【数学】东北三省四市统一考试暨沈阳市2011届高三教学质量监测(二)(理)

2011年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2011年长春市高中毕业班第二次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.A2.B3. C4. B5.D6.C7.D8.D9.A 10.B 11.C 12.A 简答与提示：1. A 化简复数a －ii－i ＝－1－(a ＋1)i ，由题意知a ＋1＝－1，解得a ＝－2.2. B 阴影部分表示的集合为{|x 31x -<<-}.3. C ∵点P 在y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α，∴sin2α＋2cos2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2. 4. B ∵639S S =，∴1234568()a a a a a a ++=++，∴38q =，∴2q =，∴12n n a -=.∴111()2n n a -=，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1前5项和为511[1()]31211612⋅-=-. 5. D 1PF ·2PF ＝0，则|1PF ＋2PF |＝2|PO |＝|12F F|＝210.6. C 由正视图和俯视图可知，平面ABC ⊥平面ACD .三棱锥B －ACD 侧视图为等腰直角三角形，直角边长为125，∴侧视图面积为7225. 7. D 程序框图统计的是作业时间为60分钟以上的学生的数量，因此由输出结果为680知，有680名学生的作业时间超过60分钟，因此作业时间在0～60分钟内的学生总数有320人，故所求频率为0.32.8. D 第一步，先将1、3、5分成两组，共2232C A 种方法；第二步，将2、4、6排成一排共33A 种方法；第三步：将两组奇数插三个偶数形成的四个空位，共24A 种方法.综上共有2232C A 33A 24A ＝3×2×6×12＝432.9. A 作出函数()f x 的示意图如图，则4log x ＞12或4log x ＜12-，解得2x >或102x <<. 10. B 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为(5 4.9)10320002nn n+++=32000 4.9520n n ++,当且仅当3200020n n =时，取得最小值，此时n ＝800.11. C ∵13PN PB = ，∴12P ANC B ANC V V --=12N ABC V -= 1223P ABC V -=⨯121232P ABCD V -=⨯⨯. ∴:P ANC V -P ABCD V -=1:6.12. A()f x k =为1[,)2-+∞上的增函数，又()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，A B C D PN∴()()f a a f b b=⎧⎨=⎩，即()f x x =在1[,)2-+∞上有两个不等实根，即x k =-在1[,)2-+∞上有两个不等实根. (方法一)问题可化为y =y x k =-在1[,)2-+∞上有两个不同交点. 对于临界直线m ，应有k -≥12，即k ≤12-.对于临界直线n，y ''==1，得切点P 横坐标为0，∴(0,1)P ， ∴:1n y x =+，令0x =，得1y =，∴k -＜1，即1k >-.综上，1k -<≤12-.(方法二)x k =-，得22(2+2)10x k x k -+-=.令22()(2+2)1g x x k x k =-+-，则由根的分布可得1()02112>0g k ⎧-⎪⎪⎪+>-⎨⎪∆⎪⎪⎩≥,即2()102321k k k ⎧+⎪⎪⎪>-⎨⎪>-⎪⎪⎩≥，解得1k >-.x k =-，∴x ≥k ，∴k ≤12-.综上，1k -<≤12-.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13.[-14. 213(21)(1)(2)(2)n n n n n ⨯⨯⨯⨯-=+⨯+⨯⨯……15. ④②或②⑥(填出其中一种即可)16. 1 简答与提示：13.[- 原命题的否定形式为2,239x x ax ∀∈-+R ≥0，为真命题. 即2239x ax -+≥0恒成立，∴只需∆=2(3)429a --⨯⨯≤0，解得a∈[-.14. 213(21)(1)(2)(2)n n n n n ⨯⨯⨯⨯-=+⨯+⨯⨯…….15. ④②或②⑥(填出其中一种即可) y ＝sin x (4)−−→y ＝sin(x ＋π3)(2)−−→y ＝sin(x 2＋π3)，或y＝sin x (2)−−→y ＝sin 12x (6)−−→y ＝sin 12(x ＋2π3)＝sin(x 2＋π3). 16.1 依题意2,2p b c p a==，∴22b ac =，∴2220c ac a +-=， ∴2210e e +-=，解得1e =.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查解三角形的有关知识及空间想象能力，具体涉及到余弦定理、正弦定理，三角形的面积公式.【试题解析】解：⑴设船速为x km/h ，则6x BC =km.在Rt △PAB 中，∠PBA 与俯角相等为30°，∴1tan 30AB ==︒同理，Rt △PCA中，1tan 60AC ==︒ (4分) 在△ACB 中，∠CAB =15°＋45°＝60°，∴由余弦定理得BC =∴6x ==，∴船的航行速度为km/h. (6分) ⑵(方法一) 作AD BC ⊥于点D ，∴当船行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小.此时，sin 60AB AC AD BC⋅⋅︒===(10分)∴PD=. ∴船在行驶过程中与观察站P. (12分)(方法二) 由⑴知在△ACB 中，由正弦定理sin sin 60AC BCB =︒，sin B ==∴(8分) 作AD BC ⊥于点D ，∴当船行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小.此时，sin AD AB B ===(10分)∴PD∴船在行驶过程中与观察站P. (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.【试题解析】(方法一)⑴证明：如图一，连结1AC 与1AC 交于点K ，连结DK . 在△1ABC 中，D 、K 为中点，∴DK ∥1BC . (3分) 又DK ⊂平面1DCA ，1BC ⊄平面1DCA ，∴1BC ∥平面1DCA . (5分) ⑵解：二面角11D CA C --与二面角1D CA A --互补. 如图二，作DG AC ⊥，垂足为G ，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，∴DG ⊥平面11ACC A . 作GH ⊥1CA ，垂足为H ，连结DH ，则1DH CA ⊥，∴∠DHG 为二面角1D CA A --的平面角. (8分) 设12AB BC CA AA ====，在等边△ABC 中，D 为中点，∴14AG AC =，在正方形11ACC A 中，138GH AC =,∴DG =3GH =⨯=DH =.cos GH DHG DH ∠===∴.(11分)∴所求二面角的余弦值为 (12分)A BA CC D111KA BB A CC D111HG 1(0,2, )3( ,0, )12图一 图二 图三(方法二)证明：如图三以BC 的中点O 为原点建系，设12AB BC CA AA ====.设(,,)n x y z =是平面1DCA 的一个法向量，则100n CD nCA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.又3(2CD =，1(1CA = ， ∴020z x y +=++=⎪⎩.令1,1x z y ===，∴(1,1,n =. (3分)∵1(2,2,0)BC =- ，∴12200n BC ⋅=-++=. 又1BC ⊄平面1DCA ，∴1BC ∥平面1DCA . (5分)⑵解：设111(,,)m x y z =是平面11CAC 的一个法向量，则1100m CC m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ .又1(0,2,0)CC =，1(1CA = ，∴11100y x =⎧⎪⎨=⎪⎩.令111,z x ==(m =.(8分) ∴cos ,m n <=(11分) ∴所求二面角的余弦值为 (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、二项分布及几何概型.【试题解析】解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为7500.14=(人). ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)． (4分)(2)X =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为1475025=,∴X ～7(2,)25B . 218324(0)()25625P X ===，12718252(1)()()2525625P X C ===， 2749(2)()25625P X ===. (7分) 所求分布列为7()22525E X =⨯=(9分) (3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x 、y 米，则基本事件满足的区域为 8109.510.5x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤，事件A “甲比乙投掷远的概率”满足 的区域为x y >，如图所示. ∴由几何概率1111222()1216P A ⨯⨯==⨯.(12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识.【试题解析】解：⑴设1122(,),(),(,).D x y A x x B x ∵D 是线段AB 的中点，∴12,2x x x +=12.2x x y -= (2分) ∵|AB |=221212())2x x x -++=，∴22)2)12x +=. 化简得点D 的轨迹C 的方程为2219x y +=. (5分) ⑵设:(1)(0)l y k x k =-≠，代入椭圆2219x y +=，得 2222(19)18990k x k x k +-+-=，∴21221819k x x k +=+，∴122219k y y k -+=+. (7分) ∴PQ 中点H 的坐标为2229(,)1919k kk k -++.∵以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形，∴1MH k k ⋅=-，∴222191919kk k km k -+⋅=--+，即22819k m k =+. (9分) ∵0k ≠，∴809m <<. (11分)又点(,0)M m 在线段ON 上，∴01m <<. 综上，809m <<. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，并考查数学证明.【试题解析】解：⑴∵()f x =1x x e -，∴()f x '=2xxe -. (2分)令()f x '=0，解得2x =.∴()f x 在( (3分)∴当2x =时，()f x 取得极大值(2)f =21e. (4分) ⑵证明：43()(4)x x g x f x e --=-=，413()()()x x x xF x f x g x e e---=-=-令,∴()F x '=424422(2)()x x x x x x x e e e e e-+-----=. (6分) 当2x >时，2x -＜0，2x ＞4，从而42x e e -＜0， ∴()F x '＞0，()F x 在(2,)+∞是增函数.2211()(2)0,2()().F x F x f x g x e e∴>=-=>>故当时,成立 (8分)⑶证明：∵()f x 在(,2)-∞内是增函数，在(2,)+∞内是减函数. ∴当12x x ≠，且12()()f x f x =，1x 、2x 不可能在同一单调区间内.不妨设122x x <<，由⑵可知22()()f x g x >， 又22()(4)g x f x =-，∴22()(4)f x f x >-. ∵12()()f x f x =，∴12()(4)f x f x >-.∵2212,42,2x x x >-<<，且()f x 在区间(,2)-∞内为增函数，∴124x x >-，即12 4.x x +> (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要平面几何的证明，具体涉及到四点共圆、相交弦定理及三角形相似等内容.【试题解析】证明：⑴连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以∠ADB =90°， (2分) 又EF ⊥AB ，∠EF A =90°，则A 、D 、E 、F∴∠DEA =∠DF A. (5分) ⑵由(1)知，BD ⋅BE =BA ⋅BF . 又△ABC ∽△AEF ，∴AFACAE AB =，即AB ⋅AF =AE ⋅AC (7分)∴ BE ⋅BD －AE ⋅AC =BA ⋅BF －AB ⋅AF =AB (BF －AF ) =AB 2. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容.【试题解析】解：⑴由cos()4πρθ-=得(cos sin )4ρθθ+=，∴:l 40x y +-=. (3分)由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得:C 2213x y +=. (5分) ⑵在:C 2213x y +=上任取一点,sin )P θθ，则点P 到直线l的距离为|2sin()4|sin 4|322d πθθθ+-+-==≤3. (此答案有问题，分母应该是根号2) (8分) ∴当sin()=3πθ+－1，即56θπ=-时，max 3d =. (10分) 24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值三角不等式及不等式证明等内容.【试题解析】解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2(2分)＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2 ≤|a －b |(|a |＋|b |)1＋a 2＋1＋b 2 (5分)＜|a －b |(|a |＋|b |)a 2＋b 2＝|a －b |. (10分)。

