=+则)(,log 43log 24的最小值是A .326+B .327+C .346+D .347+ 7.(2013福建)若122=+yx ,则y x +的取值范围是A .]2,0[B .]0,2[-C .),2[+∞-D .]2,(--∞8.(2013山东)设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=.则当xyz取得最大值时,212x y z+-的最大值为 A .0 B .1 C .94D .3 9.(2013山东)设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最大值时,2x y z +-的最大值为A .0B .98 C .2 D .9410.(2012浙江)若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是A .245 B .285C .5D .6 11.(2012陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a b <),其全程的平均时速为v ,则 A .a v ab <<B .v abC ab <v <2a b + D .v =2a b+12.(2012湖南)已知两条直线1l :y m = 和2l :y =821m +(0m >),1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点,A B ,2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ,当m 变化时,ba的最小值为 A .2 B.82 C.384 D. 34413.(2011陕西)设0a b <<,则下列不等式中正确的是A .2a b a b ab +<<<B .2a ba ab b +<<< C .2a b a ab b +<<< D 2a bab a b +<<<14.(2011上海)若,a b R ∈,且0ab >,则下列不等式中,恒成立的是A .222a b ab +>B.a b +≥ C.11a b +> D .2b aa b+≥ 二、填空题15.(2018天津)已知,a b ∈R ,且360a b -+=,则128ab+的最小值为 . 16.(2018天津)已知a ∈R ,函数22220()220x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩,≤,,.若对任意[3,)x ∈-+∞,()||f x x ≤恒成立,则a 的取值范围是____.17.(2017天津)若a ,b ∈R ,0ab >,则4441a b ab++的最小值为 .18.(2017山东)若直线1(00)x ya b a b+=>,>过点(1,2),则2a b +的最小值为 . 19.(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是 . 20.(2017北京)能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为____________________. 21.(2017浙江)已知a ∈R ,函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 .22.(2017江苏)在平面直角坐标系xOy 中,(12,0)A -,(0,6)B ,点P 在圆O :2250x y +=上,若20PA PB ⋅u u u r u u u r≤,则点P 的横坐标的取值范围是 .23.(2015重庆)设,0a b >,5a b +=________.24.(2015山东)定义运算“⊗”:22x y x y xy-⊗=(,x y ∈R ,0xy ≠).当0x >,0y >时,(2)x y y x ⊗+⊗的最小值为 .25.(2014浙江)已知实数,,a b c 满足0a b c ++=,2221a b c ++=,则a 的最大值是__; 26.(2014辽宁)对于0c >,当非零实数a ,b 满足22420a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,124a b c++的最小值为 . 27.(2014辽宁)对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为 . 28.(2014湖北)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为2760001820vF v v l=++. (Ⅰ)如果不限定车型, 6.05l =,则最大车流量为 辆/小时;(Ⅱ)如果限定车型,5l =,则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加 辆/小时. 29.(2013天津)设a + b = 2,b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值. 30.(2013四川)已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =__. 31.(2011浙江)若实数,x y 满足221x y xy ++=,则x y +的最大值是____. 32.(2011湖南)设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为 . 33.(2010安徽)若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号). ①1ab ≤;; ③222a b +≥;④333a b +≥; ⑤112a b+≥. 答案部分 2019年1.解析0x >,0y >,24x y +=,而()()1212212552x y xy x y xy xy xy xyxy ++++++===+.由基本不等式有42x y =+…所以02xy <<(当且仅当22x y ==时,即2x =,1y =时,等号成立).所以552xy…,5592222xy ++=…,所以()()121x y xy++的最小值为92.2010-2018年1.D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上,4ax y +=表示过定点(0,4),斜率为a -的直线,当0a ≠时,2x ay -=表示过定点(2,0),斜率为1a 的直线,不等式2x ay -≤表示的区域包含原点,不等式4ax y +>表示的区域不包含原点.直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直,显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时,不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除A ;点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-,当32a -<-,即32a >时,4ax y +>表示的区域包含点(2,1),此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1),故排除B ;当直线4ax y +=的斜率32a -=-,即32a =时,4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除C ,故选D .解法二 若(2,1)A ∈,则21422a a +>⎧⎨-⎩≤,解得32a >,所以当且仅当32a ≤时,(2,1)A ∉.故选D .2.B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >),所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤,所以41a -≤,又11a >,所以等比数列的公比0q <.若1q -≤,则212341(1)(10a a a a a q q +++=++)≤,而12311a a a a ++>≥,所以123ln()0a a a ++>,与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾,所以10q -<<,所以2131(1)0a a a q -=->,2241(1)0a a a q q -=-<,所以13a a >,24a a <,故选B .解法二 因为1x e x +≥,1234123ln()a a a a a a a +++=++,所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥,则41a -≤,又11a >,所以等比数列的公比0q <.若1q -≤,则212341(1)(10a a a a a q q +++=++)≤,而12311a a a a ++>≥,所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾,所以10q -<<,所以2131(1)0a a a q -=->,2241(1)0a a a q q -=-<,所以13a a >,24a a <,故选B .3.A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示,当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时,可知2a =±.当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时,由22x a x x +=+,得2240x ax -+=,由0∆=,并结合图象可得2a =,要使()||2xf x a +≥恒成立,当0a ≤时,需满足2a -≤,即20a -≤≤,当0a >时,需满足2a ≤,所以22a -≤≤.解法二 由题意0x =时,()f x 的最小值2,所以不等式()||2x f x a +≥等价于||22xa +≤在R 上恒成立.当a =0x =,得|22x+>,不符合题意,排除C 、D ;当a =-0x =,得|22x->,不符合题意,排除B ;选A .4.C 【解析】解法一 ∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1),所以111a b +=,所以111a b =+=≥(当且仅当2a b ==时去等号)2.又a b +≥当且仅当2a b ==时去等号),所以4a b +≥(当且仅当2a b ==时去等号).解法二∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1),所以111a b +=,所以11()()224a b a b a b a b b a +=++=+++=≥(当且仅当2a b ==时去等号).5.C 【解析】解法一由已知122b aa b ab ++==0,0a b >>,∴2b a =+≥ab ≥解法二 由题意知0,0a b >>,∴12a b =+≥ab ≥6.D 【解析】由已知得34a b ab +=,且0ab >,可知0,0a b >>,所以431a b += (0,0a b >>),43()()a b a b a b +=++=4377b aa b +++≥. 当且仅当43b aa b =时取等号. 7.D 【解析】本题考查的是均值不等式.因为y x y x 222221⋅≥+=,即222-+≤yx ,所以2-≤+y x ,当且仅当yx 22=,即y x =时取等号. 8.B 【解析】由22340x xy y z -+-=,得2234z x xy y =-+.所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=,当且仅当4x y yx =, 即2x y =时取等号此时22y z =,1)(max =z xy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=1)221121(42=-+≤y y ,故选B.9.C 【解析】由x 2-3xy +4y 2-z =0得x 2+4y 2-3xy =z ,22443331z x y xy xy xy xy +=-≥=-=,当且仅当x 2=4y 2即x =2y 时,zxy 有最小值1,将x =2y 代入原式得z =2y 2,所以x +2y -z =2y +2y -2y 2=-2y 2+4y , 当y =1时有最大值2.