李群李代数在机构学中的应用简析

李群指数映射-回复【李群指数映射】是什么？李群是一类具有光滑结构的数学对象，其具有群和流形的特点。

在数学领域，李群是群论和微分几何的交叉点，被广泛应用于物理学、几何学、控制论及其他领域的研究中。

指数映射则是李群中的一个重要概念，用于将李代数的元素映射到李群中的元素，从而建立了李群和李代数之间的关系。

一个李代数是一个向量空间，其中的元素可以通过李群的指数映射来定义。

指数映射将李代数中的元素映射到李群中，允许我们将对应于李代数的局部性质推广到对应于李群的全局性质。

通过指数映射，我们可以将李群中的元素表示为一个单位元与李代数元素的指数乘法。

具体来说，假设G是一个Lie群，e是其单位元，而g是与G相关的李代数。

那么指数映射给出了从李代数中的元素到李群中的元素的映射。

对于一个给定的李代数元素X，它的指数映射由以下公式给出：exp(X) = e^(X)其中，e^(X)代表X的指数。

指数映射的一个关键性质是李群的一个邻域中的每个元素都可以表示为指数映射的形式。

这意味着，通过指数映射，我们可以通过李代数的性质来推导和研究李群的性质，从而简化了对李群的研究。

此外，指数映射还具有可微性质，这在应用数学和数学物理中起到了重要的作用。

指数映射在物理学中有着广泛的应用，特别是在量子力学和相对论等领域。

在量子力学中，指数映射被用于描述量子力学中的对称群。

在相对论中，指数映射则被用于描述相对论中的对称性和场方程。

此外，指数映射还在控制理论和机器人学中发挥作用，用于描绘机器人在二维和三维空间中的运动。

综上所述，【李群指数映射】是李群中的一个重要概念，用于将李代数的元素映射到李群中的元素。

指数映射不仅简化了对李群的研究，还在物理学等领域有着广泛的应用。

它是群论和微分几何的交叉点，为我们理解和应用李群提供了有力的工具。

李代数求导引言李代数是数学中的一个重要分支，它研究代数结构和线性变换之间的关系。

在数学和物理学中，我们经常需要对李代数进行求导。

本文将介绍李代数求导的相关概念及其应用。

李代数的基本概念回顾在开始讨论李代数的求导问题之前，我们需要回顾一些李代数的基本概念。

定义李代数是一个定义在域上的向量空间，同时还有一个满足结合律和雅可比恒等式的二元运算（通常是李括号运算）。

一个李代数由两个主要部分组成，一个是向量空间和它上面的加法运算，另一个是李括号运算。

李括号运算李括号运算是李代数的核心运算，它定义了代数结构中的乘法。

对于两个向量 x和 y，它们的李括号运算 [x, y] 是一个新的向量，它满足结合律和雅可比恒等式。

李代数的例子常见的李代数包括矩阵李代数、李群的切空间等。

矩阵李代数由实数上的方阵以及矩阵的李括号运算组成，是最常见的例子之一。

李代数的求导问题在许多数学和物理问题中，我们需要对李代数进行求导。

求导可以帮助我们了解李代数的变化以及变化的规律，从而进一步深入研究李代数的性质和应用。

李代数的导子李代数的导子是一个满足莱布尼茨律的线性算子，在李代数上进行求导操作。

对于李代数中的一个元素，它的导子可以描述其在变化过程中的速度和方向。

李代数的导子计算求解李代数的导子可以通过计算李括号运算来实现。

具体而言，对于李代数中的两个元素 x 和 y，它们的导子 [x, y] 可以通过求解李括号运算得到。

这种方法被称为结构常数法。

李代数求导的应用李代数的求导技术在许多领域有着广泛的应用，下面介绍一些主要的应用领域。

物理学中的应用李代数求导常常用于物理学中的对称性研究。

对称性在物理学中具有重要意义，李代数求导可以帮助我们研究物理系统中的对称性变化和守恒量的存在。

控制论中的应用在控制论中，李代数求导常用于研究动态系统的稳定性和控制方法。

通过对李代数的求导，我们可以得到系统状态的变化规律，从而设计出合适的控制策略。

计算机图形学中的应用在计算机图形学中，李代数求导常用于研究物体的变形和动画效果。

李群三定理
李群三定理是李群理论中的重要结果，它包括李群局部同构定理、李群李代数同构定理以及李群伴随表示定理。

其中，李群局部同构定理指出：任意一点处的李群都与某个局部同构于其Lie代数的开集相同构。

李群李代数同构定理则是指：任意一个实、复李群的李代数都与一个唯一的实、复李代数同构。

而李群伴随表示定理则是指：李群的伴随表示与其Lie代数的导子表示同构。

这些定理为研究李群及其表示提供了非常重要的工具和方法，深刻影响了许多数学分支。

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李代数举例李代数是数学中的一个重要分支，它研究的是一个给定集合上的一种代数结构。

在李代数中，集合上定义了一个二元运算，通常是一个乘法运算，满足结合律、分配律等性质。

下面我们将列举一些例子来说明李代数的应用和性质。

1. 矩阵李代数：矩阵是线性代数中的基本概念之一，它也可以构成一个李代数。

以n阶实或复方阵为集合，矩阵的乘法运算满足结合律和分配律，同时矩阵乘法也满足李代数的定义条件，因此矩阵可以看作是一个李代数。

2. 矩阵Lie代数：矩阵Lie代数是李代数中的一个重要分支，它研究的是一类特殊的李代数。

在矩阵Lie代数中，集合上的乘法运算是矩阵的乘法，同时还满足一些额外的性质，如李括号运算等。

矩阵Lie代数在物理学和几何学中有广泛的应用。

3. 线性李代数：线性代数是现代数学的基础学科，它研究的是线性空间和线性变换等概念。

在线性代数中，可以定义线性李代数，它是一个线性空间上的李代数。

线性李代数在量子力学和场论等领域中有广泛的应用。

4. 群李代数：群是一种抽象的代数结构，它由一个集合和一个二元运算构成，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

