2020年广东省肇庆市高考(文科)数学三模试卷 (Word版 含解析)

试卷类型：A肇庆市2020届高中毕业班第一次统一检测文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束.监考人员将试卷、答题卷一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}10A x x =-<，{}220B x x x =-<，则A B =I （ ） A.{}0x x <B.{}1x x <C.{}01x x <<D.{}12x x <<2.已知复数1z i =+，则z z ⋅=（ ）B.2C.2-D.3.已知x ∈R ，向量(),1a x =r ，()1,2b =-r ，且a b ⊥r r，则a b +=r r （ ）C. D.104.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα=（ ） A.25-B.15-C.25D.155.下面关于复数21z i=-+的四个命题： 1p ：2z =，2p ：22z i =，3p ，z 的共轭复数为1i +，4p ：z 的虚部为1-，其中真命题为（ ）A.2p ，3pB.1p ，2pC.2p ，4pD.3p ，4p6.已知变量x ，y 满足约束条件360203x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）A.7-B.4-C.1D.27.若01x y <<<，则（ ）A.33y x<B.log 3log 3x y <C.44log log x y <D.1144x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =（ ）A.67B.37C.89D.499.“1a =”是“函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.由函数()sin 2f x x =的图象平移得到()cos 6g x ax π⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中a 为常数且0a >）的图象，需要将()f x 的图象（ ）A.向左平移3π个单位 B.向左平移6π个单位 C.向右平移3π个单位D.向右平移6π个单位11.已知函数()sin f x x x =⋅的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若1x ，2,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且()()12f x f x <，则（ ）A.12x x >B.120x x +>C.12x x <D.2212x x <12.已知函数()x f x e =，()2g x =，若在[)0,+∞上存在1x ，2x ，使得()()12f x g x =，则21x x -的最小值是（ ） A.1ln2+B.1ln2-C.916D.2e -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =______. 14.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =u u u r u u u r ，13CD CA CB λ=+u u u r u u u r u u u r，则λ=______.15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，120S >，130S <，则当n =______n S 最大. 16.已知ABC ∆中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且21cos cos 4b Cc B a -=，tan 3tan B C =，则a =______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 己知()22sin 2xf x x ωω=-（0ω>）的最小正周期为3π.（1）求ω的值； （2）当3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值 18.（本小题满分12分）己知在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c，)sin 1cos A A =-. （1）求角A ；（2）若7a =，sin sin 14B C +=，求ABC ∆的面积. 19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，0n a >，前n 项和为n S，若n a =n *∈N ，且2n ≥）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2n an n c a =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠.（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）当2λ=时，求数列()()1111n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬--⎩⎭的前n 项和.21.（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，a R ∈.（1）若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若1x >时，()0f x >，求a 的取值范围. 22.（本小题满分12分）设函数()()212ln f x ax a x x =+--（a ∈R ） （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0a >时，证明()()2ln e2f x a a ≥-（e 为自然对数的底数）.2020届高中毕业班第三次统一检测题文科数学参考答案及评分标准一、选择题13.1 14.2315.6 16.2三、解答题（17）（本小题满分10分） 解：（1）()1cos 22xf x x ωω-=-⋅cos 12sin 16x x x πωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭由23ππω=得23ω=（2）由（1）得()22sin 136f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.又当324x ππ≤≤时，可得222363x πππ≤+≤，所以当22363x ππ+=，即34x π=时， ()min 2112f x =⨯-=. （18）（本小题满分12分）解：（1）法一：由)sin 1cos A A =-可得22sincos 222A A A=，即tan23A =， 又因为()0,A π∈，所以3A π=.法二：由)sin 1cos A A =-可得sin 2sin 3A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 又因为()0,A π∈，所以4,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以233A ππ+=，即3A π=. （2）由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ===，整理得sin 14B =，sin 14C =，又因为sin sin 14B C +=，所以13b c += 由余弦定理可得()222222cos 22b c bc ab c a A bc bc+--+-==， 代入数据计算得40bc =ABC ∆的面积为1sin 2bc A =（19）（本小题满分12分）解：（1）当2n ≥时，1n n n a S S -=-，又由已知可得n a =所以1n n n a S S -=-=0n a >1=所以数列1==为首项，1为公差的等差数列，()11n n=+-=，2nS n=当2n≥时，121n n na S S n-=-=-，当1n=是，11a=也满足上式，所以数列{}n a的通项公式是21na n=-（2）()21212nnc n-=-⋅则()3521123252212nnT n-=⋅+⋅+⋅++-⋅L()357214123252212nnT n+=⋅+⋅+⋅++-⋅L两式相减得()()()()2235212121812 3222222122221214nn n n nT n n--++--=++++--=+---L211052233nn+⎛⎫=-+-⎪⎝⎭所以()21652109nnnT+-+=（20）（本小题满分12分）解：（1）依题意得1111a S aλ==+，故1λ=，111aλ=-，故1a=由1n nS aλ=+，111n nS aλ++=+得111n n n n na S S a aλλ+++=-=-即()11n na aλλ+-=，由0λ≠，1a≠，0na≠，故11nnaaλλ+=-所以数列{}n a是以11λ-为首项，为1λλ-公比的等比数列，()1111nnaλλλ-=--（2）当2λ=时，()()()()()111121121112121212nnn nn nn naa a+--+-==---++++所以数列()()1111nn naa a++⎧⎫⎨⎬--⎩⎭的前n项和为()()()()23211111111121211121212121212n n -⎡⎤-+-+-++-⎢⎥++++++++⎣⎦L ()1122121212n n=-=-++（21）（本小题满分12分）解：（1）()()()()2222211211x a x a f x x x x x +-+'=-=++ 当()20f '=时，得94a =，经验证符合题意. ()118f '=-，()10f =，所以()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()118y x =--，即810x y +-=.（2）若2a ≤，当1x >时，()()()()()()2222222211210111x a x x x x f x x x x x x x +-+--+'=>=>+++所以()f x 在()1,+∞单调递增，当1x >时，()()10f x f >=符合题意. 当2a >时，方程()22210x a x +-+=的判别式为正， 所以该方程有两个不等的根，设两根分别为1x ，2x （21x x >）， 因为12220x x a +=->，121x x ⋅=，所以1201x x <<< 易得当()11,x x ∈时，()22210x a x +-+<，即()0f x '<，()f x 在()11,x 单调递减，所以当()11,x x ∈时， ()()10f x f <=，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是(],2-∞ （22）（本小题满分12分） 解：（1）()()1212f x ax a x'=+--()()()22121211ax a x ax x x x+--+-==当0a ≥时，()0f x '>得()1,x ∈+∞，由()0f x '<得()0,1x ∈ 所以()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞当0a <时，若112a -=即12a =-时， ()0f x '≤，()f x 的单调递减区间是()0,+∞若112a ->即102a -<<时，()f x 的单调递减区间是()0,1，1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 单调递增区间是11,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭若112a -<即12a <-时，()f x 的单调递减区间是10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增区间是1,12a ⎛⎫-⎪⎝⎭（2）由（1）可知当0a >时，()f x 的最小值为()11f a =- 令()()21ln e 21ln g a a a a a a =---=--()111a g a a a-'=-=，当01a <<时，()0g a '<，()g a 单调递减， 当1a >时，()0g a '>，()g a 单调递增，所以()()10g a g ≥= 所以()21ln e2a a a -≥-即()()2ln e 2f x a a ≥-.。

2020年广东省肇庆市高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈R|0≤x ≤4}，B ={x ∈R|x 2≥9}，则A ∪(∁R B)等于( )A. [0,3)B. (−3,4]C. [3,4]D. (−∞,−3)∪[0，+∞)2. 已知z −是复数z 的共轭复数，(z +1)(z −−1)是纯虚数，则|z|=( )A. 2B. 32C. 1D. 123. 等差数列{a n }的前11项和S 11=88，则a 3+a 9=( )A. 8B. 16C. 24D. 324. 在△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. −12B. 12C. −√32D. √325. 设x ，y 满足约束条件{x ≥0x −2y ≥0x −y ≤1，则z =2x +y 的最大值是( )A. 0B. 2C. 4D. 56. 命题p ：曲线16y 2=x 的焦点为(4,0)；命题q ：曲线x 2−4y 2=1的离心率为√52；则下列为真命题的是( )A. p ∧qB. (￢p)∧qC. p ∧(￢q)D. (￢p)∧(￢q)7. 如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本(单位：万元)及其构成比例，则下列判断正确的是( )A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大B. 由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C. 甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A. 8+4√2B. 2+2√2+4√3C. 2+6√3D. 2+4√2+2√39.函数f(x)=log a|x|+1(a>1)的图象大致为()A. B.C. D.10.已知角θ的终边经过点M(−√3,−1)，则cos θ=()A. 12B. −12C. √32D. −√3211.设a=log23,b=ln13,c=512，则()A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. c<b<a12.已知函数f(x)=−x3+ax2−x−1在(−∞,+∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A. [−√3,√3]B. (−√3,√3)C. (−∞,−√3)∪(√3,+∞)D. (−∞,−√3]∪[√3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N∗)等于________．14.若(ax−1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是_______．15.设F1，F2分别为双曲x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为______．16.在我国古代的数学专著《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(biēnào)，已知鳖臑P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA=AB=2√2，BC=2，E，F分别是PB，PC的中点，则三棱锥P−AEF的外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=c·cosB+3a·sin(A+B)．(1)若ba=√3，求角C；(2)在(1)的条件下，若△ABC的面积为√3，求c的值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值．19.已知直线l：x−y+1=0与椭圆：x2+7y2=4交于A，B两点．(Ⅰ)求该椭圆的离心率；(Ⅱ)求证：OA⊥OB．20.为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”.其中一款新能源分时租赁汽车具体收费标准为日间0.5元/分钟，晚间(18时30分至次日上午7时30分)收费35元/小时．已知孙先生家离上班地点20公里，每天日间租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(分钟)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间t(分钟)(20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]频数41618102将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20,70]分钟．(1)若孙先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设X 表示4次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求X 的分布列和期望；(2)若公司每月给1000元的车补，请估计孙先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．(同一时段，用该区间的中点值作代表)21. 已知f(x)=e x −1+ln(xa +1)．(1)若函数f(x)在(−1,0)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若a ∈(0,1]且x >0，证明：f(x)>2x ．22. 已知直线l 的参数方程为{x =2+12ty =m +√32t，点P(1,2)在直线1上． (1)求m 的值；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1：ρ=4与直线l 交于两点A 、B ，求|PA|⋅|PB|的值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x−1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={x∈R|0≤x≤4}=[0,4]，B={x∈R|x2≥9}={x|x≥3或x≤−3}，则∁R B=(−3,3)，则A∪(∁R B)=(−3,4]，故选：B求得集合B，再根据补集与并集的定义写出A∪(∁R B)．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.答案：C解析：解：设复数z=a+bi，a、b∈R，则z−=a−bi，∴(z+1)(z−−1)=z⋅z−−z+z−−1=a2+b2−2bi−1，且为纯虚数，∴a2+b2−1=0，且−2b≠0，∴|z|=√a2+b2=1．故选：C．设复数z=a+bi，a、b∈R，表示出z−以及(z+1)(z−−1)，再根据纯虚数以及模长公式求出|z|的值．本题考查了复数的定义与应用问题，是基础题．3.答案：B解析：根据等差数列性质可以得出结论．