故选C.10.C 【解析】Q 35x y xy +=,135y x +=,113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=.11.A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S,则22211S ab v S S a b a ba b===<=+++∵ a b <,∴ 2222ab a v aa b a =>=+,∴a v <<选A.12.B 【解析】在同一坐标系中作出y m =,y =821m +(0m >),2log y x=图像如下图,由2log x= m ,得122,2m mx x -==,2log x = 821m +,得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m mm m m mm b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++Q ,min()82b a ∴=13.B 【解】(方法一)已知a b <2a bab +<,比较a ab ,因为22)()0a ab a a b -=-<,所以a ab <22()()0b ab b b a -=->ab b ;作差法:022a b b a b +--=>,所以2a bb +<,综上可得2a b a ab b +<<;故选B .(方法二)取2a =,8b =4ab =,52a b +=,所以2a ba ab b+<<<.14.D 【解析】对于A 取1a b ==,此时2222a b ab +==,因此A 不正确;对于B 取1a b ==-,此时222a b ab +=-<=,因此B 不正确;对于C 取1a b ==-,此时1122a b ab +=-<=,因此C 不正确;对于D ,∵0ab >,∴0b a >,0ba >,∴22b a b a a b a b +⋅=≥,D 正确.15.14【解析】由360a b -+=,得36a b =-,所以36331112222824a b b b --+=+=⨯=≥,当且仅当363122b b -=,即1b =时等号成立.16.1[,2]8【解析】当30x -≤≤时,()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x++--≤恒成立,即232a x x --+≤恒成立,所以2min (32)2a x x --+=≤;当0x >时()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x -+-≤恒成立,即22x x a -+≥恒成立,所以2max 1()28x x a -+=≥. 综上,a 的取值范围是1[,2]8.17.4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++=+≥≥ ,当且仅当222a b =,且12ab =,即22a =,24b =时取等号. 18.8【解析】由题意有121a b+=,所以1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=+++=≥.当且仅当4b a a b =,即4b =,2a =时等号成立. 19.30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=,当且仅当900x x =,即30x =时等号成立.20.-1,-2,-3(答案不唯一)【解析】因为“设a ,b ,c 是任意实数.若a b c >>,则a b c +>”是假命题,则它的否定“设a ,b ,c 是任意实数.若a b c >>,则a b c +≤”是真命题,由于a b c >>,所以2a b c +>,又a b c +≤,所以0c <,因此a ,b ,c 依次取整数-1,-2,-3,满足a b c +≤.()123,1233->->--+-=->-相矛盾,所以验证是假命题.21.9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈,∴4[4,5]x x +∈①当5a ≥时,44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤, 所以()f x 的最大值245a -=,即92a =(舍去)②当4a ≤时,44()5f x x a a x x x =+-+=+≤,此时命题成立.③当45a <<时,max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+,则 |4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=,解得92a =或92a <, 综上可得,实数a 的取值范围是9(,]2-∞. 22.[-【解析】设(,)P x y ,由20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤,得250x y -+≤,x如图由250x y -+≤可知,P 在¼MN 上,由2225050x yx y-+=⎧⎨+=⎩,解得(1,7)M,(5,5)N--,所以P点横坐标的取值范围为[-.23.【解析】24a b=+++92+≤9418a b=+++=.当且仅当13a b+=+且5a b+=,即73,22a b==时等号成立.24.【解析】由新定义运算知,2222(2)4(2)(2)2y x y xy xy x xy--⊗==,因为00x y>>,,所以,22222242(2)222x y y x x yx y y xxy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=,当且仅当x=时,(2)x y y x⊗+⊗.25.【解析】由0a b c++=得,a b c=--,则2222()2a b c b c bc=--=++()2222222b c b c b c+++=+≤,又2221a b c++=,所以232a≤,解得a,故a的最大值为.26.-1【解析】设|2|a b+最大,则必须,a b同号,因为22224463()2a ba b ab c ab c+++=++≤,故有2(2)4a b c+≤,22()2a bc+≥,当且仅当2a b=时取等号,此时2c b=,所以124a b c++=2244114()112b b b+=+--≥.27.-2【解析】设2a b t+=,则2a t b=-,因为224240a ab b c-+-=,所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①, 由0∆≥解得t ,当2a b +取得最大值时,t =代入①式得b =2a t b =-得a = 所以345a b c -+=55c c =222=--≥. 当且仅当52c =时等号成立.28.1900 100【解析】(Ⅰ)76000190020 6.0518F v v ==⨯++,当且仅当11v = 时等号成立.(Ⅱ)76000200020518F v v ==⨯++,当且仅当10v =时等号成立. 20001900100-=.29.-2【解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a b a a b ++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b =<,即2,4a b =-=时取等号 故1||2||a a b +取得最小值时,2a =-.30.36【解析】因为0,0x a >>,()44a f x x a x =+≥=, 当且仅当4a x x =,即3x ==,解得36a =.31.【解析】∵221x y xy ++=, ∴2()1x y xy +-=,即22()()12x y x y ++-≤,∴24()3x y +≤,3x y +≤. 32.9【解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x ++≥+=.33.①③⑤【解析】令1a b ==,排除②④;由21a b ab =+≥⇒≤,命题①正确;222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥,命题③正确;1122a b a b ab ab ++==≥,命题⑤正确.。
专题15不等式选讲历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 不等式选讲2019年新课标1文科23解答题2018 综合测试题2018年新课标1文科23解答题2017 综合测试题2017年新课标1文科23解答题2016 综合测试题2016年新课标1文科24解答题2015 综合测试题2015年新课标1文科24解答题2014 综合测试题2014年新课标1文科24解答题2013 综合测试题2013年新课标1文科24解答题2012 综合测试题2012年新课标1文科24解答题2011 综合测试题2011年新课标1文科24解答题2010 综合测试题2010年新课标1文科24历年高考真题汇编1.【2019年新课标1文科23】已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.2.【2018年新课标1文科23】已知f()=|+1|﹣|a﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f()>1的解集;(2)若∈(0,1)时不等式f()>成立,求a的取值范围.3.【2017年新课标1文科23】已知函数f()=﹣2+a+4,g()=|+1|+|﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f()≥g()的解集;(2)若不等式f()≥g()的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.4.【2016年新课标1文科24】已知函数f()=|+1|﹣|2﹣3|.(Ⅰ)在图中画出y=f()的图象;(Ⅱ)求不等式|f()|>1的解集.5.【2015年新课标1文科24】已知函数f()=|+1|﹣2|﹣a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f()>1的解集;(Ⅱ)若f()的图象与轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.6.【2014年新课标1文科24】若a>0,b>0,且.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.7.【2013年新课标1文科24】已知函数f()=|2﹣1|+|2+a|,g()=+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f()<g()的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当∈[,]时,f()≤g(),求a的取值范围.8.【2012年新课标1文科24】已知函数f()=|+a|+|﹣2|①当a=﹣3时,求不等式f()≥3的解集;②f()≤|﹣4|若的解集包含[1,2],求a的取值范围.9.【2011年新课标1文科24】设函数f ()=|﹣a |+3,其中a >0.(Ⅰ)当a =1时,求不等式f ()≥3+2的解集(Ⅱ)若不等式f ()≤0的解集为{|≤﹣1},求a 的值.10.【2010年新课标1文科24】设函数f ()=|2﹣4|+1.(Ⅰ)画出函数y =f ()的图象:(Ⅱ)若不等式f ()≤a 的解集非空,求a 的取值范围. 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.求解的一般方法是去掉绝对值,也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,证明不等式为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈.(1)当2a =时,求不等式()2f x >的解集;(2)若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立,求实数a 的取值范围. 2.已知()221f x x x =-++.(1)求不等式()6f x <的解集;(2)设m 、n 、p 为正实数,且()3m n p f ++=,求证:12mn np pm ++≤.3.[选修4—5:不等式选讲]已知函数()|||2|(0)f x x m x m m =--+>.(1)当1m =,求不等式()1f x ≥的解集;(2)对于任意实数,x t ,不等式()21f x t t <++-恒成立,求实数m 的取值范围.4.选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-,其中0m >.