辽宁省沈阳市高三数学教学质量监测试卷二 人教版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分共150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径. 球的体积公式334R V π=球，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合},1|{},20|{,A x x y y B x x A R U ∈+==≤≤==，则B C A U = （ ）A ．[0，2]B ．[1，3]C ．(]3,1D ．[)1,02．已知平面向量)23,21(),1,3(=-=b a ，则向量a 与向量b 的夹角是 （ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 3．下列四个图象中，函数xx x f 1)(-=的图象是（ ）4．已知函数0,)1(log )10(3)0(2)(31<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=a x x x x x f x当时，则)))(((a f f f 的值为（ ）A ．3B ．21-C ．－2D ．25．教室里有30名同学，老师想把横、竖版两种答题卡各15张发给同学，每人一张，有（ ）种分法.A ．1530CB ．221530A CC ．221530A CD ．3030A6．已知1010221010)()()1(x a x a x a a x ++++=- ，则||||||||10210a a a a ++++ 的值是 （ ）A ．0B ．25C ．210D ．4107．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ) = f (4－x )且f (2－x ) + f (x －2) = 0，则f (2008)的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．无法确定 8．在△ABC 中，给出下列四个命题：①若B A 2sin 2sin =，则△ABC 必是等腰三角形； ②若B A cos sin =，则△ABC 必是直角三角形；③若0cos cos cos <⋅⋅C B A ，则△ABC 必是钝角三角形；④若1)cos()cos()cos(=-⋅-⋅-A C C B B A ，则△ABC 必是等边三角形. 以上命题中正确的命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知命题P ：1|23||12|≤--x ；命题Q ：210≤≤x ，则P 是Q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件10．（理）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，被方向向量为)6,6(=k 的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值是（ ）A ．25B ．26 C ．310 D ．2（文）定义运算0233,=-+---=x y yx bc ad d c b a 则曲线的切线方程中有一个是（ ）A ．x －y = cB ．x + y = 0C ．x = 0D ．y = 011．（理）在平在直角坐标系中，对于点(x ，y )满足：“1||||0≤+≥y x xy 且”，目标函数 1222+-=x y z ，那么满足z =－2的解(x ，y )有（ ）个.A ．0B ．1C ．2D ．无数（文）在平面直角坐标系中，对于点(x ，y )满足：“1022≤+≤y x xy 且”，那么使得目标函数z = x + y 有最大值的解(x ，y )有（ ）个.A ．0B ．1C ．2D ．无数12．如图所示，在平行四边形ABCD 中，12,022=+=⋅BD AB BD AB 且，沿BD 折在直二面角A —BD —C ，则三棱锥A —BCD 的外接球的体积是（ ）A ．27πB ．12πC ．8πD ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.13．（理）设a 、=+-+=--∈∈∞→n n nn n b a b a bi iai N n R b lim ,13,*则且. （文）在总体数为20的数据中抽出6个数据作为样本，这6个数据是2，2，3，3，4，4，那么用这6个数据估计总体的方差是 .14．（理）已知点4)0,22(2x y Q =及抛物线上一动点||),,(PQ y y x P +则的最小值是 .（文）数列{a n }，a 3 = 2，a 7 = 1且数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 是等差数列，则a 11 .15．（理）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 1 上底面A 1B 1C 1D 1的中心，O 是下底面ABCD 的中心，则OB 与CO 所成角的余弦值为 .（文）已知点4)0,22(2x y Q =及抛物线上一动点||),,(PQ y y x P +则的最小值是 .16．给出下列五个命题： ①函数12)(++=x x x f 的图象的对称中心是点（1，1）；②函数x y sin =在第一象限内是增函数；③已知a ，b ，m 均是正数，且bam b m a b a >++<则,；④若直线l ∥平面α，直线l ⊥直线m ，直线β平面⊂m ，则αβ⊥；⑤当椭圆的离心率e 越接近于0时，这个椭圆的形状就越接近于圆.其中正确命题的序号为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程书写在试卷中的对应空白处. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，S 是该三角形的面积，且 .13)2cos()42(sin )3sin(42+=--+-A A A πππ （1）求角A 的大小； （2）若角A 为锐角，3,1==S b ，求边BC 上的中线AD 的长.18．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：.2)(,cos )(,sin )(,)(,)(,)(65433221======x f x x f x x f x x f x x f x x f（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行. （理）求抽取次数ξ的分布列和数学期望.（文）求抽取次数不多于三次的概率. 19．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAA 1 =∠A 1AC =∠CAB = 60°，且AB = AA 1 = 2，AC = 1. （1）求证：A 1B ⊥CB 1； （2）求证：AC ⊥平面CBA 1；（3）求二面角C —B 1B —A 的平面角的大小. 20．（本小题满分12分） （理）设).0()2()(2≤-=-a ex ax x f x（1）求f (x )的极值点的横坐标；（2）设f (x )在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围. （文）已知数列{a n }中，).(,11,331,3*11N n a a b a a a a n n n n n n ∈+-=--=-=+且（1）求证：数列{b n }为等比数列；（2）若.7:,,3221<+++=+=n n n nn T C C C T b n c 求证 21．