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2022—2023学年第一学期期末考试试卷九年级数学一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1.已知y 关于x 的二次函数解析式为()2my m x =-，则m =（ ） A.2± B.1 C.2- D.1±2.小明任意抛掷一枚均匀骰子，六个面上分别刻着“1~6”的整数.抛掷一次正面朝上为偶数的概率为（ ） A.12 B.13 C.14 D.163.点P 到圆O 的距离为6，若点P 在圆O 外，则圆O 的半径r 满足（ ）A.06r <<B.06r <≤C.6r >D.6r ≥4.已知实数a 、b 满足32a b =，则a b的值为（ ） A.32 B.23 C.6 D.945.如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，29A ∠=︒，8BC =，则AB 为（ ）A.8sin 29︒B.8sin 29︒C.8tan 29︒D.8tan 29︒6.如图为一座拱形桥示意图，桥身AB （弦AB ）长度为8，半径OC 垂直AB 于点D ，3OD =，则桥拱高CD 为（ ）A.3B.2.5C.2D.1.57.如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A ，镜子O ，树底B 三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米， 2.4OA =米，6OB =米，则树高为（ ）米A.4B.5C.6D.7 8.要得到二次函数222y x x =-+-图象，需将2y x =-的图象（ ）A.先向左平移2个单位，再向下平移2个单位B.先向右平移2个单位，再向上平移2个单位C.先向左平移1个单位，再向上平移1个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移1个单位9.二次函数21y x bx =++中当1x >时y 随x 的增大而增大，则一次项系数b 满足（ ）A.2b >-B.2b ≥-C.2b <-D.2b =- 10.两个大小不一的五边形ABCDE 和五边形FBCHG 如图所示位置，点F 在线段AB 上，点H 在线段CD 上，对应连接并延长AF ，EG ，DH 刚好交于一点O ，则这两个五边形的关系是（ ）A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.不能确定二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分.将答案填在题中横线上）11.已知43x y x y +=-，则x y =________. 12.如图，中位线MN 将ABC △分成面积为1S ，2S 上下两部分()12S S <，则12:S S =________.13.如图，ABC △中边10BC =，高8AD =，正方形EFNM 的四个顶点分别为ABC △三边上的点（点E ，F 为BC 上的点，点N 为AC 上的点，点M 为AB 上的点），则正方形EFNM 的边长为________.14.如图，点B 为AC 上的黄金分割点()AB BC >，2BC =，作如下操作：步骤1：以点B 为圆心，小于1为半径作圆弧，分别与AB ，BC 交于点M ，N ；步骤2：作MN 的中垂线BD ；步骤3：以点B 为圆心，BC 为半径为圆弧交BD 于点E ，连接AE .则线段AE ，AC ，圆弧CE 围成的几何图形面积为________.15.如图，抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）交x 轴于()1,0A -，()2,0B 两点，则不等式20b c x x a a++>的解为________.16.三角形三边长为5，5，6，则这个三角形的外心1O 和重心2O 的距离为________.三、解答题（本大题有8小题，第17~20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题12分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17.（1）计算：22tan 60cos304sin 60︒⨯︒-︒；（2）已知二次函数顶点为()1,2，经过点()0,1，求该二次函数的一般式.18.如图，转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为120︒和240︒，转盘可以自由转动.（1）转动一次转盘，求指针落在红色扇形内的概率；（2）转动两次转盘，利用树状图或者列表法分析指针两次都落在蓝色扇形内的概率.19.如图，在一片海域中有三个岛屿，标记为A ，B ，C .经过测量岛屿B 在岛屿A 的北偏东65︒，岛屿C 在岛屿A 的南偏东85︒，岛屿C 在岛屿B 的南偏东70︒.（1）直接写出ABC △的三个内角度数；（2）小明测得较近两个岛屿10km AB =，求BC 、AC 的长度（最终结果保留根号，不用三角函数表示）.20.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销售量将减少20千克.（1）设每千克涨价为x 元，每天的总盈利为y 元.若涨价x 为整数，则总盈利y 最大值为多少？（2）若商场只要求保证每天的盈利为6000元，每千克应涨价多少元？21.如图，圆O 中延长弦AB ，CD 交于点E ，连接AC ，AD ，BC ，BD .（1）若60ADB ∠=︒，10BAD ∠=︒，求ACD ∠的度数；（2）若ADB α∠=︒，BAD β∠=︒，EBC γ∠=︒，判断α，β，γ满足什么数量关系时，AD CD =？请说明理由.22.如图，菱形ABCD 边长为4，对角线交于点O ，点E 为AD 上一点，3AE =，过E 作EF AC ∥交CD 于点F ，交BD 于点G ，取OE 中点H ，连接GH 并延长交AB 于点M .（1）求AM 的长度；（2）求HE HM. 23.已知函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图象经过点()0,3，()6,3.（1）求b ，c 的值；（2）当04x ≤≤时，求y 的最大值与最小值之差；（3）当4k x k -≤≤时，若y 的最大值与最小值之差为8，求k 的值.24.如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，32AC =，24BC =，点D 为AC 上一定点，点E 为AB 上一动点，A ，B 两点关于DE 的对称点为A '，B '.当点E 运动时，始终满足DA DB '=.（1）求AB 、DB 的长度；（2）当A B ''与ABC △一边垂直时，求DE 的长度；（3）当A B ''与ABC △任意边既不垂直也不重合时，求1tan 2B AA ''∠的值.2022—2023学年第一学期期末考试试卷九年级数学答案1~10.CAABA CADBB11.7 12.1:3 13.4091π+ 15.1x <-或2x > 16.1124 （填空题答案不化简的扣1分）17.（1）224022⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭……4'（一个三角函数值对得1分） （2）答案：()212y x =--+……3' 221x x =-++……1' 18.答案：（1）1/3……4'（2）树状图或者列表法……2'4/9……2'19.答案：（1）30︒、135︒、15︒……3'（2）BC =+10AC =……5'（对1得3分）20.答案：（1）()()1050020y x x =+-……2' 2203005000x x =-++ 6120……2'（2）5或10……4'21.答案：（1）70︒……4'（2）()2αβγ+⨯=……2'证明略……4'22.答案：（1）ODE GBM △△……4'(其他三角形相似证明也可以求解出来) 9/4……4'（2）2/5HE HM=……4' 23.答案：（1）6-，3……4'（2）y 最大值3……2'，最大值与最小值之差9……2'（3）7-3+4'24.答案：（1）40AB =，25DB =……4'（26' 2或1/2……4'。
2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案的代号填在答题卷上）1．（3分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心坐标为（）A．（4，﹣6）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣4，6）2．（3分）下列命题正确的是（）A．经过三点，有且只有一个平面B．平行于同一条直线的两个平面的平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D．过一点有且只有一条直线垂直于已知平面3．（3分）圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0与圆x2+y2+2y﹣3=0的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．外离4．（3分）已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是（）A．B．C．D．5．（3分）若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A．B．21cm2C．D．24cm26．（3分）若一直线过M（0，﹣1）且被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦AB 长为8，则这条直线的方程是（）A．3x+4y+4=0 B．3x+4y+4=0或y+1=0C．3x﹣4y﹣4=0 D．3x﹣4y﹣4=0或y+1=07．（3分）空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论中不成立的是（）A．DF∥平面PBC B．AB⊥平面PDCC．平面PEF⊥平面ABC D．平面PAE平面PBC8．（3分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．4+2B．8+4C．4+8D．1+9．（3分）二面角α﹣l﹣β的大小为45°，线段AB⊂α，B∈l，直线AB与l所成角为45°，则直线AB与β所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（3分）若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是（）A．α内所有的直线都与a异面B．直线a与平面α有公共点C．α内所有的直线都与a相交D．α内不存在与a平行的直线11．（3分）若直线x+y﹣b=0与曲线x=相交于不同的两点，则实数b的取值范围为（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，2）C．[2，2）D．（2，2] 12．（3分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卷相应位置.）13．（4分）已知α∥β，a⊂α．b⊂β，则直线a与b的位置关系为．14．（4分）把等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，若此时∠BAC=60°，则此二面角的大小是．15．（4分）已知圆x2+y2=4 上动点P及定点Q（4，0），则线段PQ中点M的轨迹方程是．16．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给定下列四个命题（1）若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n（2）若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β（3）若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β（4）若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n其中所有正确的命题为．（写出所有正确命题的编号）17．（4分）若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是．18．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是．三．解答题（本大题共4小题，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）.19．（10分）（1）已知圆C的圆心是x﹣y+1=0与x轴的交点，且与直线x+y+3=0相切，求圆C的标准方程；（2）若点P（x，y）在圆（x﹣2）2+（y+1）2=36上，求u=x+y的取值范围．20．（6分）三棱锥P﹣ABC中，已知PC=10，AB=8，E、F分别为PA、BC的中点，EF=，求异面直线AB与PC所成角的大小．21．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD上平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是BP的中点．（1）求证：EC∥平面PAD；（2）求BP与平面ABCD所成的角的正弦值；（3）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．22．（10分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0．问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx﹣1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案的代号填在答题卷上）1．（3分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心坐标为（）A．（4，﹣6）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣4，6）【解答】解：∵圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0，∴（x+2）2+（y﹣3）2=16，∴圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心坐标为（﹣2，3）．故选：C．2．（3分）下列命题正确的是（）A．经过三点，有且只有一个平面B．平行于同一条直线的两个平面的平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D．过一点有且只有一条直线垂直于已知平面【解答】解：对于A，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，∴A错误；对于B，平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，如正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，A1B1∥平面CDD1C1，但两平面不平行，∴B错误；对于C，如正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，∴经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行，错误；对于D，如正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1点只有直线A1A⊥平面ABCD，反之，如果过点A1还有一条直线A1P⊥平面ABCD，则A1P∥A1A，这与A1P∩A1A矛盾，假设不成立，即过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，正确．