(1)求m 的值;(2)若正数a ,b ,c 满足a b c m ++=,求证:2222b c a a b c++≥. 5.选修4-5:不等式选讲 已知函数()13f x x x a =+++(1)当1a =-时,解不等式()2f x ≥;(2)若存在0x 满足00()211f x x ++<,求实数a 的取值范围.6.已知函数()|2|f x ax =-.(Ⅰ)当4a =时,求不等式()|42|8f x x ++≥的解集;(Ⅱ)若[2,4]x ∈时,不等式()|3|3f x x x +-≤+成立,求a 的取值范围.7.已知函数()21f x x x a =-++,()2g x x =+.(1)当1a =-时,求不等式()()f x g x <的解集;(2)设12a >-,且当1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,()()f x g x ≤,求a 的取值范围. 8.已知函数()|2|f x x =-.(Ⅰ)求不等式()|1|f x x x <++的解集;(Ⅱ)若函数5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ,求实数a 的取值范围.9.已知函数()123f x x x =-+-.(Ⅰ)解关于x 的不等式()4f x ≤;(Ⅱ)若()20f x m m -->恒成立,求实数m 的取值范围.10.已知函数()211f x x x =-++.(Ⅰ)解不等式()3f x ≥;(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为m ,若,,a b c 均为正实数,且232a b c m ++=,求222a b c ++的最小值. 11.已知函数()12f x x a x =+++.(Ⅰ)求1a =时,()3f x ≤的解集;(Ⅱ)若()f x 有最小值,求a 的取值范围,并写出相应的最小值.12.选修4-5:不等式选讲已知函数()|23||1|f x x x =--+.(1)求不等式()6f x ≤的解集;(2)设集合M 满足:当且仅当x M ∈时,()|32|f x x =-,若,a b M ∈,求证:228223a b a b -++≤. 13.[选修4—5:不等式选讲]已知函数()31f x x m x m =----(1)若1m =,求不等式()1f x <的解集.(2)对任意的x R ∈,有()(2)f x f ≤,求实数m 的取值范围.14.已知()21f x x x =+-.(1)证明()1f x x +≥;(2)若,,a b c +∈R ,记33311134abc a b c +++的最小值为m ,解关于x 的不等式()f x m <. 15.选修4—5:不等式选讲已知函数()11f x x mx =++-,m R ∈。
2010-2019“十年高考”数学真题分类汇总解析几何——直线与圆(附详细答案解析)1.(2019北京文8)如图,A ,B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点,APB ∠是锐角,大小为β。
图中阴影区域的面积的最大值为(A )4β+4cos β(B )4β+4sin β(C )2β+2cos β(D )2β+2sin β【答案】(B).【解析】由题意和题图可知,当P 为优弧 AB 的中点时,阴影部分的面积取最大值,设圆心为O ,2AOB β∠=,()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-.此时阴影部分面积BOP AOP AOB S S S S ∆∆++=扇形()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=βπβsin 2221222212ββsin 44+=.故选B.2.(2019北京文11)设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l .则以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为__________.【答案】()2214x y -+=.【解析】24y x =的焦点为()1,0,准线为1x =-,故符合条件的圆为()2214x y -+=.3.(2019江苏18)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.【解析】解法一:(1)过A 作AE BD ⊥,垂足为E .由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,联结AD,由(1)知10AD ==,从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此,Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处.(3)先讨论点P 的位置.当︒<∠90OBP 时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当︒≥∠90OBP 时,对线段PB 上任意一点F ,OB OF ≥,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15,此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=;当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=.由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,CQ ==此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ =时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+解法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l ,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC =6,所以OH =9,直线l 的方程为y =9,点A ,B 的纵坐标分别为3,−3.因为AB 为圆O 的直径,AB =10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A (4,3),B (−4,−3),直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ,所以直线PB 的斜率为43-,∴直线PB 的方程为42533y x =--.所以P (−13,9),15PB ==.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点E (−4,0),则EO =4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,联结AD ,由(1)知D (−4,9),又A (4,3),所以线段AD :36(44)4y x x =-+- .在线段AD 上取点M (3,154),因为5OM =,所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处.(3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15,此时1P (−13,9);当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=.由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,设Q (a ,9),由15(4)AQ a ==>,得a =4+Q (4+此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P (−13,9),Q (4+9)时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+4.(2019浙江12)已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ,半径长是r 。
专题18 不等式选讲不等式选讲大题:10年10考,而且是作为2个选做题之一出现的,主要考绝对值不等式的解法(出现频率太高了,应当高度重视),偶尔也考基本不等式.全国卷很少考不等式小题,如果说有考的话,可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题.不等式作为一种工具,解题经常用到,不单独命小题显然也是合理的.不等式的证明一般考在函数与导数综合题中出现.1.(2019年)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【解析】(1)要证1a+1b+1c≤a2+b2+c2;因为abc=1.就要证:abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2;即证:bc+ac+ab≤a2+b2+c2;即:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2;2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0;∵a,b,c为正数,且满足abc=1.∴(a﹣b)2≥0;(a﹣c)2≥0;(b﹣c)2≥0恒成立;当且仅当:a=b=c=1时取等号.即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0得证.故1a+1b+1c≤a2+b2+c2得证.(2)证(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24成立;即:已知a,b,c为正数,且满足abc=1.(a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数;(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a);当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:a=b=c=1时取等号;∵a,b,c为正数,且满足abc=1.(a+b(b+c(c+a当且仅当a=b,b=c;c=a时取等号;即:a=b=c=1时取等号;∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a24abc=24;当且仅当a=b=c=1时取等号;故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证.故得证.2.(2018年)已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|=2,12,11 2,1xx xx>⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩,由f(x)>1,∴2111xx>⎧⎨-≤≤⎩或211x>⎧⎨>⎩,解得x>12,故不等式f(x)>1的解集为(12,+∞),(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x>0,即x+1﹣|ax﹣1|﹣x>0,即|ax﹣1|<1,∴﹣1<ax﹣1<1,∴0<ax<2,∵x∈(0,1),∴a>0,∴0<x<2a,∴a<2x,∵2x>2,∴0<a≤2,故a的取值范围为(0,2].3.(2017年)已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x=12的二次函数,g(x)=|x+1|+|x﹣1|=2,12,112,1x xxx x>⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩,当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x=171-,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,171-];当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2.当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,1712-];(2)依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,则只需()()2211201120aa⎧-⨯-≤⎪⎨--⨯--≤⎪⎩,解得﹣1≤a≤1,故a的取值范围是[﹣1,1].4.