（本小题满分12分）（理）如图所示，已知椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2c ，左右准线分别为l 1、l 2，长轴顶点为A 1、A 2，左右焦点分别为F 1、F 2.（1）过右焦点F 2作直线交椭圆于A 、B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆与椭圆右 准线l 2的位置关系，并证明你的结论；（2）过椭圆上任意纵坐标非零的点P 作直线PA 1与PA 2分别交l 1于M 、N 两点.求证：NF 1⊥MF 1.（文）已知函数).,()(33R b a b ax x x f y ∈++-==（1）要使f (x )在（0,2）上单调递增，试求a 的取值范围；（2）当a < 0时，若函数满足y 极大值=1，y 极小值=－3，试求函数y = f (x )的解析式； （3）若(]1,0∈x 时，y = f (x )图角上任意一点处的切线倾角为θ，求当40πθ≤≤时，a的取值范围.22．（本小题满分14分） （理）已知函数0)1(),0,(31)(23=>∈++=f a R b a b ax x x f 且，函数f (x )的图象与x 轴有两个交点. （1）求a 与b 的值；（2）若函数f (x )的导数为)(x f '，数列{a n }满足3)2)(1(1=≥-'=a n a f a n n 且，设 )1(log 2+=n n a b ，求数列{b n }的通项公式；（3）在（2）的条件下设nn x b x b x b x g +++= 221)(，试孙函数g (x )在x = 1处的导数)(x g '，并比较)(2)1(n f g ''与的大小.（文）如图所示，已知椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2c ，左右准线分别为l 1、l 2，长轴顶点为A 1、A 2，左右焦点分别为F 1、F 2.（1）过右焦点F 2作直线交椭圆于A 、B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆与椭圆右准线l2的位置关系，并证明你的结论；（2）过椭圆上任意纵坐标非零的点P作直线PA1与PA2分别交l1于M、N两点. 求证：NF1⊥MF1.[参考答案]一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．D 2．D 3．A 4．B 5．A 6．C 7．B 8．B 9．B 10．（理）A （文）C 11．（理）B （文）C 12．D 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．（理）－1 （文）32 14．（理）2 （文）2115．（理）32（文）2 16．③⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（1）原式132cos )42(sin sin 42+=++⇔A A A π…………………………2分 13sin 212)2cos(1sin 42+=-++-⇔A A Aπ.23sin 3sin 2)sin 1(sin 22=⇔=-+⇔A A A A …………………………4分 因.323),,0(πππ或则=∈A A …………………………………………………… 6分（1）因A 为锐角，则.21cos ,3==A A 即π而面积.4,23sin ,1,3,sin 21=====c A b S A bc S 则又 …………………8分 解法一：又由余弦定理13,cos 2222=-+=a A bc c b a 得，………………10分又13413113216113,22)2(2cos 2222222AD a b AD a b ab c b a C -+=-+-+=-+=得， 即.221=AD ……………………………………………………………………12分 解法二：如图，作CE 平行于AB ，并延长AD 交CE 地E ，在△ACE 中，,21,4,1,32AE AD CE AC C ====∠且π又,cos 2222C CE AC CE AC AE ⋅⋅-+= 即,212181612=⨯++=AE 这样.22121==AE AD …………………………………………………………12分 18．（理）解：（1）计事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，所以.51)(2623==C C A P ………………………………………………………………4分（2）（理）ξ可取1，2，3，4.103)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，201)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ； …………8分 故ξ的分布列为ξ 1234P21103 203 201 ……………………………………………………………10分.47201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 答：ξ的数学期望为.47………………………………………………………………12分（文）由已知抽取一次停止的概率为2116131==C C P ， ………………………………6分 抽取两次停止的概率为103151316132=⋅=C C C C P ，………………………………………8分抽取三次停止的概率为2031413151216133=⋅⋅=C C C C C C P ，………………………………10分所以抽取次数水多于三次的概率.201920310321321=++=++=P P P P …………12分 19．证明：（1）因∠BAC =∠A 1AC ，过C 作CO ⊥平面BAA 1B 1于O ， 作OD ⊥AA 1于D ；OE ⊥AB 于E ， 连接CD 、CE ，则Rt △ADC ≌Rt △AEC ，即AE= AD ，连结AD ， 则Rt △AEO ≌Rt △ADO ，故∠EAO=∠OAD ，所以O 在∠BAA 1的平分线上. ………………2分 又AB=AA 1，则平行四边形BAA 1B 1是菱形， 则O 在AB 1上，且A 1B ⊥AB 1，所以CB 1在平面ABB 1A 1的射影是OB 1，又A 1B ⊥AB 1，则A 1B ⊥CB 1，…………4分 （2）因AB=AA 1=2，AC=1，∠BAA 1=∠A 1AC=∠CAB=60°，在△ABC 中BC=3，则△ABC 是直角三角形，即AC ⊥BC ，同理△AA 1C 是直角三角形，即AC ⊥CA 1，且CA 1=3，则AC ⊥平面CBA 1……8分 （3）令A 1B 交AB 1于G ，则AC ⊥CG ，即在Rt △ACG 中，AC=1，AG=3，则CO=36，AO=33，过O 作OF ⊥B 1B 于F ，连结CF 由（1）知OF 是CF 在平面ABB 1A 1内的射影，则CF ⊥BB 1，所以在Rt △COF 中∠CFO 即是欲求二面角的平面角 ………………10分 又CO=36，在Rt △OFB 1中，OB 1=335，sin ∠OB 1F=2130sin =，则OF=635，于是在Rt △COF 中tan ∠CFO =.52235636=⨯=OF CO 所以，二面角C —B 1B —A 的平面角的大小为.522arctan ……………………12分 20．