在群论中，可以定义群李代数，它是一个群上的李代数。

群李代数在数学和物理学中有重要的应用。

5. 李代数的表示论：李代数的表示论是研究李代数的表示的数学理论。

在李代数的表示论中，可以研究李代数的不可约表示、完全约化表示等概念，这些概念在量子力学和粒子物理学等领域中有广泛的应用。

6. 李代数的流形：流形是微分几何学中的一个重要概念，它是一个局部与欧几里德空间同胚的空间。

在李代数中，可以定义李群和李代数的流形，它们在几何学和拓扑学中有重要的应用。

7. 李代数的Coxeter群：Coxeter群是一个抽象的代数结构，它由一组生成元和一组关系构成。

在李代数中，可以定义李代数的Coxeter群，它在代数学和几何学中有广泛的应用。

8. 李代数的表示：李代数的表示是研究李代数上的线性表示的数学理论。

lie定理Lie定理是描述李代数和李群之间关系的重要定理之一。

它由挪威数学家Marius Sophus Lie于19世纪末提出，并成为现代数学中重要的研究工具和理论基础。

Lie定理的核心思想是将李代数与李群联系起来，通过李代数的结构来研究李群的性质。

一、李代数的定义和基本性质在介绍Lie定理之前，我们首先需要了解李代数的基本定义和性质。

李代数是一个与实数或复数域上的线性空间V以及V上的一个二元运算[ , ] 相关的代数结构。

李代数满足以下四个性质：1. 封闭性：对于任意的A，B∈V，[A, B]∈V。

2. 反对称性：对于任意的A，B∈V，[A, B] = -[B, A]。

3. Jacobi恒等式：对于任意的A，B，C∈V，有[[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0。

4. 线性性：对于任意的A，B∈V和c∈实数或复数域，有[cA,B] = c[A, B]和[A, cB] = c[A, B]。

这些性质可以直观地理解为李代数上的“加法”和“乘法”运算。

加法运算就是将两个向量进行线性组合，而乘法运算则是通过李括号[ , ]将两个向量映射为另一个向量。

二、李群的定义和性质李群是一个既是连通流形又是群的对象。

李群和李代数之间的关系可以通过指数映射和对数映射来描述。

1. 指数映射：对于任意的李代数元素X∈V，指数映射exp：V→G将李代数元素X映射到李群元素g∈G，即g = exp(X)，其中exp(X)定义为李级数的形式exp(X) = e^X = ∑_(n=0)^(∞) X^n / n!。

2. 对数映射：对于任意的李群元素g∈G，对数映射log：G→V将李群元素g映射到李代数元素X∈V，即X = log(g)，其中log(g)定义为满足exp(X) = g的李代数元素X的集合。

指数映射和对数映射为李群和李代数之间的演算提供了数学方法和操作。

三、Lie定理的内容Lie定理是指在李群G上，通过指数映射和对数映射可以建立李群G和李代数V之间的一对一对应关系。

微分方程李群理论的一些探索与应用的开题报告题目：微分方程李群理论的一些探索与应用背景和意义：微分方程作为数学中的重要分支，具有广泛的应用，例如在物理、工程、生物和经济等学科中。