解：因为S11=11(a1+a11)2=11(a3+a9)2=88，所以a3+a9=16．故选B．4.答案：A解析：解：∵△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3， ∴cosA =AB 2+AC 2−BC 22⋅AB⋅AC=1+1−32×1×1=−12，∴A =120°，∴向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1×1×cos120°1=−12，故选：A ．根据余弦定理求出角A 的大小，结合向量投影的定义进行求解即可． 本题主要考查向量投影的计算，根据定义转化向量数量积是解决本题的关键．5.答案：D解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)． 由z =2x +y 得y =−2x +z ， 平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点A 时，直线y =−2x +z 的截距最大， 此时z 最大．由{x −2y =0x −y =1，解得{x =2y =1，即A(2,1) 将A 的坐标代入目标函数z =2x +y ，得z =2×2+1=5.即z =2x +y 的最大值为5． 故选：D作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值． 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6.答案：B解析：解：由题知16y 2=x 即y 2=116x ，故焦点为(0,164)，所以p 为假命题，则￢p 为真命题；由题知双曲线a 2=1，b 2=14，所以c 2=54，则e 2=54⇒e =√52，所以q 为真命题，则￢q 为假命题．所以(￢p)∧q是真命题．．故选：B．根据条件先判断p为假，q为真，再根据复合命题真假性关系进行选择本题考查命题及其真假性判定，结合抛物线、双曲线的基础知识点进行判断，属于基础题7.答案：C解析：先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题．解：三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大，故A错误，虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故B错，甲企业其他费用开支确实最低，故C正确，甲企业的工资和其他费用开支额为4000万元，乙企业为5400万元，丙企业为6000万元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故D错误，故选：C．8.答案：D解析：本题考查的知识点是由三视图求表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱锥，相加各个面的面积可得几何体的表面积．解：由题意可知几何体的直观图如图：是棱长为2的正方体一部分，三棱锥A−BCD，三棱锥的表面积为：1 2×2×2+2×12×2×2√2+√34×(2√2)2=2+4√2+2√3．故选：D．9.答案：C解析：本题考查了函数的图象的判断，属于基础题．根据函数的奇偶性和单调性以及特殊点进行验证．解：函数f(x)=log a|x|+1(a>1)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，当x>0时，f(x)=log a x+1是增函数；当x<0时，f(x)=log a(−x)+1是减函数，又∵图象过(1,1)，(−1,1)两点，结合选项可知．故选C．10.答案：D解析：本题考查了任意角的三角函数，属于基础题．由三角函数定义即可得出结果．解：∵角α的终边经过点M(−√3,−1)，∴cosθ=√3√(−√3)2+(−1)2=−√32，故选D．11.答案：B解析：本题主要考查了对数函数性质与比较大小，属于基础题．由对数函数的性质化简即可求解．解：∵1=log22<a=log23<log24=2，b=ln13<ln1=0，c=512=√5>2，故b<a<c．故选B ．12.答案：A解析：本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，利用导数是解决本题的关键． 解：函数f(x)=−x 3+ax 2−x −1的导数为f ′(x)=−3x 2+2ax −1，∵函数f(x)在(−∞,+∞)上是单调函数，∴在(−∞,+∞)上f ′(x)≤0恒成立，即−3x 2+2ax −1≤0恒成立，∴Δ=4a 2−12≤0，解得−√3≤a ≤√3，∴实数a 的取值范围是[−√3,√3]，故选：A ．13.答案：6解析：本题考查等比数列前n 项和的实际应用，属于基础题.由题意得到每天植树的棵树构成等比数列是解题的关键．解：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得2(1−2n )1−2≥100， 即2n ≥51， 而25=32，26=64，n ∈N ∗， 所以n ≥6，故答案为6． 14.答案：2解析：本题主要考查了二项式特定项的系数，以及二项展开式的通项，同时考查了计算能力，属于基础题．二项展开式的通项T r+1=C 5r (ax)5−r (−1)r =(−1)r a 5−r C 5r x 5−r ，令5−r =3可得r =2，从而有a 3C 52=80，即可求a 的值．答案：解：二项展开式的通项T r+1=C 5r (ax)5−r (−1)r =(−1)r a 5−r C 5r x 5−r ．令5−r =3可得r =2，∴a 3C 52=80，∴a =2．故答案为：215.答案：√5 解析：解：P 为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF 2|−|PF 1|=2a ，由|PF 2|=2|PF 1|，则|PF 2|=4a ，|PF 1|=2a ，∵M 是PF 1的中点，且OM ⊥PF 1∴由△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2．∴5a 2=c 2即有e =√5．故答案为：√5．运用双曲线的定义和△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2.由离心率公式，计算即可得到离心率．本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．16.答案：9π解析：本题考查三棱锥的外接球的表面积的计算，属于中档题，证得EF ，PE ，AE 两两垂直后，构造以EF ，PE ，AE 为长，宽，高的长方体，长方体的体对角线为三棱锥P −AEF 的外接球的直径，即可求解．解：PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥BC ，又因为AB ⊥BC ，PA ∩AB =A ，所以BC ⊥面PAB ，BC ⊥AE ，PA =AB ，E 为PB 的中点，所以AE ⊥PB ，PB ∩BC =B ，所以AE ⊥面PBC ，所以AE ⊥EF ，AE ⊥PE ，EF//BC ，所以EF ⊥PE ，则EF ，PE ，AE 两两垂直，EF =12BC =1,PE =AE =2，所以三棱锥P −AEF 的外接球半径为√1+4+42=32，故球的表面积为4×(94)π=9π， 故答案为9π．17.答案：解：(1)∵a=c·cosB+3a·sin(A+B)，∴由正弦定理可得：sinA=sinCcosB+3sinAsinC，可得：sin(B+C)=sinCcosB+3sinAsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB+3sinAsinC，∴sinBcosC=3sinAsinC，∴sinB3sinA=tanC，又∵ba=√3，∴tanC=sinB3sinA =b3a=√33，∵0<C<π，∴C=π6(2)∵S△ABC=12absinC=√3，由(1)可知ba =√3，C=π6，∴√3a24=√3，∴a=2，b=√3a=2√3，由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC=4+12−2×2×2√3×√32=4，∴c=2解析：(1)由正弦定理化简已知可得：sinA=sinCcosB+3sinAsinC，再利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinB3sinA =tanC，又ba=√3，可求tan C的值，结合范围0<C<π，即可求得C的值．(2)由(1)及三角形面积公式可求a，b的值，利用余弦定理即可解得c的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：(1)证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB//CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；(2)解：∵AB//CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由(Ⅰ)知AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AD ，则四边形ABCD 为矩形，在△APD 中，由PA =PD ，∠APD =90°，可得△PAD 为等腰直角三角形，设PA =AB =2a ，则AD =2√2a ．取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则：D(−√2a,0,0)，B(√2a,2a,0)，P(0,0，√2a)，C(−√2a,2a,0).PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2a,0,−√2a)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2a,2a,−√2a)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2a,0,0)． 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{√2ax +2ay −√2az =0−2√2ax =0，取y =1，得n ⃗ =(0,1,√2)． ∵AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又PD ⊥PA ，PA ∩AB =A ，PA 、AB ⊂平面PAB ，∴PD ⊥平面PAB ，则PD⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面PAB 的一个法向量， 而PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2a,0,−√2a)．∴cos <PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2a×√3=−√33． 由图可知，二面角A −PB −C 为钝角，∴二面角A −PB −C 的余弦值为−√33．解析：本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．(1)由已知可得PA ⊥AB ，PD ⊥CD ，再由AB//CD ，得AB ⊥PD ，利用线面垂直的判定可得AB ⊥平面PAD ，进一步得到平面PAB ⊥平面PAD ；(2)由已知可得四边形ABCD 为平行四边形，由(1)知AB ⊥平面PAD ，得到AB ⊥AD ，则四边形ABCD为矩形，设PA =AB =2a ，则AD =2√2a.取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，再证明PD ⊥平面PAB ，得PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −PB −C 的余弦值．19.答案：(本小题满分12分)解：(Ⅰ)设椭圆方程可化为为：x 24+y 247=1…(1分) ∴a 2=4,b 2=47∴a =2…(3分)∴c 2=a 2−b 2=47∴c =2√427…(4分)∴e =c a =√427…(5分) (Ⅱ)证明：联立{x −y +1=0x 2+7y 2=4得：8x 2+14x +3=0…(7分) (4x +1)(2x +3)=0解得：x 1=−14,x 2=−32…(9分)y 1=34,y 2=−12∴A(−14,34),B(−32,−12)，…(10分)∴k OA =−3,k OB =13∴k OA ⋅k OB =−1 …(11分)所以，OA ⊥OB …(12分)解析：(Ⅰ)通过椭圆的标准方程，求出a 、b 、c ，然后求该椭圆的离心率；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆的方程，求出A 、B 坐标，求出直线的斜率，然后证明：OA ⊥OB ． 本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质，考查分析问题解决问题的能力．20.答案：解：(1)孙先生租用一次新能源分时租赁汽车“路段畅通”的频率为4+1650=25， 视频率为概率，孙先生租用一次新能源分时租赁汽车为“路段畅通”的概率为25，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，则X 服从二项分布B(4,25)，所以P(X =0)=C 40×(25)0×(35)4=81625；P(X =1)=C 41×(25)1×(35)3=216625；P(X =2)=C 42×(25)2×(35)2=216625； P(X =3)=C 43×(25)3×(35)1=96625；P(X =4)=C 44×(25)4=16625， 所以X 的分布列为则E(X)=4×25=85；(2)孙先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间为t ，则t =25×450+35×1650+45×1850+55×1050+65×250=43(分钟)，每次上下班租车的平均费用约为43×0.5=21.5(元)，一个月上下班租车总费用约为21.5×2×22=946(元)，因为946<1000，估计孙先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用．解析：本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查数据处理能力，属于中档题．(1)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，求出相应的概率，得出X 的分布列，即可得解；(2)估计孙先生每个月租车总费用，从而得出结论．21.答案：解：(1)由xa +1>0在(−1,0)上恒成立．当a >0时，x >−a ，∴−a ≤−1，可得a ≥1．当a <0时，x <−a ，∴−a >0，可得a <0．故a ∈(−∞,0)∪[1，+∞)．当a ≥1时，可得f(x)在(−1,0)上单调递增．当a <0时，f′(x)=e x +1x+a ≥0在(−1,0)上恒成立，此时x +a <0．故e x (x +a)+1≤0，⇔a ≤−e −x −x =g(x)，x ∈(−1,0)，∵g′(x)=e −x −1=1−e xe x >0，∴a ≤g(−1)=1−e ．综上可得：f(x)在(−1,0)上单调递增，实数a 的取值范围是(−∞,1−e]∪[1,+∞)．(2)证明：a ∈(0,1]且x >0，f(x)>2x ⇔e x −1+ln(x a +1)>2x ．∵x a+1≥x +1，故只要证明：x >0，e x −1+ln(x +1)>2x ． 令ℎ(x)=e x −1+ln(x +1)−2x(x >0)．ℎ′(x)=e x +1x+1−2， ℎ″(x)=e x −1(x+1)2，即ℎ′(x)在(0,+∞)上单调递增，ℎ′(x)>ℎ′(0)=0．∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，ℎ(x)>ℎ(0)=0．故a ∈(0,1]且x >0时，f(x)>2x ．解析：(1)由x a +1>0在(−1,0)上恒成立．对a 分类讨论可得：a ∈(−∞,0)∪[1，+∞).根据f(x)在(−1,0)上单调递增，当a ≥1时，容易得出单调性．当a <0时，利用导数研究函数的单调性即可得出．(2)a ∈(0,1]且x >0，f(x)>2x ⇔e x −1+ln(x a +1)>2x. x a +1≥x +1，故只要证明：x >0，e x −1+ln(x +1)>2x.利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：(1)由于点P(1,2)在直线1上．直线l 的参数方程为{x =2+12t y =m +√32t, 故代入直线的参数方程得到：{1=2+12t 2=m +√32t , 解得m =2+√3．(2)曲线C 1：ρ=4，由ρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为：x 2+y 2=16，由于圆与直线l 交于两点A 、B ，把直线的参数方程代入圆的方程得到：t 2+(5+2√3)t −5+4√3=0，故：t1t2=4√3−5(t1和t2为A、B对应的参数)．故：|PA|⋅|PB|=|t1t2|=4√3−5．解析：本题考查直线的参数方程及简单曲线的极坐标方程．(1)直接把点的坐标代入直线的参数方程求出结果．(2)利用(1)的结论，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，解得1≤x≤2或2<x≤4．故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，故2a +1b的最小值是3．解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。