（理）解（1）xe x a ax xf --++-=']2)1(2[)(2，（1）当xex x f a --='=)22()(,0时令1,022,0)(=∴=-='x x x f 得； 令.1,0)(;1,0)(>>'<<'x x f x x f 得令得)(1x f x 是=∴的极小值点的横坐标 ……………………………………………………3分（2）当02)1(20)(,02=-++-='<x a ax x f a 得令时，解得212221,11,11x x aa a x a a a x <+-+=+++=， 当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：∴x 1是极大值点的横坐标，x 2是极小值点的横坐标 …………………………………6分 （2）因为f (x )在[－1，1]上是单调函数，又.02)1(2.0)(,]1,1[,02)0(2≤-++-∴≤'-∈<-='x a ax x f x f 时所以当 即02)1(2)(2≥++-=x a ax x g 在[－1，1]上恒成立 ……………………………8分 （1）当22)(,0+-==x x g a 时，显然成立 …………………………………………7分 （2）当a <0时，则抛物线2)1(2)(2++-=x a ax x g 开口向下.0)1(0)1(≥≥-∴g g 且即.034.0043<≤-∴≥-≥+a a a 且 ……………………………………………11分 综上所述，a 的取值范围是].0,34[- ……………………………………………… 12分（文）（1）211,21121331133111111111=+-==+-⋅=+-----=+-=+++a a b b a a a a a a a a b n n n n nn nn n n ，∴{b n }为首项是2公比是2的等比数列 ……………………………………………6分 证明：（1）n n n T 23229272532+++++= ； ①132232272521+++++=n n n T ； ②……………………………8分 ①－②得：)222222()23225(21321n n n n T +++++-=+ …………………………10分127227++-=n n …………………………………………………………………………11分 .72727<+-=∴n n n T ………………………………………………………………12分 21．（理）解：（1）设AB 的中点为T ，分别过点A ，B ，T 作准线l 1的垂线，垂足分别为T B A ''',,由椭圆的定义知，eBF B B e AF A A ||||,||||22='='， 则eAB e BF AF B B A A T T 2||2||||2||||||22=+='+'='，………………………… 4分 2||||,10AB T T e >'∴<< 所以以线段AB 为直径的圆与椭圆右准线相离………6分 （2）证明：设椭圆上任意一点)0(),,(000≠y y x P 椭圆的左焦点为)0,(1c F -，则直线PA 2的方程为：ca x a x a x y y 200),(-=--=令，求得点N 的坐标为 ))()(,(002a x c y c a a c a N -+--， ……………………………………………（7分）（文8分） 又直线PA 1的方程为：ca x a x a x y y 200),(-=--=令，求得点M 的坐标为 ))()(,(002a x c y c a a c a N +---，………………………………………………（8分）（文10分） 则直线MF 1的斜率))((,))((0010011a x c a ay K NF a x c a ay K NF MF --=++=的斜率直线， 22202202220222020000))(())(())((11b a x b y a a x c a y a a x c a ay a x c a ay K K NF MF -=--=--⋅++=⋅ …………………………（10分）（文12分）因为点202222022220220200,,),(x b b a y a b a y a x b y x P -==+即则在椭圆上，所以122202202222220220211-=--=-=⋅b a x b x b b a b a x b y a K K MF NF ，所以NF 1⊥MF 1 …（12分）（文14分）（文）解：（1）ax x x f 23)(2+-='，要使f (x )在（0，2）上单调递增，则0)(≥'x f 在（0，2）上恒成立 …………………………………………………2分 即.30412)2(00)0(≥∴⎩⎨⎧≥+-='≥='a a f f …………………………………………… 4分 （2）令.32,0,023)(212a x x ax x x f ===+-='得 1)0(,0===∴<b f y a 极大值 ，3,3194278)32(33-=∴-=++-==a a a a f y 极小值， .13)(23+--=∴x x x f …………………………………………………………8分（3）]1,0[23tan 2∈+-=ax x θ ， (]1,012302在≤+-≤∴ax x 上恒成立 由xx a ax x a x a ax x 2123,133,23.23,02322+≤≤+-≥∴≥≥+-得由得， 又32123≥+xx （当且仅当33=x 时取“=”）， 3≤∴a ，综上，a 的取值范围是323≤≤a ………………………………12分 22．（理）解：（1）.20,0)()2(2)(2a x x x f a x x ax x x f -==='+=+='或则令 知0)1(=f ，所以（1，0）是函数)(x f 的图象与x 轴的一个交点，由三次函数图象的性质，另一个交点必为极大值点，即0)2(=-a f 由 .34,104380310)2(0)1(33-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++⎩⎨⎧=-=b a b a a b a a f f 解得即 …………………………4分 （2）由（1）知x x x f x x x f 2)(,3431)(223+='∴-+=211211211)1(121)2(2)(+=++=+≥+='=∴------n n n n n n n n a a a a n a a a f a ，两边取对数)1(log 2])1[(log )1(log 122122+=+=+--n n n a a a ，即2)1(log )2(21211=+=≥=-a b n b b n n 又，所以数列{b n }是首项为2公比为2的等比数列，则n n b 2= ……………………………………………………………………………… 8分（3）nn x x x x x g 2222)(3322++++⋅= 1232223222)(-⋅++⋅+⋅+='∴n n x n x x x gn n g 223222)1(32⋅++⋅+⋅+='∴① 143222)1(23222)1(2+⋅+⋅-++⋅+⋅+='∴n n n n g②②－①，得 222)22222(2)1(114321+-⋅=+++++-⋅='∴+++n n n n n n g ，n n n f 42)(22+='， ………………………………………………………………10分 当)(2)1(,6)1(2,2)1(,1n f g f g n '<'='='=时；当)(2)1(,16)2(2,10)1(,2n f g f g n '<'='='=时；当)(2)1(,30)3(2,34)1(,3n f g f g n '<'='='=时；当2)11)(1(222)1(2222)1(,411++-=+-=+-⋅='≥++n n n n n n n g n 时242)21)(1(22))(1(22110-=++-≥+++++-=-n n n C C C C n n n n n n n ，又0144)14(24)1(2242)(2)1(222>=--≥--=--<'-'n n n n f g ，所以).(2)1(0)(2)1(n f g n f g '>'>'-'即 …………………………………………12分 综上当)(2)1(,21n f g n '<'≤≤时；当).(2)1(,3n f g n '>'≥时 …………………………………………………………14分。