其中一个重要的问题是给定微分方程的一些解，能否找到更多的解。

传统的方法是通过变量分离、变量替换和对称性等技巧求解微分方程。

然而，这些方法在一些情况下并不适用或者效果不好。

李群理论是一种基于对称性的数学理论，可以用来研究各种问题，包括微分方程。

通过将微分方程看作李群的作用于空间上的一组变换，李群理论可以提供一种更加通用的方法来求解微分方程，并且可以通过对称性来得到更多的解。

目标和方法：本课题旨在对微分方程李群理论进行一些探索和应用。

具体来说，我们会研究以下问题：1. 李群与微分方程的关系：研究李群和微分方程之间的联系，理解如何利用李群理论来求解微分方程。

2. 变换群的生成元和Lie代数：通过变换群的生成元，我们可以将变换群转化为李代数。

这个过程提供了一个将对称性转化为代数结构的方法。

3. 应用实例：通过实例来说明李群理论的应用，例如对Navier-Stokes方程的求解，以及对各种物理问题中的对称性的研究。

本课题的方法主要包括理论分析和数值计算。

我们将研究李群的基本性质和与微分方程的关系，尝试寻找一些新的解决微分方程的方法。

我们还会使用数值计算的方法来验证理论分析的结果，并实现一些实际问题的求解。

计划和预期成果：我们将在一个学期的时间内完成以下计划：1. 第1-2周：学习李群和李代数的基本概念，建立与微分方程的联系。

2. 第3-5周：学习李群论在解微分方程中的应用方法，包括基础的变换群生成元的求解。

3. 第6-8周：学习李群的Lie代数，以及如何将变换群转化为李代数。

4. 第9-10周：研究一些典型的微分方程，例如Navier-Stokes方程，并尝试使用李群理论求解。

5. 第11-13周：研究物理问题中的对称性，并使用李群理论研究这些问题。

保积hom-李代数的结构
李代数是抽象代数学中的一个重要概念，它是一组具有特殊结构的对象的集合。

这种特殊的结构涉及到结合律、群的存在以及元素的组合逻辑。

《库尔兹穆尔》是该理论的最早部分，并成功应用于数学和物理领域，从而开辟了布拉格-格里高利和铃木群等新领域。

李代数的结构之一是群，它是一种带有结合律的结构，换言之，如果两个对象存在于李代数中，则它们可以通过某种运算结合得到一个新的对象，而这个新对象也存在于该李代数中。

此外，群还具有各种单位元，即满足一定条件的对象，任何其他对象均可与单位元进行结合。

李代数还具有一种特殊的结构叫做元素的组合逻辑。

它使得可以从任意给定元素中找出新的元素，因此可以将更多的元素添加到李代数中。

另外，通过组合元素，可以使得之前被认为不同的元素变得更相似，这样一来可以更好地理解和分析数学概念的内涵。

由此可见，李代数的结构具有重要的理论价值和实际用途。

它将关联群论与元素的组合逻辑结合起来，极大地丰富了数学的理论框架，使数学的研究变得更为深入。

李代数的结构也为更多的应用提供了必要的基础。

现代数学基础旋量代数与李群李代数课程设计简介本课程设计旨在介绍现代数学基础中的两个概念：旋量代数和李群李代数。

这两个概念被广泛应用于物理学、工程学等多个领域中，具有非常重要的理论和实践价值。

本课程设计分为三个章节，分别介绍旋量代数和李群李代数的基础概念、相关理论和应用。

第一章：旋量代数基础1.1 旋量概念引入旋量的概念是为了处理空间旋转等操作的数学实体。

旋量在物理学中是非常重要的，它是描述自旋的数学对象，因此在粒子物理学中的应用广泛。

1.2 外积代数外积代数是处理向量积运算的数学工具，它将向量积运算的结果抽象成外积，从而方便研究。

1.3 旋量代数旋量代数是一种将旋量和外积代数联系起来的代数结构，它常用于处理多种旋转操作。

第二章：李群李代数基础2.1 李群概念李群是一种连续的群，它在现代数学和物理学中具有广泛的应用。

本章将介绍李群的基本概念和相关内容。

2.2 李代数概念李代数是与李群相关的一种代数结构，本章将介绍李代数的定义和性质。

第三章：旋量代数和李群李代数的应用3.1 量子力学中的旋量代数在量子力学中，旋量代数是处理自旋的重要数学工具。

本章将介绍如何应用旋量代数研究量子力学中的自旋现象。

3.2 非线性控制理论中的李群和李代数在非线性控制理论中，李群和李代数被广泛应用于处理非线性系统的控制问题。

本章将介绍如何应用李群和李代数研究非线性控制问题。

3.3 其他应用旋量代数和李群李代数在物理学、工程学等多个领域中都有广泛的应用，本章将介绍一些其他的应用。

结论本课程设计介绍了现代数学基础中的两个概念：旋量代数和李群李代数。

这两个概念在物理学、工程学等多个领域中有着广泛的应用，对于理论和实践都有重要的价值。

本课程设计分为三个章节，通过详细介绍旋量代数、李群李代数的基础知识及其应用，使学生能够深入理解旋量代数和李群李代数的基本概念及其应用方法，从而为其未来的学习和研究打下坚实的基础。