3．（3分）圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0与圆x2+y2+2y﹣3=0的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．外离【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0 即（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，表示以A（4，2）为圆心、半径等于3的圆；圆x2+y2+2y﹣3=0，即x2+（y+1）2=4，表示以B（0，﹣1）为圆心、半径等于2的圆．由于圆心距AB==5，正好等于半径之和，故两圆相外切，故选：B．4．（3分）已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是（）A．B．C．D．【解答】解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=1，正方体的对角线的长为2，棱长等于，故选：D．5．（3分）若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A．B．21cm2C．D．24cm2【解答】解：三视图复原的组合体是下部是棱长为2的正方体，上部是底面边长为2的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为：=故选：A．6．（3分）若一直线过M（0，﹣1）且被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦AB 长为8，则这条直线的方程是（）A．3x+4y+4=0 B．3x+4y+4=0或y+1=0C．3x﹣4y﹣4=0 D．3x﹣4y﹣4=0或y+1=0【解答】解：设直线方程为y=kx﹣1，∵圆心坐标为（1，2），圆的半径为5，弦AB长为8∴圆心到直线的距离d=3，∴=3⇒k=﹣或k=0，∴直线方程为y=﹣x﹣1或y+1=0，即3x+4y+4=0或y+1=0；故选：B．7．（3分）空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论中不成立的是（）A．DF∥平面PBC B．AB⊥平面PDCC．平面PEF⊥平面ABC D．平面PAE平面PBC【解答】解：∵空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E、F、G分别是AB、BC、CA、AP的中点，∴BC∥DF，又DF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴BDF∥平面PBC，故A正确；∵PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD=D，∴AB⊥平面PDC，故B正确；∵DE⊥BC，AE⊥BC，DE∩AE=E，∴BC⊥平面PAE，∵BC⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选：C．8．（3分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．4+2B．8+4C．4+8D．1+【解答】解：如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形∴这个平面图形的面积：═8+4．故选：B．9．（3分）二面角α﹣l﹣β的大小为45°，线段AB⊂α，B∈l，直线AB与l所成角为45°，则直线AB与β所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图所示，过点A作AC⊥β，垂足为C，作CD⊥l，垂足为D，连接AD，BC．则l⊥AD．∴∠ADC是二面角α﹣l﹣β的平面角，大小为45°．∠ABC是直线AB与β所成角．不妨取AD=，则AC=CD=1，AB=2，在Rt△ACB中，sin∠ABC==．∴∠ABC=30°．故选：A．10．（3分）若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是（）A．α内所有的直线都与a异面B．直线a与平面α有公共点C．α内所有的直线都与a相交D．α内不存在与a平行的直线【解答】解：∵直线a不平行于平面α，∴α内所有的直线都与a异面或相交，故A和C均错误；直线a与平面α至少有一个公共点，故B正确；当a⊂α时，α内存在与a平行的直线，故D不正确．故选：B．11．（3分）若直线x+y﹣b=0与曲线x=相交于不同的两点，则实数b的取值范围为（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，2）C．[2，2）D．（2，2]【解答】解：曲线x=即x2+y2=4 （x≥0），表示以原点（0，0）为圆心、半径等于2的半圆（位于y轴或y轴右侧的部分）．当直线和半圆相切时，由=2，求得b=2，或b=﹣2（舍去）．当直线经过点（0，2）时，由0+2﹣b=0，求得b=2，故当直线和半圆有2个交点时，b的范围为[2，2），故选：C．12．（3分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部【解答】解：⇒CA⊥面ABC1⇒面ABC⊥面ABC1，∴过C1在面ABC内作垂直于平面ABC，垂线在面ABC1内，也在面ABC内，∴点H在两面的交线上，即H∈AB．故选：A．二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卷相应位置.）13．（4分）已知α∥β，a⊂α．b⊂β，则直线a与b的位置关系为平行或异面．【解答】解：因为α∥β，a⊂α．b⊂β，所以两条直线没有公共点，所以直线a与b的位置关系平行或异面；故答案为：平行或者异面．14．（4分）把等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，若此时∠BAC=60°，则此二面角的大小是90°．【解答】解：如图所示：∵等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角∴∠BDC即为二面角设BD=CD=1，则AB=AC=∵AB=AC 且∠BAC=60°∴△ABC为等边三角形∴BC=在△BCD中，∵BD=CD=1 且BC=，∴∠BDC=90°即：二面角为90°故答案为：90°15．（4分）已知圆x2+y2=4 上动点P及定点Q（4，0），则线段PQ中点M的轨迹方程是（x﹣2）2+y2=1．【解答】解：圆x2+y2=4 上动点P及定点Q（4，0），设PQ中点M（x，y），则P（2x﹣4，2y），代入圆的方程得（x﹣2）2+y2=1．线段PQ中点M的轨迹方程是：（x﹣2）2+y2=1．故答案为：（x﹣2）2+y2=1．16．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给定下列四个命题（1）若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n（2）若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β（3）若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β（4）若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n其中所有正确的命题为（2）（4）．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：（1）由于m∥α，n⊥β且α⊥β不能确定两条直线的位置关系，故是假命题；（2）由m⊥α，我们可以在α找到一条直线a与n平行，因为n⊥β，所以a⊥β，所以α⊥β，故（2）正确；（3）由面面平行的定理知，一个面中两条相交线分别平行于另一个平面中的两条线才能得出面面平行，故（3）错．（4）因为α∥β，m⊥α，所以m⊥β，因为n⊥β，所以m∥n，故正确．故答案为：（2）（4）17．（4分）若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣a）2+y2=3﹣2a，可得圆心P坐标为（a，0），半径r=，且3﹣2a＞0，即a＜，由题意可得点A在圆外，即|AP|=＞r=，即有a2＞3﹣2a，整理得：a2+2a﹣3＞0，即（a+3）（a﹣1）＞0，解得：a＜﹣3或a＞1，又a＜，可得a＜﹣3或，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，）18．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是．【解答】解：由题意在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，△P1P2B ∽△AD1B，设P1B=x，x∈（0，1），则P1P2=x，P2到平面AA1B1B的距离为x，所以四面体P1P2AB1的体积为V=××1×x×（1﹣x）=（x﹣x2），当x=时，体积取得最大值：．故答案是：．三．解答题（本大题共4小题，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）.19．（10分）（1）已知圆C的圆心是x﹣y+1=0与x轴的交点，且与直线x+y+3=0相切，求圆C的标准方程；（2）若点P（x，y）在圆（x﹣2）2+（y+1）2=36上，求u=x+y的取值范围．【解答】解：（1）对于直线x﹣y+1=0，令y=0，得到x=﹣1，即圆心C（﹣1，0），∵圆心C（﹣1，0）到直线x+y+3=0的距离d==，∴圆C半径r=，则圆C方程为（x+1）2+y2=2；（2）u=x+y可化为x+y﹣u=0，圆心到直线的距离d≤6，即，得到：1﹣6≤u≤1+6．20．（6分）三棱锥P﹣ABC中，已知PC=10，AB=8，E、F分别为PA、BC的中点，EF=，求异面直线AB与PC所成角的大小．【解答】解：取PB中点M，连结EM，FM，则EM∥AB，FM∥PC，所以∠EMF（或其补角）为所求角．在△EMF中，cos∠EMF=，所以∠EMF=120°，所以AB和PC所成角为60°．21．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD上平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是BP的中点．（1）求证：EC∥平面PAD；（2）求BP与平面ABCD所成的角的正弦值；（3）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取PA的中点F，连接EF，FD．因为E是BP中点，所以EF∥AB，且EF=AB，又由已知，四边形EFDC为平行四边形，所以EC∥FD⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，所以EC∥平面PAD．（2）设AB=2a，由已知，BD=，∠ABD=45°，由余弦定理得AD=，所以∠ADB=90°．以D为原点，建立如图所示坐标系，则B（0，，0），P（，0，），所以=（）平面ABCD的一个法向量为m=（0，0，1）．所以cos＜＞===﹣，BP与平面ABCD所成的角的正弦值为．（3）易知A（，0，0），则=（﹣，，0），平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），由得取x=1，则=（1，1，1）．所以cos＜＞=所以二面角P﹣AB﹣D的余弦值为．22．（10分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0．问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx﹣1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0的圆心坐标（1，﹣2），因为在两点A、B关于直线y=kx﹣1对称，所以直线经过圆的圆心，所以﹣2=k﹣1，k=﹣1．直线AB的斜率为：1；设直线AB的方程为x﹣y+b=0；对称轴方程为：x+y+1=0，A（x1，y1），B（x2，y2）．可得2x2+2（b+1）x+b2+4b﹣4=0，x1x2=，x1+x2=﹣b﹣1．以AB为直径的圆经过原点．x1x2+y1y2=0，2×+b2+b（﹣b﹣1）=0，解得b=1或b=﹣4所以所求直线AB的方程为x﹣y+1=0或x﹣y﹣4=0．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2017-2018学年浙江省绍兴市诸暨市初三上学期期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意）1．（4分）已知，则代数式的值为（）A．B．C．D．2．（4分）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（1，3）D．（1，﹣3）3．（4分）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，则cosB=（）A．B．C．D．4．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD 于点F，则EF：FC等于（）A．3：2B．3：1C．1：1D．1：25．（4分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC 的值为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm6．（4分）已知点A（﹣3，y1），（4，y2），（，y3）在函数y=x2+2x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2 7．（4分）已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB=6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE=BC，则阴影部分面积为（）A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣8．（4分）如图，正方形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于点O，CM交BD于点N，若BM=1，则线段ON的长为（）A．B．1C．D．9．（4分）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．﹣310．（4分）抛物线y=x2﹣2x﹣15，y=4x﹣23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．10B．7C．5D．8二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的概率是．12．（5分）如图，要制作一个母线长为8cm，底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是．13．（5分）如图，已知BE平分∠ABC，DE∥BC，AD=3，DE=2，AC=4，则AE=．14．（5分）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB=BC=CD，分别以A、D为圆心，A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心，O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F，则△ACF面积是．15．（5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为．16．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F在BC和CD上，∠EAF=45°，则EF的最小值是．三、解答题（共80分。