2020年广东省肇庆市高考数学质检试卷(文科)(6月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x+1≤3}，B={x|4−x2≤0}，则A∩B=()A. (−∞,−2]B. (−∞,−4]C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪{2}2.已知复数z=2+4i1−i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标是()A. (3,3)B. (−1,3)C. (3,−1)D. (−1,−3)3.设a=ln3,b=log312,c=0.21.1，则()A. b<c<aB. b<a<cC. a<b<cD. c<b<a4.吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长，如表是性别与吃零食的列联表：男女总计喜欢吃零食302050不喜欢吃零食203050总计5050100附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635根据以上数据，你有多大把握认为“喜欢吃零食与性别有关”()A. 以上B. 以上C. 以上D. 以上5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，且双曲线的一条渐近线被圆(x−3)2+y2=8截得的弦长为4，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±2xB. y=±2√55x C. y=±√663x D. y=±2√6x6.观察下列式子的规律：2√23=√223，3√38=√338，4√415=√4415，5√524=√5524，…，按照上述规律，若n√n1295=√n n1295，则n=()A. 6B. 35C. 36D. 12967.函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]的图象大致是()A. B.C. D.8.执行下面的程序框图，若输出的S值为−2，则①中应填()A. n<98？B. n<99？C. n<100？D. n<101？9.已知图象经过点(7π12,0)的函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，则φ=()A. −π3B. π6C. π3D. −π610.若△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=2√5，sinB=2sin(C−A)，则c2−a2=()A. 8B. 9C. 10D. 1211.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M,N两点，且|MF|=2|NF|，则直线l的斜率为()A. ±√2B. ±2√2C. ±√22D. ±√2412.已知函数f(x)=1+lnxx，若关于x的不等式f2(x)+af(x)>0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是()A. [1+ln33,1+ln22)B. (−1+ln22,−1+ln33]C. (−1+ln22,−1+ln33)D. (−1,−1+ln33]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ = (1， m)，b ⃗ = (2， 1) ，且a ⃗ ⊥b⃗ ，则m =____． 14. 若在区间[−1,4]上随机选取一个数x ，则事件x ≥1发生的概率为______．15. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1，f(0)=4，则不等式e x f(x)>e x +3的解集为____．16. 已知棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，点P 是侧面DCC 1D 1内(包括边界)的一个动点，且满足∠APD =∠MPC.则当三棱锥P −BCD 的体积最大时，三棱锥P −BCD 的外接球的表面积为____________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=15，a n +a n+1=65n+1(n ∈N +)(1)证明：{5n a n −1}是常数列；(2)设x n =(2n −1)⋅10n a n ，求{x n }的前n 项和T n ．18. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB =√2，AA 1=2，D 为AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，CO ⊥侧面ABB 1A 1． (Ⅰ)证明：CD ⊥AB 1；(Ⅱ)若OC =OA ，求三棱锥B 1−ABC 的体积．19. 某公司2016年前三个月的利润(单位：百万元)如表：月份 1 2 3 利润23.95.5(1)求利润y 关于月份x 的线性回归方程；(2)试用(1)中求得的回归方程预测4月和5月的利润；(3)试用(1)中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万？ 相关公式：b =i n i=1i −nxy∑x 2n−n(x)2=n i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2，a ̂=y −b̂x ．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为e =√22，点P(1,√22)在该椭圆上． (1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l 与圆O ：x 2+y 2=1相切，并椭圆交于不同的两点A 、B ，求△AOB 面积S 的最大值．21.设函数f(x)=x+alnx(x>0)，a∈R．x(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)存在极值点，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为为参数，r>0).以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．(1)求圆C的直角坐标方程(化为标准方程)及曲线M的普通方程；(2)若圆C与曲线M的公共弦长为8，求r的值．23.已知不等式|x−1|+|3x−5|<m的解集为(32,n).(Ⅰ)求n;(Ⅱ)若三个正实数a,b,c满足a+b+c=m.证明：b2+c2a +c2+a2b+a2+b2c≥2．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了交集的运算，是基础题.先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A={x|x≤2}，B={x|x≤−2或x≥2}；∴A∩B=(−∞,−2]∪{2}．故选：D．2.答案：D解析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解：∵复数z=2+4i1−i =(2+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=(1+2i)(1+i)=−1+3i，则z的共轭复数z=−1−3i在复平面内对应点的坐标是(−1,−3)．故选：D．3.答案：A解析：解：∵a=ln3>1，b=log312<log31=0，0<c=0.21.1<0.20=1．∴b<c<a．故选：A．利用有理指数幂与对数的运算性质比较a，b，c与0和1的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．4.答案：A解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：根据列联表，计算K2=100×(30×30−20×20)250×50×50×50=4>3.841，所以有95%的把握认为“喜欢吃零食与性别有关”．故选A．5.答案：B解析：解：抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0)，∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，∴c=3，∵双曲线的一条渐近线被圆(x−3)2+y2=8截得的弦长为4，∴圆心到渐近线的距离为2，设渐近线方程为bx+ay=0，则22=2，∴b=2，∴a=√5，∴双曲线的渐近线方程为y=±2√55x.故选：B．求出抛物线的焦点坐标，可得c=3，利用双曲线的一条渐近线被圆(x−3)2+y2=8截得的弦长为4，可得圆心到渐近线的距离为2，从而可求a，b，即可求出双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．6.答案：C解析：本题考查了归纳推理的问题，关键是发现规律，观察所给的式子，找到其中的规律，问题得以解决，属于基础题．解：∵2√23=2√222−1=√223，3√38=3√332−1=√338，4√415=4√442−1=√4415，5√524=5√552−1=√5524.则按照以上规律n√n1295=√n n1295，可得1295=n2−1，解得n=36，故选C.7.答案：C解析：解：函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]满足f(−x)=−f(x)，故函数图象关于原点对称，排除A、B，当x∈(0,π2)时，f(x)=cosxx−sinx>0，故排除D，故选：C．分析函数的奇偶性，及x∈(0,π2)时，函数值的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的图象，难度中档．8.答案：B解析：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，是基础题．根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=−2，可得出判断框内应填入的条件．解：执行如图的程序框图，运行结果如下：n=1，S=0，S=lg1−lg2，满足判断框内的条件，n=2，S=lg1−lg2+lg2−lg3，满足判断框内的条件，n=3，S=lg1−lg2+lg2−lg3+lg4−lg5，…观察规律可知：满足判断框内的条件，n=99，S=lg1−lg2+lg2−lg3+⋯+lg99−lg100 =lg1−lg100=−2，由题意，此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为−2．故判断框内应填入的条件是n<99？．故选B．9.答案：D解析：本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．由周期求出ω，再利用点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，可求φ的值．解：∵T=2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=sin(2x+φ)．又∵点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，∴sin(2×7π12+φ)=0，∴φ=−7π6+kπ(k∈Z)．又∵|φ|<π2，∴φ=−π6．故选D．10.答案：C解析：本题主要考查了三角函数和差公式、诱导公式、三角形的正弦定理、余弦定理的应用，难度一般.利用正弦定理和余弦定理得c·b2+c2−a22bc =3a×a2+b2−c22ab，整理即可．解：因为sinB=2sin(C−A)，所以sin(C+A)=2sin(C−A)，即sinCcosA+cosCsinA=2sinCcosA−2cosCsinA，即sinCcosA=3cosCsinA，由正弦定理和余弦定理得c·b2+c2−a22bc=3a×a2+b2−c22ab，整理得4c2−4a2=2b2=40，所以c2−a2=10．故选C．11.答案：B解析：【试题解析】本题考查直线斜率的求法，抛物线的简单性质的应用，属于中档题．依题意F(1,0)，设直线AB 的方程为x =my +1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，得y 2−4my −4=0，由此能够求出直线AB 的斜率．解：依题意F(1,0)，设直线AB 的方程为x =my +1，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2−4my −4=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，所以 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4，① 因为|MF|=2|NF|， 所以 y 1=−2y 2，②联立①和②，消去y 1，y 2，得m =±√24，所以直线AB 的斜率是±2√2. 故选：B ．12.答案：B解析：首先确定f(x)的零点，再通过讨论f(x)的正负得到a >−f(x)或a <−f(x)，构造新函数g(x)=−f(x)，判断出新函数的单调性进而作出其图象，根据已知不等式恰有两个整数解以及图象得到g(2)<a ≤g(3)，结果可求．解：∵f (1e )=0，∴当0<x <1e 时，f(x)<0；当x >1e 时，f(x)>0．∵f 2(x)+af(x)=f(x)[f(x)+a]>0①当0<x <1e 时，∵1e <1，∴显然不会存在整数解； ②当x >1e 时，f(x)>0，∴a >−f(x)． 令g (x )=−f (x )=−1+lnx x，则易判断当1e <x <1时，函数g(x)单调递减，当x >1时，函数g(x)单调递减． 作出函数g(x)的图象，如右图所示： ∵不等式恰存在两个整数解，∴g(2)<a≤g(3)，即−1+ln22<a≤−1+ln33，故选B．13.答案：−2解析：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积，是基础题．直接利用向量的数量积运算法则求解即可．解：向量a⃗=(1，m)，b⃗ =(2，1)，a⃗⊥b⃗ ，则1×2+m·1=0解得m=−2．故答案为：−2．14.答案：35解析：本题考查几何概型概率的求法，关键是注意测度比为长度比，是基础题．直接利用测度比为长度比求解．解：在区间[−1,4]上随机选取一个数x，x≥1的概率P=4−14−(−1)=35．故答案为：35．15.答案：(0,+∞)解析：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，属于基础题．结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．解：设g(x)=e x f(x)−e x，(x∈R)，则g′(x)=e x f(x)+e x f′(x)−e x=e x[f(x)+f′(x)−1]，∵f(x)+f′(x)>1，∴f(x)+f′(x)−1>0， ∴g′(x)>0，∴y =g(x)在定义域上单调递增， ∵e x f(x)>e x +3， ∴g(x)>3，又∵g(0)=e 0f(0)−e 0=4−1=3， ∴g(x)>g(0)， ∴x >0．故答案为(0,+∞)．16.答案：21π解析：本题考查了三棱锥及其外接球的体积，轨迹问题，二次函数的最值，属于较难题． 作，垂足为O ，设DO =x ，PO =ℎ，先求得体积最大时x 和h 的值，再球外接球半径即可得解．解：∵在棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， M 是BC 的中点，点P 是面DCC 1D 1所在的平面内的动点， 且满足，∴Rt △ADP ∼Rt △MCP ， ∴AD MC=PD PC=2，即PD =2PC ，作，垂足为O ，设DO =x ，PO =ℎ，∴√x 2+ℎ2=2√(3−x)2+ℎ2 ，化简得：3ℎ2=−3x 2+24x −36，(0⩽x ⩽3)，根据函数单调性判断：x =3时，3ℎ2最大值为9，ℎmax =√3， 此时三棱锥的体积最大，设三棱锥P −BCD 的外接球的球心距平面BCD 为m ，半径为r ， 则r 2=m 2+(32)2+(32)2=(√3−m)2+(32)2+(3−32)2，解得r =√212，所以外接球表面积为4πr²=21π， 故答案为21π．17.答案：(1)证明：由a n+a n+1=65n+1(n∈N+)得，5n+1a n+1+5n+1a n=6，即5n+1a n+1+5⋅5n a n=6，∴5n+1a n+1−1=−5⋅5n a n+5=−5(5n a n−1)，又a1=15，∴5a1−1=0，∴{5n a n−1}是常数列；(2)解：由(1)得5n a n−1=0，即a n=15n，∴x n=(2n−1)⋅10n a n=x n=(2n−1)⋅10n⋅15n=(2n−1)⋅2n，∴T n=1×2+3×22+5×23+⋯+(2n−1)⋅2n2T n=1×22+3×23+5×24+⋯+(2n−1)⋅2n+1，两式相减得，−T n=2+(22+23+24+⋯2n)−(2n−1)⋅2n+1=2(1−2n)1−2−(2n−1)⋅2n+1=−(2n−2)⋅2n+1−2∴T n=(n−1)⋅2n+2+2．解析：本题考查了数列递推公式的变形及化简，错位相减法求数列的和，考查了化简能力，属于中档题．(1)根据结论对递推公式进行化简，结合a1的值进行证明；(2)由(1)求出通项a n，代入x n=(2n−1)⋅10n a n化简后，利用错位相减法求数列的和T n．18.答案：证明：(Ⅰ)在RT△ABD中，tan∠ABD=√22，在RT△ABB1中，tan∠AB1B=√22．∴∠ABD=∠AB1B，∴∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=π2，∴AB1⊥BD，又CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，∴AB1⊥CO.又BD⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，BD∩CO=O，∴AB1⊥平面CBD，∵CD⊂平面BCD，∴AB1⊥BC．(Ⅱ)在Rt△ABD中，BD=√AB2+AD2=√3，OC=OA=AD×ABBD =√63，V B1−ABC =V C−ABB1=13S△ABB1×CO=13×12AB×BB1×OC=16×√2×2×√63=2√39解析：(I)由平面几何知识可得AB 1⊥BD ，又AB 1⊥OC ，得出AB 1⊥平面BCD ，故而CD ⊥AB 1； (II)利用三角形的面积求出OA ，即OC 的长，代入体积公式V B 1−ABC =V C−ABB 1=13S △ABB 1×CO 计算即可．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19.答案：解：(1)根据题意得，x =1+2+33=2，y =2+3.9+5.53=3.8，b =i 3i=1i −3xy∑x 23−3(x)2=1.75，â=y −b ̂x =0.3， 故利润y 关于月份x 的线性回归方程是 y ̂=1.75x +0.3；(2)当x =4时，ŷ=1.75×4+0.3=7.3， 故可预测4月的利润为730万； 当x =5时，ŷ=1.75×5+0.3=9.05， 故可预测5月的利润为905万； (3)由1.75x +0.3=10， 解得x ≈5.5，故公司2016年从6月份开始利润超过1000万．解析：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题目． (1)根据公式计算x 、y ，求出线性回归方程的系数即可写出方程； (2)根据回归方程计算x =4和5时，计算对应函数值即可； (3)由回归方程列方程求出对应x 的值即可．20.答案：解：(1)∵椭圆x 2a +y 2b =1的离心率e =c a =√22=√2，∴a =√2c ，又∵a 2=b 2+c 2，∴b =c ， 故椭圆方程可写为x 22+y 2=c 2，又∵点P(1,√22)在该椭圆上，∴c 2=1，故所求椭圆方程为x 22+y 2=1. …(5分)(2)依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线l 的方程为x =my +n(m ∈R)． ∵直线l 即x −my −n =0与圆O ：x 2+y 2=1相切， ∴有：√m 2+1=1，得n 2=m 2+1．又∵点A 、B 的坐标(x 1,y 1)、(x 2,y 2)满足：{x =my +nx 2+2y 2−2=0，消去整理得(m 2+2)y 2+2mny +n 2−2=0，其判别式△=4m 2n 2−4(m 2+2)(n 2−2)=8(m 2−n 2+2)=8， 又由求根公式有y 1、2=−2mn±√△2(m 2+2).S △AOB=12⋅丨OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨⋅丨OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 丨=12|x 1y 2−x 2y 1|， =12|(my 1+n)y 2−(my 2+n)y 1|=12|n(y 2−y 1)|， =12|n|×√△m 2+2=√2⋅√m 2+1(m 2+2)2，=√2⋅√m 2+1m 2+2⋅1m 2+2．