2011年东北三省三校第一次联合模拟考试理科数学参考答案二、填空题：13、14- 14、540- 15、1 16、8 三：解答题：18、(1)连接1AC 交1A C 于点O ，连OD1111111O AC 1OD//BC ,OD=BC 2 AB BC A CD ACC A D ⎫⇒⎬⎭⊄中,为中点为中点平面111BC //4' OD A CD ACD ⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⊂⎭平面平面 (2) 延长1A D 交1BB 延长线于E ，则111A DBB C C 平面=E取11B C 中点F ，连1,A F EF 11111111111111ABC A B C A F B C A F BB C C 6'A B C BB C C -⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭在三棱柱中平面 平面平面111EF A E BB C C ⇒为在平面内的射影1111E A E BB C C 8'A F ∴∠为与平面成的角在正1111111A B C B C 1,A A BC ∆==中故： 17RT A EF EF=2∆在中1cos 26EF AEF A E ∠==111A D BB C C 12'26故与平面成角余弦值为19、 (1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主2'50岁以下的人多以食肉为主4'8'2230(8-128)30120120K ===10>6.6351218201012182010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯10'有99%的把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关。

12'20、(1)设(2cos ,2sin ),(cos ,sin )P Q αααα由N PM QN PM=0QN PM PN PM λ=⋅⊥知在上，由知N (2c o s,s i n ) αα∴ {sin y αα=x=2cos 即：2214'4x y ∴+=(2) 联立方程2222221(41)2436404(3)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩2106'5k ∆>⇒< 22212121212122224364, y y [3()9]8'4141k k x x x x k x x x x k k -+=-⋅==⋅+++++ 121212()1BE BF x x x x y y ⋅=⋅-+++222222227(1)4(91)(31)(24)699291(1)10'14144k k k k k k k -+-+--=++=+++由210< BE BF [3,6)12'5k ≤∴⋅∈-21、(1)()(),ln()ln()x x f x f x e a e a --=-∴+=-+-x -x x x 1 e (e e )0 01'e a a a a a ∴+=⇒++=∴=+()g(x)=x+sinx [-1,1]f x x λ∴=，且在递减'()cos 0[1,1]2'g x x x λ∴=+≤∈-在上恒成立λ∴≤-cosx1 A =(--λ∴≤-∞即：，］ (2) max 1[1,1]()1t x g x t λλ≤++∈-⇔≤++22g(x)t 在恒成立t 恒成立2max ()(1) sin1 1 1g x g t t λλλ=-∴--≤++≤-对任意恒成立5' 即： 2(t+1)+t 1sin10 1λλ++≥≤-对任意恒成立故，{11s t ≤⇒≤++2t +-1-t+t 7' (3) 222ln ln (2)()x x x x ex m x e m e x =-+⇔=-+- 令22ln () ()()x h x x x e m e xφ==-+-， 21l n 1'() ()(0e )(e ,+) ()x h x h x h e xe -=∴∞∴==max 在，递增，递减h(x)9'2m i n ()(e ,+) (x )x m e φφ∞=-为二次函数在(0,e)递减，递增，22222211 , 11 = =, 111 < <, 2m e m e e em e m e e em e m e e e∴->>+-+-+即：无解即：解即：解 12'22、解：(Ⅰ)︒=∠=∠90PKQ PHQ∴四点P 、K 、H 、Q 共圆.2'(Ⅱ) 四点P 、K 、H 、Q 共圆，HQP HKS ∠=∠∴①4'︒=∠90PSR ，PR 为圆的直径，90PQR ∴∠=︒，HQP QRH ∠=∠ ②6'由①②得，HKSQSP ∠=∠， TKSK =∴8' 又︒=∠90SKP TKQ SQK ∠=∠， TS QT TK QT =∴=∴,.10' 23、(1)直线l 的方程：11(1) y x -=-+即：y=-x 1'240y x ρθ+-=2C:=4cos 即：x 2'40x -=2联立方程得： 2x7 A (0,0) ,B (2,-2) 0,0),B (22,)4π∴极坐标5'22(2) 1 : :(2)431 08'4d l y x C x y k k ===--+=∴=∴==或 {4x =-1-51()()1315t x t l t t y y t ⎧⎪⎪=-+∴⎨=⎪=+⎪⎩：为参数或为参数10'24、 2121413x x x ≥⇒++≥⇒-≤≤2(1) |x+1|2|x|x 1[,1]3∴-解集为4' (2) 存在|x+1|2|x|+a x R |x+1|-2|x|a x R ∈≥∴∈≥使存在使令6'1 0()3 1 -101 1x x x x x x x ϕ-≥⎧⎪=+≤<⎨-<-⎪⎩8'当0 1 -10-2y<1; x<-1x x ≥≤≤<≤时，；时，时，y<-2 综上可得：()1x ϕ≤ 1.a ∴≤10'。