2019-2020学年第一学期期末考试试卷九年级数学一、选择题：（本大题共10个小题,每小题4分,共40分）1.抛物线221y x x =--的对称轴为直线（ ） A. 2x = B. 2x =- C. 1x = D. 1x =-【答案】C【解析】【分析】根据二次函数对称轴公式直线2bx a =-，代入求解即可．【详解】解：抛物线221y x x =--的对称轴为直线212x -=-=，故答案为C ．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，熟记公式是解题的关键．2.如图，已知Rt ABC V 中，90C ∠=︒，5AB =，4AC =，则cos B 的值为（）A. 35B. 34 C. 45 D.43【答案】A【解析】【分析】先根据勾股定理求出BC 的长，再根据三角函数的定义解答即可．【详解】∵Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，∴∴cosB=35 BCAB=，故选A，【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．3.在一个不透明的盒子中装有2个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个白球的概率是13，则黄球的个数为（，A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】试题分析：设黄球的个数为x个，根据题意得：1212x+=13，解得：x=24，经检验：x=24是原分式方程的解；∴黄球的个数为24．故选C．考点：概率公式．4. 若两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为（）A. 1∶2B. 1∶4C. 1∶8D. 1∶16【答案】D【解析】【分析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.【详解】∵两个相似三角形的周长之比为1∶4∴它们的面积之比为1∶16故选D.【点睛】本题考查相似三角形的性质，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握相似三角形的性质，即可完成.5.用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角逐一判断即可．【详解】解：A、直角未在工件上，故该工件不半圆，不合格，故A错误；B、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B错误；是C、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C正确；D、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D错误，故答案为：C．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角的实际应用，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．6.将抛物线y=，x，2，2，8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）A. y=，x+1，2，13B. y=，x，5，2，3C. y=，x，5，2，13D. y=，x+1，2，3【答案】D【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=（x-2）2-8向左平移3个单位所得直线的解析式为：y=（x+1）2-8；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x-5）2-8向上平移5个单位所得抛物线的解析式为：y=（x+1）2-3．故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．7.如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠的度数为（）∠=o，则AECABC64A. 106°B. 116°C. 126°D. 136°【答案】B【解析】【分析】根据圆的内接四边形对角互补，得出∠D的度数，再由轴对称的性质得出∠AEC的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D=180°-∠ABC=180°-64°=116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D=∠AEC=116°，故答案为B．【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质及轴对称的性质，解题的关键是熟知圆的内接四边形对角互补及轴对称性质．8.如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是， ，A. E为AC的中点B. DE是中位线或AD·AC=AE·ABC. ∠ADE=∠CD. DE∥BC或∠BDE+∠C=180°【答案】D【解析】【分析】如图，分两种情况分析：由△ADE与△ABC相似，得，∠ADE=∠B或∠ADE=∠C，故DE∥BC或∠BDE+∠C=180°.【详解】因为，△ADE与△ABC相似，所以，∠ADE=∠B或∠ADE=∠C所以，DE∥BC或∠BDE+∠C=∠BDE+∠ADE=180°故选D【点睛】本题考核知识点：相似性质.解题关键点：理解相似三角形性质.9.如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是（）A. 19.4B. 19.5C. 19.6D. 19.7【答案】C【解析】【分析】根据两把直尺在刻度10处是对齐的及上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，进而判断出上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度即可．【详解】解：由于两把直尺在刻度10处是对齐的，观察图可知上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，即上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，因此上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是18+1.6=19.6，故答案为C【点睛】本题考查了学生对图形的观察能力，通过图形得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度是解题的关键．10.学校体育室里有6个箱子，分别装有篮球和足球（不混装），数量分别是8，9，16，20，22，27，体育课上，某班体育委员拿走了一箱篮球，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，则这六箱球中，篮球有（）箱．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】先计算出这些水果的总质量，再根据剩下的足球与篮球的数量关系，通过推理判断出拿走的篮球的个数，从而计算出剩余篮球的个数．【详解】解：∵8+9+16+20+22+27=102（个）根据题意，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，∴剩下的五箱球中，篮球和足球的总个数是3的倍数，由于102是3的倍数，所以拿走的篮球个数也是3的倍数，只有9和27符合要求，假设拿走的篮球的个数是9个，则（102-9）÷3=31，剩下的篮球是31个，由于剩下的五个数中，没有哪两个数的和是31个，故拿走的篮球的个数不是9个，假设拿走的篮球的个数是27个，则（102-27）÷3=25，剩下的篮球是25个，只有9+16=25，所以剩下2箱篮球，故这六箱球中，篮球有3箱，故答案为：B．【点睛】本题主要考查的是学生能否通过初步的分析、比较、推理得出正确的结论，培养学生有顺序、全面思考问题的意识．二、填空题（每题5分，满分20分）11.若ab＝13，则a ba的值为______．【答案】4【解析】【分析】由a b ＝13可得3b a = ，代入计算即可. 【详解】解：∵a b ＝13， ∴3b a =， 则344a b a a a a a a++=== 故答案为4.【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12.如图，AB 与⊙O 相切于点B ，6AO cm =，4AB cm =，则⊙O 的半径为__________cm ．【答案】【解析】【分析】AB 与⊙O 相切于点B ，得出△ABO 为直角三角形，再由勾股定理计算即可．【详解】解：连接OB ，∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴OB ⊥AB ，△ABO 为直角三角形，又∵6AO cm =，4AB cm =，由勾股定理得OB ===故答案为：【点睛】本题考查了切线的性质，通过切线可得垂直，进而可应用勾股定理计算，解题的关键是熟知切线的性质．13.已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP PB >，设以AP 为边的正方形的面积为1S ，以PB AB ，为邻边的矩形的面积为2S ，则1S 与2S 的关系是__________．【答案】12S S =【解析】【分析】根据黄金分割比得出AP ，PB 的长度，计算出1S 与2S 即可比较大小．【详解】解：∵点P 是AB黄金分割点，AP PB >，∴AP AB =AB=2，则1AP =，21)3BP =-=∴211)6S ==-22(36S ==-∴12S S =故答案为：12S S =．【点睛】本题考查了黄金分割比的应用，熟知黄金分割比是解题的关键．14.将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点C 在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若()31P ，是钝角ABC ∆的外心，则C 的坐标为__________．【答案】()4,3或()1,2【解析】【分析】由图可知P 到点A ，BP【详解】解：由图可知P 到点A ，BP由于是钝角三角形，故舍去（5，2），故答案为()4,3或()1,2．【点睛】本题考查了三角形的外心，即到三角形三个顶点距离相等的点，解题的关键是画图找到C 点． 15.如图，在半径为5的⊙O 中，弦8AB =，P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连接AP ，过点A 作AP 的垂线交射线PB 于点C ，当PAB ∆是以AB 为腰的等腰三角形时，线段BC 的长为_____．【答案】8或5615【解析】【分析】 根据题意，以AB 为腰的等腰三角形有两种情况，当AB=AP 时，利用垂径定理及相似三角形的性质列出比例关系求解即可，当AB=BP 时，通过角度运算，得出BC=AB=8即可．【详解】解：①当AB=AP 时，如图，连接OA 、OB ，延长AO 交BP 于点G ，故AG ⊥BP ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ∴12APB AOB ∠=∠， 由垂径定理可知142AH BH AB ===，12AOH BOH AOB ∠=∠=∠ ∴APB AOH ∠=∠，在Rt △OAH 中，3OH =在Rt △CAP 中，AP cos APC PC ∠=，且35OH cos APC cos AOH OA ∠=∠==∴5540333PC AP AB ===， 在Rt △PAG 与Rt，PCA 中，∠GPA=，APC ，∠PGA=，PAC ，∴Rt △PAG ∽Rt，PCA ∴PA PG PC PA = ，则2245PA PG PC ==， ∴402456223515BC PC PB PC PG =-=-=-⨯=；②当AB=BP 时，如下图所示，∠BAP=∠BPA ，∴在Rt，PAC 中，∠C=90°-，BPA=90°-，BAP=，CAB ，∴BC=AB=8故答案为8或5615【点睛】本题考查了圆的性质及圆周角定理、相似三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是灵活运用上述知识进行推理论证．16.如图，平行四边形ABCD 中，60B ∠=o ，=12BC ，10AB =，点E 在AD 上，且AE=4，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接DG ，则线段DG 的最小值为____________________．【答案】【解析】【分析】结合已知条件，作出辅助线，通过全等得出ME=GN ，且随着点F 的移动，ME 的长度不变，从而确定当点N 与点D 重合时，使线段DG 最小．【详解】解：如图所示，过点E 做EM，AB 交BA 延长线于点M ，过点G 作GN，AD 交AD 于点N ， ∴∠EMF=∠GNE=90°∵四边形ABCD 是平行四边形，BC=12∴AD ∥BC ，AD=BC=12，∴∠BAD=120°，∴∠AFE+∠AEF=60°又∵EG 为EF 逆时针旋转120°所得，∴∠FEG=120°，EF=EG ，∴∠AEF+∠GEN=60°，∴∠AFE=∠GEN ，∴在△EMF 与△GNE 中，∠AFE=∠GEN ，∠EMF=∠GNE=90°，EF=EG ，∴△EMF ≌△GNE （AAS ）∴ME=GN又∵∠EAM=∠B=60°，AE=4，∴∠AEM=30°，122AM AE ==，ME ==，∴ME GN ==∴当点N 与点D 重合时，使线段DG 最小，如图所示，此时DG GN ==故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、全等三角形的构造、几何中的动点问题，解题的关键是作出辅助线，得到全等三角形，并发现当点N 与点D 重合时，使线段DG 最小．三、解答题：（共80分）17.计算：()10120202sin 302π-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭o 【答案】2【解析】【分析】利用负指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数的运算即可．【详解】解：原式=121222-+⨯= 【点睛】本题考查了负指数幂、零指数幂、特殊角三角函数的运算，掌握基本的运算法则是解题的关键． 18.为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A ，B ，C 依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A ，B ，C 这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．【答案】（1）13；（2）23 【解析】【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】解：（1）因为有A ，B ，3C 种等可能结果，所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是13；的故答案为13． （2）树状图如图所示：共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率6293==． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能结果n ， 19.商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台．若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台．设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x 元．