(2016年)已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.(1)在图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)f(x)=4,1332,1234,2x xx xx x⎧⎪-≤-⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩,由分段函数的图象画法,可得f(x)的图象,如图:(2)由|f(x)|>1,可得当x≤﹣1时,|x﹣4|>1,解得x>5或x<3,即有x≤﹣1;当﹣1<x<32时,|3x﹣2|>1,解得x>1或x<13,即有﹣1<x<13或1<x<32;当x≥32时,|4﹣x|>1,解得x>5或x<3,即有x>5或32≤x<3.综上可得,x<13或1<x<3或x>5.则|f(x)|>1的解集为(﹣∞,13)∪(1,3)∪(5,+∞).5.(2015年)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,即()11211xx x<-⎧⎪⎨---->⎪⎩①,或()111211xx x-≤<⎧⎪⎨+-->⎪⎩②,或()11211xx x≥⎧⎪⎨+-->⎪⎩③.解①求得x∈∅,解②求得23<x<1,解③求得1≤x<2.综上可得,原不等式的解集为(23,2).(2)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=12,1312,112,x a xx a x ax a x a--<-⎧⎪+--≤≤⎨⎪-++>⎩,由此求得f(x)的图象与x轴的交点A(213a-,0),B(2a+1,0),故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),由△ABC的面积大于6,可得12[2a+1﹣213a-](a+1)>6,求得a>2.故要求的a的范围为(2,+∞).6.(2014年)若a>0,b>0,且1a+1bab(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解析】(1)∵a>0,b>0,且1a+1babab1a+1b≥12ab,∴ab≥2,当且仅当a=b2时取等号.∵a3+b3 ≥()3ab322=42a=b2时取等号,∴a3+b3的最小值为42(2)∵2a +3b ≥223a b ⋅=26ab ,当且仅当2a =3b 时,取等号.而由(1)可知,26ab ≥212=43>6,故不存在a ,b ,使得2a +3b =6成立.7.(2013年)已知函数f (x )=|2x ﹣1|+|2x +a |,g (x )=x +3.(1)当a =﹣2时,求不等式f (x )<g (x )的解集;(2)设a >﹣1,且当x ∈[2a-,12]时,f (x )≤g (x ),求a 的取值范围.【解析】(1)当a =﹣2时,求不等式f (x )<g (x )化为|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3<0.设y =|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3,则y =15,212,1236,1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩,它的图象如图所示:结合图象可得,y <0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).(2)设a >﹣1,且当x ∈[2a-,12]时,f (x )=1+a ,不等式化为1+a ≤x +3,故x ≥a ﹣2对x ∈[2a -,12]都成立.故2a-≥a ﹣2,解得a ≤43,故a 的取值范围为(﹣1,43].8.(2012年)已知函数f (x )=|x +a |+|x ﹣2|(1)当a =﹣3时,求不等式f (x )≥3的解集;(2)f (x )≤|x ﹣4|若的解集包含[1,2],求a 的取值范围.【解析】(1)当a =﹣3时,f (x )≥3 即|x ﹣3|+|x ﹣2|≥3,即2323x x x ≤⎧⎨-+-≥⎩,可得x ≤1;23323x x x <<⎧⎨-+-≥⎩,可得x ∈∅;3323x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩,可得x ≥4.取并集可得不等式的解集为 {x |x ≤1或x ≥4}.(2)原命题即f (x )≤|x ﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x +a |+2﹣x ≤4﹣x 在[1,2]上恒成立,等价于|x +a |≤2,等价于﹣2≤x +a ≤2,﹣2﹣x ≤a ≤2﹣x 在[1,2]上恒成立.故当 1≤x ≤2时,﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x 的最小值为0,故a 的取值范围为[﹣3,0].9.(2011年)设函数f (x )=|x ﹣a |+3x ,其中a >0.(1)当a =1时,求不等式f (x )≥3x +2的解集(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤﹣1},求a 的值.【解析】(1)当a =1时,f (x )≥3x +2可化为|x ﹣1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤﹣1.故不等式f (x )≥3x +2的解集为{x |x ≥3或x ≤﹣1}.(2)由f (x )≤0得|x ﹣a |+3x ≤0,此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x aa x x <⎧⎨-+≤⎩, 即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x aa x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩,因为a >0,所以不等式组的解集为{x |x 2a≤-}, 由题设可得2a-=﹣1,故a =2.10.(2010年)设函数f (x )=|2x ﹣4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.【解析】(1)由于f(x)=25,2 23,2x xx x-+<⎧⎨-≥⎩,函数y=f(x)的图象如图所示.(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,极小值在点(2,1)当且仅当a<﹣2或a≥12时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点.故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪[12,+∞).。
专题15不等式选讲历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 不等式选讲2019年新课标1文科23解答题2018 综合测试题2018年新课标1文科23解答题2017 综合测试题2017年新课标1文科23解答题2016 综合测试题2016年新课标1文科24解答题2015 综合测试题2015年新课标1文科24解答题2014 综合测试题2014年新课标1文科24解答题2013 综合测试题2013年新课标1文科24解答题2012 综合测试题2012年新课标1文科24解答题2011 综合测试题2011年新课标1文科24解答题2010 综合测试题2010年新课标1文科24历年高考真题汇编1.【2019年新课标1文科23】已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.2.【2018年新课标1文科23】已知f()=|+1|﹣|a﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f()>1的解集;(2)若∈(0,1)时不等式f()>成立,求a的取值范围.3.【2017年新课标1文科23】已知函数f()=﹣2+a+4,g()=|+1|+|﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f()≥g()的解集;(2)若不等式f()≥g()的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.4.【2016年新课标1文科24】已知函数f()=|+1|﹣|2﹣3|.(Ⅰ)在图中画出y=f()的图象;(Ⅱ)求不等式|f()|>1的解集.5.【2015年新课标1文科24】已知函数f()=|+1|﹣2|﹣a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f()>1的解集;(Ⅱ)若f()的图象与轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.6.【2014年新课标1文科24】若a>0,b>0,且.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.7.【2013年新课标1文科24】已知函数f()=|2﹣1|+|2+a|,g()=+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f()<g()的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当∈[,]时,f()≤g(),求a的取值范围.8.【2012年新课标1文科24】已知函数f()=|+a|+|﹣2|①当a=﹣3时,求不等式f()≥3的解集;②f()≤|﹣4|若的解集包含[1,2],求a的取值范围.9.【2011年新课标1文科24】设函数f ()=|﹣a |+3,其中a >0.(Ⅰ)当a =1时,求不等式f ()≥3+2的解集(Ⅱ)若不等式f ()≤0的解集为{|≤﹣1},求a 的值.10.【2010年新课标1文科24】设函数f ()=|2﹣4|+1.(Ⅰ)画出函数y =f ()的图象:(Ⅱ)若不等式f ()≤a 的解集非空,求a 的取值范围. 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.求解的一般方法是去掉绝对值,也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,证明不等式为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈.(1)当2a =时,求不等式()2f x >的解集;(2)若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立,求实数a 的取值范围. 2.已知()221f x x x =-++.(1)求不等式()6f x <的解集;(2)设m 、n 、p 为正实数,且()3m n p f ++=,求证:12mn np pm ++≤.3.[选修4—5:不等式选讲]已知函数()|||2|(0)f x x m x m m =--+>.(1)当1m =,求不等式()1f x ≥的解集;(2)对于任意实数,x t ,不等式()21f x t t <++-恒成立,求实数m 的取值范围.4.选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-,其中0m >.(1)求m 的值;(2)若正数a ,b ,c 满足a b c m ++=,求证:2222b c a a b c++≥. 5.选修4-5:不等式选讲 已知函数()13f x x x a =+++(1)当1a =-时,解不等式()2f x ≥;(2)若存在0x 满足00()211f x x ++<,求实数a 的取值范围.6.已知函数()|2|f x ax =-.(Ⅰ)当4a =时,求不等式()|42|8f x x ++≥的解集;(Ⅱ)若[2,4]x ∈时,不等式()|3|3f x x x +-≤+成立,求a 的取值范围.7.已知函数()21f x x x a =-++,()2g x x =+.(1)当1a =-时,求不等式()()f x g x <的解集;(2)设12a >-,且当1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,()()f x g x ≤,求a 的取值范围. 8.已知函数()|2|f x x =-.(Ⅰ)求不等式()|1|f x x x <++的解集;(Ⅱ)若函数5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ,求实数a 的取值范围.9.已知函数()123f x x x =-+-.(Ⅰ)解关于x 的不等式()4f x ≤;(Ⅱ)若()20f x m m -->恒成立,求实数m 的取值范围.10.已知函数()211f x x x =-++.(Ⅰ)解不等式()3f x ≥;(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为m ,若,,a b c 均为正实数,且232a b c m ++=,求222a b c ++的最小值. 11.已知函数()12f x x a x =+++.(Ⅰ)求1a =时,()3f x ≤的解集;(Ⅱ)若()f x 有最小值,求a 的取值范围,并写出相应的最小值.12.选修4-5:不等式选讲已知函数()|23||1|f x x x =--+.(1)求不等式()6f x ≤的解集;(2)设集合M 满足:当且仅当x M ∈时,()|32|f x x =-,若,a b M ∈,求证:228223a b a b -++≤. 13.[选修4—5:不等式选讲]已知函数()31f x x m x m =----(1)若1m =,求不等式()1f x <的解集.(2)对任意的x R ∈,有()(2)f x f ≤,求实数m 的取值范围.14.已知()21f x x x =+-.(1)证明()1f x x +≥;(2)若,,a b c +∈R ,记33311134abc a b c +++的最小值为m ,解关于x 的不等式()f x m <. 15.选修4—5:不等式选讲已知函数()11f x x mx =++-,m R ∈。