∵m 2+1m 2+2+1m 2+2=1， ∴S △AOB=√2⋅√m 2+1m 2+2⋅1m 2+2≤√22， 当且仅当m =0时取等号．∴所求△AOB 面积S 的最大值√22.…(14分)解析：(1)由椭圆的离心率，a =√2c ，将P 代入椭圆方程，即可求得椭圆的标准方程；(2)由点到直线的距离公式，得n 2=m 2+1.将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及向量数量积的坐标运算，利用基本不等式即可求得△AOB 面积S 的最大值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)当a =1时，f′(x)=1+1−lnx x 2=x 2+1−lnxx 2(x >0)，设g(x)=x 2+1−lnx ，则g′(x)=2x −1x =2x 2−1x(x >0)，令g′(x)=0，解得：x =√22，故g(x)在(0,√22)递减，在(√22,+∞)递增，故g(x)≥g(√22)=32−ln 32>0，故f′(x)>0恒成立， 故f(x)在(0,+∞)递增； (2)∵f(x)存在极值点， ∴f′(x)=0在x >0上有解， 即f′(x)=1+a(1−lnx)x 2=x 2+a(1−lnx)x 2=0有解，即a(1−lnx)+x 2=0在x >0上有解， 当x =e 时，上式不成立， 即当x ≠e ，a =x 2lnx−1在(0,e)∪(e,+∞)上有解，即曲线y =a 与曲线g(x)=x 2lnx−1在(0,e)∪(e,+∞)上有交点，故g′(x)=x(2lnx−3)(lnx−1)2=0，故x =e 32，当0<x <e 或e <x <e 32时，g′(x)<0， 当x >e 32，g′(x)>0， 故g(x)min =g(e 32)=2e 3， ∵0<x <e 时，g′(x)<0， 故作出y =g(x)的图象如图示： 有a <0或a >2e 3， 即a ∈(−∞,0)∪(2e 3,+∞)．解析：本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，问题转化为a(1−lnx)+x 2=0在x >0上有解，即曲线y =a 与曲线g(x)=x 2lnx−1在(0,e)∪(e,+∞)上有交点，求出g(x)的最小值，从而确定a 的范围即可．22.答案：解：(1)∵圆C 的极坐标方程为ρ=8sinθ.∴ρ2=8ρsinθ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−8y =0，即x 2+(y −4)2=16， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y −4)2=16．∵曲线M 的参数方程为{x =1+rcosαy =1+rsinα(α为参数，r >0)，∴曲线M 的普通方程为(x −1)2+(y −1)2=r 2． (2)联立{x 2+(y −4)2=16(x −1)2+(y −1)2=r 2，得2x −6y =2−r 2， ∵圆C 的直径为8，且圆C 与曲线M 的公共弦长为8， ∴直线2x −6y =2−r 2经过圆C 的圆心(0,4)， 则2×0−6×4=2−r 2，r 2=26， 又r >0，∴r =√26．解析：本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查圆的半径的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)圆C 的极坐标方程化为ρ2=8ρsinθ，由此能求出圆C 的直角坐标方程；曲线M 的参数方程消去参数，能求出曲线M 的普通方程．(2)联立{x 2+(y −4)2=16(x −1)2+(y −1)2=r 2，得2x −6y =2−r 2，由圆C 的直径为8，且圆C 与曲线M 的公共弦长为8，得到直线2x −6y =2−r 2经过圆C 的圆心(0,4)，由此能求出r 的值．23.答案：解：(1)由题意知，32为方程|x −1|+|3x −5|=m 的根，∴|32−1|+|92−5|=m ，解得m =1， 由|x −1|+|3x −5|<1解得32<x <74， ∴n =74；(2)证明：由(1)知，a +b +c =1，∴b 2+c 2a +c 2+a 2b +a 2+b 2c ≥2bc a +2ac b +2abc =2abc (a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2) =1abc[(a 2b 2+b 2c 2)+(b 2c 2+c 2a 2)+(c 2a 2+a 2b 2)] ≥1abc (2ab 2c +2bc 2a +2ca 2b)=2abc abc(a +b +c)=2，当且仅当a =b =c =13时取等号，∴b 2+c 2a+c 2+a 2b+a 2+b 2c≥2成立．解析：本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，考查推理能力及计算能力，属于基础题． (1)依题意，32为方程|x −1|+|3x −5|=m 的根，代入可解得m =1，进而求得不等式的解集为32<x <74，由此求得n =74； (2)由(1)得a +b +c =1，结合基本不等式即可证明。

2020年广东省肇庆市高考数学质检试卷（文科）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合A ＝{x|x >2, x ∈R}，B ＝{x|x 2−2x −3>0}，则A ∩B ＝（ ） A.(3, +∞) B.(−∞, −1)∪(3, +∞) C.(2, +∞) D.(2, 3)2. 已知复数z =1+i 2i，则复数z 在复平面内对应点所在的象限为（ ） A.第二象限 B.第一象限C.第四象限D.第三象限3. 已知a =(13)25,b =(25)−13,c =log 213，则（ ） A.c <b <a B.a <b <cC.c <a <bD.b <c <a4. 某生物研究所在新冠病毒(COVID −19)疫苗的研制过程中，为验证疫苗的治疗效果，进行了动物的对比试验，现对200只小白鼠进行试验，得到如表数据：附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．则下列说法正确的是（ ）A.至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”B.至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关“C.至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”D.“发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%5. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点与圆M ：(x −2)2+y 2＝5的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2√2，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.36. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： 2√23=√223，3√38=√338，4√415=√4415，5√524=√5524则按照以上规律，若8√8n =√88n 具有“穿墙术”，则n ＝（ ） A.35 B.7 C.48 D.637. 函数f(x)=x sin x +1x 2−1π2在区间[−2π, 2π]上的大致图像为( )A. B.C.D.8. 执行下面的程序框图，若输出的结果是16，则空白框中应填（ ）A.n ＝n +2，S ＝S +nB.n ＝n +1，S ＝S +nC.S ＝S +n ，n ＝n +1D.S ＝S +n ，n ＝n +29. 已知函数f(x)＝sin (ωx +φ)−cos (ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的最小正周期为π，x =π3为函数g(x)的一条对称轴，则函数g(x)的一个单调递增区间为（ ） A.[π2,π] B.[0,π6]C.[π3,5π6]D.[π6,π3]10. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S =√14[(ab)2−(a 2+b 2−c 22)2]．根据此公式，若a cos B +(b +3c)cos A ＝0，且a 2−b 2−c 2＝2，则△ABC 的面积为（ ） A.2√2 B.√2 C.2√3 D.√611. 已知抛物线y 2＝−4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，直线x ＝4与MO ，NO 的延长线交于P ，Q 两点，则S △MON :S △POQ ＝（ ） A.19B.18C.112D.11612. 已知函数f(x)=xln x −3+3a ln x x−a 在区间(1, +∞)上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.(e, 3)∪(3, +∞)B.[0, e)C.(e 2, +∞)D.(−∞, e)∪{3}二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知平面向量a →=(m, 2)，b →=(1, 3)，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________．在区间[−1, 1]上随机取一个数k ，则能够使直线y ＝k(x +3)与圆x 2+y 2＝1相交的概率为________√24．已知函数f(x)＝e x −e −x −2sin x ，则不等式f(2x 2−1)+f(x)≤0的解集为________12] ．在三棱锥A −BCD 中，底面为Rt △，且BC ⊥CD ，斜边BD 上的高为1，三棱锥A −BCD 的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A −BCD 的体积的最大值为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n ＝5×3n −3，b n =an(4n 2−1)3n ．（1）证明：数列{a n −2×3n }为常数列；（2）求数列{b n }的前n 项和T n ．在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点．（1）证明：A 1O ⊥BC ；（2）求三棱锥C 1−ABC 的体积．某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如表：（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量y （百件）与月份x 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y =b x +a ，并预测6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率． 参考公式与数据：线性回归方程y =b x +a ，其中b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2，∑=i=15 xiyi 21.2．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，离心率为√22，点B 是椭圆上的动点，△ABF 1的面积的最大值为√2−12． （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为l ′．若直线l ′与直线l 相交于点P ，与直线x ＝2相交于点Q ，求|PQ||MN|的最小值．已知函数f(x)＝ln x −ax 2+x −32(a ∈R)． (Ⅰ)当a ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0, 1)上有唯一的极值点x 0，求a 的取值范围，并证明：f(x 0)<−32．【选考题】请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =t ，y =m −t ， (t 为参数，m ∈R )，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=31+2sin 2θ(ρ>0, θ∈[0, π])．(1)求曲线C 1、C 2的直角坐标方程．(2)若P 、Q 分别为C 1、C 2上的动点，且P 、Q 间距离的最小值为2√2，求实数m 的值． [选修4-5：不等式选讲]已知正实数x ，y 满足x +y ＝1．（1）解关于x 的不等式|x +2y|+|x −y|≤52；（2）证明：(1x 2−1)(1y 2−1)≥9．参考答案与试题解析2020年广东省肇庆市高考数学质检试卷（文科）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】独根性冬验【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】归都读理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函验立零点函数奇三性的判刺函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换三角函因的周顿性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】直三与臂容在的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】平面体量存横积绝标表示的应用数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】棱使、求族非棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和数于术推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】空间表直线擦直英之说的位置关系棱使、求族非棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】求解线都接归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利来恰切研费函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【选考题】请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化圆的较坐标停程点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】不等较的证夏【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

广东省肇庆市宾亨中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a cos C＝4c sin A，已知△ABC的面积S＝bc sin A＝10，b＝4，则a的值为（）A．B． C． D．参考答案：B【解答】解：∵3a cos C＝4c sin A，∴3sin A cos C＝4sin C sin A，∵sin A≠0，∴3cos C＝4sin C，∴cos C＝，∵S＝bc sin A＝10，∴c sin A＝5，∵3a cos C＝4c sin A＝20，∴a＝＝．2. 已知四棱锥P-ABCD的侧棱长均为，底面是两邻边长分别为及的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为A. 18πB.C. 36πD. 48π参考答案：C因为四棱锥的底面为矩形，所以对角线AC为截面圆的直径。

由题意得该四棱锥的外接球的球心O在截面ABC内的射影为AC的中点F，此时，则，解得。

设外接球的半径为R，则，所以在中，由勾股定理得，解得，所以外接球的表面积为。

选C。

3. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推那么该数列的前50项和为A. 1044B. 1024C. 1045D. 1025参考答案：A【分析】将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：，，，，，每项含有的项数为：1，2，3，，k，总共的项数为，当时，，故该数列的前50项和为．故选：A．【点睛】本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．4. 下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数对应的是（）(A) ①，②，③，④(B) ①，②，③，④(C) ①，②，③，④(D) ①，②，③，④参考答案：B略5. 如右图，一个由两个圆锥组合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1、一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的体积为A. B.C. D.参考答案：A 略6. 设集合，则（）A．B．C． D．参考答案：B7. 执行如图所示的程序框图，若输入k的值为2，则输出的i值为A.2B.3C.4D.5参考答案：C8. 函数在上的图象是参考答案：A9. （5分）已知集合 A={y|y=2﹣x，x＜0}，集合B={x|x≥0}，则A∩B=（）A ． （1，+∞）B ． [1，+∞）C ． （0，+∞）D ． [0，+∞）参考答案：A考点： 交集及其运算．专题： 集合．分析： 求出A 中y 的范围确定出A ，找出A 与B 的交集即可． 解答： 由A 中y=2﹣x，x ＜0，得到y ＞1，即A=（1，+∞）， ∵B=[0，+∞）， ∴A∩B=（1，+∞）， 故选：A ．点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 10. 设a ，b∈R,“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD⊥AB ，垂足为D ，且AD=5DB ，设∠COD=，则tan 的值为．参考答案：12. 在△中，，，，则____________．参考答案：略13. 毛毛的计算器中的“开根号”键最近“感冒”了，输出的结果千奇百怪．细心的毛毛在复习资料上发现有一个真命题：已知对于任意正数，则一定在和之间；并且比更接近．毛毛自己编制了一个算法来求的近似值（如图）．请你在①中填上适当赋值语句：_______．．参考答案：14. 给出下列等式：观察各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则依次类推可得a6＋b6＝________.参考答案：1815. 已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤0）=0.4，则P（X＞2）= ．参考答案：0.1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；概率与统计．【分析】本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），由此知曲线的对称轴为Y轴，可得P（0≤X≤2）=0.4，即可得出结论．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤0）=0.4，∴P（0≤X≤2）=0.4∴P（X＞2）=0.5﹣0.4=0.1故答案为：0.1．【点评】本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率．16. 设直线参数方程为（为参数），则它的斜截式方程为.参考答案：略17. 在△ABC 中，，AB=2，且△ABC 的面积为，则边BC 的长为．参考答案：【考点】正弦定理的应用．【分析】应用余弦定理结合三角形面积公式进行计算即可；【解答】解：∵=∴AC=1由余弦定理可知：BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cos∠A即BC=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