（1）填表：（2）商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到最大时，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？【答案】（1）2825x +，400-x ；（2）2750． 【解析】【分析】 （1）利润=一台冰箱的利润×销售数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量会提高； （2）根据每台的利润×销售数量列出函数关系式，再根据二次函数的性质，求利润的最大值．【详解】解：（1）降价后销售数量为28485025x x +⨯=+； 降价后的利润为：400-x ，故答案为：2825x +，400-x ； （2）设总利润为y 元，则 2222(400)(84)243200(150)5000502525x y x x x x =-+⨯=-++=--+∵2025-<，开口向下 ∴当150x =时，5000y =最大此时售价为29001502750-=（元）答：每台冰箱的实际售价应定为2750元时，利润最大．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用中的销售问题，解题的关键是分析题意，找出关键的等量关系，列出函数关系式．20.某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°至24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度得桌面．新桌面的设计图如图1，AB 可绕点A 旋转，在点C 处安装一根长度一定且C 处固定，可旋转的支撑臂CD ，30AD cm =．（1）如图2，当24BAC =o ∠时，CD AB ⊥，求支撑臂CD 的长；（2）如图3，当12BAC =o ∠时，求AD 的长．（结果保留根号）（参考数据：sin 240.40≈o ，cos 240.91≈o ，tan 240.46≈o ，sin120.20≈o ）【答案】（1）12cm ；（2）− 【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出sin 24CD AC︒=，进而求出CD 即可； （2）利用锐角三角函数关系得出sin1230CE CE AC ︒==，再由勾股定理求出DE 、AE 的值，即可求出AD 的长度．【详解】解：（1）∵∠BAC=24°，CD AB ⊥， ∴sin 24CD AC︒= ∴sin 24300.4012CD AC cm =︒=⨯=，∴支撑臂CD 的长为12cm（2）如图，过点C 作CE ⊥AB ，于点E ，当∠BAC=12°时， ∴sin1230CE CE AC ︒== ∴30sin12300.206CE cm =︒=⨯=∵CD=12，∴由勾股定理得：DE ==，AE =∴AD 的长为或)cm【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数关系是解题关键．21.如图，AB 是⊙O 的直径，M 是OA 的中点，弦CD AB ⊥于点M ，过点D 作DE CA ⊥交CA 的延长线于点E ．（1）连接AD ，求OAD ∠；（2）点F 在»BC 上，45CDF ?o ，DF 交AB 于点N ．若DE =FN 的长．【答案】（1）60︒；（2．【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得AB 垂直平分CD ，再根据M 是OA 的中点及圆的性质，得出△OAD 是等边三角形即可；（2）根据题意得出∠CNF=90°，再由Rt△CDE计算出CD，CN的长度，根据圆的内接四边形对角互补得出∠F=60°，从而根据三角函数关系计算出FN的值即可．【详解】解：（1）如图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，CD AB⊥于点M∴AB垂直平分CD，∵M是OA的中点，∴1122 OM OA OD ==∴1 cos2OMDOMOD∠==∴∠DOM=60°，又∵OA=OD∴△OAD是等边三角形∴∠OAD=60°．（2）如图，连接CF，CN，∵OA⊥CD于点M，∴点M是CD的中点，∴AB垂直平分CD∴NC=ND∵∠CDF=45°，∴∠NCD=∠NDC=45°，∴∠CND=90°，∴∠CNF=90°，由（1）可知，∠AOD=60°，∴∠ACD=30°，又∵DE CA⊥交CA的延长线于点E，∴∠E=90°，在Rt △CDE 中，∠ACD=30°，DE =∴CD =在Rt △CND 中，∠CND=90°，∠NCD=∠NDC=45°，CD =，∴452CN CDsin =︒== 由（1）可知，∠CAD=2∠OAD=120°，∴∠F=180°-120°=60°，∴在Rt △CFN 中，∠CNF=90°，∠F=60°，CN =，∴tan 60CN FN ===︒【点睛】本题考查了圆的性质、垂径定理、圆的内接四边形对角互补的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数的应用，综合性较大，解题时需要灵活运用边与角的换算．22.锐角ABC ∆中，6BC =，AD 为BC 边上的高线，12ABC S ∆=，两动点M N ，分别在边AB AC ，上滑动，且MN BC P ，以MN 为边向下作正方形MPQN （如图1），设其边长为x ．（1）当PQ 恰好落在边BC 上（如图2）时，求x ；（2）正方形MPQN 与ABC ∆公共部分的面积为163时，求x 的值．【答案】（1）125；（2）3或4．【解析】【分析】（1）根据已知条件，求出AD 的值，再由△AMN，，ABC ，确定比例关系求出x 的值即可；（2）当正方形MPQN 与ABC ∆公共部分的面积为163时，可分两种情况，一是当PQ 在△ABC 的内部，二是当PQ 在△ABC 的外部，当当PQ 在△ABC 的外部时，根据相似，表达出重叠部分面积，再列出方程，解出x 的值即可．【详解】解：（1）∵6BC =，AD 为BC 边上的高线，12ABC S ∆=， ∴16122AD ⨯⋅= ∴AD=4，设AD 交MN 于点H ，∵MN ∥BC ，∴△AMN，，ABC ， ∴AH MN AD BC =，即446x x -=，解得125x =， ∴当PQ 恰好落在边BC 上时，125x =（2）①当PQ 在△ABC 的内部时，正方形MPQN 与ABC ∆公共部分的面积即为正方形MPQN 的面积，∴2163x =，解得3x =②当PQ 在△ABC 的外部时，如下图所示，PM 交BC 于点E ，QN 交BC 于点F ，AD 交MN 于点H ， 设HD=a ，则AH=4-a ， 由AH MN AD BC =得446a x -=，解得243a x =-+ ∴矩形MEFN 的面积为222(4)+4(2.46)33MN HD x x x x x ⋅=-+=-<≤ 即2216+433x x -= 解得124,2x x ==（舍去），综上：正方形MPQN 与ABC ∆公共部分的面积为163时，3x =或4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的对应高的比等于对应边的比的性质，正方形的四边相等的性质以及方程思想，列出比例式是解题的关键．23.定义：已知点O 是三角形边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点O 叫做该三角形的等距点．（1）如图1：ABC ∆中，90ACB ∠=o ，3AC =，4BC =，O 在斜边AB 上，且点O 是ABC ∆的等距点，试求BO 的长；（2）如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=o ，点P 在边AB 上，2AP BP =，D 为AC 中点，且90CPD ∠=o ． ①求证：CPD ∆的外接圆圆心是ABC ∆的等距点；②求tan PDC ∠的值．【答案】（1）258或 209； （2）①证明见解析, ． 【解析】【分析】 （1）根据三角形的等距点的定义得出OB=OE 或OA=OF ，利用相似三角形，表达出对应边，列出方程求解即可；（2）①由△CPD 为直角三角形，作出外接圆，通过平行线分线段成比例得出DP ∥OB ，进而证明△CBO ≌△PBO ，最后推出OP 为点O 到AB 的距离，从而证明点O 是△ABC 的等距点；（2）求tan PDC ∠相当于求tan BOC ∠，由①可得△APO 为直角三角，通过勾股定理计算出BC 的长度，从而求出tan PDC ∠．【详解】解：（1）如图所示，作OF ⊥BC 于点F ，作OE ⊥AC 于点E ，则△OBF ∽△ABC ， ∴OB OF BF AB AC BC== ∵3AC =，4BC =，由勾股定理可得AB=5，设OB=x ，则534x OF BF == ∴35OF x =，45BF x = ∵点O 是ABC ∆的等距点，若OB=OE ，445OE x =- ∴445x x =-解得：209x = 若OA=OF ，OA=5-x ∴355x x -=，解得258x = 故OB 的值为258或 209（2） ①证明：∵△CDP 是直角三角形，所以取CD 中点O ，作出△CDP 的外接圆，连接OP ，OB 设圆O 的半径为r ，则DC=2r ，∵D 是AC 中点，∴OA=3r ∴23AD AO =， 又∵PA=2PB ，∴AB=3PB ∴23PA AB = ∴//DP OB∴∠ODP=∠COB ，∠OPD=，POB又∵∠ODP=，OPD ，∴∠COB=，POB ，在△CBO 与△PBO 中，OC OP COB POB OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBO ≌△PBO （SAS ）∴∠OCB=，OPB=90°，∴OP ⊥AB ，即OP 为点O 到AB 的距离，又∵OP=OC ，∴△CPD 的外接圆圆心O 是△ABC 的等距点②由①可知，△OPA 为直角三角形，且∠PDC=∠BOC ，OC=OP=r∵在Rt △OPA 中，OA=3r,∴AP ==，∴AB =∴在Rt △ABC 中，AC=4r，AB =，∴BC ==，∴tan tan BC PDC BOC OC r ∠=∠===【点睛】本题考查了几何中的新定义问题，涉及了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的性质及三角函数的内容，范围较大，综合性较强，解题的关键是明确题中的新定义，并灵活根据几何知识作出解答．24.如图，已知直线1122y x =+与抛物线2y ax bx c =++相交于()10A -，，()4B m ，两点，抛物线2y ax bx c =++交y 轴于点302C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，交x 轴正半轴于D 点，抛物线的顶点为M ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，当PAB ∆的面积最大时，求PAB ∆的面积及点P 的坐标； （3）若点Q 为x 轴上一动点，点N 在抛物线上且位于其对称轴右侧，当QMN ∆与MAD ∆相似时，求N 点的坐标．【答案】（1）y=21322x x --；（2）12516，315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()3,0N 或()5,6或1或()21+ 【解析】【分析】（1）将点()4B m ，代入1122y x =+中求出点B 坐标，将点A ，B ，C 坐标代入2y ax bx c =++中求解即可；（2）如图所示作辅助线，设点P 213(,)22m m m --，点E 11(,)22m m +，表达出EP 的长度，将△ABP 分割成两个三角形进行计算，再利用二次函数的性质求最大值即可；（3）通过坐标得出△MAD 是等腰直角三角形，从而判断QMN ∆也是等腰直角三角形，再对QMN ∆进行分类讨论．【详解】解：（1）将点()4B m ，代入1122y x =+中得1154222m =⨯+=， ∴点542B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 将点()10A -，、542B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、302C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入2y ax bx c =++中得 05164232a b c a b c c ⎧⎪-+=⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得：12132a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩， ∴21322y x x =-- （2）如图①，过点P 作EP ⊥x 轴，交AB 于点E ，则设点P 213(,)22m m m --，点E 11(,)22m m +， ∴EP=22111313()2222222m m m m m +---=+-+， ∴2221315531252)(41)5()224415(41622ABP AEP BEP m m m m m S S S -++=-+=--==++++V V V ∵504-<，开口向下， ∴当32m =时，12516ABP S =V 最大， 此时P 315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）在21322y x x =--中，令y=0得213022x x --=，解得121,3x x =-=，∴点D （3，0）又∵M （1，-2）∴AD=4，AM=DM=∵222AM DM AD +=∴△MAD 是等腰直角三角形，若QMN ∆与MAD ∆相似，则QMN ∆也是等腰直角三角形，有以下情况：①当∠MQN=90°，且点N 与点D 重合时，如下图所示，满足要求，此时N （3，0）②当∠MQN=90°，点N 在x 轴上方时，如下图所示，作NF ⊥x 轴，ME ⊥于x 轴，则△NFQ ≌△QEM （AAS ），∴EM=FQ=2，EQ=NF 设213,)22(N t t t -- （1t > ），则(2,0)Q t +∴EQ=t+2-1=t+1 ∴213122t t t --=+ 解得：15t =，21t =-（舍去），∴N ()5,6③当∠QMN=90°时， △QMN ∆与MAD ∆重合，N （3，0），④当∠QNM=90°时，且点N 在x 轴上方时，如图所示作NH ⊥x 轴，NF ⊥直线x=1则△QHN ≌△MFN ，∴FN=NH 设213,)22(N t t t --，则1FN t =-, 21322NH t t =-- ∴213122t t t -=--解得：1222t t ==此时N ()21+⑤当∠QNM=90°时，且点N 在x 轴下方时，如图所示作NP ⊥x 轴，NG ⊥直线x=1，则△QPN ≌△NGM∴PN=GN 设213,)22(N t t t --，则1GN t =-, 213()22PN t t =---， ∴2131()22t t t -=---解得12t t =此时N 1综上所述，()3,0N 或()5,6或1或()21+．【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合应用，第（1）、（2）问难度适中，解题的关键是熟悉待定系数也法求二次函数解析式及坐标系中三角形面积的求解方法，第（3）问难度较大，解题的关键是确定QMN是等腰直角三角形，对三角形进行分类讨论，灵活运用函数的性质及三角形全等的性质．。
2014-2015年九年级数学上期末考试题（附答案）广州市番禺区2014-2015学年第一学期期末考试九年级数学试题【试卷说明】1.本试卷共4页,全卷满分120分（，考试时间为120分钟.考生应将答案全部填（涂）写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.考试时允许使用计算器； 2. 答题前考生务必将自己的姓名、准考证号等填（涂）写到答题卡的相应位置上； 3. 作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗，描写清楚。