十年高考真题(2011-2020)(北京卷)专题08不等式本专题考查的知识点为:不等式,历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为:不等式的性质,基本不等式,不等式的实际应用等,预测明年本考点题目会比较稳定,会有所变化,备考方向以不等式的性质及其实际应用为重点较佳.1.【2019年北京理科05】若x ,y 满足|x |≤1﹣y ,且y ≥﹣1,则3x +y 的最大值为( ) A .﹣7 B .1C .5D .72.【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :x 2+y 2=1+|x |y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是( )A .①B .②C .①②D .①②③3.【2017年北京理科04】若x ,y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x ,则x +2y 的最大值为( )A .1B .3C .5D .94.【2016年北京理科02】若x ,y 满足{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0,则2x +y 的最大值为( )A .0B .3C .4D .55.【2016年北京理科05】已知x ,y ∈R ,且x >y >0,则( )A .1x−1y>0 B .sin x ﹣sin y >0C .(12)x ﹣(12)y <0 D .lnx +lny >06.【2015年北京理科02】若x ,y 满足{x −y ≤0x +y ≤1x ≥0,则z =x +2y 的最大值为( )A .0B .1C .32D .27.【2014年北京理科06】若x ,y 满足{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0,且z =y ﹣x 的最小值为﹣4,则k 的值为() A .2B .﹣2C .12D .−128.【2013年北京理科08】设关于x ,y 的不等式组{2x −y +1>0,x +m <0,y −m >0表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0﹣2y 0=2,求得m 的取值范围是( ) A .(−∞,43) B .(−∞,13)C .(−∞,−23)D .(−∞,−53)9.【2019年北京理科14】李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. ①当x =10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为 . 10.【2018年北京理科12】若x ,y 满足x +1≤y ≤2x ,则2y ﹣x 的最小值是 .11.【2017年北京理科13】能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为 .1.若a ,b 是任意实数,且a >b ,则() A .a 2>b 2B .ba<1C .a −b >1D .(12)a <(12)b2.【2020届北京市丰台区高三一模】“x>1”是“1x<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.【2020届北京市顺义区高三第一次模拟】若b>a>1,则下列不等式一定正确的是()A.ab>2B.a+b<2C.1a <1bD.ba+ab>24.【北京市丰台区2018年高三年级一模】已知a<b<0,则下列不等式中恒成立的是A.1a >1bB.√−a<√−b C.2a>2b D.a3>b35.【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】已知a<b<0,则下列不等式成立的是()A.a2<b2B.a2<ab C.1a <1bD.ba<16.【2020届陕西省汉中市高三下学期第二次模拟】若a<b<0,则下列不等式不能成立的是()A.1a >1bB.1a−b>1aC.|a|>|b|D.a2>b27.【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】在各项均为正数的等比数列{a n}中,a6=3,则a4+ a8=()A.有最小值6B.有最大值6C.有最大值9D.有最小值38.【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知a>0,b>0,a+b=1,若α=a+1a ,β=b+1b,则α+β的最小值是()A.3B.4C.5D.69.【北京市一五九中学2019-2020学年高一第一学期期中】设x∈R,则“x>12”是“2x2+x−1>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.【2020届山西省高三(4月)适应性考试】已知a>0,b>0,m∈R,则“a≤b”的一个必要不充分条件是()A.a m≤b m B.am2≤bm2C.am2≤bm2D.a+m2≤b+m211.【北京市海淀区2019届高三第二学期期中练习(一模)】已知x>y,则下列各式中一定成立()A.1x <1yB.x+1y>2C.(12)x>(12)y D.2x+2−y>212.【2020届北京市西城区第十五中学高三模拟(一)】已知a、b∈R,且a>b,则()A.1a <1bB.sina>sinb C.(13)a<(13)b D.a2>b213.【北京市陈经纶中学2019-2020学年高一上学期期中】设a,b∈R且ab≠0,则ab>1是a>1b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要14.【2020届北京理工大附中高三上学期9月开学】“x>0,y>0”是“yx +xy≥2”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件15.【北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习】已知a,b,c∈R,给出下列条件:①a2>b2;②1a <1b;③ac2>bc2,则使得a>b成立的充分而不必要条件是()A.①B.②C.③D.①②③16.【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟(4月份)】设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则()A.a+b>c B.ab>c2C.a+b2>c D.1a+1b>2c17.【北京工业大学附属中学2018-2019学年度第一学期摸底】已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( )A.72B.4C.92D.518.【2020届北京市东城区高三一模】已知x<−1,那么在下列不等式中,不成立的是()A.x2−1>0B.x+1x<−2C.sinx−x>0D.cosx+x>0 19.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一20.【北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟】已知a>0,b>0,并且1a ,12,1b成等差数列,则a+9b的最小值为()A.16B.9C.5D.421.【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知x>0,y>0,且2x +1y=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是______.22.【北京五中2020届高三(4月份)高考数学模拟】若三角形三边成等比数列,则公比q的范围是____ _.23.【北京市西城区2017-2018学年高二下学期期末】已知x>1,则f(x)=x+1x−1的最小值是_________ _.24.已知x,y∈R+,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为____________________.25.若对任意x>−1,不等式x+1x2+2x+2≤a恒成立,则a的取值范围是______.26.若实数x,y满足xy=1,则x2+4y2的最小值为______.27.【2020届北京市丰台区高三一模】若x>1,则函数f(x)=x+1x−1的最小值为______,此时x=______.28.【浙江省绍兴一中2018届高三下学期5月高考模拟】已知x,y>0,且x+y+1x +12y=194,则3x−716y的最小值是________.29.已知首项与公比相等的等比数列{a n}中,若m,n∈N∗,满足a m a n2=a42,则2m +1n的最小值为__________.30.已知a , b∈R,且a−3b+6=0,则2a+18b的最小值为_____________.1.【2019年北京理科05】若x ,y 满足|x |≤1﹣y ,且y ≥﹣1,则3x +y 的最大值为( ) A .﹣7 B .1C .5D .7【答案】解:由{|x|≤1−y y ≥−1作出可行域如图,联立{y =−1x +y −1=0,解得A (2,﹣1),令z =3x +y ,化为y =﹣3x +z ,由图可知,当直线y =﹣3x +z 过点A 时,z 有最大值为3×2﹣1=5. 故选:C .2.【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :x 2+y 2=1+|x |y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是( )A .①B .②C .①②D .①②③【答案】解:将x 换成﹣x 方程不变,所以图形关于y 轴对称, 当x =0时,代入得y 2=1,∴y =±1,即曲线经过(0,1),(0,﹣1);当x >0时,方程变为y 2﹣xy +x 2﹣1=0,所以△=x 2﹣4(x 2﹣1)≥0,解得x ∈(0,2√33], 所以x 只能取整数1,当x =1时,y 2﹣y =0,解得y =0或y =1,即曲线经过(1,0),(1,1), 根据对称性可得曲线还经过(﹣1,0),(﹣1,1), 故曲线一共经过6个整点,故①正确. 当x >0时,由x 2+y 2=1+xy得x 2+y 2﹣1=xy ≤x 2+y 22,(当x =y 时取等),∴x 2+y 2≤2,∴√x 2+y 2≤√2,即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过√2,根据对称性可得:曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2;故②正确.