辽宁省沈阳二中 2011届高三上学期第四次阶段测试数学试题（理科）说明：1．测试时间：120分钟，总分：150分。

2．客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上。

第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。

1．已知全集U=R，集合，则集合等于（）A．B．C．D．2．已知复数，则它的共轭复数等于（）A．B．C．D．3．已知非零向量满足，则的形状为（）A．等腰非等边三角形B．等边三角形C．三边均不相等的三角形D．直角三角形4．“”是“直线与直线平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．若函数在（-∞，+∞）上的单调递增的奇函数，则的图像是（）6．若函数的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（）A．B．C．（0，0）D．7．，则实数的值为（）A．B．C．D．8．已知数列满足，则的值是（）A．-5 B．C．D．9．由曲线，直线所围成的平面图形的面积为（）A．B．C．D．10．从5张100元，3张200元，2张300元的亚运门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的概率为（）A．B．C．D．11．椭圆的焦点为F1、F2，点M在椭圆上，，则M到轴的距离为（）A．B．C．D．12．R上的函数的反函数为，且对于任意的，都有，则的值为（）A．3 B．C．-3 D．0第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在空间直角坐标系中，点M（5，1，-2），则点M关于面的对称点坐标为。

14．若的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为。

15．，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则。

16．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数，下列函数：①；②；③；④，其中是一阶格点函数的有。

三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分。

东北三省四市统一考试暨沈阳市2011 届高三教学质
量监测（二）（文
2011 年东北三省四市统一考试暨沈阳市高三教学质量监测（二）
文科综合能力测试
命题：东北三省四市联合命制
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共
12 页，满分300 分。

考试时间150 分钟。

第Ⅰ卷（选择题共140 分）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目代码用2B 铅笔涂写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在试卷上无效。

3. 考试结束后，考生将答题卡和答题纸一并交回。

一、选择题（本卷共35 个小题, 每小题4 分，共140 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
全球服务外包是指企业将不属于核心业务的内部服务(如人力资源管理、IT 服务、信息/数据处理、财务报表等)外包出去，从而使其专注核心业务，达到降低成本的一种管理模式。