一、选择题 (本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 一元二次方程的根的情况是（※）. （A）有两个实数根（B）没有实数根（C）有两个相等的实数根（D）只有一个实数根 2. 既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（※）.3. 如图，关于抛物线，下列说法中错误的是（※）. （A）顶点坐标为（1，-2）（B）对称轴是直线（C）当时，随的增大而减小（D）开口方向向上 4. 如图, 是⊙O的圆周角, ,则的度数为（※）. （A）（B）（C）（D） 5. 下列事件中是必然事件的是（※）. （A）抛出一枚硬币，落地后正面向上（B）明天太阳从西边升起（C）实心铁球投入水中会沉入水底（D）篮球队员在罚球线投篮2次，至少投中一次 6. 如图，将△ 绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△ ，若，则∠1的度数是（※）. （A）（B）（C）（D） 7. 一元二次方程的一个根为2，则的值为（※）. （A）（B）（C）（D）8. 如图，是的弦，半径于点且则的长为（※）. （A）（B）（C）（D） 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（※）. （A）（B）（C）且≠1 （D）且≠110. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（※）.二、填空题（共6题，每题3分，共18分.） 11.方程的解为※ ． 12.抛物线的顶点坐标为※ ． 13.正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是※ ． 14.如图，为半圆的直径，且 ,半圆绕点B顺时针旋转45°，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为※ ． 15.抛物线与轴交于两点，则的长为※ ． 16.甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率是※ ．三、解答题（本大题共7小题，满分52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分6分，各题3分）（1）用配方法解方程： ; （2）用公式法解方程： .18.（本小题满分7分）已知二次函数的图象过点（4，3）、（3，0）．（1）求、的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）在下图中作出此二次函数的图象，根据图像说明，当取何值时，？19.（本小题满分7分）在如图所示的网格图中,每个小正方形的边长均为1个单位，Rt△ 的三个顶点均在格点上，且，（1）在图中作出△ 以为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△ ；（2）若点的坐标为（－3，5），试在图中画出直角坐标系，并写出的坐标；（3）在上述坐标系中作出△ 关于原点对称的图形△ ，写出的坐标． 20．（本小题满分7分）随着市民环保意识的增强，节庆期间烟花爆竹销售量逐年下降．某市2011年销售烟花爆竹20万箱，到2013年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求该市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率． 21．（本小题满分8分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、丙两位同学的概率；（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率． 22.（本小题满分8分）如图，在△ 中，，的平分线交于点，过点作直线的垂线交于点，⊙ 是△ 的外接圆．（1）求证：是⊙ 的切线；（2）过点作于点，求证：．23.（本小题满分9分）如图，已知抛物线的对称轴为直线：且与轴交于点与轴交于点 .（1）求抛物线的解析式；（2）试探究在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以为直径作⊙ ,过点作直线与⊙ 相切于点，交轴于点，求直线的解析式．以下为附加题（共2大题，每题10分，共20分，可记入总分） 24.（本小题满分10分）已知，是反比例函数图象上的两点，且，．（1）在图中用“描点”的方法作出此反比例函数的图象；（2）求的值及点的坐标；（3）若－4＜－1，依据图象写出的取值范围． 25.（本小题满分10分）一出租车油箱的容积为70升，某司机将该车邮箱加满油后，将客人送达340km外的某地后立即返回.设出租车可行驶的总路程为（单位：km）,行驶过程中平均耗油量为（单位：升/km）. （1）写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）若该车以每千米耗油0.1升行驶送达客人至目的地，返程时由于堵车，油耗平均增加了 ,该车返回出发地是否需要加油？若需要，试求出至少需加多少油，若不需要，请说明理由。
2017-2018学年浙江省绍兴市诸暨市初三上学期期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意）1．（4分）已知，则代数式的值为（）A．B．C．D．2．（4分）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（1，3）D．（1，﹣3）3．（4分）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，则cosB=（）A．B．C．D．4．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD 于点F，则EF：FC等于（）A．3：2B．3：1C．1：1D．1：25．（4分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC 的值为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm6．（4分）已知点A（﹣3，y1），（4，y2），（，y3）在函数y=x2+2x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2 7．（4分）已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB=6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE=BC，则阴影部分面积为（）A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣8．（4分）如图，正方形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于点O，CM交BD于点N，若BM=1，则线段ON的长为（）A．B．1C．D．9．（4分）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．﹣310．（4分）抛物线y=x2﹣2x﹣15，y=4x﹣23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．10B．7C．5D．8二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的概率是．12．（5分）如图，要制作一个母线长为8cm，底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是．13．（5分）如图，已知BE平分∠ABC，DE∥BC，AD=3，DE=2，AC=4，则AE=．14．（5分）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB=BC=CD，分别以A、D为圆心，A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心，O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F，则△ACF面积是．15．（5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为．16．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F在BC和CD上，∠EAF=45°，则EF的最小值是．三、解答题（共80分。
浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．如图，在ABC 中，4cm,40AB AC ∠==︒，以AB 为直径作圆O ，交BC 于，交AC 于点E ，则弧DE 的长是（A ．52．29π49π89π9．如图，Rt ABC 中，90C =︒，AB =4cm AC =，点P 出发，以1cm /s 的速度沿A C →向点C 运动，同时点Q 从点出发，以2cm /s 的速度沿A B C →→向点C 运动，直到它们都到达点C 为止．若∆的面积为2(cm )S ，的运动时间为(s)t ，则S 与t 的函数图象是（）A ．．C ．．10．如图，ABC 中，线段HC ，AC 上两点，满足A ．62-B ．3二、填空题11．二次函数2231y x x =--12．正六边形每个内角的度数为13．如图，在△ABC 中，点则四边形BDEC 的面积为14．从3，4中任取一个数作为的概率是．15．如图1，已知线段AB ，作如下操作：步骤1：延长线段AB ，以点步骤2：以点,M N 为圆心，大于延长成直线，记为直线1:l 步骤3：以点,A B 为圆心，大于并延长成直线2l 交AB 于点C 步骤4：以点B 为圆心，BC 步骤5：连接AD ，以点D 为圆心，三、解答题17．（1）计算：22sin 60tan45cos 30⋅︒-︒︒．（2）已知二次函数顶点为()1,2-，经过点()0,1，求该二次函数的解析式．18．寒假即将来临，为了调动同学们学习热情，陈老师班内组织了进题大赛，优胜者可领取“寒假小礼品”．陈老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．(1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“3”的概率是______；(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求抽到题号“2”的概率．19．如图，在下列44⨯（每个小正方形的边长为1）的网格中，已知ABC 的三个顶点,,A B C 在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标．(1)经过,,A B C 三点有一条抛物线，图中存在点D ，点D 落在格点上，同时也落在这条拋物线上，则点D 的坐标为______．(2)经过,,A B C 三点有一个圆，圆心为点E ，则点E 的坐标为______．20．某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可出售200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.25元，那么每天的销售量就减少5件．(1)将每件商品的售价定为多少元时，才能使每天的利润为640元？(1)若支杆BC 与桌面的夹角72BCM ∠=︒(2)在（1）的条件下，若支杆BC 与AB 的夹角距离．22．如图，在∆ABC 中，点D ，E 分别在边BD .（1）求证：∆ADE ~∆ABC .（2）若点E 为AB 为中点，AD ：AE ＝6：23．利用以下素材解决问题．探索货船通过拱桥的方案素材1图1中有一座对称石拱桥，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB 端点到拱顶点C 距离10m AC BC ==，拱顶离水面的距离5mCD =图1图。
2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）若2a＝3b，则＝（）A．B．C．D．2．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．（4分）设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任取一只，是二等品的概率等于（）A．B．C．D．4．（4分）如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，D是优弧AB上的一点（不与点A、B重合），若∠AOC＝50°，则∠CDB等于（）A．25°B．30°C．40°D．50°5．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sin B 的值是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，△ABC中，DE∥BC，D、E分别在AB、AC上，若AD：DB＝2：3，则（）A．DE：BC＝2：3B．S△ADE：S四边形DECB＝4：9C．EC：AC＝3：5D．AE：AC＝3：57．（4分）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径是多少？”（）A．4步B．5步C．6步D．8步8．（4分）小明从家出发到公园晨练，在公园锻炼一段时间后按原路返回，同时小明爸爸从公园按小明的路线返回家中，如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数图象，则下列结论中不正确的是（）A．公园离小明家1600米B．小明出发分钟后与爸爸第一次相遇C．小明在公园停留的时间为5分钟D．小明与爸爸第二次相遇时，离家的距离是960米9．（4分）如图，OA＝AB，∠OAB＝90°，双曲线y＝经过点A，双曲线y＝﹣经过点B，已知点A的纵坐标为﹣2，则点B的坐标为（）A．（+3，﹣1）B．（4，1）C．（2+，﹣1）D．（2，﹣1）10．（4分）现有1个头，2个头，3个头的LEGO（乐高）积木如图（a）所示，其中3个头的有2个，2个头的有3个，1个头的有6个，用这些积木从左向右摆成6个头的长条，如图（b）的1，2，2，1是其中的一种摆放方式，那么，不同的摆放方式一共有（）种．A．7B．19C．22D．24二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）若⊙O的半径为5，OP＝4，则点P与⊙O的位置关系为．12．（5分）若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是（y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．13．（5分）从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为（精确到0.10）．14．（5分）13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始按顺时针方向数数，数到第13，该小朋友离开；这样继续下去，直到最后剩下一个小朋友．小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从号小朋友开始数起．15．（5分）如图，某同学用圆规BOA画一个半径为4cm的圆，测得此时∠O＝90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端向左移至B′处，此时测得∠O′＝120°，则BB′的长为．16．（5分）′如图，在平面直角坐标系xOy中，扇形OAB的圆心角∠AOB＝60°，点A在x轴正半轴上且OA＝2，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD 的对称点为E，若点E落在扇形OAB内（不含边界），则点E的横坐标x取值范围为．三、解答题（共80分）17．（8分）计算：．18．