1.1.3 集合的基本运算(全集和补集)

1．1.3 集合的基本运算第二课时 补集及综合应用一、全集的定义及表示1、定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．2、符号表示：全集通常记作U.3、对全集概念的理解“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R 看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z 看作全集.二、补集1、定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作——A U C2、符号语言：AU C ＝{x| x ∈U ，且x ∉A}3、图形语言：4、性质：(1)A U C ⊆U ；(2)U U C ＝∅，φU C ＝U ；(3)()AU C U C ＝A ；(4)A ∪(A U C )＝U ；A ∩(A U C )＝∅ 5、理解补集应关注三点(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)∁U A 包含三层意思：①A ⊆U ；②∁U A 是一个集合，且∁U A ⊆U ；③∁U A 是由U 中所有不属于A 的元素构成的集合．(3)若x ∈U ，则x ∈A 或x ∈∁U A ，二者必居其一．题型一、补集的运算[例1] (1)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2<x ≤5}，则∁U A ＝________.(2)设U ＝{x |－5≤x <－2，或2<x ≤5，x ∈Z}，A ＝{x |x 2－2x －15＝0}，B ＝{－3,3,4}，则∁U A＝________，∁U B ＝________.[解析] (1)用数轴表示集合A 为图中阴影部分∴∁U A ＝{x |x ≤2或x >5}．(2)法一：在集合U 中，∵x ∈Z ，则x 的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U ＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A ＝{x |x 2－2x －15＝0}＝{－3,5}，∴∁U A＝{－5，－4,3,4}，∁U B＝{－5，－4,5}．[活学活用]设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9)，∁U A＝{5,7}，则a的值为________．解析：∵A＝{1，|a－5|,9}，∁U A＝{5,7}，A∪(∁U A)＝{1,5,7,9，|a－5|}＝U，∴|a－5|＝3.解得a－5＝±3，即a＝8或a＝2.题型二、集合的交、并、补的综合运算[例2]已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁A)U∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．[解]如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x＜3}．故(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．[活学活用]已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁U A)∩(∁B)，(∁U A)∪(∁U B)．U解：∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴∁U(A∪B)＝{6,7,9}．∵A∩B＝{5,8}，∴∁U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．∵∁U A＝{1,3,6,7,9}，∁U B＝{2,4,6,7,9}．∴(∁U A)∩(∁U B)＝{6,7,9}，(∁U A)∪(∁U B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．题型三、补集的综合应用[例3]设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M∁P，求实数a的取U值范围．[解]∁P＝{x|x<－2，或x>1}，∵M∁U P，U∴分M＝∅，M≠∅两种情况讨论．(1)M ≠∅时，如图可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a <2a ＋5，2a ＋5≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧3a <2a ＋5，3a ≥1. ∴a ≤－72或13≤a <5. (2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5.综上可知，a ≥13或a ≤－72. [活学活用]1、已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x <－1，或x >0}，若A ∩(∁R B )＝∅，求实数a 的取值范围．解：∵B ＝{x |x <－1，或x >0}，∴∁R B ＝{x |－1≤x ≤0}，因而要使A ∩(∁R B )＝∅，结合数轴分析(如图)，可得a ≤－1.2、已知集合A ＝{x |2m －1<x <3m ＋2}，B ＝{x |x ≤－2，或x ≥5}，是否存在实数m ，使A ∩B ≠∅？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：若A ∩B ＝∅，分A ＝∅和A ≠∅讨论：(1)若A ＝∅，则2m －1≥3m ＋2，解得m ≤－3，此时A ∩B ＝∅.(2)若A ≠∅，要使A ∩B ＝∅，则应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1<3m ＋2，2m －1≥－2，3m ＋2≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >－3，m ≥－12，m ≤1.所以－12≤m ≤1. 综上，当A ∩B ＝∅时，m ≤－3或－12≤m ≤1. 所以当m >1或－3<m <－12时，A ∩B ≠∅. 课堂练习1．已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则∁U(A ∪B)＝( )A ．{6,8}B ．{5,7}C ．