服务外包产业是现代高端服务的重要组成部分，具有信息技术承载度高、附加值大等特点。

图1 是全球服务外包产。

2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数 学（参考答案）一、单项选择题：1．D 2．B 3. A 4．C 5.A 6．C 7.B 8.C 二、多项选择题:6．()662163264P A −==，事件AB =“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴” 则()345666641264C C C P AB ++==，则()()()4163P AB P B A P A == 【答案】C7. 直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与平面1111A B C D 所成角大小分别为1θ，2θ，3θ，4θ等价于直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与直线1AA ，1BB ，1CC ，1DD 成角大小分别为12πθ−，22πθ−，32πθ−,42πθ−，由13θθ=，可知P 在线段BD 上，又24θθ>，则2422ππθθ−<−，1PB 与1BB 成角更小，则点P 在线段OB 上 【答案】B8.由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，则A ，B 显然错误，对于C ，D 而言，()2()e ()e ()()e e x x x x f x f x f x f x y ''−−'==，由图像可知(),0x ∈−∞，()e xf x y =单调递增，()0,x ∈+∞，()e x f x y =单调递减，所以函数()e xf x y =在0x =处取得最大值为1 【答案】C 9. 由实系数一元二次方程求根公式知i z i z 2321,232121−−=+−=，21,z z 是1的两个立方虚根， 则222123212321z i i z =−−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=(与21,z z 顺序无关），A 正确； 因为13231==z z ，所以03231=−z z ，B 正确；0122221≠−=−z z z z ，C 错误；2121111z z z z z ===，D 正确.【答案】ABD10．已知所有棱长都相等，不妨设为1.A ：过S 作直线l ∥AD ，则l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点E ，BC 中点F ，连接ES ，FS ， 则∠ESF 为二面角A-l -B 的平面角，连接EF ，在△EFS 中， cos∠ESF =(√3)2+(√3)2−12(√32)2 = 13≠0所以平面SAD 与平面SBC 不垂直，故A 错；B ：取SB 中点G ，SC 中点H ，连接OGH ，可知平面OGH ∥平面SAD ，所以当P ∈GH 时，OP ∥平面SAD ，这样的点P 有无穷多，故B 正确；C ：由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成的角最大， cos∠SEO =12√32=√33>12，所以∠SEO<π3，所以不存在Q 使得SQ 与底面ABCD 成的角为π3，故出错误；D ：作OI 垂直于MN ，连接SI ，则∠SIO 为二面角S-MN-O 的平面角，当MN 都无限向点B 靠拢时，∠SIO →π4；当M →A ，N →C 时，∠SHO →π2， 所以二面角S-MN-O 范围是(π4，π2)，故D 正确. 【答案】BD 11.A ：|a n |=1(n−c )2+1，|a n+1|=1(n+1−c )2+1，(n +1−c )2+1−[(n −c )2+1]=2n +1−2c因为c ≤1,n ∈N ∗，所以2n +1−2c >0 所以(n +1−c )2+1>(n −c )2+1 所以|a n+1|<|a n |，即数列{||}n a 单调递减，故A 正确； B ：a 1=−1(1−c )2+1<0当n 为偶数时，1n a a ≥必成立，c 任意；当n 为奇数且n ≥3时，1n a a ≥为−1(n−c )2+1≥−1(1−c )2+1 等价于(n −c )2+1≥(1−c )2+1 等价于c ≤n+12，而(n+12)min=2，所以c ≤2. 综上c ≤2，故B 错误；C ：显然当i,j 同奇或同偶时，必有0i j a a +≠当i 为奇数，j 为偶数时，a i +a j =−1(i −c )2+1+1(j −c )2+1=(i +j −2c )(i −j )[(i −c )2+1][(j −c )2+1]因为i+j 为奇数，2c 为偶数，*c ∈N ，所以i +j −2c ≠0， 所以0i j a a +≠，故C 正确；D ：先考虑最大项，最小项和为0，再调整： 若和为0，则c 必为相邻两整数正中间，如：上图是c=3.5情形，a 3+a 4=0；当c →3.4时，会有|a 3|>|a 4|,a 3+a 4<0,如下图——当c →3.6时，会有|a 3|<|a 4|,a 3+a 4>0,如下图——即c 靠近偶数时，{}n a 的最大项与最小项之和为正数，临界值为*1122,22k c k k −<<+∈N ，故D 正确.【答案】ACD12.3381log 16333313log 2,161118181log log 2log 22log 31616161616f f f f −<<−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13.设点),(y x P ，由PA PB 2=得422=+y x ，若该圆上有且只有3个点直线:340l x y m ++=的距离为1，则圆心到直线的距离1==md ，解得5±=m .1,3,5,,21n +，42121212n n n C +++++21212n n C ++++210212n n C ++−−15．（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =……3分 sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan 3A =−，23A π∠= ………………6分 （2）由题意可知ABD ACD ABC S S S ∆∆∆+=，即111sin 60sin 60sin120222c b bc +=，化简可得b c bc +=， ……………9分 在ABC ∆中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +−−+−===−从而()2220122bc bc bc −−=−，解得5bc =或4bc =−（舍） ………………12分所以11sin 5sin12022534ABC S bc A ∆==⨯= ………………13分16.（1）当0a =时，()e x x f x =，则1()e x x f x −'=，(1)0f '=，1(1)ef =， 所以切线方程为1ey =………………3分 （2）当1a =时，()e e x xf x x −=−，21e ()(1)e e e x x x xx f x x −−−'=−−= ………………4分令2()1e x g x x =−−，2()12e 0x g x '=−−<故()g x 在R 上单调递减，而(0)0g =，因此0是()g x 在R 上的唯一零点即：0是()f x '在R 上的唯一零点 ………………6分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：()f x (,0)−∞ ………………8分 ()f x 的极大值为(0)1f =−，无极小值. ………………9分 （3）由题意知1−−≤−x x xeae xe，即x x x e e xe a 1−−−≥，即ee x a x 12−≥，设()e e x x m x 12−=，则()()x x x x e x e xe e x m 22222212−=−='， ………………………………11分令()0='x m ，解得21=x ， 当()()x m x m x ,0,21,>'⎪⎭⎫ ⎝⎛∞−∈单调递增，当()()x m x m x ,0,,21<'⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈单调递减， 所以()ee e m x m 2112121max −=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛=， ……………………………………………14分 所以ea 21−≥. ………………………………………………………………………………15分17．