（8分）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．19．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，E是AD上的一点，且CE＝CD．求证：．20．（8分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求出x的最小值．21．（10分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O 于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．22．（12分）湖州师院大学生小王利用暑假开展了30天的社会实践活动，参与了湖州浙北超市的经营，了解到某成本为15元/件的商品在x天销售的相关信息，如表表示：设该超市在第x天销售这种商品获得的利润为y元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）在这30天中，该超市销售这种商品第几天的利润最大？最大利润是多少？23．（12分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．24．（14分）如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l 上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°．（1）求△AOB的周长；（2）设AQ＝t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ ＝m，若过点A的二次函数y＝ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①6a+3b+2c＝0；②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值．2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）若2a＝3b，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据等式的性质，两边都除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．【解答】解：两边都除以2b，得＝，故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键．2．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【分析】根据抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），可直接写出顶点坐标．【解答】解：由y＝2（x﹣1）2+3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3）．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．3．（4分）设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任取一只，是二等品的概率等于（）A．B．C．D．【分析】让二等品数除以总产品数即为所求的概率．【解答】解：∵现有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，从中任意取1只，可能出现12种结果，是二等品的有3种可能，∴二等品的概率＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，难度适中．4．（4分）如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，D是优弧AB上的一点（不与点A、B重合），若∠AOC＝50°，则∠CDB等于（）A．25°B．30°C．40°D．50°【分析】连接OB，根据垂径定理即可推出∠BOC＝∠AOC＝50°，然后根据圆周角定理即可推出∠CDB的度数．【解答】解：连接OB，∵⊙O的半径OC垂直于弦AB，∠AOC＝50°，∴∠BOC＝∠AOC＝50°，∴∠CDB＝∠BOC＝25°．故选A．【点评】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，关键在于正确的做出辅助线，求出∠BOC ＝∠AOC＝50°．5．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sin B 的值是（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，则斜边AB＝2CD＝4，则即可求得sin B的值．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝2，∴AB＝2CD＝4．∴sin B＝．故选：C．【点评】本题主要运用了直角三角形的性质（斜边上的中线等于斜边的一半），并考查了正弦函数的定义．6．（4分）如图，△ABC中，DE∥BC，D、E分别在AB、AC上，若AD：DB＝2：3，则（）A．DE：BC＝2：3B．S△ADE：S四边形DECB＝4：9C．EC：AC＝3：5D．AE：AC＝3：5【分析】由AD＝3，DB＝2，即可求得AB的长，又由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得DE：BC＝AD：AB，则可求得答案【解答】解：∵AD：DB＝2：3，∴AD：AB＝2：5，∵DE∥BC，∴CE：AC＝BD：AB＝3：5，∴选项C正确，故选：C．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．7．（4分）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径是多少？”（）A．4步B．5步C．6步D．8步【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径．【解答】解：根据勾股定理得：斜边为＝17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝＝3（步），即直径为6步，故选：C．【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，Rt△ABC，三边长为a，b，c（斜边），其内切圆半径r＝．8．（4分）小明从家出发到公园晨练，在公园锻炼一段时间后按原路返回，同时小明爸爸从公园按小明的路线返回家中，如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数图象，则下列结论中不正确的是（）A．公园离小明家1600米B．小明出发分钟后与爸爸第一次相遇C．小明在公园停留的时间为5分钟D．小明与爸爸第二次相遇时，离家的距离是960米【分析】依据图象可得，公园离小明家1600米；依据小明从家出发到公园晨练时的速度，以及小明爸爸从公园按小明的路线返回家中的速度，即可得到小明出后与爸爸第一次相遇的时间；由图可得，30分钟后小明与爸爸第二次相遇时，离家的距离是640米；依据小明在与爸爸第二次相遇后回到家的时间，以及小明在公园锻炼一段时间后按原路返回的速度，即可得到小明在公园停留的时间为15﹣10＝5分钟．【解答】解：由图可得，公园离小明家1600米，故A选项正确；∵小明从家出发到公园晨练时，速度为1600÷10＝160米/分，小明爸爸从公园按小明的路线返回家中的速度为1600÷50＝32米/分，∴小明出后与爸爸第一次相遇的时间为1600÷（160+32）＝分钟，故B选项正确；由图可得，30分钟后小明与爸爸第二次相遇时，离家的距离是1600﹣30×32＝640米，故D选项错误；∵小明在与爸爸第二次相遇后回到家的时间为：40﹣30＝10分，∴小明在公园锻炼一段时间后按原路返回的速度为640÷10＝64米/分，∴40﹣1600÷64＝15分，∴小明在公园停留的时间为15﹣10＝5分钟，故C选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查了函数的图象，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．解决问题的关键是利用图象中的信息通过计算得到速度的大小．9．（4分）如图，OA＝AB，∠OAB＝90°，双曲线y＝经过点A，双曲线y＝﹣经过点B，已知点A的纵坐标为﹣2，则点B的坐标为（）A．（+3，﹣1）B．（4，1）C．（2+，﹣1）D．（2，﹣1）【分析】如图2中，作AH⊥OF于H，BG⊥AH于G．首先证明△OHA≌△AGB，推出OH＝AG，AH＝BG＝2，设OH＝AG＝m，推出B（m+2，m﹣2），把点B（m+2，m﹣2）代入y＝﹣求出m即可解决问题．【解答】解：如图中，作AH⊥x轴于H，BG⊥AH于G．∵∠OAB＝90°，∴∠OAH+∠GAB＝90°，∠GAB+∠ABG＝90°，∴∠OAH＝∠ABG，同理得∠AOH＝∠BAG，在△OHA和△AGB中，∴△OHA≌△AGB，∴OH＝AG，AH＝BG＝2，设OH＝AG＝m，则B（m+2，m﹣2），把点B坐标（m+2，m﹣2）代入y＝﹣得（m﹣2）（m+2）＝﹣k①把点A坐标（m，﹣2）代入y＝得﹣2m＝k②联立①②解得：，（舍去）∴将m1＝1+代入得：B（3+，）故选：A．【点评】本题考查反比例函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．（4分）现有1个头，2个头，3个头的LEGO（乐高）积木如图（a）所示，其中3个头的有2个，2个头的有3个，1个头的有6个，用这些积木从左向右摆成6个头的长条，如图（b）的1，2，2，1是其中的一种摆放方式，那么，不同的摆放方式一共有（）种．A．7B．19C．22D．24【分析】分6个1个头，4个1个头、1个2个头，2个1个头、2个头，3个2个头，3个1个头、1个3个头，1个1个头、1个2个头、1个3个头，2个3个头这六种情况分别求解可得．【解答】解：①由6个1个头组成的只有1、1、1、1、1、1这1种情况；②由4个1个头、1个2个头组成的有：2、1、1、1、1；1、2、1、1、1；1、1、2、1、1；1、1、1、2、1；1、1、1、1、2这5种情况；③由2个1个头、2个头组成的有：1、2、2、1；2、1、1、2；1、1、2、2；1、2、1、2；2、1、2、1、2、2、1、1这6种情况；④由3个2个头组成的有：2、2、2这1种情况；⑤由3个1个头、1个3个头组成的有：1、1、1、3；1、1、3、1；1、3、1、1；3、1、1、1这4种情况；⑥由1个1个头、1个2个头、1个3个头组成的有：1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1这6种情况；⑦由2个3个头组成的有：3、3这1种情况，综上，不同的摆放方式一共有1+5+6+1+4+6+1＝24种，故选：D．【点评】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是根据题意得出所有组成的种类．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）若⊙O的半径为5，OP＝4，则点P与⊙O的位置关系为圆内．【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵OP＝4＜6，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故答案为圆内．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．12．（5分）若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是y1＜y2（y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论．【解答】解：∵点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，∴y1＝﹣29，y2＝1．∵﹣29＜1，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键．13．（5分）从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为0.80（精确到0.10）．【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，即可估计出这种玉米种子发芽的概率．【解答】解：观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，0.801≈0.80，则这种玉米种子发芽的概率是0.80，故答案为：0.80．【点评】此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种玉米种子发芽的频率是解本题的关键．14．（5分）13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始按顺时针方向数数，数到第13，该小朋友离开；这样继续下去，直到最后剩下一个小朋友．小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从7号小朋友开始数起．【分析】可以从1号数起，根据图形得出离开的依次序号分别为：13、1、3、6、10、5、2、4、9、11、12、7，最后留下的是8号．然后倒推即可得出开始数的小朋友序号．【解答】解：据题意分析可得：如果从1号数起，离开的分别为：13、1、3、6、10、5、2、4、9、11、12、7．最后留下的是8号．因此，想要最后留下1号，即将“8”倒推7位，那么数字“1”也应该倒推7位，得到的数是“7”．故答案为：7．【点评】本题要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．15．（5分）如图，某同学用圆规BOA画一个半径为4cm的圆，测得此时∠O＝90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端向左移至B′处，此时测得∠O′＝120°，则BB′的长为2﹣4．【分析】△ABO是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，过O'作O'D⊥AB 于点D，在直角△AO'D中利用三角函数求得AD的长，则AB'＝2AD，然后根据BB'＝AB'﹣AB即可求解．【解答】解：在等腰直角△OAB中，AB＝4，则OA＝AB＝2cm，∠AO'D＝×120°＝60°，过O'作O'D⊥AB于点D．则AD＝AO'•sin60°＝2×＝．则AB'＝2AD＝2，故BB'＝AB'﹣AB＝2﹣4．故答案是：2﹣4．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．16．（5分）′如图，在平面直角坐标系xOy中，扇形OAB的圆心角∠AOB＝60°，点A在x轴正半轴上且OA＝2，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD 的对称点为E，若点E落在扇形OAB内（不含边界），则点E的横坐标x取值范围为+﹣≤x＜2﹣2．【分析】求出两种特殊情形点E的坐标即可解决问题：当点E落在半径OA上．可以画出相应的图形，可知点A与点E关于点CD对称，从而可以得到DE＝DA，由点C为弧AB的中点，∠AOB＝60°，OC＝OA＝2，可以求得OD和AD的长，从而可以求得OE 的长，进而得到点E的坐标；当CE∥x轴的时候，点E的横坐标最小，求出点E的坐标即可解决问题．【解答】解：当点E落在半径OA上时，连接OC，如下图1所示，∵∠ADC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，∴CD＝OC•sin30°＝2×＝1，∴OD＝OC•cos30°＝2×＝，∴AD＝OA﹣OD＝2﹣，∵DE＝DA，∴OE＝OD﹣DE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，即点E的坐标为（2﹣2，0）；当CE∥x轴的时候，点E的横坐标最小，此时E（+﹣，1）∴满足条件的点E的横坐标x取值范围为+﹣≤x＜2﹣2．