{4,6,7}D ．{1,3,5,6,8}解析：A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，则∁U(A ∪B)＝{6,8}，选A.答案：A2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|－2≤x ≤3}，B ＝{x|x ＜－1，或x>4}，那么集合A ∩(∁UB)等于 ( )A ．{x|－2≤x ＜4}B ．{x|x ≤3，或x ≥4}C ．{x|－2≤x ＜－1}D ．{x|－1≤x ≤3}解析：由题意可得，∁UB＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x ≤3}．答案：D3．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________.解析：∵∁AB＝{5}，∴5∈A，且5∉B.∴m＝5.答案：54．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，∴N＝{x|x≤0或x≥2}∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．5．设U＝R，已知集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁UB)；(4)B∩(∁UA)；(5)(∁UA)∩(∁UB)．解：如图(1)．(1)A∩B＝{x|0≤x＜5}．(2)A∪B＝{x|－5<x<7}．(3)如图(2)．∁U B＝{x|x<0，或x≥7}，∴A∪(∁U B)＝{x|x<5，或x≥7}．(4)如图(3)．(3)∁U A＝{x|x≤－5，或x≥5}，B∩(∁U A)＝{x|5≤x＜7}．课时跟踪检测(五) 补集及综合应用一、选择题1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( ) A．∅B．{4}C．{1,5} D．{2,5}2．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为( )A．3 B．4C．5 D．63．已知三个集合U，A，B及集合间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( )A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}4．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C)) B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B) D．(∁U(A∩C))∪B5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4二、填空题6．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝________7．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．8．全集U＝R，A＝{x|x<－3或x≥2}，B＝{x|－1<x<5}，则集合C＝{x|－1<x<2}＝________(用A、B或其补集表示)．三、解答题9．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．10．已知全集U＝{不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁U N)＝{3,5}，(∁U M)∩N＝{7,19}，(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，求M，N.答案课时跟踪检测(五)1．选A ∵∁U A＝{2,4}，∁U B＝{1,3}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝∅，故选A.2．选B 因U＝R，A＝{x|0<x<9}，又因B＝{x∈Z|－4<x<4}，所以∁U A＝{x|x≤0或x≥9}，所以(∁U A)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1,0}共4个元素．3．选C 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁U B)∩A＝{1,2}．4．选A 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))．故选A.5．选B A＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}，故选B.6．解析：∵U＝R，B＝{x|x>1}，∴∁U B＝{x|x≤1}．又∵A＝{x|x>0}，∴A∩(∁U B)＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}7.解析：∵B＝{x|1<x<2}，∴∁R B＝{x|x≤1或x≥2}．又∵A∪(∁R B)＝R，A＝{x|x<a}．观察∁R B与A在数轴上表示的区间，如图所示：可得当a≥2时，A∪(∁R B)＝R.答案：{a|a≥2}8.解析：如图所示，由图可知C⊆∁U A，且C⊆B，∴C＝B∩(∁U A)．答案：B∩(∁U A)9．解：(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，所以A∪B＝{x|2≤x<10}．因为A＝{x|2≤x<7}，所以∁R A＝{x|x<2，或x≥7}，则(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2.10．解：法一：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，如图，∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．法二：∵M∩(∁U N)＝{3,5}，∴3∈M,5∈M且3∉N,5∉N.又∵(∁U M)∩N＝{7,19}，∴7∈N,19∈N且7∉M,19∉M.又∵(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，∴∁U(M∪N)＝{2,17}，∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．。