广东省肇庆市2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值. 【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示： 当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题. 2．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．136【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得25968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可.【详解】由题意，数列{}n a 为等比数列，则25968736a a a a a ⋅=⋅==，又a a a 76826++=，即68726a a a +=-， 所以，()()76877786867678777683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()277777777773626362636263626133636363618a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅.故选：A. 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.3．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．1【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，55S =，3531m S =，求m 的值． 因为()51512512a S -==-，解得1531a =，()51235311231m mS -==-，解得3m =．故选B ． 【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 4．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )AB ．23C．2D ．1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，可得：2000232263OM y k y p y p p y p ==≤=++，当且仅当22002,y p y ==时取等号，故选C ． 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．5．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) AB ．2C ．1D【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可. 【详解】因为(1)1i z i +⋅=-,所以()()()211111i i z i i i i --===-++⋅-, 由复数模的定义知,1z ==.故选:C 【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.6．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ） A ．6 B ．3C．92D．92+【答案】B 【解析】 【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值. 【详解】解：曲线21y x =--表示以原点O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线AB 的方程为30x y -+=，可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为22=， 则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．7．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．14【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有66A 种，进而得到结果. 【详解】当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有33A 种情况，由间接法得到满足条件的情况有51235423A C A A -当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有33A 种，由间接法得到满足条件的情况有51235323A C A A -共有：5123512353235423A C A A A C A A -+-种情况，不考虑限制因素，总数有66A 种，故满足条件的事件的概率为：5123512353235423661360A C A A A C A A A -+-= 故答案为：C. 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 8．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】D 【解析】 【分析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033n n a =-+，解不等式求得结果. 【详解】由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6，使得301xx -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2， 故使得301x x -≥-成立的概率为2163d ==， 又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333n na n ∴=-+-⨯=-+， 令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.9．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定【答案】B 【解析】 【分析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：()4cos sin 21x x dx π-=⎰，于是此点取自阴影部分的概率为)()12142141.41122 3.22P ππ--=⨯=>=． 又21112P P =-<，故12P P >． 故选B ． 【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题．10．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．3【答案】B 【解析】 【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB pTS p∴==. 故选：B . 【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C 【解析】分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T ，再代入最低点可求得解析式为()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，依次判断各选项的正确与否． 详解：因为5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭为对称中心，且最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以A=3，且254312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭由222T ππωπ=== 所以()()3sin 2f x x ϕ=+，将2,33N π⎛⎫-⎪⎝⎭带入得 6π=ϕ ，所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭由此可得①错误，②正确，③当351212x ππ-≤≤时，0266x ππ≤+≤，所以与1y = 有6个交点，设各个交点坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1234567x x x x x x π+++++=，所以③正确 所以选C点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题． 12．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12 B ．3.13C ．3.14D ．3.15【答案】B 【解析】 【分析】先利用几何概型的概率计算公式算出x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出π. 【详解】因为x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，所以有01x <<，01y <<，若x ，y 能与1构成锐角三角形三边长，则2211x y x y +>⎧⎨+>⎩，由几何概型的概率计算公式知11435411142000m P n ππ⨯-==-==⨯， 所以4354(1)2000π=⨯-=3.13. 故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省肇庆市2020届高三数学第三次统一检测试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =≤，则A B ⋂=（ ）A. {|2}x x ≥-B. {|12}x x <<C. {|12}x x <≤D. {|2}x x ≥【答案】C【解析】【分析】解不等式24x ≤，化简B 的表示方法，利用集合交集的定义求出A B ⋂.【详解】解：∵集合{|1}A x x =>， 2{|4}{|22}B x x x x =≤=-≤≤，∴{|12}A B x x =<≤I .故选：C ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力.2.已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则m 的值为（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2- 【答案】A【解析】【分析】先化简已知的等式，再利用两个复数相等的条件，解方程组求得x 的值．【详解】∵()()2243,m i i i +-=+∴()2m 2443m i i ++-=+， ∴22443m m +=⎧⎨-=⎩，即m 1= 故选：A【点睛】本题考查两个复数的乘法法则的应用，以及两个复数相等的条件，基本知识的考查．3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差2d =，1a ，3a ，4a 成等比数列，则8S =（ ）A. -20B. -18C. -10D. -8【答案】D【解析】【分析】由1a ，3a ，4a 成等比数列，可以得到等式2314a a a =，根据等差数列的通项公式可以求出3a ，4a ，代入等式中，这样可以求出1a 的值，最后利用等差数列的前n 项和公式，求出8S 的值.【详解】解：等差数列{}n a 的公差2d =，1a ，3a ，4a 成等比数列，可得2314a a a =，即为2111(4)(6)a a a +=+，解得18a =-， 则818(8)87282S =⨯-+⨯⨯⨯=-.故选：D ． 由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列中项性质，考查方程思想和运算能力．4.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A. 16B. 2524C. 34D. 1112【答案】D【解析】【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n 8=时，不再运行循环体，直接输出S 值．【详解】模拟程序图框的运行过程，得S=0,n=2,n<8满足条件，进入循环： S=1,4,2n =满足条件，进入循环： 11,6,24s n =+=进入循环： 111,8,246s n =++=不满足判断框的条件，进而输出s 值， 该程序运行后输出的是计算：11111S 24612=++=． 故选：D ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．根据程序框图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5.若x ，y 满足约束条件220210320x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A. [2,2]-B. (,2]-∞C. [1,2]-D. [2,)-+∞【答案】A【解析】【分析】画出可行解域，平移直线y x z =-，找到在纵轴上截距最大、最小时经过的点，这样可以求出z 的最大值和最小值，也就求出z 的取值范围. 【详解】解：x ，y 满足约束条件220210320x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域，如图所示：其中(0,2)A ，(1,1)B -，由图易得目标函数在(1,1)-处，取最大值2，在(0,2)处，取得最小值为-2，∴目标函数z x y =-的取值范围是[2,2]-.故选：A ．【点睛】本题考查了求线性目标函数最值问题，画出正确的可行解域，利用数形结合是解题的关键.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）2 3 C. 3π D. 43π【答案】B【解析】【分析】直接利用三视图转换为几何体，可知该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．进一步求出几何体的外接球半径，最后求出球的体积．【详解】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的． 故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径r ==，则：343V π=⋅⋅=⎝⎭. 故选：B ．【点睛】本题考查了三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查数学运算能力和转换能力.7.=（ ）A. 2cos2B. 2sin 2C. 4sin 22cos2+D. 2sin 24cos2+ 【答案】B【解析】【分析】将1拆解为22sin 2cos 2+，cos4和sin4利用二倍角公式拆开，使得根号下的式子变成完全平方的形式，再根据符号整理.sin 2cos 2===+2cos 2====-2sin 22cos 22cos 22sin 2∴=+-=本题正确选项：B【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数关系，易错点在于开完全平方时，要注意符号. 8.已知双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点为A ，右焦点为F ，O 是坐标系原点，过A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M ，N 两点，若四边形OMFN 是菱形，则C 的离心率为（ ）A. 2D. 12【答案】A【解析】【分析】求出,A F 的坐标，根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得2c a =，进而求出双曲线的离心率. 【详解】解：双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点为(,0)A a ，右焦点为(,0)F c ，O 是坐标系原点，过A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M ，N 两点，若四边形OMFN 是菱形， 可得2c a =，可得2e =．故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，利用平面几何的性质是解题的关键.9.设23451111log log log log a ππππ=+++，y x a =-，x N ∈，当y 取最小值时的x 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】 23451111log log log log a ππππ=+++，利用对数运算性质可得log 120a π=，根据497.41π≈，5306.02π≈．即可得出结论．【详解】解：23451111log log log log a ππππ=+++log 2log 3log 4log 5log 120πππππ=+++=， ∵481π≈，5243π≈.45a a ∴-<-∴y x a =-，x N ∈，当y 取最小值时的x 的值为4．故选：C ．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力.10.相关变量,x y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（ ）A. 1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<<【答案】D【解析】【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.【详解】由散点图得负相关，所以12,0r r <，因为剔除点()10,21后，剩下点数据更具有线性相关性，r 更接近1，所以2110r r -<<<.选D.【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.11.