第33卷　第7期2010年7月计 算 机 学 报CH IN ESE JOU RNA L OF COM PUTE RSVo l .33N o .7July 2010收稿日期:2009-03-09;最终修改稿收到日期:2010-06-21.本课题得到国家自然科学基金(60775045)资助.李凡长,教授,主要研究领域为李群机器学习、人工智能、数据挖掘等.E -m ail :lfzh @suda .edu .cn .何书萍,助教,主要研究方向为李群机器学习、人工智能等.钱旭培,讲师,主要研究方向为李群机器学习、人工智能等.李群机器学习研究综述李凡长　何书萍　钱旭培(苏州大学计算机科学与技术学院机器学习与数据分析研究中心　苏州　215006)摘　要　文中简述了李群机器学习的相关研究内容,包括李群机器学习的概念、公理假设、代数学习模型、几何学习模型、Dy nkin 图的几何学习算法、量子群、辛群分类器的设计、轨道生成学习算法等.关键词　李群机器学习;公理假设;李群;分类器中图法分类号T P 18 D OI 号:10.3724/S P .J .1016.2010.01115Survey on Lie Group Machine LearningLI Fan -Zhang H E Shu -Ping Q IAN Xu -Pei(S chool o f Com puter S cience and Technolog y ,Machine Learning and Data Ana lysis ,Research Center ,Soochow University ,S uzhou 215006)A bstract This pape r sum marizes the relevant research of Lie g roup machine learning ,including :conceptio ns of Lie g roup machine learning ,assumption axio ms ,algebra learning m odel ,geomet -ric learning mo del ,geometric learning algorithms o f Dy nkin diag ram ,learning algo rithms of o r -bits generated and so o n .Especially ,this pape r gives o ut specific desig n of quantum group classi -fier and sym pletic g roup classifier .Keywords Lie group machine learning ;assum ption axiom ;Lie g roup ;classifier1　引　言李群机器学习(Lie Gro up M achine Learning ,LM L )作为机器学习领域的一种新的学习方法,一方面继承流形学习的优点,另一方面借用李群的思想,形成了具有创新特色的学习范式.自2004年提出至今[1-47],已引起加拿大、爱尔兰、芬兰、意大利、美国等国内外同行的广泛关注.该方法和流形学习方法相比有明显优势,从李群的概念可以看出,它包含了微分流形和群的内容;微分流形包含了拓扑流形和微分结构.这套理论系统,既给我们提供了描述数据的几何表示方法,又给出了具体的代数求解方案.如:群保持了系统的完备性,微分提供了具体的代数计算方法,流形给出了几何表示方法,这正符合认知理论中的定性和定量表示相结合的认知模式.另外,从认知过程来看,人脑在认识客观世界中的任何对象时,首先关注的是表征问题的一个稳定点,然后依次进行分析图像的结构.对这种认知模式,在李群结构中,最小生成元就是这个稳定点,只要找到这个最小生成元,就可以利用李群方法对图像进行分析了.因此,李群机器学习既符合学习认知规律,又满足计算机解决现实问题的条件.文献[31]提出了基于李群理论的一个贝叶斯方法来学习视觉感知,运用基于指数矩阵的图形生成模型,从包含极小变换的输入数据得到一个学习李群算子的非监督学习算法.文献[32]使用运动表示的内在李群结构来求平均,用特殊正交群SO (3)和特殊欧几里得群SE (3)的李代数来定义李群上的平均值.提出了全局相容运动估计的李代数求均值法,此方法能够线性计算所有可能的相对运动以及对运动估计快速求平均.文献[33]提出了一种新的二维轮廓的不变特征不变信号.它是对在从李群变换群中得到的许多变换下的轮廓不变程度的度量,其中李群理论提供了在一个变换动作下,点位置的局部变换和此变换的全局描述的一种联系,并提供了自然的起始点,说明了不变信号在转移、旋转和轮廓缩放后本身保持不变.文献[34]用李群方法来寻找特征空间中的健壮和稳定特性,提出了基于李群理论的支配子空间不变量的概念和拟不变量的一种特殊类型,并给出了支配子空间不变量(DS I)算法.文献[35]给出了一种由有噪声的二维图像流对三维刚体运动进行神经计算的新方法.将对三维图像流解释看成是一个线性信号变换,由神经网络来执行,其基本信号是三维欧几里得群的6个极小生成子的二维矢量场.神经网络模拟结果表明,在随机噪声导致传统的代数方法失败时,此方法仍能保证其可靠性.文献[36]给神经系统的权空间赋予了一个特殊李群结构,用李群的微分几何结构来学习这些属性并揭露不同学习方法间内在属性的联系,从而提出了基于李群的非监督神经学习.文献[37]提出了在Stiefel 流形上基于测地线和接近于测地线的曲线簇(拟测地线)的新的神经网络学习算法,详细地解释了李群本身的梯度和测地线如何导出其在齐性空间上的对应,强调了李群而非正规化约束在这个流形上的作用.文献[38]提出了图像分析中的约束主轮廓进化的李群方法.在此方法中,使用平面作用的李群及其极小生成子的李代数的对应关系适当地调整欧拉-拉格朗日下降方法,以此保证在保持原函数的下降方程不变时,曲线进化发生在被选变换群的轨道上,此方法的优点在于无需任何修改就能直接实现曲线进化,在许多跟综和分割的应用中起到了重要作用.文献[39]引入一个能够在分布式控制网络上执行的线性算子类,称为回归正交变换(ROTS).RO TS可以表示特殊正交群SO(n)(n≥4),通过对其对应的内在的李群结构中提取梯度流来找到一个适合工作的ROT.文献[40-54]提出了新的度量学习问题的框架结构,将候选度量集限制在一个参数族中,此度量是在一个李群变换下的模糊的信息量的拖回度量.