第2课时 集合的全集、补集学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn 图.3.会求补集，并能解决一些集合的综合运算问题.知识点一 全 集定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. 记法：全集通常记作U .思考1 为了研究集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,2,3}，C ＝{1,3,5}之间的关系，要从中选一个集合作为全集，这个集合应该是________. 答案 A思考2 全集一定包含任何一个元素吗？若全集是数集，则一定是实数集R 吗？ 答案 不一定；不一定. 知识点二 补 集1.根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.( √ )2.存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .( × )3.设全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x >1，则∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x ≤1.( × ) 4.设全集U ＝{}(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，A ＝{}(x ，y )|x >0且y >0，则∁U A ＝{}(x ，y )|x ≤0且y ≤0.( × )题型一 补集的运算例1 (1)已知全集U ＝{a ，b ，c }，集合A ＝{a }，则∁U A 等于( ) A.{a ，b } B.{a ，c } C.{b ，c } D.{a ，b ，c } 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集 答案 C解析 ∁U A ＝{}x |x ∈U 且x ∉A ＝{}b ，c .(2)若全集U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}，则∁U A 等于( ) A.{x |0<x <2} B.{x |0≤x <2} C.{x |0<x ≤2}D.{x |0≤x ≤2}考点 补集的概念及运算 题点 无限集合的补集 答案 C解析 ∵U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}， A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}， ∴∁U A ＝{x |0<x ≤2}，故选C.反思感悟 求集合的补集，需关注两处：一是确认全集的范围；二是善于利用数形结合求其补集，如借助Venn 图、数轴、坐标系来求解.跟踪训练1 (1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A ＝________. 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集 答案 {3,4,5}(2)已知全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合A ＝{b ，c ，d }，B ＝{c ，e }，则(∁U A )∪B 等于( ) A.{b ，c ，e } B.{c ，d ，e } C.{a ，c ，e } D.{a ，c ，d ，e } 答案 C解析 ∁U A ＝{a ，e }，(∁U A )∪B ＝{a ，c ，e }.(3)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 等于( ) A.{x |x <1或x ≥3} B.{x |x ≤1或x >3} C.{x |x <1或x >3} D.{x |x ≤1或x ≥3} 答案 B解析 U ＝R ，∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}. 题型二 补集的应用例2 (1)设全集U ＝{1,3,5,7}，集合M ＝{1，|a －5|}，∁U M ＝{5,7}，则a 的值为________.答案 2或8解析 由U ＝{1,3,5,7}，M ＝{1，|a －5|}，∁U M ＝{5,7}知M ＝{1,3}. ∴|a －5|＝3，∴a ＝8或2.(2)已知A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}，∁U B ＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B . 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集解 ∵A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}， ∴U ＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}. 而∁U B ＝{－1,0,2}，∴B ＝∁U (∁U B )＝{－3,1,3,4,6}.反思感悟 从Venn 图的角度讲，A 与∁U A 就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A )∩A ＝∅，(∁U A )∪A ＝U ，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.跟踪训练2 (1)已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x >2a ＋1}，若A ∩(∁R B )＝∅，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________. 答案 {a |a <0}解析 ∁R B ＝{x |x ≤2a ＋1}. 由A ∩(∁R B )＝∅， ∴2a ＋1<1，∴a <0.(2)设全集U ＝{0,1,2,3}，集合A ＝{x |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 答案 －3解析 ∵U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{1,2}， ∴A ＝{0,3}.∴0,3是x 2＋mx ＝0的两个根，∴m ＝－3. 题型三 集合的综合运算例3 (1)已知全集U ＝{}1，2，3，4，5，6，集合P ＝{}1，3，5，Q ＝{}1，2，4，则(∁U P )∪Q等于( )A.{}1B.{}3，5C.{}1，2，4，6D.{}1，2，3，4，5考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 C解析 ∵∁U P ＝{}2，4，6， ∴(∁U P )∪Q ＝{}1，2，4，6.(2)已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________.考点 交并补集的综合问题题点 与交并补集运算有关的参数问题 答案 {a |a ≥2}解析 ∵∁R B ＝{x |x <1或x >2}且A ∪(∁R B )＝R ， ∴{x |1≤x ≤2}⊆A ，∴a ≥2.反思感悟 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限集合混合运算可借助Venn 图，与不等式有关的可借助数轴.跟踪训练3 (1)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ≠N ，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N 等于( )A.MB.NC.ID.∅ 答案 A解析 如图所示，因为N ∩(∁I M )＝∅，所以N ⊆M ，所以M ∪N ＝M .(2)设集合A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∩B ＝{2}. ①求a 的值及A ，B ；②设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )；③设全集U ＝A ∪B ，写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集.解 ①因为A ∩B ＝{2}，所以2∈A ，且2∈B ，代入可求得a ＝－5，所以A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}.②由①可知U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2，所以∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.③由②可知(∁U A )∪(∁U B )的所有子集为∅，{－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.根据补集的运算求参数典例 (1)设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m |,6}，∁U A ＝{5}，求实数m . 解 ∵∁U A ＝{5}， ∴5∈U 且5∉A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝5，|3－2m |≠5， 由m 2－m －1＝5，得m 2－m －6＝0，∴m ＝－2或m ＝3.①当m ＝－2时，|3－2m |＝7≠5， 此时U ＝{3,5,6}，A ＝{6,7}， 不符合要求，舍去； ②当m ＝3时，|3－2m |＝3，此时，U ＝{3,5,6}，A ＝{3,6}满足∁U A ＝{5}. 