在x 轴上图形面积大于矩形面积=1×2=2,x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=12×2×1=1,因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3,故③错误. 故选:C .3.【2017年北京理科04】若x ,y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x ,则x +2y 的最大值为( )A .1B .3C .5D .9【答案】解:x ,y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x的可行域如图:由可行域可知目标函数z =x +2y 经过可行域的A 时,取得最大值,由{x =3x =y ,可得A (3,3),目标函数的最大值为:3+2×3=9. 故选:D .4.【2016年北京理科02】若x ,y 满足{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0,则2x +y 的最大值为( )A .0B .3C .4D .5【答案】解:作出不等式组{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0对应的平面区域如图:(阴影部分).设z =2x +y 得y =﹣2x +z , 平移直线y =﹣2x +z ,由图象可知当直线y =﹣2x +z 经过点A 时,直线y =﹣2x +z 的截距最大, 此时z 最大.由{2x −y =0x +y =3,解得{x =1y =2,即A (1,2),代入目标函数z =2x +y 得z =1×2+2=4. 即目标函数z =2x +y 的最大值为4. 故选:C .5.【2016年北京理科05】已知x ,y ∈R ,且x >y >0,则( ) A .1x−1y >0 B .sin x ﹣sin y >0C .(12)x ﹣(12)y <0 D .lnx +lny >0【答案】解:∵x ,y ∈R ,且x >y >0,则1x<1y,sin x 与sin y 的大小关系不确定,(12)x <(12)y ,即(12)x −(12)y<0,lnx +lny 与0的大小关系不确定.故选:C .6.【2015年北京理科02】若x ,y 满足{x −y ≤0x +y ≤1x ≥0,则z =x +2y 的最大值为( )A .0B .1C .32D .2【答案】解:作出不等式组{x −y ≤0x +y ≤1x ≥0表示的平面区域,当l 经过点B 时,目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值=0+2×1=2. 故选:D .7.【2014年北京理科06】若x ,y 满足{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0,且z =y ﹣x 的最小值为﹣4,则k 的值为( )A .2B .﹣2C .12D .−12【答案】解:对不等式组中的kx ﹣y +2≥0讨论,可知直线kx ﹣y +2=0与x 轴的交点在x +y ﹣2=0与x 轴的交点的右边,故由约束条件{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0作出可行域如图,当y =0,由kx ﹣y +2=0,得x =−2k , ∴B (−2k ,0).由z =y ﹣x 得y =x +z .由图可知,当直线y =x +z 过B (−2k ,0)时直线在y 轴上的截距最小,即z 最小. 此时z min =0+2k=−4,解得:k =−12.故选:D .8.【2013年北京理科08】设关于x ,y 的不等式组{2x −y +1>0,x +m <0,y −m >0表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0﹣2y 0=2,求得m 的取值范围是( ) A .(−∞,43) B .(−∞,13)C .(−∞,−23)D .(−∞,−53)【答案】解:先根据约束条件{2x −y +1>0,x +m <0,y −m >0画出可行域,要使可行域存在,必有m <﹣2m +1,要求可行域包含直线y =12x ﹣1上的点,只要边界点(﹣m ,1﹣2m ) 在直线y =12x ﹣1的上方,且(﹣m ,m )在直线y =12x ﹣1的下方, 故得不等式组{m <−2m +11−2m >−12m −1m <−12m −1,解之得:m <−23. 故选:C .9.【2019年北京理科14】李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. ①当x =10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为 . 【答案】解:①当x =10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,可得60+80=140(元), 即有顾客需要支付140﹣10=130(元); ②在促销活动中,设订单总金额为m 元, 可得(m ﹣x )×80%≥m ×70%, 即有x ≤m8,由题意可得m ≥120, 可得x ≤1208=15,则x 的最大值为15元. 故答案为:130,1510.【2018年北京理科12】若x ,y 满足x +1≤y ≤2x ,则2y ﹣x 的最小值是 . 【答案】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 设z =2y ﹣x ,则y =12x +12z ,平移y =12x +12z ,由图象知当直线y =12x +12z 经过点A 时, 直线的截距最小,此时z 最小,由{x +1=y y =2x 得{x =1y =2,即A (1,2),此时z =2×2﹣1=3, 故答案为:311.【2017年北京理科13】能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为 .【答案】解:设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c ”是假命题, 则若a >b >c ,则a +b ≤c ”是真命题,可设a ,b ,c 的值依次﹣1,﹣2,﹣3,(答案不唯一), 故答案为:﹣1,﹣2,﹣31.若a ,b 是任意实数,且a >b ,则() A .a 2>b 2 B .ba<1C .a −b >1D .(12)a <(12)b【答案】D 【解析】A.取a =1,b =−2,则a 2<b 2,所以该选项错误;B.取a =−1,b =−2,则ba >1,所以该选项错误;C.取a =2,b =32,则a −b <1,所以该选项错误;D.由于指数函数y =(12)x 为R 上的减函数,∵a >b ,∴(12)a <(12)b ,所以该选项正确.故选:D.2.【2020届北京市丰台区高三一模】“x>1”是“1x<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解:因为1x <1等价于x−1x>0等价于x>1或x<0,又“x>1”是“x>1或x<0”的充分而不必要条件,即“x>1”是“1x<1”的充分而不必要条件,故选:A.3.【2020届北京市顺义区高三第一次模拟】若b>a>1,则下列不等式一定正确的是()A.ab>2B.a+b<2C.1a <1bD.ba+ab>2【答案】D【解析】因为:b>a>1对于A:当a=32,b=43,所以ab=32×43=2,故A错误;对于B:因为b>a>1,所以a+b>2,故B错误;对于C:因为b>a>1,所以0<1b <1a<1,故C错误;对于D:因为b>a>1,所以ba +ab≥2√ba⋅ab=2,又因为b>a>1,则ba ≠ab,故不取等,即ba+ab>2,故D正确;故选:D4.【北京市丰台区2018年高三年级一模】已知a<b<0,则下列不等式中恒成立的是A.1a >1bB.√−a<√−b C.2a>2b D.a3>b3【答案】A 【解析】构造函数y=1x 在(−∞,0)上是减函数,已知a<b<0,则1a>1b,故A正确;√−a>√−b,故B不正确;C构造函数y=2a是增函数,故2a<2b,故选项不正确;D.a3>b3,构造函数y=x3是增函数,故a3<b3,所以选项不正确.故答案为A.5.【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】已知a<b<0,则下列不等式成立的是()A.a2<b2B.a2<ab C.1a <1bD.ba<1【答案】D【解析】a2−b2=(a+b)(a−b)>0,∴a2>b2,所以A选项是错误的. a2−ab=a(a−b)>0,∴a2>ab.所以B选项是错误的.1 a −1b=b−aab>0,∴1a>1b.所以C选项是错误的.b a −1=b−aa<0,∴ba<1.所以D选项是正确的.故选:D.6.【2020届陕西省汉中市高三下学期第二次模拟】若a<b<0,则下列不等式不能成立的是()A.1a >1bB.1a−b>1aC.|a|>|b|D.a2>b2【答案】B 【解析】选项A:由于a<b<0,即ab>0,b−a>0,所以1a −1b=b−aab>0,所以1a>1b,所以成立;选项B:由于a<b<0,即a−b<0,所以1a−b −1a=ba(a−b)<0,所以1a−b<1a,所以不成立;选项C:由于a<b<0,所以−a>−b>0,所以|a|>|b|,所以成立;选项D:由于a<b<0,所以−a>−b>0,所以|a|>|b|,所以a2>b2,所以成立.故选:B.7.【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】在各项均为正数的等比数列{a n}中,a6=3,则a4+ a8=()A.有最小值6B.有最大值6C.有最大值9D.有最小值3【答案】A【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)∵a6=3∴a4=a6q2=3q2,a8=a6q2=3q2∴a4+a8=3q2+3q2≥2√3q2⋅3q2=6当且仅当3q2=3q2即q=1时上式等号成立本题正确选项:A8.【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知a>0,b>0,a+b=1,若α=a+1a ,β=b+1b,则α+β的最小值是()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】∵a>0,b>0,a+b=1,∴α+β=a+1a+b+1b=1+1ab≥1+1(a+b2)2=5,当且仅当a=b=12时取“=”号.答案:C9.【北京市一五九中学2019-2020学年高一第一学期期中】设x∈R,则“x>12”是“2x2+x−1>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得,不等式2x2+x−1>0,解得x<−1或x>12,所以“x>12”是“2x2+x−1>0”的充分而不必要条件,故选A.10.【2020届山西省高三(4月)适应性考试】已知a>0,b>0,m∈R,则“a≤b”的一个必要不充分条件是()A.a m≤b m B.am2≤bm2C.am2≤bm2D.a+m2≤b+m2【答案】C【解析】由题知a >0,b >0,a ≤b ⇔a m ≤b m ,故A 是“a ≤b ”的既不充分也不必要条件; 因为m 2≥0,所以1m 2>0(m ≠0),所以a ≤b ⇔am 2≤b m 2,故B 是“a ≤b ”的充要条件; 因为m 2≥0,所以a ≤b ⇒am 2≤bm 2, 若m 2=0,则am 2≤bm 2⇒a ≤b , 故C 是“a ≤b ”的必要不充分条件;a ≤b ⇔a +m 2≤b +m 2,故D 是“a ≤b ”的充要条件. 故选:C.11.【北京市海淀区2019届高三第二学期期中练习(一模)】已知x >y ,则下列各式中一定成立() A .1x <1y B .x +1y >2C .(12)x >(12)yD .2x +2−y >2【答案】D 【解析】x ,y 的符号不确定,当x =2,y =-1时,x >y , 对于A ,1x <1y 不成立,所以错误; 对于B 、x +1y =2−1=1>2也错;对于C ,y =(12)x 是减函数,所以,(12)x >(12)y 也错;对于D ,因为x −y >0,所以,2x +2−y ≥2√2x ·2−y =2√2x−y >2√20=2,正确, 故选D12.【2020届北京市西城区第十五中学高三模拟(一)】已知a 、b ∈R ,且a >b ,则() A .1a<1bB .sina >sinbC .(13)a <(13)bD .a 2>b 2【答案】C 【解析】对于A 选项,取a =1,b =−1,则a >b 成立,但1a >1b ,A 选项错误;对于B 选项,取a =π,b =0,则a >b 成立,但sinπ=sin0,即sina =sinb ,B 选项错误; 对于C 选项,由于指数函数y =(13)x 在R 上单调递减,若a >b ,则(13)a <(13)b ,C 选项正确;对于D选项,取a=1,b=−2,则a>b,但a2<b2,D选项错误.