文献[41]提出了机器学习中的群论和非交换调和分析相结合的一种学习问题研究框架,给出了群作用下核不变量的对称理论、在傅立叶谱下群定向核的转换不变量的特性及置换学习的Permceptron算法等相关内容.本文第2节介绍李群机器学习的基本概念;第3节介绍李群机器学习的公理假设;第4节介绍李群机器学习的学习模型;第5节介绍李群机器学习中的Dynkin图几何学习算法;第6节介绍李群机器学习的分类器设计;第7节介绍李群机器学习子空间轨道生产学习算法;第8节给出结论与展望.2　李群机器学习的基本概念先对李群做些说明.定义1.　设G是一个非空集合,满足(1)G是一个群;(2)G也是一个微分流形;(3)群的运算是可微的,即由G×G到G的映射(g1,g2)g1g-12是可微的映射.则称G是一个李群(Lie g ro up).从李群的定义可以看出:李群既是一个群,同时也是一个微分流形.我们知道,流形是点、线、面以及各种高维连续空间概念的推广,而我们在用机器学习方法分析数据时,所有观测数据都是可以和点、线、面等结构建立起对应关系的.从流形的角度,文献[1-8]给出了大量的工作.李群是一种特殊流形,已被物理学家、化学家广泛使用,这充分说明在大量的物理、化学数据中蕴涵李群规律,因此,用李群方法去分析这些数据的规律已成为一种必然.所以,文献[10-12]充分应用计算机科学与人工智能技术方法从机器学习角度出发,引进李群理论,给出了一种机器学习新方法,即李群机器学习的基本概念,为处理这些复杂的数据提供了新途径.定义2(李群机器学习).　一般用G表示输入空间,M表示输出空间.令G D,M d,D>d,借用李群的定义将G对M的左作用可用如下映射φ表示:φ:G×M※M,满足:(1)对于所有的x∈M,φ(e,x)=x;(2)对于所有的g,h∈G和x∈M,φ(g,φ(h,x))=φ(gh,x).右作用是满足条件ψ(e,x)=x和ψ(ψ(x, g),h)=ψ(x,gh)的一个映射ψ:M×G※M.定义3(轨道的定义).　若φ表示G在M上作用并且x∈M,则x的轨道定义如下:Orb(x)={φg(x)g∈G}M,在有限维情形,Orb(x)是M的浸入子流形.对于1116计 算 机 学 报2010年x ∈M ,φ在x 处的稳定(或对称)群由G x =def{g ∈G φg (x )=x } G给出,并且G x 是一个李子群.Orb (x )的流形结构由要求双射[g ]∈G /G x g ·x ∈Orb (x )为微分同胚而定义,由此可以判定G /G x 是一个光滑流形.定义4(作用的可迁性、有效性和自由性的定义).(1)作用具有可迁性,如果存在唯一的一个轨道,或等价地,对于每一个x ,y ∈M ,有一个g ∈G ,使得g ·x =y ;(2)作用具有有效性(或者一一对应),如果φg =id M ,蕴涵着g =e ,即g ※φg 是一对一的;(3)作用具有自由性,如果它没有不动点,即φg (x )=x 蕴涵着g =e ,或者等价地,如果对于每一个x ∈M ,φg ={e },并且每一个自由的作用是一对一的.例1.　余伴随作用.G 在其李代数g 的对偶g ＊上的余伴随作用定义如下:设Ad ＊g :g ＊※g ＊是A dg 的对偶,定义为〈Ad ＊g α,ξ〉=〈α,Ad g ξ〉,这里α∈g ＊,ξ∈g ,则由(g ,α)Ad ＊g -1α给出的映射:φ＊:G ×g ＊※g ＊是G 在g ＊上的余伴随作用.相应的G 在g＊上的余伴随表示记为Ad ＊:G ※GL (g ＊,g ＊),Ad ＊g -1=(T e (R g L g -1))＊.定义5(轨道空间的定义).等价类的集合M /G 即称为轨道空间.定义6(学习表达式之间的等价性判定).设M 和N 表示两类学习表达式形成的流形,G 是李群,并由φg :M ※M 作用在M 上,由ψg :N ※N 作用在N 上,构造一个映射f :M ※N 关于这些作用是等价的,如果对于所有的g ∈G ,有f φg =ψg f ,如果M /G 和N /G 都有正规投影光滑浸没的光滑流形,则等变映射f :M ※N 可以诱导出一个光滑映射f G :M /G ※N /G .3　李群机器学习的公理假设文献[13-15]给出了李群机器学习的4个公理假设,现归纳如下.3.1　假设1:李群机器学习泛化能力假设公理该公理包括(1)、(2)、(3)条:(1)利用李群、李代数和李子群、李子代数的关系来描述泛化能力,可定义为:设G 是一个李群,对于G 的李代数g 的任何一个李子代数h ,存在着唯一的一个G 的连通李子群H ,使得图1是可交换的.图1　李群、李代数、李子群、李子代数之间的泛化关系图(2)利用学习空间中的内积不变性来描述泛化能力,可定义为:设V 是n 维线性空间,G 是GL (V )的李子群,如果有(g (x ),g (y ))=(x ,y ), x ,y ∈V ,g ∈G ,则V 中内积(x ,y )称为G 下不变的.(3)利用中心函数来描述泛化能力,可定义为:设在紧致李群G 中取定总体积为1的左-右不变的黎曼结构,f 为其上任何一个中心函数,则Weyl 积分公式:∫G f (g )d g =1 w ∫tf (t ) Q (t ) 2d t ,其中 w 表示w 中元素的个数,当t =exp H (H ∈h )时,Q (t )可以表示为Q (e H)=∑σ∈wsign (σ)e2xi (σ(δ),H ),其中δ是对于范围C °的正根之和的一半,即δ=12∑α∈Δ+(G )α′.3.2　假设2:李群机器学习的对偶假设公理将学习表达式集合构成一个对偶空间来研究学习问题.例如:可将李代数g 的对偶g ＊利用泊松括号{F ,G }(μ)=μ, F μ,Gμ来研究学习问题.这种方法已经在物理学中得到广泛的应用.3.3　假设3:李群机器学习的划分独立性假设公理此公理主要是对学习表达式的分解合理性进行判定.例如,任何正交对偶李代数(g ,σ,Q )都可以唯一分解成下面的表达式:(g ,σ,Q )=(g 0,σ0,Q 0) (g +,σ+,Q +)+(g -,σ-,Q -),其中,g 0=k 0 P 0,g +=k + P +,g -=k - P -,σ0=σ/g 0,σ+=σ/g +,σ-=σ/g -,Q 0=Q /P 0,Q +=Q /P +,Q -=Q /P -.3.4　假设4:李群机器学习一致性假设公理主要利用李群的同态关系来研究学习问题.