故答案为+﹣≤x＜2﹣2．【点评】本题考查扇形，翻折变换，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．三、解答题（共80分）17．（8分）计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及结合负指数幂的性质化简进而得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+2+2＝1+2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（8分）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．【分析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：，解得：x＝1，经检验x＝1是方程的根，即红球的个数为1个；（2）画树状图如下：∴P（摸得两白）＝＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，E是AD上的一点，且CE＝CD．求证：．【分析】只要证出△ABD∽△ACE，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠CAE，∵CE＝CD，∴∠DEC＝∠EDC，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴＝．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，能根据题意判断出△ABD∽△ACE是解答此题的关键．20．（8分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求出x的最小值．【分析】依据CD∥AB，即可得到△OCD∽△OAB，再根据相似三角形的性质可得＝，即可得到x的最小值为10．【解答】解：如图，由题可得CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴＝，即＝，解得x＝10，∴x的最小值为10．【点评】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会把实际问题转化为数学问题．21．（10分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O 于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE＝∠DEM＝90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【解答】（1）证明：连接OD．∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE＝∠DEM＝90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，∴．连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°．∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴．∴．则AC＝15（cm）．∴⊙O的半径是7.5cm．【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．22．（12分）湖州师院大学生小王利用暑假开展了30天的社会实践活动，参与了湖州浙北超市的经营，了解到某成本为15元/件的商品在x天销售的相关信息，如表表示：设该超市在第x天销售这种商品获得的利润为y元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）在这30天中，该超市销售这种商品第几天的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据总价＝单价×数量，分别用每件商品的利润乘以这种商品的销售量，求出y关于x的函数关系式即可．（2）首先分类讨论，求出①当1≤x≤18时，②当18＜x≤30时，该超市销售这种商品所获的利润是多少，然后比较大小，判断出该超市销售这种商品第几天的利润最大，最大利润是多少即可．【解答】解：（1）①当1≤x≤18时，y＝（20+x﹣15）（45﹣x）＝（5+x）（45﹣x）＝﹣x2+40x+225②当18＜x≤30时，y＝（38﹣15）（45﹣x）＝23（45﹣x）＝﹣23x+1035∴y＝；（2）①当1≤x≤18时，y＝﹣（x﹣20）2+625，∴当x＝18时，y最大值＝621元．②当18＜x≤30时，∵﹣30＜0，∴y随x的增大而减小，又∵x取正整数，∴当x＝19时，y最大值＝598（元）．∵621＞598，∴在这30天中，该超市销售这种商品，第18天的利润最大，且最大利润为621元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，考查了单价、总价、数量的关系，以及函数解析式的求法，要熟练掌握．23．（12分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD，BE之间的数量关系为AD＝BE．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD＝BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM＝DM＝ME，从而证到AE＝2CH+BE．（3）由PD＝1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD＝90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．故答案为：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．故答案为：AD＝BE．（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．（3）点A到BP的距离为或．理由如下：∵PD＝1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上．∴点P是这两圆的交点．①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、P A，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝，∠BAD＝90°．∴BD＝2．∵DP＝1，∴BP＝．∵∠BPD＝∠BAD＝90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB＝∠ADB＝45°．∴△P AE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP＝2AH+PD．∴＝2AH+1．∴AH＝．②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、P A，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．同理可得：BP＝2AH﹣PD．∴＝2AH﹣1．∴AH＝．综上所述：点A到BP的距离为或．【点评】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．24．（14分）如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l 上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°．（1）求△AOB的周长；（2）设AQ＝t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ ＝m，若过点A的二次函数y＝ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①6a+3b+2c＝0；②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值．【分析】（1）先求出A、B坐标，再求出OB、OA、AB即可解决问题．（2）由△PBO∽△OAQ，得＝，求出PB，再根据等腰直角三角形性质可以求得点P坐标．（3）先求出m的值，分①a＞0，②a＜0，两种情形，利用二次函数性质分别求解即可．【解答】解：（1）在函数y＝﹣x+1中，令x＝0，得y＝1，∴B（0，1），令y＝0，得x＝1，∴A（1，0），则OA＝OB＝1，AB＝，∴△AOB周长为1+1+＝2+．（2）∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∴∠PBO＝∠QAO＝135°，设∠POB＝x，则∠OPB＝∠AOQ＝135°﹣x﹣90°＝45°﹣x，∴△PBO∽△OAQ，∴＝，∴PB＝＝，过点P作PH⊥OB于H点，则△PHB为等腰直角三角形，∵PB＝，∴PH＝HB＝，∴P（﹣，1+）．（3）由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，∴PB＝OA，∴＝1，∴t＝1，同理可得Q（1+，﹣），∴m＝＝﹣1，∵抛物线经过点A，∴a+b+c＝0，又∵6a+3b+2c＝0，∴b＝﹣4a，c＝3a，对称轴x＝2，取值范围﹣1≤x+1，①若a＞0，则开口向上，由题意x＝﹣1时取得最大值＝2+2，即（﹣1）2a+（﹣1）b+c＝2+2，解得a＝．②若a＜0，则开口向下，由题意x＝2时取得最大值2+2，即4a+2b+c＝2+2，解得a＝﹣2﹣2．综上所述所求a的值为或﹣2﹣2．【点评】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、函数最值问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，考虑问题要全面，属于中考压轴题．。
2014-2015学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷一、选择题1.如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（）A．相似B．平移C．轴对称D．旋转2.已知=，则（）A．2a=3b B．=-C．=D．=23.⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（）A．2B．2C．D．24.下列叙述正确的是（）A．“13位同学中有两人出生的月份相同”是随机事件B．小亮掷硬币100次，其中44次正面朝上，则小亮掷硬币一次正面朝上的概率为0.44C．“明天降雨的概率是80%”，即明天下雨有80%的可能性D．彩票的中奖概率为1%，买100张才会中奖5.如图，Rt△ABC中，AB=3，∠B=40°，则AC=（）A．3cos50°B．3tan40°C．3sin50°D．6.下列叙述正确的是（）A．平分弦的直径必垂直于弦B．三角形的外心到三边的距离相等C．三角形的内心是三条角平分线的交点D．相等的圆周角所对的弧相等7.P、Q是直线l上的两个不同的点，且OP=5，⊙O的半径为5，下列叙述正确的是（）A．点P在⊙O外B．点Q在⊙O外C．直线l与⊙O一定相切D．若OQ=5，则直线l与⊙O相交8.下列函数中，y随x的增大而增大的是（）A．y=-2x+3B．y=-（x＜0）C．y=D．y=-2x2（x＞0）9.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆弧上两点，∠D=115°，则∠CAB=（）A．55°B．45°C．35°D．25°10.如图，DE∥BC，则下列结论不正确的是（）A．△ADE∽△ABCB．==C．==D．若=，则=11.抛物线y=-x2+2x+2绕它与y轴的交点旋转180°后得到的抛物线解析式为（）A．y=x2+2x+2B．y=-x2-2x+2C．y=x2+2x+1D．y=2x2+4x+212.如图，⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC，且AB=2，则这个圆的内接正十二边形的面积为（）A．6B．6C．12D．12二、填空题13.若，则锐角a= __________ 度．14.二次函数y=-2x2+1的图象的顶点坐标为__________．15.不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是__________．16.半径为5的大⊙O的弦与小⊙O相切于点C，且AB=8，则小⊙O的半径为__________．17.如图，点G是△ABC的重心，过G作CG∥AB，交BC于点E，GF∥AC，交AB于点F，则S△GEF：S△ABC=__________．18.如图，在扇形OAB中，∠AOB=105°，将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OB于点C，且OC=2，则的长为__________．三、解答题19.计算：cos60°-2tan30°?cos30°+sin245°．20.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为（1，4），且经过点C（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）问当x取何值时，y随x的增大而减小？并指出当x取何值时，y＞0．21.一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．22.杭州跨海大桥海天一洲观景平台景色优美，如图1．现测量人员在船上测量观光塔高PQ，在海上的D处测得塔顶P的顶角∠PDF为80°，又测得塔底座边沿一处C的仰角∠CDH为30°，C处的海拔高度CB=12米，到中轴线PQ的距离CE为10米，测量仪的海拔高度AD=2米，DF⊥CB于H，交PQ于F，求观光塔的海拔高度PQ．（精确到0.1米，tan80°≈5.7，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.73）23.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近__________；（精确到0.1）（2）假如你摸一次，求你摸到白球的概率P；（3）如果不放回的连续摸两个球，求都摸到白球的概率．（要求画树状图）24.如图，点D是半径为R的⊙O上一点．（1）若∠A=∠C=30°，求证：直线CD与⊙O相切；（2）已知直线CD与⊙O相切，下列条件：①AD=CD；②∠A=30°；③∠ADC=120°；④DC=R．其中能得出BC=R的是哪几个？并给出你认为能得出的第一个（按编号顺序）的说理过程．25.如图，二次函数y=-x2+x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）M为线段AB上一动点，过点M作MD∥BC交线段AC于点D，连接CM．①当点M的坐标为（1，0）时，求点D的坐标；②求△CMD面积的最大值．26.如图①，在平面直角坐标系中，点M在x轴正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为的中点，连结CE、AE、CB、EB，AE与y轴交于点F，已知A（-2，0），C（0，4）．（1）求证：AF=CF；（2）求⊙M的半径及EB的长；（3）如图②，P为x轴下方半圆弧上的动点，连结PE交CB于R，当△CRE为等腰三角形时，直接写出EP的长．2014-2015学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷试卷的答案和解析1.答案：A试题分析：试题分析：根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的特点，结合图形即可得出答案．