综上所述m ＝3.(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}，且A ⊆(∁U B )，求实数a 的取值范围.解 若B ＝∅，则a ＋1>2a －1，即a <2，此时∁U B ＝R ，所以A ⊆(∁U B ). 若B ≠∅，则a ＋1≤2a －1，即a ≥2，此时∁U B ＝{x |x <a ＋1或x >2a －1}， 又A ⊆(∁U B )，所以a ＋1>5或2a －1<－2，所以a >4或a <－12(舍去).所以实数a 的取值范围为{a |a <2或a >4}. [素养评析] (1)由集合的补集求解参数的方法①有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.②无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.(2)理解运算对象，掌握运算法则，选择运算方法，求得运算结果，充分体现了数学运算的数学核心素养.1.设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则∁U M 等于( ) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集 答案 C2.已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 D3.设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则(∁R S )∪T 等于( )A.{x|－2<x≤1}B.{x|x≤－4}C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案 C4.设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则(∁U M)∪N＝________.答案{0,2,3}5.设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁U A与∁U B的关系是________.答案∁U A∁U B解析∁U A＝{4,5,6，…}，∁U B＝{3,4,5,6，…}，∴∁U A∁U B.1.全集与补集的互相依存关系(1)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(2)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.2.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A，求A.一、选择题1.已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 C解析∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}，故选C.2.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∪(∁U B)等于()A.{2}B.{1,3}C.{3}D.{1,3,4,5}答案 D3.已知U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁U A等于()A.{x |－2<x <2}B.{x |x <－2或x >2}C.{x |－2≤x ≤2}D.{x |x ≤－2或x ≥2}考点 补集的的概念及运算 题点 无限集合的补集 答案 C解析 ∁U A 为数轴上去掉集合A 的剩余部分.4.设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,4}，B ＝{1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{4}B.{2,4}C.{4,5}D.{1,3,4}答案 A解析 (∁U B )∩A ＝{4,5}∩{2,4}＝{4}.5.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )等于( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |0<x ≤1} C.{x |x <0} D.{x |x >1}答案 B解析 ∵∁U B ＝{x |x ≤1}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |0<x ≤1}.6.若全集U ＝{0,1,2,3,4,5}，且∁U A ＝{x ∈N *|1≤x ≤3}，则集合A 的真子集共有( ) A.3个 B.4个 C.7个 D.8个 答案 C解析 ∁U A ＝{x ∈N *|1≤x ≤3}＝{1,2,3}，∴A ＝{0,4,5}，∴集合A 的真子集共有23－1＝7(个).7.已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A.0或2 B.0 C.1或2 D.2 考点 补集的概念及运算 题点 由补集运算结果求参数的值 答案 D解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.8.已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{9}，则A 等于( ) A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9} 答案 D解析画Venn图，由图可知A＝{3,9}.二、填空题9.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∩B)＝________.答案{1,2,4,5}10.已知全集U＝{x|－3≤x<2}，集合M＝{x|－1<x<1}，∁U N＝{x|0<x<2}，则M∪N＝________. 答案{x|－3≤x<1}解析∵U＝{x|－3≤x<2}，∁U N＝{x|0<x<2}，∴N＝∁U(∁U N)＝{x|－3≤x≤0}.∴M∪N＝{x|－3≤x<1}.11.若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________________.考点Venn图表达的集合关系及运用题点Venn图表达的集合关系答案{x|x≤1或x>2}解析如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，∴阴影部分为∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}.三、解答题12.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁U A)＝R，B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算解∵A＝{x|1≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x<1或x>2}.又B∪(∁U A)＝R，A∪(∁U A)＝R，可得A⊆B.而B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，∴{x |0<x <1或2<x <3}⊆B . 借助于数轴可得B ＝A ∪{x |0<x <1或2<x <3}＝{x |0<x <3}. 13.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }. (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围. 考点 交并补集的综合问题题点 与交并补集运算有关的参数问题 解 (1)m ＝1，B ＝{x |1≤x ＜4}， A ∪B ＝{x |－1＜x ＜4}. (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x ＞3}. 当B ＝∅时，即m ≥1＋3m 得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1＋3m ，m ＞3，解得m ＞3. 综上可知，实数m 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ＞3或m ≤－12.14.如图，已知I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A.(∁I A ∩B )∩CB.(∁I B ∪A )∩CC.(A ∩B )∩(∁I C )D.(A ∩∁I B )∩C考点 Venn 图表达的集合关系及运用 题点 Venn 图表达的集合关系 答案 D解析 由题图可知阴影部分中的元素属于A ，不属于B ，属于C ，则阴影部分表示的集合是(A ∩∁I B )∩C .15.已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值.解 由(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}， 知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入集合B ，A 中的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧22－2a ＋b ＝0， 42＋4a ＋12b ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0， 解得a ＝87，b ＝－127.经检验，a ＝87，b ＝－127符合题意.。

