(完整word版)热传导方程傅里叶解

热传导方程傅里叶解热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：其中：u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量t 与空间变量(x,y,z) 的函数。

/是空间中一点的温度对时间的变化率。

, 与温度对三个空间座标轴的二次导数。

k决定于材料的热传导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。

如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。

一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。

因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。

利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。

热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-Uhlenbeck 过程。

热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。

量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。

就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。

扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。

以傅里叶级数解热方程[编辑]以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。

先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。

方程如下：其中u = u(t, x) 是t和x的双变量函数。

4.2.1 傅立叶定律Fourier’s Law法国数学家Fourier: 法国拿破仑时代的高级官员。

曾于1798-1801追随拿破仑去埃及。

后期致力于传热理论，1807年提交了234页的论文，但直到1822年才出版。

1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上，发现导热基本规律——傅里叶定律23n t A Q ∂∂λd d −=式中d Q ──热传导速率，W 或J/s ；dA ──导热面积，m 2；∂t/∂n ──温度梯度，℃/m 或K/m ；λ─导热系数,W/(m·℃)或W/(m·K)。

傅里叶定律：系统中任一点的热流密度与该点的温度梯度成正比而方向相反gradtq λ−= x y z t t t q q i q j q k i j k x y zλλλ∂∂∂=++=−−−∂∂∂r u r u u r u u r u r u u r u u r4负号表示传热方向与温度梯度方向相反q Q A t n ==−d d λ∂∂λ表征材料导热性能的物性参数λ越大，导热性能越好用热通量来表示对一维稳态热传导dxdt A Q d d λ−=注：傅里叶定律只适用于各向同性材料各向同性材料：热导率在各个方向是相同的5(2) λ是分子微观运动的宏观表现,反映了物质微观粒子传递热量的特性。

4.2.2 导热系数thermal conductivityλ∂∂=−q t n/(1) λ在数值上等于单位温度梯度下的热通量。

λ= f(物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等）导热系数与物质几何形状无关,实验测定。

6λ金属固体> λ非金属固体> λ液体> λ气体0˚C 时：C m w °•=/22.2冰λCm w °•=/551.0水λCm w °•=/0183.0蒸汽λ(3) 各种物质的导热系数; λλλ>>固相液相气相不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同Jack 的死因7)1(0at +=λλ在一定温度范围内：式中λ0, λ──0℃, t ℃时的导热系数，W/(m·K)；a ──温度系数。

第八章热传导方程的傅氏解（11）一、内容摘要1．传导（扩散）混合问题：()()()()()()20,0,0,(,)00,,0.0t xx u a u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩ 其解为：()()2222/012,sin,sin.1,2,l n a t ln n n n x n x u x t C eC x dx n lllπππϕ∞-====∑⎰2．初始条件()(),0u x x ϕ=． 3．边界条件：第一类边界条件：()(),.u l t t μ= 第二类边界条件：()(),.x u l t v t =第三类边界条件：()()(),,.x ku l t hu l t t θ+=()0v t =时的第二类边界条件称为绝热条件。

4．Fourier 积分对于定义在(),-∞∞上的非周期函数()f x ，在任一有限区间(),l l -上分段光滑，则在该区间上函数可以展开为Fourier 级数：()()()()0111cos sin cos22l l n n lln n x a n x n x f x a b f d f d l l lllπξππξξξξ∞--=-⎛⎫=++=+⎪⎝⎭∑⎰⎰Fourier 积分为：()()()1cos .2f x d f x d λξλξξπ∞+∞-∞-∞=-⎰⎰Fourier 积分还可以改写为如下形式：()()()()()()()()()1cos cos sin211cos ,sin .22fx d f x d A x B x d A f d B f d λξλξξλλλλλπλξλξξλξλξξππ∞+∞∞-∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞=-=+⎡⎤⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰5．初值问题的Fourier 解法 热传导方程的初值问题：()()()()2,0,,0.t xx u a u x t u x x x ϕ⎧=-∞<<∞>⎪⎨=-∞<<∞⎪⎩ 其解为：()()()()()()22222222440,cos sin 1 cos cos sin sin 2 .cos a ta tx bax a tau x t eAx B x d ex x d d ed e bxdx μμμμξμμμϕξμξμμξμμξπϕξξ∞--∞∞∞--∞-∞---∞∞--∞=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 6．Fourier 解的物理意义考虑具有单位横截面积的细杆上,在区间()00,x x δδ-+上有()0x U ϕ=,而在区间外有()0x ϕ=.这时温度函数为:()()()()220022044000,,,x x x a ta tx u x t e d x x ξξδδξξδδ----+-==∈-+考虑极限0δ→,此时有:()()()20240,,2.x x a tu x t Q c U δρδ--→−−−→=也就是说:t = 0时刻，x 0处的瞬时点热源在杆上产生了上述温度分布。

热力学傅里叶定律傅里叶定律是热传导方程的基础之一。

它描述了热量在物质中的传导规律，可以表述为以下的数学形式：\[ q = -kA \frac{dT}{dx} \]其中，\( q \) 表示单位时间内通过横截面积为\( A \) 的物体传导的热量，\( k \) 表示热传导系数，\( \frac{dT}{dx} \) 表示温度梯度。

这个定律说明了热量传导的速率与温度梯度成正比，并与物体的热传导系数\( k \) 成反比。

热传导是物体内部随着热量的传递而发生的一种现象。

当物体的一部分温度升高时，其周围的物质也会受到热量传导的影响而温度上升。

傅里叶定律告诉我们，物体内部传导的热量与物体的导热性质（热传导系数）以及温度梯度之间有着密切的关系。

这个定律在工程、地球物理学和材料科学等领域都有着重要的应用。

热传导是自然界中一种常见的现象。

例如，当一个热杯的一侧进入了热水，热量会沿着金属传导到另一侧，使整个杯子的温度升高。

又如，地球内部的热量通过地壳的传导而导致地表的温度分布。

热传导的规律不仅在日常生活中存在，也是科学研究和工程应用中不可忽视的重要问题。

傅里叶定律的发现和应用历史悠久。

法国数学家约瑟夫·傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier）在19世纪初提出了这个定律。

他在研究热学现象时，发现了这个与温度变化、传导距离和传导介质性质相关的规律，为热传导问题提供了重要的解决方案。

傅里叶定律的提出为热传导问题的理论研究提供了重要的基础，同时也为实际工程和应用提供了重要的指导。

通过傅里叶定律，我们可以更好地理解不同材料中热传导的机制，从而设计更加高效的材料和设备。

在工程领域，傅里叶定律也为热传导问题提供了解决方案，帮助工程师设计出更加安全和可靠的产品。

除了理论物理中的研究，傅里叶定律在地球物理研究中也有着重要的应用。

地球内部的热传导问题是地球物理学的重要研究方向之一。

借助傅里叶定律，科学家们可以更好地理解地球内部不同材料的热传导性质，并从中推断地球内部物质的类型和分布。