例如Q 是李群G 1到李群G 2上的同态,则Q -1(I 2)是G 1的闭正规子群,又设π为G 1到G 1Q -1(I 2)的自然11177期李凡长等:李群机器学习研究综述同态,则有G 1/Q -1(I 2)到G 2的李群的同态φ,使得Q =φπ.4　李群机器学习的学习模型李群机器学习系统中有两种学习模型,即代数模型和几何模型,这也就是李群机器学习方法和现有机器学习方法的主要区别之一,如流形学习、统计学习、支持向量机学习、关系学习、决策树学习、贝叶斯学习等,根据文献[10-15],其模型分为代数模型和几何模型.4.1　李群机器学习的代数模型在李群机器学习系统中,将输入数据R 做变换,通过θ:R ※G 变换成单参数子群G ,利用G 中的右平移变换映射R θ:R ×G ※G :(t ,g )※g ·θ(t ),它是流形G 上的一个可微变换群.同样可得左平移变换.由此有(1):{单参数子群}和{左不变流形}是等价的.再通过左不变流形和左不变向量场之间的等价关系及单参数子群和李子代数之间的关系有4类等价关系,即g {左不变向量场} {左不变流形} {单参数子群},即可将李群机器学习的代数模型表示为图2所示的形式.图2　李群机器学习的代数模型4.2　李群机器学习的几何模型主要根据李群的一些几何性质,如平移不变性、旋转不变性、测地线性质等,给出李群机器学习的几何模型.一般来说,在一个学习系统中,给定一个观测集,将观测集映射成一个紧致连通的集合,这样就可以在观测集中的单位点上取一个自同构Ad (G )作用下不变的内积<,>,对于这样取定的内积,再取一组标准正交基,然后用左平移把它们分别扩张成观测集的左不变向量场,这样就可以唯一地在观测集上的每一个点的切空间取定内积,使得该内积恰好为该点的切空间的标准正交基,这样就构成了一个黎曼空间.由正交向量场组的左不变性可以看出,所有左平移都是这个黎曼空间的等距变换;由内积的不变性可知,所有的右平移也是它的等距变换.令T e (G )为单位点的切空间,即G 的李代数g ,T a (G )为G 在任意样本点a 的切空间,dl a ,dr a 分别是左平移l a 和右平移r a 在切空间之间诱导的线性映射,由此可将李群机器学习的几何模型表示为图3所示的形式.图3　李群机器学习的几何模型进一步,给出李群机器学习的等距变换算法和测地线距离算法.算法1.　李群机器学习的等距变换算法.输入:样本集X ={x 1,x 2,…,x n ∈D}输出:Y ={y 1,y 2,…,y n ∈d},d <D1.令输入样本集为X ={x 1,x 2,…,x n ∈D},X 满足李群结构.2.在X 的李代数g 上取定一个在自同构Ad (G )的作用下的不变内积:〈Ad (g )x 1,Ad (g )x 2〉=〈x 1,x 2〉,x 1,x 2∈g ,g ∈G .3.取定一组标准正交基:{x i :1≤i ≤n },〈x i ,x j 〉=δij .用左平移把{x i :1≤i ≤n }分别张成X 上左不变向量场,记为x i ,即建立起黎曼空间结构.4.在这个黎曼空间上,对X 进行左(或右)平移线性变换,即构成了对样本集的等距映射φ:X ※Y ,Y ={y 1,y 2,…,y n ∈d},d <D .算法2.　李群机器学习的测地线距离算法.输入:样本点a输出:在a 的坐标邻域内的所有点与a 的距离1.生成样本点a 的邻域U a .2.分析a 邻域内信息,在样本集中的单位点上取一个自同构作用下不变的内积g i ,j (a ),计算g i ,j (a )的值.3.将所得g i ,j (a )的值,代入D (a ,b )=∑ni ,j =1gi ,j(a )(a i -b i )(a j -b j ),计算U a 中每一点与a 之间的距离.4.输出所有距离值(通常距离值越小表示与要学习的目标结果越相近).5　李群机器学习中的Dynkin 图几何学习算法文献[12,15-18]主要从几何角度讨论了李群机1118计 算 机 学 报2010年器学习中的Dynkin 图几何学习算法.5.1　李群机器学习中的Dynkin 图的描述在李群机器学习中,假定g 是学习空间G 的复半单李代数,η为其Cantan 子代数.g 对η的根子空间分解为g =η+∑α∈Δg α,其中Δ为η的根系, Δ 为其元素数.η＊为η的对偶空间,故Δ η＊.又以(x ,y )表示g 的Killing 型,Π={a 1,a 2,…,a n }为复半单李代数g 的素根系.于是Π可以分解为两两正交的子集的和,而其中每个子集不能再分解:Π=Π1∪Π2∪…∪Πk ,(Πi ,Πj )=0,i ≠j (1)自然,Π的这种分划一定导出Π中的一个等价关系,每个Πi 为一个等价类,这个等价类关系可以用下述方法来建立.设α,β∈Π,如果存在Π中序列α=αi 1,αi 2,…,αim =β,使得αij ,αij +1≠0(j =1,2,…,m -1),则称α与β有关系～,记为α～β.显然,关系～有以下性质:①α～α;②若α～β,则β～α;③若α～β,β～γ,则α～γ.同一个等价类不能分解为两个相互正交的子集之和;不同等价类是相互正交的,即这个等价关系所对应的分划恰为Π的分划(式(1)).定义7.　若素根系Π不能分解为两个非空的相互正交的子集之和,则称Π为不可约素根系,否则称Π是可约的.由此得到了李群机器学习的问题可解性判别算法1[15-17].定义8.　设Π={α1,α2,…,αl }是复半单李代数g 的一个素根系,以l 个点分别表示α1,α2,…,αl ,将第i 点与第j 点用2(αi ,αj )(αi ,αi )·2(αi ,αj )(αj ,αj )=r ij条线段连接起来.若(αi ,αi )<(αj ,αj ),则画一个从第j 点指向第i 点的箭头.由此得到的图形称为Π(或g )的Dynkin 图.5.2　李群机器学习中的Dynkin 图的相关算法由上显然,若Π有分解(1),则Π的Dy nkin 图分解为k 个互不相连的连通分支.为了研究问题的方便,我们可以将素根系的性质抽象为空间向量组的性质.定义9.　设E 是一个n 维的学习空间,Π={α1,α2,…,αl }是E 的一个正向量组,且当i ≠j 时,2(αi ,αj )(αi ,αi )∈Z -.我们称Π={α1,α2,…,αn }为一个π-系.显然有(1)Π是线性无关组,故m ≤n ;Π也是E 的子空间L (Π)的π-系;当m =1时,Π为E 的基.(2)Π的任何子集Π1也是π-系.(3)若α,β∈Π,α≠β,则0≤2(α,β)(α,α)·2(α,β)(β,β)≤3.(4)半单李代数g 的素根系Π是π-系.定义10.　若π-系Π不能分解为两个互相正交的非空子集之和,则称Π是不可约的π-系.根据这些结论文献[15-17]给出了李群机器学习的问题可解性判别算法.下面引入两个定理.定理1.　