故选:C.13.【北京市陈经纶中学2019-2020学年高一上学期期中】设a,b∈R且ab≠0,则ab>1是a>1b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】D【解析】若“ab>1”当a=﹣2,b=﹣1时,不能得到“a>1b”,若“a>1b”,例如当a=1,b=﹣1时,不能得到“ab>1“,故“ab>1”是“a>1b”的既不充分也不必要条件,故选:D.14.【2020届北京理工大附中高三上学期9月开学】“x>0,y>0”是“yx +xy≥2”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】A【解析】当x>0,y>0时,由均值不等式yx +xy≥2成立.但yx+xy≥2时,只需要xy>0,不能推出x>0,y>0.所以是充分而不必要条件.选A.15.【北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习】已知a,b,c∈R,给出下列条件:①a2>b2;②1a <1b;③ac2>bc2,则使得a>b成立的充分而不必要条件是()A.①B.②C.③D.①②③【答案】C【解析】由①a2>b2,得:|a|>|b|,不一定有a>b成立,不符;对于②,当a=−1,b=1时,有1a <1b,但a>b不成立,所以不符;对于③,由ac2>bc2,知c≠0,所以,有a>b成立,当a>b成立时,不一定有ac2>bc2,因为c可以为0,符合题意;本题选择C选项.16.【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟(4月份)】设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则()A.a+b>c B.ab>c2C.a+b2>c D.1a+1b>2c【答案】C【解析】a>c,b>c,故a+b>2c,a+b2>c,故C正确;取a=−1,b=−1,c=−2,计算知ABD错误;故选:C.17.【北京工业大学附属中学2018-2019学年度第一学期摸底】已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( )A.72B.4C.92D.5【答案】C 【解析】由题意可得:y=1a+4b=12×(a+b)(1a+4b)=12×(5+ba+4ab)≥12×(5+2√ba×4ab)=92,当且仅当a=23,b=43时等号成立.即y=1a +4b的最小值是92.故选:C.18.【2020届北京市东城区高三一模】已知x<−1,那么在下列不等式中,不成立的是()A.x2−1>0B.x+1x<−2C.sinx−x>0D.cosx+x>0【答案】D【解析】∵x<−1,则x2−1=(x−1)(x+1)>0,x+1x +2=x2+2x+1x=(x+1)2x<0,又∵sinx、cosx∈[−1,1],∴sinx−x>0,cosx+x<0.可得:ABC成立,D不成立.故选:D.19.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一【答案】A【解析】正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,∴4=a+b≥2√ab,即ab≤4,当且仅当a=b=2时,“=”成立;又4= cd≤(c+d2)2,∴c+d≥4,当且仅当c=d=2时,“=”成立;综上得ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值都为2,选A.20.【北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟】已知a>0,b>0,并且1a ,12,1b成等差数列,则a+9b的最小值为()A.16B.9C.5D.4【答案】A【解析】根据题意,a>0,b>0,且1a ,12,1b成等差数列,则1a +1b=2×12=1;则a+9b=(a+9b)(1a +1b)=10+9ba+ab≥10+2√9ba×ab=16;当且仅当9ba =ab,即a=4,b=43时取到等号,∴a+9b的最小值为16;故选A.21.【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知x>0,y>0,且2x +1y=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是______.【答案】(−4,2)【解析】因为x +2y =(x +2y)(2x +1y )=4+4y x+xy≥4+2×2=8,要使x +2y >m 2+2m 恒成立,所以m 2+2m <8,解得−4<m <2. 故答案为:(−4,2).22.【北京五中2020届高三(4月份)高考数学模拟】若三角形三边成等比数列,则公比q 的范围是_____.【答案】(√5−12,1+√52);【解析】设三边:a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系:两短边和大于第三边a +b >c ,即 (1)当q ⩾1时a +qa >q 2a ,等价于解二次不等式:q 2−q −1<0, 由于方程q 2−q −1=0两根为:1−√52,1+√52,故得解:1−√52<q <1+√52且q ⩾1,即1⩽q <1+√52(2)当q <1时,a 为最大边,qa +q 2a >a 即得q 2+q −1>0, 解之得q >√5−12或q <−1+√52且q >0即q >√5−12综合(1)(2),得:q ∈(√5−12,1+√52)故答案为:(√5−12,1+√52)23.【北京市西城区2017-2018学年高二下学期期末】已知x >1,则f(x)=x +1x−1的最小值是__________. 【答案】3 【解析】 ∵x >1∴x −1>0由基本不等式可得,f(x)=x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)�1x−1+1=3, 当且仅当x −1=1x−1即x −1=1时,x =2时取等号“=” 答案为3.24.已知x,y ∈R +,且满足x3+y4=1,则xy 的最大值为____________________. 【答案】3 【解析】本题考查了基本不等式求最值,考查了同学们的转化能力.因为1=x 3+y 4≥2√x 3.y 4=2√xy 12=√xy3,所以xy ≤3,当且仅当x 3=y 4,即x =32,y =2时取等号,所以xy 的最大值为3. 25.若对任意x >−1,不等式x+1x 2+2x+2≤a 恒成立,则a 的取值范围是______. 【答案】[12,+∞) 【解析】因为x >−1,则x +1>0依题意得:设y =x+1x 2+2x+2=x+1(x+1)2+1=1(x+1)+1(x+1)所以y =(x +1)+1(x+1)≥2√(x +1)⋅1(x+1)=2 得y =1(x+1)+1x+1≤12,即y ⩽12当且仅当x +1=1x+1时,即x =0时,取得最大值为12, 又因为x+1x 2+2x+2≤a 恒成立,即y max ≤a ,得a ≥12, 故答案为:[12,+∞).26.若实数x ,y 满足xy =1,则x 2+4y 2的最小值为______. 【答案】4 【解析】若实数x,y 满足xy =1,则x 2+4y 2≥2⋅x ⋅2y =4xy =4, 当且仅当x =2y =±√2时,上式取得最小值4 故答案为:427.【2020届北京市丰台区高三一模】若x >1,则函数f(x)=x +1x−1的最小值为______,此时x =______. 【答案】32 【解析】f(x)=x −1+1x −1+1⩾2√(x −1)⋅1x −1+1=3 当且仅当x −1=1x−1,即x =2时,取等号 即函数f(x)=x +1x−1的最小值为3,此时x =2 故答案为:3;228.【浙江省绍兴一中2018届高三下学期5月高考模拟】已知x,y >0,且x +y +1x +12y =194,则3x −716y的最小值是________. 【答案】−14 【解析】因为x +y +1x +12y =194,所以3x −716y =3x −716y +x +y +1x +12y −194=x +4x +y +116y −194≥92−194=−14,当且仅当x =4x ,y =116y ,即x =2,y =14时,取等号.故答案为:−1429.已知首项与公比相等的等比数列{a n }中,若m ,n ∈N ∗,满足a m a n 2=a 42,则2m +1n 的最小值为__________. 【答案】1 【解析】设等比数列{a n }公比为q ,则首项a 1=q由a m a n 2=a 42得:a 1q m−1⋅(a 1q n−1)2=(a 1q 3)2 则:q m+2n =q 8∴m +2n =8∴2m +1n =18⋅(2m +1n )(m +2n)=18⋅(2+4n m +m n +2)=18⋅(4+4n m +mn) ∵m,n ∈N ∗∴4n m >0,mn>0 则4n m+m n≥2√4n m ⋅m n=4(当且仅当4n m =mn ,即2n =m 时取等号)∴(2m +1n )min =18×(4+4)=1 本题正确结果:130.已知a , b ∈R ,且a −3b +6=0,则2a +18b 的最小值为_____________.【答案】14 【解析】由a −3b +6=0可知a −3b =−6,且:2a +18b =2a +2−3b ,因为对于任意x ,2x >0恒成立,结合均值不等式的结论可得:2a +2−3b ≥2×√2a ×2−3b =2×√2−6=14.当且仅当{2a =2−3b a −3b =−6,即{a =−3b =1时等号成立.综上可得2a +18b 的最小值为14.。
专题08不等式历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2017 线性规划2017年新课标1文科07单选题2014 线性规划2014年新课标1文科11单选题2012 线性规划2012年新课标1文科05单选题2010 线性规划2010年新课标1文科11填空题2018 线性规划2018年新课标1文科14填空题2016 线性规划2016年新课标1文科16填空题2015 线性规划2015年新课标1文科15填空题2013 线性规划2013年新课标1文科14填空题2011 线性规划2011年新课标1文科14历年高考真题汇编1.【2017年新课标1文科07】设x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为()A.0 B.1 C.2 D.3【解答】解:x,y满足约束条件的可行域如图:,则z=x+y经过可行域的A时,目标函数取得最大值,由解得A(3,0),所以z=x+y的最大值为:3.故选:D.2.【2014年新课标1文科11】设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=()A.﹣5 B.3 C.﹣5或3 D.5或﹣3【解答】解:如图所示,当a≥1时,由,解得,y.∴.当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7,∴,化为a2+2a﹣15=0,解得a=3,a=﹣5舍去.当a<1时,不符合条件.故选:B.3.【2012年新课标1文科05】已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=﹣x+y的取值范围是()A.(1,2)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,1)【解答】解:设C(a,b),(a>0,b>0)由A(1,1),B(1,3),及△ABC为正三角形可得,AB=AC=BC=2即(a﹣1)2+(b﹣1)2=(a﹣1)2+(b﹣3)2=4∴b=2,a=1即C(1,2)则此时直线AB的方程x=1,AC的方程为y﹣1(x﹣1),直线BC的方程为y﹣3(x﹣1)当直线x﹣y+z=0经过点A(1,1)时,z=0,经过点B(1,3)z=2,经过点C(1,2)时,z=1∴故选:A.4.【2010年新课标1文科11】已知▱ABCD的三个顶点为A(﹣1,2),B(3,4),C(4,﹣2),点(x,y)在▱ABCD的内部,则z=2x﹣5y的取值范围是()A.(﹣14,16)B.(﹣14,20)C.(﹣12,18)D.(﹣12,20)【解答】解:由已知条件得⇒D(0,﹣4),由z=2x﹣5y得y,平移直线当直线经过点B(3,4)时,最大,即z取最小为﹣14;当直线经过点D(0,﹣4)时,最小,即z取最大为20,又由于点(x,y)在四边形的内部,故z∈(﹣14,20).