试题解析：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A．2.答案：B试题分析：试题分析：根据已知等式设a=2k，b=3k，分别代入求出每个式子的值，即可得出选项．试题解析：∵=，∴设a=2k，b=3k，A、2a=4k，3b=9k，即2a≠3b，故本选项错误；B、==-，故本选项正确；C、==，故本选项错误；D、==-2，故本选项错误；故选B．3.答案：A试题分析：试题分析：如图，首先求出∠AOB=60°，结合OA=OB，得到△OAB为等边三角形，即可解决问题．试题解析：如图，AB为⊙O的内接正六边形的边长；∵∠AOB==60°，OA=OB，∴△OAB为等边三角形，∴AB=OA=2，故选A．4.答案：C试题分析：试题分析：根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可．试题解析：A、“13位同学中有两人出生的月份相同”是必然事件，故本选错误；B、只有经过大量重复的实验才能确定事件的概率，故本选项错误；C、符合概率的定义，故本选项正确；D、彩票的中奖概率为1%，买100张彩票有可能有一张中奖，故本选项错误．故选C．5.答案：A试题分析：试题分析：根据正弦定义可得AC=3sin40°，再根据正弦与余弦的关系可得sin40°=cos50°，进而可得AC=3cos50°．试题解析：∵sinB=，∴AC=AB?sinB，∵AB=3，∠B=40°，∴AC=3sin40°，∵sin40°=cos50°，∴AC=3cos50°，故选：A．6.答案：C试题分析：试题分析：根据垂径定理、圆周角定理、三角形外心及内心的性质对各选项进行逐一分析即可．试题解析：A、应为：平分弦的直径必垂直于弦（非直径），故本选项错误；B、应为：三角形的外心到三个顶点的距离相等，故本选项错误；C、三角形的内心是三条角平分线的交点，故本选项正确；D、应为：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本选项错误．故选C．7.答案：D试题分析：试题分析：由P、Q是直线l上的两个不同的点，且OP=5，⊙O的半径为5，可得点P在⊙O上，直线l与⊙O相切或相交；若OQ=5，则直线l与⊙O相交．试题解析：∵OP=5，⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上，故A错误；∵P是直线l上的点，∴直线l与⊙O相切或相交；∴若相切，则OQ＞5，且点Q在⊙O外；若相交，则点Q可能在⊙O上，⊙O外，⊙O 内；故B错误．∴若OQ=5，则直线l与⊙O相交；故D正确．故选D．8.答案：B试题分析：试题分析：分别根据一次函数、反比例函数和二次函数的增减性逐项判断即可．试题解析：A、在函数y=-2x+3中，k=-2＜0，所以y随x的增大而减小，所以A不正确；B、在函数y=-（x＜0）中，k=-2＜0，且在第四象限，所以y随x的增大而增大，所以B正确；C、在函数y=中，k=2＞0，所以在每个象限内y随x的增大而减小，所以C不正确；D、在函数y=-2x2（x＞0）中，a=-2，开口向下，所以当x＞0时，y随x的增大而减小；所以D不正确；故选B．9.答案：D试题分析：试题分析：由∠D=115°，根据圆的内接四边形的性质，即可求得∠B的度数，又由AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，继而求得答案．试题解析：∵∠D=115°，∴∠B=180°-∠D=65°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=25°．故选D．10.答案：C试题分析：试题分析：由DE∥BC，证出△ADE∽△ABC，得出比例式，显然≠；由，得出，，证出．试题解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴≠，∴A正确，B正确，C不正确；∵，∴，∴，∴，∴D正确；故选：C11.答案：A试题分析：试题分析：先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，3），再确定抛物线与y 轴的交点坐标为（0，2），接着利用点对称的特征求出点（1，3）关于点（0，2）的对称点为（-1，1），由于旋转180°后所得抛物线与原抛物线形状一样，开口方向相反，于是可利用顶点式写出新抛物线解析式．试题解析：y=-x2+2x+2=-（x-1）2+3，则抛物线的顶点坐标为（1，3），抛物线与y 轴的交点坐标为（0，2），而点（1，3）关于点（0，2）的对称点为（-1，1），所以抛物线y=-x2+2x+2绕点（0，2）旋转180°后得到的抛物线解析式为y=（x+1）2+1=x2+2x+2．故选A．12.答案：C试题分析：试题分析：如图，作辅助线；首先求出该正多边形的中心角；运用勾股定理求出半径R；求出△OCD的面积，即可解决问题．试题解析：如图，连接OA；取的中点D，连接AD、CD、OD；过点D作DE⊥OC于点E；∵OF=OA，且∠OFA=90°，∴∠OAF=30°，∠AOC=60°，∠AOD=∠COD=30°；∵圆的内接正十二边形的中心角==30°，∴AD、DC为该圆的内接正十二边形的两边；∵OC⊥AB，且AB=2，∴AF=；在△AOF中，由勾股定理得：，解得：R=2；在△ODE中，∵∠EOD=30°，∴DE=OD=1，=1，∴这个圆的内接正十二边形的面积为12．故选C．13.答案：试题分析：试题分析：根据特殊角的三角函数进行计算即可．试题解析：∵sin30°=，∴锐角α=30°．故答案为：30．14.答案：试题分析：试题分析：根据二次函数的解析式特点可知其图象关于y轴对称，可得出其顶点坐标．试题解析：∵y=-2x2+1，∴其图象关于y轴对称，∴其顶点坐标为（0，1）．故答案为：（0，1）．15.答案：试题分析：试题分析：根据概率公式用红球的个数除以球的总个数即可．试题解析：∵不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率==．故答案为．16.答案：试题分析：试题分析：连结OC，OA，如图，根据切线的性质得OC⊥AB，接着根据垂径定理得AC=AB=4，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC即可．试题解析：连结OC，OA，如图，∵AB与小⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，∴AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，∵OA=5，AC=4，∴OC==3，即小⊙O的半径为3．故答案为3．17.答案：试题分析：试题分析：连结AG，并延长交BC于H，如图，根据三角形重心的性质得到HG=AG，则HG=HA，再由EG∥AB得到△HGE∽△HAB，根据相似三角形的性质得==，接着证明△GEF∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求的值．试题解析：连结AG，并延长交BC于H，如图，∵点G是△ABC的重心，∴HG=AG，∴HG=HA，∵EG∥AB，∴△HGE∽△HAB，∴==，∵EG∥AB，GF∥AC，∴∠GEF=∠B，∠GFE=∠C，∴△GEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=．故答案为1：9．18.答案：试题分析：试题分析：连接OD交BC于点E，根据翻折变换可得OB=BD，OD⊥BC，又由OD=OB，可得三角形OBD为等边三角形，求出的圆心角，继而可求出弧长．试题解析：连接OD，由题意得，OB=BD，OD⊥BC，∵OD=OB，∴三角形OBD为等边三角形，∴∠DOB=60°，∵∠AOB=105°，∴∠AOD=105°-60°=45°，∵OC=2，∴OE=DE=2×=2，∴半径OD=4，则==π．故答案为：π．19.答案：试题分析：试题分析：将特殊角的三角函数值代入求解．试题解析：原式=-2××+（）2=-1+=0．20.答案：试题分析：试题分析：（1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-1）2+4，然后把（3，0）代入求出a的值即可；（2）根据二次函数的性质，当开口向下时，在对称轴右侧y随x的增大而减小，即x＞1；然后利用抛物线与x轴的交点问题求出抛物线与x轴的交点坐标，再找出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，把（3，0）代入得4a+4=0，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-1）2+4；（2）因为a=-1＜0，所以当x＞1时，y随x的增大而减小；当y=0时，-（x-1）2+4=0，解得x1=-1，x2=3，即抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），所以当-1＜x＜3时，y＞0．试题分析：试题分析：（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．试题解析：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，=，∴DM?BC=AB?MN，即BC2=4，∴BC=2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴=，∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC的面积=CD?DF=2×1=2．22.答案：试题分析：试题分析：首先利用锐角三角函数关系得出DH的高，进而求出PF的高，即可得出答案．试题解析：由题意可得：AD=BH=2m，CH=BC-BH=10m，则EC=CH，故四边形CHFE是正方形，∵∠CDH=30°，∴tan30°===，解得：DH=10，故DF=（10+10）m，则tan80°===5.7，解得：EF≈155.7，故PQ=EF+2=157.7（m）．答：观光塔的海拔高度PQ为157.7m．试题分析：试题分析：（1）求出所有试验得出来的频率的平均值即可；（2）根据摸一次的概率和大量实验得出来的概率相同即可得出答案；（3）先画出树状图，再根据概率公式计算即可．试题解析：（1）摸到白球的频率=（0.65+0.62+0.593+0.604+0.601+0.599+0.601）÷7≈0.6，∴当实验次数n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6．故答案为：0.6；（2）∵摸到白球的频率为0.6，∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6；（3）根据题意画图如下：共有20种情况，都摸到白球有6种情况，则都摸到白球的概率是=．24.答案：试题分析：试题分析：（1）连接OD；由∠A=∠C=30°，证出∠ODC=90°，即可证明直线CD 与⊙O相切；（2）由AD=CD，OA=OD，得出∠A=∠C=∠ODA，再由CD是⊙O的切线，得出∠ODC=90°，即可证出∠C=30°，得出BC=OD=R．试题解析：（1）连接OD；如图所示：∵∠A=∠C=30°，∴∠ADC=120°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=30°，∴∠ODC=120°-30°=90°，∴直线CD与⊙O相切；（2）能得出BC=R的是①②③④；∵AD=CD，OA=OD，∴∠A=∠C，∠A=∠ODA，∴∠A=∠C=∠ODA，∴∠DOC=∠A+∠ODA=2∠C，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∴∠DOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OC=2OD，∴BC=OD=R．25.答案：试题分析：试题分析：（1）根据二次函数与x轴的交点问题，通过解方程-x2+x+4=0可确定A点和B点坐标，计算当x=0时的函数值可得到C点坐标；（2）①先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+4，直线AC的解析式为y=2x+4，再利用直线平行问题可确定直线MD的解析式为y=-x+1，然后解方程组可得点D的坐标；②设M（t，0），则直线MD的解析式为y=-x+t，通过解方程组得D （，），然后根据三角形面积公式和利用S△CDM=S△CAB-S△ADM-S△CMB得到S△CDM=-t2+t+=-（t-1）2+3，再根据二次函数的性质求解．试题解析：（1）当y=0时，-x2+x+4=0，解得x1=-2，x2=4，则A（-2，0），B （4，0），当x=0时，y=-x2+x+4=4，则C（0，4）；（2）①设直线BD的解析式为y=kx+b，把B（4，0），C（0，4）代入得，解得．所以直线BC的解析式为y=-x+4，设直线AC的解析式为y=px+q，把A（-2，0），C（0，4）代入得，解得．所以直线AC的解析式为y=2x+4，因为直线MD∥BC，所以直线MD的解析式可设为y=-x+n，把M（1，0）代入得-1+n=0，解得n=1，所以直线MD的解析式为y=-x+1，解方程组得，则点D的坐标为（-1，2）；②设M（t，0），直线MD的解析式为y=-x+t，解方程组得，则D（，），S△CDM=S△CAB-S△ADM-S△CMB=?4?（4+2）-?（t+2）?-?（4-t）?4=-t2+t+=-（t-1）2+3，当t=1时，△CMD面积有最大值，最大值为3．26.答案：试题分析：试题分析：（1）如图1所示：连结AC．证明，从而可得到∠ACD=∠CAE，故此AF=CF；（2）如图2所示：连结AC、AD、CM，CM交AE于H．设半径为x，则OM=x-2，在△COM中由勾股定理可求得x=5，然后在△ACM中利用面积法求得AH=4，从而得到AE=8，最后在△AEB中，由勾股定理求得BE=6；（3）如图3所示：当ER=CR时，证明△PCE≌△BCE，从而得打PE=BC=4；如图4所示：CE=CR时．过点B作BN⊥EP，垂足为N．先证明△EBN为等腰直角三角形，在△BEN中利用特殊锐角三角函数可求得EN=3，然后根据△AEB∽△PNB可求得NP=4；如图6所示：当CE=ER=2时．过点E作EG⊥BC，垂足为G．先证明△CEG∽△AEB，从而可求得CG=4，于是可得到CR=8，BR=4-8，接下来证明△AER∽△BPR，从而可求得PR=，故可求得EP=．试题解析：（1）如图1所示：连结AC．∵C是的中点，∴，∴AC=CE，∴∠CAE=∠AEC，∵AB是直径，AB⊥CD，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=∠AEC，∴∠ACD=∠CAE，∴AF=CF；（2）如图2所示：连结AC、AD、CM，CM交AE于H．由题意得：OC=4，OA=2，设半径为x，则OM=x-2，∴（x-2）2+42=x2．解得：x=5，∴M（3，0）．∴圆M的半径=OM+OA=3+2=5∵点C是弧AE的中点，∴AC=CE．∴CM⊥AE，AE=2AH．∵S△ACM=CM?AH=AM?OC，CM=AM，∴AH=OC=4．∴AE=8．∵AB=2×5=10，∴EB===6；（3）如图3所示：当ER=CR时∵ER=CR，∴∠ECB=∠CEP．在△PCE和△BCE中，，∴EP=CB==4；如图4所示：CE=CR时．过点B作BN⊥EP，垂足为N．∵CE=CR，∴∠CER=∠CRE．∴∠PEB+∠EBC=∠CEA+∠AEP．又∵点C是弧AE的中点，∴∠CBE=∠CEA．∴∠AEP=∠BEP．又∵∠AEP+∠BEP=90°．∴∠AEP=∠BEP=45°．∵在△EBN中，BE=6，∠ENB=90°，∠NEB=45°，∴NB=NE=6×=3．∵∠EAB=∠NPB，∠AEB=∠BNP=90°，∴△AEB∽△PNB．∴，即．∴NP=4．∴EP=3=7．如图6所示：当CE=ER=2时．过点E作EG⊥BC，垂足为G．在Rt△COB中，BC==4．∵∠ECB=∠EAB，∠AEB=∠CGE=90°，∴△CEG∽△ABE．∴，即．解得：CG=．∴CR=．∴BR=4-=．∵∠BPE=∠ECR，∠ERC=∠BR P，∴△AER∽△BPR．∴，即．解得：PR=．∴EP=2+=．综上所述，EP的长度为4或7或．。