1.1.3 集合的全集与补集
1．知识与技能
（1）了解全集的意义.
（2）理解补集的含义，会求给定子集的补集.
2．过程与方法
通过示例认识全集，类比实数的减法运算认识补集，
加深对补集概念的理解，完善集合运算体系，提高思维能力.
3．情感、态度与价值观
通过补集概念的形成与发展、理解与掌握，感知事物具有相对性，渗透相对的辨证观点.
教学重点与难点
重点：补集概念的理解；难点：有关补集的综合运算.
2017年高考“最后三十天”专题透析
总结：
师：提出问题
生：合作交流，探讨
.
.
，
) = {6}.
，
.
=
.
师生合作分析例题.
例2（1）：主要是比较A及S的区
别，从而求ðS A.
例2（2）：由三角形的分类找
补集.
例2（3）：运用空集的定义.
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3。

课题：1.3集合的基本运算（全集与补集）授课人：高一年级数学学科组教学内容分析教学目标描述1．知识与技能（1）在具体情境中，了解全集的含义．（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．（3）体会图形对理解抽象概念的作用.2．过程与方法通过示例认识全集与补集，加深对补集概念的理解，完善集合运算体系，提高思维能力.3．情感、态度与价值观通过补集概念的形成与发展、理解与掌握，感知事物具有相对性，渗透相对的辨证观点.教学内容分析本节是新人教A版高中数学必修第一册第1章第1节第3部分的内容。

在此之前,学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系,同时已学习了并集、交集，这为学习本节内容打下了基础。

本节内容主要介绍集合的基本运算一全集与补集。

在此,通过适当的问题情境,使学生感受、认识并掌握补集的运算。

本节内容是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用。

值得注意的问题:在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能够用直观图进行求补集的运算.学科核心素养分析（考点）结合课程标准说明本节课可落实哪个或哪些学科核心素养（考点）1. 数学抽象：对全集概念、补集概念的理解；2. 逻辑推理：补集的理解；3. 数学运算：补集及集合的综合运算；4.直观想象：用Venn图、数轴表示集合的关系及运算。

体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想；5.数学建模:通过观察身边的实例，发现集合间的基本运算，体验其现实意义。

教学重点全集、补集概念的理解。

教学难点有关补集的综合运算。

学生学情分析初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达，高一新生在小学和初中已接触过一些具体的集合，如自然数的集合，有理数的集合，一元一次不等式的解的集合。

也学习了实数的加减运算。

学生具有一定以经验型为主导的抽象思维水平，具备了一些观察、分析和经验解题的能力，但在数学的自主学习意识与独立解决问题能力、归纳概括和类比的能力有待加强。