如图:故选B.5.【2018年新课标1文科14】若x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最大值为.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由z=3x+2y得y x z,平移直线y x z,由图象知当直线y x z经过点A(2,0)时,直线的截距最大,此时z最大,最大值为z=3×2=6,故答案为:66.【2016年新课标1文科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【解答】解:(1)设A、B两种产品分别是x件和y件,获利为z元.由题意,得,z=2100x+900y.不等式组表示的可行域如图:由题意可得,解得:,A(60,100),目标函数z=2100x+900y.经过A时,直线的截距最大,目标函数取得最大值:2100×60+900×100=216000元.故答案为:216000.7.【2015年新课标1文科15】若x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z,由图可知,当直线y=﹣3x+z过B(1,1)时,直线在y轴上的截距最大,此时z有最大值为3×1+1=4.故答案为:4.8.【2013年新课标1文科14】设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为.【解答】解:不等式组表示的平面区域如图所示,由得A(3,3),z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z,z最大时,y值最小,即:当直线z=2x﹣y过点A(3,3)时,在y轴上截距最小,此时z取得最大值3.故答案为:3.9.【2011年新课标1文科14】若变量x,y满足约束条件,则z=x+2y的最小值为.【解答】解:在坐标系中画出约束条件的可行域,得到的图形是一个平行四边形,目标函数z=x+2y,变化为y x,当直线沿着y轴向上移动时,z的值随着增大,当直线过A点时,z取到最小值,由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A(4,﹣5)∴z=4+2(﹣5)=﹣6故答案为:﹣6.考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:不等关系与不等式,一元二次不等式及其解法,二元一次不等式组与简单的线性规划问题,基本不等式及其应用等.历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为:一元二次不等式及其解法,二元一次不等式组与简单的线性规划问题,基本不等式及其应用等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点一元二次不等式及其解法,二元一次不等式组与简单的线性规划问题,基本不等式及其应用等为重点较佳.最新高考模拟试题 1.已知,13x y ≤-≤,则182yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是( ) A .82,2⎡⎤⎣⎦B .81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .72,2⎡⎤⎣⎦D .71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 令则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩,∴12s t =⎧⎨=⎩, 又,…∴①13x y ≤-≤,∴…②∴①+②得.则.故选C .2.已知点()2,1A ,动点(),B x y 的坐标满足不等式组,设z 为向量OB uuu v 在向量OA u u u v方向上的投影,则z 的取值范围为( ) A .B .C .[]2,18D .[]4,18【答案】A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:则(),OB x y =u u u v , ()2,2OA =u u u v,则OB uuu v 在向量OA u u u v方向上的投影为,设2u x y =+,则2y x u =-+,平移直线2y x u =-+,由图象知当直线2y x u =-+经过点()02,B 时直线的截距最小, 此时2u =,当直线2y x u =-+经过D 时,直线2y x u =-+的截距最大,由,得66x y =⎧⎨=⎩,即()6,6D ,此时.即218u ≤≤,则,即,即z 的取值范围是,故选:A .3.已知实数x ,y ,满足约束条件,若2z x y =-+的最大值为( )A .-6B .-4C .2D .3【答案】C 【解析】解:由z =﹣2x +y ,得y =2x +z ,作出不等式对应的可行域(阴影部分),平移直线y =2x +z ,由平移可知当直线y =2x +z ,经过点A 时,直线y =2x +z 的截距最大,此时z 取得最大值,由,解得()1,4A .将A 的坐标代入z =﹣2x +y ,得z =2,即目标函数z =﹣2x +y 的最大值为2.故选:C .4.若直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点,则实数k 的取值范围是( )A .(],1-∞B .[]0,2C .[]2,1-D .(]2,2-【答案】B 【解析】画出不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域,如下图所示直线()1y k x =+过定点(1,0)A -要使得直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点则0AC k k #[]0,2k ∴∈.故选B5.已知,x y 满足约束条件,则2z x y =+ 的最大值与最小值之和为( )A .4B .6C .8D .10【答案】C 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数即:2y x z =-+,其中z 取得最大值时,其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大, 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,2B 处取得最大值, 据此可知目标函数的最大值为:,其中z 取得最小值时,其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小, 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值, 联立直线方程:,可得点的坐标为:()0,2A ,据此可知目标函数的最小值为:.综上可得:2z x y =+ 的最大值与最小值之和为8.故选:C . 6.设,则( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】 因为,所以,因为,而,所以,即可得0>+n m ,因为,所以,所以,故选B.7.若x ,y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =+的最大值是( )A .8B .4C .2D .6【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示:由4y xx y =⎧⎨+=⎩,解得(2,2)A ,由2z x y =+,得,平移直线,由图象可知当直线经过点A ,直线的截距最大,此时z 最大,此时6z =, 故选:D .8.“2a =”是“0x ∀>,1x a x+≥成立”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】0x ∀>Q 时,12x x +≥, ∴“0x ∀>,1x a x+≥”等价于2a ≤,而2a =可推出2a ≤,2a ≤不能推出2a =, 所以“2a =”是“0x ∀>,1x a x+≥”成立的充分不必要条件,故选A. 9.已知函数,若f (a )=f (b ),则a+2b 的取值范围为( )A .(4,+∞)B .C .[6,+∞)D .(4,322]+【答案】B 【解析】∵函数f (x )=|ln (x ﹣1)|,f (a )=f (b ),且x >1,不妨设a b <,则.∴﹣ln (a ﹣1)=ln (b ﹣1),∴11a -=b ﹣1,∴b=11a -+1, ∴a+2b=a+,当且仅当a =2+1取等号,∴a+2b 的取值范围是故选:B .10.已知正项等比数列{a n }满足:a 7=a 6+2a 5,若存在两项a m 、a n ,使得a m a n =16a 12,则1m +9n的最小值为( ) A .32B .83C .114D .不存在【答案】C 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ,且q >0,由a 7=a 6+2a 5得:a 6q=a 6+62a q, 化简得,q 2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去), 因为a m a n =16a 12,所以=16a 12,则qm+n-2=16,解得m+n=6,所以.当且仅当9n m m n =时取等号,此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 因为mn 取整数,所以均值不等式等号条件取不到,则1983m n +>, 验证可得,当m=2、n=4时,19m n+取最小值为114,故选:C .11.若正数,m n 满足21m n +=,则11m n+的最小值为( ) A .322+ B .32+C .222+D .3【答案】A 【解析】由题意,因为21m n +=, 则,当且仅当2n m m n =,即2n m =时等号成立, 所以11m n+的最小值为322+,故选A.12.若实数满足,则的最大值是()A.-4 B.-2 C.2 D.4【答案】B【解析】由题得 (当且仅当x=y=-1时取等)所以,所以x+y≤-2.所以x+y的最大值为-2.故选:B13.已知,则取到最小值时()A.B.C.D.【答案】D【解析】由,可得.所以,当时等号成立,解得.所以取到最小值时.故选D.14.已知函数,若,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题可知:令又于是有因此所以当且仅当时取等号本题正确选项:15.在平面直角坐标系中,分别是轴正半轴和图像上的两个动点,且,则的最大值是A.B.C.4 D.【答案】D【解析】设M(m,0),N(n,n),(m,n>0).∵,∴,∴,当且仅当时取等号.可得:则∴的最大值是.故选:D.16.定义:区间的长度均为,若不等式的解集是互不相交区间的并集,设该不等式的解集中所有区间的长度之和为,则()A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,【答案】B【解析】当m>0时,∵0⇔0,令f(x)=mx2﹣(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1,x2,且x1<x2,则0,且x1+x2,∵f(1)=m﹣3﹣3m+2m+4=1>0,f(2)=4m﹣6﹣6m+2m+4=﹣2<0,∴1<x1<2<x2,所以不等式的解集为(1,x1]∪(2,x2],∴l=x1﹣1+x2﹣2=x1+x2﹣3=3,故选:B.17.关于的不等式的解集为,则的取值范围为()A. B. C. D.【答案】D【解析】当时,,若,则原不等式可化为,显然恒成立;若,则原不等式可化为不是恒成立,所以舍去;当时,因为的解集为,所以只需,解得;综上,的取值范围为:.故选D18.若关于x的不等式上恒成立,则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解:关于x的不等式上恒成立,等价于,当时,成立,当时,,即,因为恒成立,所以,故选:A.19.已知函数的导函数为的解集为,若的极小值等于-98,则a的值是()A.- B. C.2 D.5【答案】C【解析】由题意,,因为的解集为,所以,且,则,的极小值为,解得,故答案为C.20.在R上定义运算 :,若不等式对任意实数x恒成立,则实数a 的取值范围为()A .11a -<<B .1322a -<< C .3122a -<< D .02a <<【答案】B 【解析】由题意,可知不等式对任意实数x 都成立, 又由,即对任意实数x 都成立,所以,即,解得1322a -<<, 故选B 。