复单李代数g 对应唯一的Dy nkin 图.证明见文献[15,19].定理2.　两个复半单李代数同构当且仅当它们的Dynkin 图相同.证明见文献[15,19].文献[15]给出了李群机器学习中的学习空间同构性判别算法.通过Dynkin 图的定义和性质,在同构的定义下,输入数据向量空间有它对应的Dynkin 图,并且只能有A l ,B l ,C l ,D l ,E 6,E 7,E 8,F 4与G 2.这9种可能[19]为因此,假设学习空间中有n 个输入数据,这些数据用向量组表示为Π={α1,α2,…,αn }.我们根据Dy nkin 图对其进行分类,分类算法如下.算法3.　李群机器学习中的Dy nkin 图分类学习算法.//初始化:将输入空间向量组表示为Π={α1,α2,…,αn }输入:Π输出:{A l ,B l ,C l ,D l ,E 6,E 7,E 8,F 4,G 2}11197期李凡长等:李群机器学习研究综述procedure CL ASSIF ICA T ION (Π)　if SO LV A BL E1(Π)=1//学习问题可解then 以n 个点分别表示α1,α2,…,αn fo r i =1to n -1;j =2to n do画线段r ij =2(αi ,αj )(αi ,αi )·2(αi ,αj )(αj ,αj )连接第i 点与第j 点;if (αi ,αi )<(αj ,αj )　then 画一个从第j 点指向第i 点的箭头;endif re peat endfo r endif if 有环路　then re tur n ;e ndif　ca se //分类图(Ⅰ):A l ;图(Ⅱ):B l ;图(Ⅲ):C l ;图(Ⅳ):D l ;图(Ⅴ):E 6;图(Ⅵ):E 7;图(Ⅶ):E 8;图(Ⅷ):F 4;图(Ⅸ):G 2;e lse return e ndca see nd CLA SSIFICA T IO N此算法表明若我们的学习问题是可解的,那么就可以画出该学习空间对应的Dy nkin 图.在该算法的基础上,就可以找到不同类数据对应的李群.如A l 可以对应到特殊酉群S U (l +1),B l 可以对应到特殊正交群SO (2l +1)等,再采取对应的问题求解方法,从而降低了学习问题的求解难度.6　李群机器学习的分类器设计一般来说,线性分类器的构造可以分如下几步来实现.1.将样本集映射到G 这个非空集合上;2.根据G 构造相应的李群结构;3.将所得的李群作用于所建立的李群机器学习模型中;4.形成相应的分类器;5.实例测试;6.应用.关于李群机器学习分类器的研究,文献[18,20-22]分别给出了量子群、辛群分类器的设计.现对辛群分类器和量子群分类器做简单介绍.6.1　李群机器学习中的辛群分类器6.1.1　基本概念定义11.　令u 和v 是2n 维空间2n中的向量,其中u =(x 1,…,x n ,ξ1,…,ξn )T,v =(y 1,…,y n ,η1,…,ηn )T,则R 2n 中的辛内积定义为ω(u ,v )=∑ni =1(x i ηi -y i ξi )=u T Jv T ,其中J =0I n -I n,具有性质J-1=J T=-J ,I n为n 阶单位阵,辛内积的基本性质如下:(1)双线性.ω(λ1u 1+λ2u 2,v )=λ1ω(u 1,v )+λ2ω(u 2,v );(2)反对称.ω(u ,v )=-ω(v ,u );(3)非退化.对于每一个v ∈R 2n,如果均有ω(u ,v )=0,则u =0.定义12.　具有上述条件的辛内积ω的实向量空间(R 2n,ω),称为辛空间.定义13.　如果辛空间(R 2n ,ω)中的线性变换S 满足S :R 2n ※R 2n ,对于一切u ,v ∈R 2n 均有ω(S u ,S v )=ω(u ,v ),则线性变换S 为辛变换或正则变换,辛变换保持两向量的辛内积不变.定义14.　设(V ,ω)是一辛空间,所谓(V ,ω)的一个自同构,是指(V ,ω)到其自身的一个同构,所以(V ,ω)是V 的线性变换群GL (V )的一个元素,若把它记为s ,则它满足ω(sx ,sy )=ω(x ,y ), x ,y ∈V ,易知(V ,ω)的自同构全体辛变换群构成群G L (V ,R )的一个子群,我们把它记为S p (V ,ω).特别地,标准辛空间(k 2n ,ω)的自同构群记为S p (2n ,k ),若k =R ,则把S p (2n ,k )简记为S p (2n ),并称它为2n 维辛群[23-24].由此有以下定理.定理3.　辛空间(R 2n ,ω)一定是偶数维的.证明见文献[22].6.1.2　辛群分类器的设计方法在辛群分类器的设计中,首先应该将分类样本表示成辛群形式,然后利用辛群的张量表示方法,将样本构造成对应的辛矩阵,对辛矩阵进行化简求得对应的训练特征,以此作为学习过程训练样例.最后1120计 算 机 学 报2010年对待检测样本按同样方式进行处理,利用辛群分类算法得到样例特征,如果两类特征匹配,则将结果输出.接下来给出辛群分类器算法[42].算法4.　辛群分类器算法.输入:样例集D输出:某类特殊的辛矩阵{M(1),M(2),M(3),M(4), M(5)}1.将样例数据集D映射到S p(2n)中,取S p(2n)上的n 维行向量组成集合S n q,S n q={(x1,x2,…,x n)x i∈S q,i=1, 2,…,n}.//n=2v,v是正整数,向量(x1,x2,…,x n)表示任意一个样本2.选取Q i∈S p(2n).对于Q,将它转换成对应的辛矩阵;并求出该辛矩阵的奇异值.3.将Q i作用于样本数据集((x1,x2,…,x n),Q i) (x1,x2,…,x n)Q i作为学习过程中的训练样列.4.在训练阶段,对训练样本X ji做奇异值分解,取前k 个最大奇异值对应的样本A ji(m)=u m ji(v m ji)H(m=1,2,…, k),由训练样本X ji得到的样本构成了第j类的一个判别函数g ji(X),g ji(X)=∑km=1α2ji(m)=∑km=1〈A ji(m),x〉2,j=1,2,…,c,i=1,2,…,n,其中αji(m)=〈A ji(m),X〉为待识别样本图像X到第j类的第i个训练样本X ji的第m个基图像A ji(m)的投影值.5.在样例集D中删除已获得的目标学习结果的样例,获得新的样例集D′.6.将待识别样本X输入每个判别函数g ji(X),求这个判别函数的输出,将X归入最大输出的g ji(X)所对应的类别中,若每类有多个训练样本,首先对每类计算最大长度h j=maxi(g ji(X))(j=1,2,…,c,i=1,2,…,n),这样就可以将X归入到第c个类别中.7.