已知函数()2x m f x xe mx =-+（e 为自然对数的底数）在(0,)+∞上有两个零点，则m 的范围是（ ）A. (0,)eB. (0,2)eC. (,)e +∞D. (2,)e +∞【答案】D【解析】【分析】 利用参数分离法进行转化，12x xe m x =-，设()12xxe h x x =-（0x >且12x ≠）， 构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可． 【详解】解：由()02x m f x xe mx =-+=得1()22x m xe mx m x =-=-， 当12x =时，方程不成立，即12x ≠， 则12xxe m x =-， 设()12xxe h x x =-（0x >且12x ≠）， 则()222111'222'()1122x x x xe x xe e x x h x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21(1)(21)212x e x x x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵0x >且12x ≠，∴由'()0h x =得1x =， 当1x >时，'()0h x >，函数为增函数，当01x <<且12x ≠时，'()0h x <，函数为减函数， 则当1x =时函数取得极小值，极小值为(1)2h e =， 当102x <<时，()0h x <，且单调递减，作出函数()h x 的图象如图： 要使12xxe m x =-有两个不同的根，则2m e >即可，即实数m 的取值范围是(2,)e +∞.方法2：由()02xm f x xe mx =-+=得1()22x m xe mx m x =-=-， 设()x g x xe =，1()()2h x m x =-， '()(1)x x x g x e xe x e =+=+，当0x >时，'()0g x >，则()g x 为增函数， 设1()2h x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()x g x xe =，相切时的切点为(,)a a ae ，切线斜率(1)a k a e =+， 则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-， 当切线过1(,0)2时，1(1)()2a a ae a e a -=+-， 即21122a a a a -=+--，即2210a a --=，得1a =或12a =-（舍），则切线斜率(11)2k e e =+=，要使()g x 与()h x 在(0,)+∞上有两个不同的交点，则2m e >，即实数m 的取值范围是(2,)e +∞.故选：D ．【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键．12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，有下列四个命题：①若1D M CP ⊥，则BCM ∆面积的最小值为510； ②平面1A BD 内存在与11D C 平行的直线；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，则这样的平面α有4个；④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影面积为3． 则上述四个命题中，真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】①建立空间坐标系，得到M 点应该满足的条件，再根据二次函数的最值的求法求解即可；对于②11//D C DC ，DC I 平面1A BD D =，所以11D C 也与平面1A BD 相交．故②错；对于③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，因为11//D C AB ，且11D C AB =，所以AB 在平面α的正投影长度与11D C 在平面α的正投影长度相等，然后分情况讨论即可得到平面α的个数；对于④面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影为正六边形，且正六边形的边长为正三角形1A BD 外接圆的半径，故其面积为3．【详解】解：对于①，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过M 作MG ⊥平面ABCD ，G 是垂足，过G 作GH BC ⊥，交BC 于H ，连结MH ， 则(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,0,0)A ，1(1,0,)2P ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，设(1,,)M a b ，则1(1,,1)D M a b =-u u u u u r ，1(1,1,)2CP =-u u u r ，∵1D M CP ⊥，∴1111022D M CP a b ⋅=-+-=u u u u u r u u u r ，解得21a b -=，∴1CH a =-，21MG b a ==-，2222(1)(21)MH GH MG a a =+=-+-2562a a -+∴211156222BCM S BC MH a a ∆=⨯⨯=⋅-+21311155()25525a =-+=当35a =时，min ()BCM S ∆=，①正确； 对于11//D C DC ，DC I 平面1A BD D =，所以11D C 也与平面1A BD 相交．故②错； ③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，因为11//D C AB ，且11D C AB =，故11D C 在平面α的正投影的长度等于AB 在平面α的正投影的长度，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，即使得使得棱AD ，1AA ，AB 面α的正投影的长度相等，若棱AD ，1AA ，AB 面α的同侧，则α为过A 且与平面1A BD 平行的平面，若棱AD ，1AA ，AB 中有一条棱和另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面α有3个，故满足使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等的平面α有4个；③正确．④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影为一个正六边形，其中1AC ⊥平面β，而1AC 分别垂直于正三角形1A BD 和11CB D ，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，1AC 在平面β内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形1A BD 的外接圆半径（投影线与正三角形1A BD 、11CB D 垂直），所以正六边形的边长为sin 60a =÷︒=积为2266a ==⎝⎭．④对． 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.已知数列{}n a 满足11a =，11lg lg 2n n a a +=+，则9a =______． 【答案】10000 【解析】【分析】化简递推关系式，得1n na a += 【详解】解：数列{}n a 满足11a =，11lg lg 2n n a a +=+， 可得11lg2n n a a +=，可得1n na a += 则89110000a q =⨯=.故答案为：10000．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．14.在ABC ∆中，3AB =，2BC =，AC =，则BA BC ⋅=u u u v u u u v______．【答案】3 【解析】 【分析】通过余弦定理求出cos B ，然后利用向量的数量积求解即可． 【详解】解：在ABC ∆中，3AB =，2BC =，AC =，可得9471cos 2322B +-==⨯⨯，则13232BA BC ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r .故答案为：3．【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．15.()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为_______（用数字填写答案）.【答案】40 【解析】 【分析】555()(2)(2)(2)x y x y x x y y x y +-=-+-,根据5(2)x y -的通项公式分r=3和r=2两种情况求解即可.【详解】555()(2)(2)(2)x y x y x x y y x y +-=-+-，由5(2)x y -展开式的通项公式515(2)()r r rr T C x y -+=-可得：当r=3时，5(2)x x y -展开式中33x y 的系数为32352(1)40C ⨯⨯-=-； 当r=2时，5(2)y x y -展开式中33x y 的系数为23252(1)80C ⨯⨯-=，则33x y 的系数为80-40=40. 故答案为：40．【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.16.已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，则过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆的方程为______． 【答案】2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】通过椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，求出A 、B 坐标，然后求解圆心坐标，半径，最后求出圆的方程．【详解】解：椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，联立可得：22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得，2225848y xy x xy x +--+，解得0x =或43x =，可得(0,1)A -，41(,)33B ， 过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆切点为B ，圆的圆心1(0,)3，半径为：43． 所求圆的方程为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 故答案为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =. （1）求BDCD； （2）若1AD AC ==，求BC 的长． 【答案】（1）2；（2【解析】 【分析】（1）在ABD ∆和ACD ∆中运用正弦定理，进行求解即可．（2）由sin 2sin C B =，利用正弦定理可得22AB AC ==，利用余弦定理求出cos ,cos BAD CAD ∠∠，结合BAD CAD ∠=∠，建立方程进行求解即可．【详解】解：（1）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BDB BAD=∠， 在ACD ∆中，sin sin AD CDC CAD=∠， 又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD CCD B==. （2）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==， 设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅. 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得22x =. 3232BC x ==. 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理建立方程是解决本题的关键．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =.（1）证明：1//CB 面1A EF ；（2）若CA CB ⊥，面CAB ⊥面11ABB A ，求二面角1F A E A --的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2529【解析】 【分析】（1）连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ，利用三角形相似证明1//FG CB ，然后证明1//CB 面1A EF ．（2）过C 作CO AB ⊥于O ，以O 为原点，OA u u u v ，1OA u u ur ，OC u u u r 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设2AB =，求出面1A FE 的一个法向量，面1ABA 的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ． 因为11AGA B GE ∆∆:，所以1112AA AG GB EB ==，又因为2AF FC =，所以1AF AGFC GB =，所以1//FG CB ，又1CB ⊄面1A EF ，FG ⊂面1A EF ，所以1//CB 面1A EF .（2）过C 作CO AB ⊥于O ，因为CA CB =，所以O 是线段AB 的中点．因为面CAB ⊥面11ABB A ，面CAB I 面11ABB A AB =，所以CO ⊥面1ABA ．连接1OA ， 因为1ABA ∆是等边三角形，O 是线段AB 的中点，所以1OA AB ⊥.如图以O 为原点，OA u u u v ，1OA u u ur ，OC u u u r 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设2AB =，则(1,0,0)A，1A ，(0,0,1)C ，(1,0,0)B -，12(,0,)33F ， 由11AA BB =u u u v u u u v，得(B -，1BB的中点3(2E -，13(,2A E =-u u u r，112(,)33A F =-u u u u r .设面1A FE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u v ，则111100A E n A F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u u v u v，即111120333022x z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，得方程的一组解为11115x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩1(1n =-u r .面1ABA 的一个法向量为2(0,0,1)n =u u r，则121212cos ,n n n n n n ⋅<>==u r u u ru r u u r u r u u r 所以二面角1F A E A --【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点． （1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点． 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】 【分析】（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，说明不符合题意，故直线的斜率存在，设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，利用韦达定理转化求解1k =±，求解直线方程．法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程1x my =+，与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，利用韦达定理以及距离公式，转化求解即可． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，通过韦达定理以及斜率关系，求出直线系方程，即可推出结果．【详解】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-， 此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-.由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m -++=，即2b =.故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20. （本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 【答案】(1)12,参考解析;(2)参考解析 【解析】试题分析：(1)由袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额..由获得60元的事件数1113C C 除以总的事件数24C 即可. 顾客获得奖励有两种情况20元,60元.分别计算出他们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论.(2) 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.根据题意有两种获奖励的情况,确定符合题意的方案,分别仅有一种.再分别计算出两种方案相应的概率以及求出数学期望和方差.即可得到结论.试题解析：(1)设顾客所获的奖励为X. ①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12. ②依题意,得X 的所有可能取值为20,60.232411(60),(20)22C P X P X C =====.即X 的分布列为所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为1X ,则1X 的分布列为1X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=,1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为2X ,则2X 的分布列为2X 的期望为2121()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=,2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2. 考点：1.概率.2.统计.3.数学期望,方差.21.已知函数ln ()()x af x a R x+=∈，2()2x g x e =-. （1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x ≤在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 单调递增区间为1(0,)ae -，单调递减区间为1[,)a e -+∞；（2）(,1]-∞.【解析】 【分析】（1）21ln '()x af x x--=，利用'()0f x =，解得x ，即可得出单调区间． （2）法一：由()()f x g x ≤得2ln 2x x ae x+≤-，即2(2)ln x a x e x ≤--．