对每个目标函数t(x),输出集合F.注:设M=[A,B]=A1B1A2B2∈S p(2n),有(1)M∈S p(2n)∩O2n=U n M=[A,J-1A]A-1JA=O n,A-1A=I n M(1)(2)M=A100B1∈S p(2n)M=A100A-11,A1∈GL(n,R)M(2)(3)M=I00B2∈S p(2n)M=I00I,S-1=S M(3)(4)M=A10A2I∈Sp(2n)M=I00I,S-1=S M(4)(5)M=J a=IαIα-IαIα,αv∈S p(2n)M(5) 6.1.3　实例分析我们从O RL通用人脸图像测试库中,就人脸的7种姿态,即正面、俯、仰、左平面内侧、左平面外侧、右平面内侧和右平面外侧进行处理,并和用SVM算法[25]进行比较,其结果为表1.表1　SVM分类平均识别率和辛群分类平均识别率比较表算法平均识别率正面图像/%俯视图像/%仰视图像/%左平面内侧图像/%右平面内侧图像/%SVM分类算法95.493.890.293.493.4辛群分类算法95.292.693.194.694.6实验表明,当人脸图像经过特征提取后,在同一个人脸图像较多时,辛群分类算法在分类正确率上有一定优势,在样例较多时,具有较好的分类效果.6.2　李群机器学习中的量子群分类器量子群是经典李群、李代数的基本对称概念的推广,与非交换几何、量子对称性等密切相关,针对机器学习系统中面对的非交换性和非对称性问题,文献[21]提出了量子群分类器的构造方法.6.2.1　量子群分类器的构造构造量子群分类器,只要利用量子群的Jacobi 条件分析观测数据的量子群和量子代数的性质,并将量子群看成量子超平面的线性系统,通过非交换空间上的降维、线性化等形式对观测数据进行处理,将观测数据的非线性结构约简成线性结构,然后根据量子群上线性变换学习算法对其进行分类.6.2.2　量子群的对称线性变换学习算法在二维量子超平面上,假设学习空间中的学习问题用“坐标”(x,y)表示,其中x表示学习系统中的实例空间中的实例,y表示样本空间中的样例,且满足下述交换关系:x y=qy x,q∈C(2)其中,q表示调整系数,C是调整系数的集合.此外, (x,y)还存在相关的协变微分计算,即存在“形式”(ξ,η),它们满足ξη=-q-1ηξ,ξ2=0,η2=0(3)当q=1时,x与y对易,ξ与η反对易,(ξ,η)可以解11217期李凡长等:李群机器学习研究综述释为对(x,y)的微分,也即对学习空间中的实例进行降阶处理.令=xy,ψ=d=ξη(4)量子超平面上“坐标”(x,y)与“形式”(ξ,η)同时作线性变换:x′y′=αβγδxy,ξ′η′=αβγδξη(5)这里设(α,β,γ,δ)与(x,y,ξ,η)相互可交换,如要求变换后(x′,y′)与(ξ′,η′)仍满足与(x,y)及(ξ,η)间相同的关系,则(α,β,γ,δ)间必有如下关系成立:αβ=qβα,αγ=qγα,βγ=qγβ,γδ=qδγ,βδ=qδβ,αδ-δα=(q-q-1)βγ(6)令代数A=C〈α,β,γ,δ〉/～为由(α,β,γ,δ)生成的可结合代数,且满足关系(6),即T=(T i j)=αβγδ∈GL q(2),则上述变换便构成量子超面的对称线性变换,得到量子群GL q(2),其中心为c=det q T=αδ-qβγ=δα-q-1βγ.如要求det q T=1,则称为量子群SL q(2).现将量子群上的对称线性变换学习算法描述如下.算法5.　量子群上的对称线性变换学习算法.输入:实例集X={x1,x2,…,x n},样本集Y={y1,y2,…,y n}输出:量子群的对称线性变换1.对X和Y进行降维处理后,得到ξ与η,且它们必须满足关系(3);2.对X,Y和ξ,η分别同时作对称线性变换Z,使得变换后的X,Y和ξ,η仍满足关系(2)和(3);3.检验对称线性变换Z是否满足关系(6),若为否,则调整系数q,直到找到合格的变换Z,则Z即为所求的对称线性变换.4.返回线性变换Z.6.2.3　量子群分类器在DNA序列分类中的应用在介绍具体的DNA序列分类实验之前,先对实验数据作一个简单的说明[21,43-47].我们选择真核生物中拟南芥(Arabidopsis thaliana)的完全序列作为实验数据.数据来源于NCBI(N ational Center for Biotechno logy Informa-tion),其网址为http://w w w.ncbi.nlm.nih.g ov.该全序列共有5条染色体,其中每一条染色体都是一个FAS T格式的文件,由于篇幅原因在此省略FASTA格式文件的介绍,只简单说明一下各染色体的索引ID、长度及文件大小,见表2.表2　染色体文件说明染色体索引ID长度/bp大小/M 1NC0030703008080943　2NC0030711964362127.73NC0030742346581233.54NC0030751754952824.95NC0030762668940838在信息提取过程中,采用下面的结构体组织存储从每个染色体序列中读出的信息:ty pedef struct{　char＊seqname;//基因序列名称//char＊wholeseq;//完整的基因序列// char＊info;//基因附加信息//lo ng index;//本基因序列在基因库中的位置// unsig ned len;//基因序列的长度//int＊count;//各个观测值在基因序列中的个数// }SeqInfo;在提取数据时,我们的主要目的是将每个染色体序列中的编码区和非编码区分别提取出来.采用的方法是:(1)对每条染色体,读取并保存gene后的起始及结尾碱基号和CDS后各段的始末碱基号;(2)在最后的序列中找到CDS中标志的位置,将这些段连接起来作为第i个SeqInfo结构体存入编码区文件coding.tx t中;(3)将剩下的基因段连接起来,作为第i个SeqInfo结构体存入非编码区文件noncoding.tx t中.(4)重复上述步骤,直到最后一个染色体.对于5条染色体,我们分别得到5个存放编码区的文件和5个存放非编码区的文件.各个文件的数据数目见表3.表3　各染色体编码区与非编码区的数据数目染色体编码区数据大小非编码区数据文件167616572242164134352525027439583482559875160由于编码区和非编码区有着不同的功能,因此1122计 算 机 学 报2010年。