令2()(2)ln x h x x e x =--，利用导数研究其单调性即可得出．法二：由()()f x g x ≤得2ln 2x x ae x+≤-，即2ln 22ln (2ln )x x x a xe x x e x x +≤--=-+，令()2ln x x x ϕ=+，利用导数研究其单调性即可得出． 【详解】解：（1）21ln '()x af x x --=，当10a x e -<<时，'()0f x >，()f x 单调递增； 当1a x e -≥时，'()0f x ≤，()f x 单调递减，故()f x 单调递增区间为1(0,)ae -，单调递减区间为1[,)a e -+∞.（2）法一：由()()f x g x ≤得2ln 2x x ae x+≤-，即2(2)ln x a x e x ≤--， 令2()(2)ln xh x x ex =--，22121'()(21)(21)xx x h x x e x e x x +⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，21()(0)x F x e x x =->，221'()20x F x e x=+>，()F x 在(0,)+∞单调递增，又1404F ⎛⎫=<⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 所以()F x 有唯一的零点011(,)42x ∈，且当0(0,)x x ∈时，31x +<，即'()0h x <，()h x 单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0F x >，即'()0h x >，()h x 单调递增， 所以()()2min 000()2ln x h x h x x ex ==--，又因为0()0F x =所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1a ≤，a 的取值范围是(,1]-∞. 法二：由()()f x g x ≤得2ln 2x x ae x+≤-， 即2ln 22ln (2ln )xx x a xex x e x x +≤--=-+，令()2ln x x x ϕ=+，因为12()10e eϕ=-<，(1)20ϕ=>， 所以()x ϕ存在零点1x ；令()xG x e x =-，则'()1xG x e =-，当(,0)x ∈-∞时，'()0G x <，()G x 单调递减，当(0,)x ∈+∞时，'()0G x >，()G x 单调递增． 所以min ()(0)1G x G ==， 所以()11ln 2ln 211(2ln )2ln 1x x x xex x e x x ++-+≥-+=，所以a 的取值范围是(,1]-∞．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力．22.在直角坐标系xOy 中，直线1l ：2x =，曲线C ：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为(3,)6π.（1）求直线1l 和曲线C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知射线2l ：(0)2πθαα=<<与1l ，C 的公共点分别为A ，B ，且OA OB ⋅=MOB ∆的面积．【答案】（1）直线1l ： cos 2ρθ=；曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=；（2）2. 【解析】 【分析】（1）先根据22sin cos 1φφ+=，把曲线C 化为普通方程，再利用互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，把直线2x =和曲线C 化为极坐标方程；（2）联立极坐标方程，并利用极径的几何意义，根据三角形面积公式可得． 【详解】解：（1）∵cos {sin x y ρθρθ==，∴直线2x =的极坐标方程是cos 2ρθ=，曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=.所以曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）将θα=分别代入cos 2ρθ=，4sin ρθ=得：2cos A OA ρα==，4sin B OB ρα==.∴8tan OA OB α⋅==tan α=. ∵02πα<<，∴3πα=.∴OB =3OM =，6MOB π∠=.所以1sin 2MOB S OM OB MOB ∆=∠11322=⨯⨯=即AOB ∆的面积为2． 【点睛】本题考查了曲线的参数方程转化为普通方程，再转化为极坐标方程，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的解题的关键.23.已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈. （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2{|3x x <或()4cos(2)6f x x π=-；（2）空集. 【解析】 【分析】（1）通过零点法，分类讨论，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集．（2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，化简()22f x x a x =-+-，由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，推出结果即可．【详解】解：（1）不等式()2f x >，即2222x x -+->.可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩，或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩，解得23x <或2x >，所以不等式的解集为2{|2}3x x x <>或.（2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，所以()22f x x a x =-+-， 由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，则1211a a -≤-⎧⎨+≥⎩，该不等式无解，所以实数a取值范围是空集（或者∅）.【点睛】本题考查不等式的解法，恒成立条件的转化，考查计算能力．。

2020届广东省肇庆市高三下学期高考质量监测数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)2．已知复数12iz i+=，则复数z 在复平面内对应点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知21532121,,log 353a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果，现对200只动物进行调研，并得到如下数据：（附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++）则下列说法正确的：（ ）A ．至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”B ．至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”C ．至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”D ．“发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%5．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为（ ）A ．2B C D ．36．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====则按照以上规律，若=n=（ ） A ．7B ．35C ．48D ．637．函数2211()sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．8．执行下面的程序框图，若输出的结果是16，则空白框中应填（ ）A ．1=+n n ，S S n =+B ．2=+n n ，S S n =+C ．S S n =+，1=+n nD ．S S n =+，2=+n n9．已知函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+-+（0>ω，2πϕ<）的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的最小正周期为π，3x π=为函数()g x 的一条对称轴，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ）A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =()cos 3cos 0c B b a C ++=，且222 4c a b --=，则ABC 的面积为（ ）A B ．CD ．11．已知抛物线24y x =-的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，直线4x =与MO ，NO 的延长线交于P ，Q 两点，则:MON POQ S S ∆∆=（ ）A ．18B ．19C ．112D ．11612．已知函数()3ln 3ln x a xf x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,eB ．()(),33,e ⋃+∞C ．()2,e +∞ D ．(){},3e -∞二、填空题13．已知平面向量(),2a m =，()1,3b =，且()b a b ⊥-，则向量a 与b 的夹角的大小为________．14．在区间[]1,1-上随机取一个数k ，则能够使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为______.15．已知函数()2sin xxf x e ex -=--，则不等式()()2210f x f x -+≤的解集为_________.16．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt ∆，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2533,413nnn n n n a S a b n +=⨯-=-.（1）证明：数列{}23nn a -⨯为常数列.（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .18．在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112AA AC AC AB BC =====，且点O 为AC 中点.(1)证明：1A O ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥1C ABC -的体积.19．某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量y （百件）与月份x 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.参考公式与数据：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，5121.2i i i x y ==∑.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为2，点B 是椭圆上的动点，1ABF . (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线l 相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQMN的最小值.21．已知函数23()ln ()2f x x ax x a =-+-∈R . （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，求a 的取值范围，并证明：()032f x <-.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,x t y m t=⎧⎨=-⎩（t 为参数，m R ∈）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22312sin ρθ=+（[]0,0,ρθπ>∈）. （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程.（2）若P 、Q 分别为1C 、2C 上的动点，且P 、Q 间距离的最小值为m 的值.23．已知实数正数x ， y 满足1x y +=. （1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.参考答案1．A 【分析】 计算()(),13,B =-∞-+∞，再计算交集得到答案.【详解】{}()()2230,13,B x x x =-->=-∞-⋃+∞，{}2,A x x x R =>∈，故(3,)A B =+∞.故选：A . 【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2．D 【分析】利用复数的四则运算化简复数z a bi =+形式,由复数的几何意义z a bi =+与复平面内点(),a b 一一对应即可求解.【详解】 由题意可得,111222i z i i +==-， 故复数z 在复平面内对应点为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭， 因为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭是第四象限的点，故选:D 【点睛】本题考查复数的四则运算及其几何意义;属于基础题. 3．C 【分析】加入0和1这两个中间量进行大小比较，其中2510()13<<，132()15->，21log 03<，则可得结论. 【详解】205110()()133<<=，10322()()155->=， 221log log 103<=， c a b ∴<<.故选：C. 【点睛】本题考查了指数幂，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问题，其中选择中间量0和1是解题的关键，属于基础题. 4．A 【分析】根据所给表格及公式，即可计算2K 的观测值，对比临界值表即可作出判断. 【详解】根据所给表格数据，结合2K 计算公式可得其观测值为22200(20406080)10010.828100*********K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”， 故选：A. 【点睛】本题考查了独立性检验思想的简单应用，属于基础题. 5．A 【分析】由已知，圆心M=，又222c a b ==+，解方程即可. 【详解】由已知，2c =，渐近线方程为0bx ay ±=，因为圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为所以圆心M =2bb c===，故1a ==，所以离心率为2ce a==. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题. 6．D 【解析】 【分析】由题意结合所给的等式归纳推理得到规律即可确定n 的值. 【详解】考查所给的等式的特征，归纳其性质有：若等式左侧根号外面的数为m ，则根号内部的分子为m ，分母为21m -， 据此归纳推理可知：28163n =-=. 本题选择D 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 7．C 【分析】根据奇偶性排除A ，D ，根据()0,f π=(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负可选出选项. 【详解】由题可得2211()sin f x x x x π=+-是偶函数，排除A,D 两个选项，()0,f π=当(0,)x π∈时，2211sin 0,x x x π>>，()0f x >， 当(,2)x ππ∈时，2211sin 0,x x x π<<，()0f x <， 所以当(2,2)x ππ∈-时，()f x 仅有一个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负便可得出选项.8．D 【分析】根据四个选项依次代入检验进行求解判断即可. 【详解】A ：若空白处是1=+n n ，S S n =+时，14i =≤成立，2,022,24n S i ==+==≤成立，所以3,235,34n S i ==+==≤成立，所以4,459,44n S i ==+==≤成立，所以5,5914,54n S i ==+==≤不成立，故14S =，不符合题意；B ：若空白处是2=+n n ，S S n =+时，14i =≤成立，3,033,24n S i ==+==≤成立， 所以5,538,34n S i ==+==≤成立，所以7,8715,44n S i ==+==≤成立，所以9,15924,54n S i ==+==≤不成立，故24S =，不符合题意；C ：若空白处是S S n =+，1=+n n 时，14i =≤成立，1,2,24S n i ===≤成立，所以3,3,34S n i ===≤成立，所以6,4,44S n i ===≤成立，所以10,5,54S n i ===≤不成立，故10S =，不符合题意；D ：若空白处是S S n =+，2=+n n 时，14i =≤成立，1,3,24S n i ===≤成立，所以4,5,34S n i ===≤成立，所以9,7,44S n i ===≤成立，所以16,9,54S n i ===≤不成立，故16S =，符合题意. 故选：D【点睛】根据程序框图的输出结果补全程序框图，考查了数学运算能力.9．C【分析】先利用辅助角公式化简函数为()4f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再由平移变换得到()34g x x ωππωϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，然后根据()g x 的最小正周期为π，3x π=为()g x 的一条对称轴，求得()726g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】由题意知，()4f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()334g x f x x πωππωϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为π， 所以2ππω=， 解得2ω=，所以()2234g x x ππϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 因为3x π=为()g x 的一条对称轴， 则42k ππϕπ-=+（k ∈Z ），即34k πϕπ=+（k ∈Z ）， 因为2πϕ<，可得4πϕ=-，所以函数()726g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令7222262k x k πππππ-+≤-≤+（k ∈Z ）， 解得536k x k ππππ+≤≤+，（k ∈Z ），当0k =时，536x ππ≤≤. 故选：C【点睛】 本题主要考查辅助角公式，三角函数图象变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．B【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得cos C ，再结合已知及余弦定理，求得ab 的值，代入已知公式，即可求解.【详解】由题意，因为()cos 3cos 0c B b a C ++=，所以()sin cos sin 3sin cos 0C B B A C ++=， 即sin()3sin cos 0B C A C ++=，又由sin()sin B C A +=，所以sin 3sin cos 0A A C +=，由因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以13cos 0C +=，即1cos 3=-C ， 因为2224c a b --=， 由余弦定理可得22241cos 223a b c C ab ab +--===-，解得6ab =， 则ABC 的面积为S ===故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.11．D 【分析】当直线l 垂直于x 轴，根据相似，得到116MON POQ S S ∆∆=，当直线l 不垂直于x 轴，联立2(1),4y k x y x =+⎧⎨=-⎩，得到121=x x ，利用三角形面积公式，得到1214416POQ MON x x S S ∆∆=⋅=，从而得到答案.【详解】当直线l 垂直于x 轴时，MON ∆与POQ ∆相似， 所以2||1416MON POQ S OF S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭； 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，设()()()()1122,,,,4,,4,P Q M x y N x y P y Q y . 联立2(1),4y k x y x=+⎧⎨=-⎩得()2222240k x k x k +++=， ()2242440k k ∆=+->，所以121=x x ， 所以1||||sin 21||||sin 2MO P NOQ MO NO MON S S PO QO POQ ∆∆⋅⋅∠=⋅⋅∠ 12||||1||||4416x x MO NO PO QO =⋅=⋅=.综上，116MON POQ S S ∆∆=， 故选：D.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的交点，抛物线中三角形面积问题，属于中档题. 12．B【分析】 函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-的零点就是方程3ln 30ln x a x a x x-+-=的解，设()ln x g x x=，方程可化为(()3)(())0g x g x a --=，即()3g x =或()g x a =，求出()g x 的导数()'g x ，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出a 的范围．【详解】 由题意得3ln 30ln x a x a x x-+-=有四个大于1的不等实根， 记()ln x g x x =，则上述方程转化为()()()3310g x a g x ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 即()()()()30g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =，因为()()2ln 1ln x g x x -'=，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减：当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在x e =处取得最小值，且最小值为()g e e =.因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故()3ln 3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点， 需a e >且3a ≠.故选：B.【点睛】本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．13．4π 【分析】由()b a b ⊥-，解得4m =，进而求出2cos ,2a b =，即可得出结果. 【详解】 解：因为()b a b ⊥-，所以()()1,31,1130m m ⋅--=--=，解得4m =，所以4,21,3cos ,2a b ⋅==，所以向量a 与b 的夹角的大小为4π．都答案为：4π. 【点睛】 本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题．14．4 【分析】根据直线和圆的位置关系得到44k -≤≤，根据几何概型公式计算得到答案. 【详解】因为圆心()0,0，半径1r =，直线与圆相交，所以1d=≤，解得44k -≤≤，故相交的概率224P ==. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了几何概型，直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.15．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数；利用导数可得到()f x 的单调性；将不等式转化为()()221f x f x -≤-，利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果. 【详解】由题意得：()()2sin x x f x e e x f x --=-+=- ()f x ∴为R 上的奇函数()2cos x x f x e e x -'=+-2x x e e -+≥，2cos 2x ≤ ()0f x '∴≥且不恒等于零()f x ∴在R 上单调递增()()2210f x f x -+≤等价于()()()221f x f x f x -≤-=-221x x ∴-≤-，解得：11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义、导数的知识求得函数的单调性和奇偶性，从而将不等式转化为函数值的比较，利用单调性进一步得到自变量的大小关系.16．43【分析】分析：由题意,画出图形,设AD x =,把棱锥的体积用含有x 的代数式表示,然后利用二次函数求解,即可得到答案.【详解】如图所示，由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则4AB =，设AD x =，则BD =又BD 边上的高1CH =，当CH ⊥平面ABD 时，棱锥A BCD -的体积最大，此时1132V x =⨯⋅= 当28x =时，体积V 最大，此时最大值为43.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，把球的体积表示关于x 的函数表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.17．（1）证明见解析；（2）221n n + 【分析】 （1）由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得112103n n n a a ---=⨯，即()11123232n n n n a a ---⨯=-⨯，又由11230a -⨯=，即可得到本题答案；（2）由（1）得，()2223211412121413n n n b n n n n ⨯===---+-，即可得到本题答案. 【详解】（1）当1n =时，1153312S a +=⨯-=，所以16a =；当2n 时，由533n n n S a +=⨯-①，得111533n n n S a ---+=⨯-②，①-②得，112103n n n a a ---=⨯， 所以()11123232n n n n a a ---⨯=-⨯，因为16a =，所以11230a -⨯=，所以230n n a -⨯=，故数列{}23n n a -⨯为常数列；（2）由（1）知，23n n a =⨯，所以()2223211412121413n n n b n n n n ⨯===---+-， 所以12311111111335572121n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121n n n =-=++. 【点睛】本题主要考查11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩的应用及用裂项相消法求和，考查计算能力，属于中等题.18．（1）证明见解析；（2）1.【解析】试题分析：（1）利用等腰三角形的性质可得1AO AC ⊥，利用面面垂直的性质可得1A O ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质可得结论；（2）先证明11||A C 平面ABC ，可得1C 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离，利用等积变换及棱锥的体积公式可得11113C ABC A ABC ABC V V S AO --∆==⋅= 112132⨯⨯=. 试题解析：（1）∵11AA A C =，且O 为AC 的中点.∴1A O AC ⊥.又∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C ⋂平面ABC AC =，且1AO ⊂平面11AAC C ， ∴1A O ⊥平面ABC .∵BC ⊂平面ABC ，∴1A O BC ⊥.（2）∵11||A C AC ，11A C ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴11||A C 平面ABC .即1C 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离.由（1）知1A O ⊥平面ABC 且1AO ==∴三棱锥1C ABC -的体积：11113C ABC A ABC ABC V V S AO --∆==⋅= 112132⨯⨯=. 19．（1）ˆ0.320.24y x =+；2.16（百台）；（2）15P = 【分析】（1）由题意计算平均数与回归系数，写出线性回归方程，再利用回归方程计算对应的函数值；（2）利用分层抽样法求得抽取的对应人数，用列举法求得基本事件数，再计算所求的概率值．【详解】（1）因为()11234535x =++++=，()10.60.8 1.2 1.6 1.8 1.25y =++++= 所以221.253 1.2ˆ0.325553b -⨯⨯==-⨯，则ˆ 1.20.3230.24a =-⨯=， 于是y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.320.24yx =+. 当6x =时，ˆ0.3260.24 2.16y=⨯+=（百台）. （2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为a ，b ，c ，d ，购买意愿为12月份的抽2人记为A ，B ，从这6人中随机抽取3人的所有情况为(),,a b c 、(),,a b d 、(),,a b A 、(),,a b B 、(),,a c d 、(),,a c A 、(),,a c B 、(),,a d A 、(),,a d B 、(),,a A B 、(),,b c d 、(),,b c A 、(),,b c B 、(),,b d A 、(),,b d B 、(),,b A B 、(),,c d A 、(),,c d B 、(),,c A B 、(),,d A B ，共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有(),,a A B 、(),,b A B 、(),,c A B 、(),,d A B ，共4种， 故所求概率为41205P ==. 【点睛】本题考查了线性回归方程与列举法求古典概型的概率问题，是中档题．20．见解析.【解析】试题分析：（1）由已知，有2c a =，可得b c =. 设B 点的纵坐标为()000y y ≠.可得1ABF S ∆的最大值()12a cb - 12=．求出1b =，a =即可得到椭圆C 的方程； （2）由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l ：1x my =-. 设()11,M x y ，()22,N x y ，(),P P P x y ，()2,Q Q y .联立22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得()222210m y my +--=.由弦长公式可得2212m MN m +=+PQ 22262m m +=+，由此得到PQ MN 的表达式，由基本不等式可得到PQ MN 的最小值.试题解析：（1）由已知，有c a =222a c =. ∵222a b c =+，∴b c =.设B 点的纵坐标为()000y y ≠.则()1012ABF S a c y ∆=-⋅ ()12a c b ≤- 12=，即)1b b -=.∴1b =，a =∴椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l ：1x my =-. 设()11,M x y ，()22,N x y ，(),P P P x y ，()2,Q Q y .联立22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()222210m y my +--=. 此时()2810m ∆=+>. ∴12222m y y m +=+，12212y y m =-+.由弦长公式，得MN =12y y -=.整理，得2212m MN m +=+. 又12222P y y m y m +==+，∴1P P x my =- 222m -=+.∴2P PQ =-22262m m +=+.∴2PQ MN =22=22⎫=≥，=，即1m =±时等号成立.∴当1m =±，即直线l 的斜率为1±时，PQ MN 取得最小值2.21．（1）递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞；（2）()1,+∞，见解析【分析】（1）当1a =时，求出函数()f x 的定义域和导数，结合导数的取值的正负，即可求得函数()f x 的单调区间；（2）求得()f x '，令2()21g x ax x =-++，根据函数()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，得出()g x 在(0,1)上有唯一的解，根据(1)0g <求得a 的范围，再由由()00g x =，得到20021ax x =+，结合函数()ln 22x x x ϕ=+-的单调性和最值，即可求解． 【详解】 （1）由题意，函数23()ln 2f x x ax x =-+-，当1a =时，函数23()ln 2f x x x x =-+-. 则2121(21)(1)()21,0x x x x f x x x x x x-++-+-'=-+==>， 令()0f x '>，即10x -<且0x >，可得01x <<，令()0f x '<，即10x ->，可得1x >.所以当1a =时，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.（2）由函数23()ln 2f x x ax x =-+-，则2121()21,0ax x f x ax x x x -++'=-+=>， 记2()21g x ax x =-++，因为()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，又(0)1g =，根据二次函数的图象分析可知，只需(1)0g <即可，即(1)2110g a =-++<，解得1a >， 所以实数a 的取值范围是(1,)+∞，又由()00g x =，可得20021ax x =+， 所以()2000000000313ln ln ln 22222x x f x x ax x x x x +=-+-=-+-=+-， 又由函数()ln 22x x x ϕ=+-，可得11()02x x ϕ'=+>， 可得函数()ln 22x x x ϕ=+-在(0,1)上单调递增，且3(1)2ϕ=-， 所以()032f x <-. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．（1）1:0C x y m +-=，222:1(0)3x C y y +=≥.（2）4m =-6m =. 【详解】分析：（1）消去参数可得1C 的直角坐标方程为:0x y m +-=，极坐标方程化为直角坐标方程为()22103x y y +=≥. （2）设),Q sin αα，[]0,απ∈，由点到直线距离公式可得Q 到1C的距离d =，结合题意分类讨论可得4m =-6m =.详解：（1）消去参数可得1C 的直角坐标方程为:0x y m +-=，2C 的方程即：2222sin 3ρρθ+=，即22223x y y ++=， 则直角坐标方程为：()22103x y y +=≥. （2）设),Q sin αα，[]0,απ∈， 则Q 到1C的距离d ==，4,333πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. 由P 、Q间距离的最小值为：当0m =时，不符合题意.当0m >时，24m -=得6m =；当0m <时，4m =，得4m =--综上：4m =-6m =.点睛：本题主要考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与互化，极坐标方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．（1）1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得01x <<，并把1y x =-代入不等式后利用绝对值的性质解不等式；（2）把21x 和21y 中的分子1用2()x y +代换，然后化简后用基本不等式可证明． 【详解】（1）1,0,0x y x y +=>>且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩ 01011112121222x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）1,x y +=且0,0x y >>，()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225x y y x =++59≥=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式的证明．解题关键是“1”的代换，解不等式是利用消元法，而不等式的证明用到了“1”的代换，代换时要注意次数的一致性，否则达不到目的．。