（1）方法一：AB B A 2111= ,112222AA AB AA AD ∴⋅=⋅== ………………1分 1121AA AD A D −−=()()111121211AA AD AB AP A D P D −+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=+=∴λλλ ……………2分()()()AD AB AA AD AB AC P D +⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=⋅∴11121211λλλ()()()11221121211AA AD AA AB AD AB ⋅−+⋅−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλλ()()0142121818=−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλ,1AC P D ⊥∴即.1AC P D ⊥ ……………………………………………………5分（1）方法二：如图所示建立空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有 )A，)B，()C ，()D ，122A h ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，122C h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，122D h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0M()AC =−()()1(1),22222AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=−+−+−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132D A h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭112222D P D A AP h h λ⎛⎫=+=−+−+− ⎪ ⎪⎝⎭………………………4分 故10AC D P ⋅=，所以1D P AC⊥………………………………………5分（2）方法一：确定正四棱台的高（传统法） 取OC 中点E ,则ABCD E C 平面⊥1，作AM EF ⊥，垂足为F ，连结F C 1，由三垂线定理得AM F C ⊥1，所以FE C 1∠为平面1AMC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为22=AB ，2324343=⨯==∆∆AMC AME S S , ……………………………………7分 10103,2321=∴=⋅∴EF AM EF ………………………………………………8分,3102tan ,73cos 11=∠∴=∠FE C FE C 即2,310211=∴=E C EF E C ………………11分 方法二：确定正四棱台的高（空间向量） 设平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =设平面1AMC 的法向量为(),,m x y z =，()AM =−，122AC h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭则有10AM m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0022x y hz ⎧+=⎪⎨−++=⎪⎩，令x =，则()22,3m = ………………8分又题意可得3cos ,7m n ==，可得2h = ………………11分因为23λ=，经过计算可得40,0,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，1D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，142,3D P ⎛⎫= ⎪⎭ ………………13分 将2h =代入，可得平面1AMC 的法向量()42,2m = ………………14分 设直线DP 与平面1AMC 所成角的为θsin cos ,DP m θ===………………17分 18.（1）设(),B x y '，POP θ'∠=，则cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩， ……………3分消去θ得22163x y +=所以B '点轨迹Ω的方程22163x y += ……………5分 （2）方法一：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124260k x kmx m +++−= ()()()22222441226488240km k m k m ∆=−+−=−+>，即2263m k <+ 从而122412kmx x k −+=+，21222612m x x k −=+1212121211112222AM AN y y kx m kx m k k x x x x −−+−+−⋅=⋅=⋅−−−−()()()()2212121212111242k x x k m x x m x x x x +−++−==−++整理得24210k km m ++−=，即()()()()2412121210k m k k k m −++=+−+= ………………8分当210k +=时，直线MN 的方程为12y x m =−+ 当210k m −+=时，直线MN 的方程为()21y k x =−+，恒过()2,1A 点，不合题意………………10分 设(),G G G x y ，将()11,M x y ，()22,N x y将M N 、两点代入到椭圆中22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得22221212063x x y y −−+=，即()()()()()()1212121212121212032602y y y y y y y y x x x x x x x x +⎛⎫−− ⎪−+⎝⎭==−+−+⎛⎫−− ⎪⎝⎭，12MN OG k k ⋅=−，故1OGk = ………………14分设OG 与y 轴负半轴所形成的夹角为α，因为1OG k =，所以4πα=设OA 与x 轴正半轴所形成的夹角为β，因为()2,1A，所以sin 5β=，cos 5β= cos cos 2AOG παβ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭()()sin sin cos cos 1si 0n αβαβαβ=−+=−+=− …………17分方法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线AM 的方程为()21y k x =−+()2221163y k x x y ⎧⎪⎨+==−+⎪⎩消去y 可得：()()222212848840k x k k x k k +−−+−−= 从而21288412A k k x x k−−⋅=+，故21244212k k x k −−=+， 将1x 代入直线AM 的方程可得21244112k ky k −−=++，所以222244244,11212k k k k M k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭又12AM AN k k ⋅=，将上式点M 中的k 换成12k 得到22224424,11212k k k N k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭212112MN y y k x x −==−−，下面同方法一方法三： 以()2,1A 为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程()()2221163x y −−+=，在新坐标系下设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1mx ny +=将椭圆方程变形可得：224240x x y y +++=将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得()()224240x x mx ny y y mx ny +++++=整理得()()()224244140n y n m xy m x +++++=即：()()()24244140y y n n m m x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以1212141422AM AN y y m k k x x n +⋅=⋅==+，故2n m =， 直线MN 的方程为21mx my +=，12MN k =−，下面同方法一方法四：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124220k x kmx m +++−= 因为1x ，2x 是上述一元二次方程的两个根，所以()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++−=+−−①又1212111222AM AN y y k k x x −−⋅=⋅=−− 整理得：()()()()121222211x x y y −−−−− ()()21212112220m m x x k x x k k −−⎛⎫⎛⎫=−−−+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在①式中令2x =得：()()()()222124128221222kkm mk x x +++−=+−−②令1m x k −=得：()()()222212211111242212m m m m k km m k x x k k k k −−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++−=+−− ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③②+③()22k ⨯−可得：整理得24210k km m ++−=，下面同方法一（以上方法可酌情给分）19.（1）剔除第10天数据的()911 2.2100.4 2.499i i y y=⨯−===∑新，()12959t +++==新101118.73100.4114.73i i i t y =⎛⎫=−⨯= ⎪⎝⎭∑新；1022138510285i i t =⎛⎫=−= ⎪⎝⎭∑新所以12221114.7395 2.4673285956000ni ii nii b x y nx yxnx==−−⨯⨯===−⨯−∑∑故67322072.4560001200a =−⨯=，所以673220760001200y x =+. ……………4分 （以上每个新数据求解正确，可给1分）（2）由题意可知()1223355n n n P P P n −−=+≥，其中125P =，22231955525P =⨯+= ……6分 将此式变形可得112123232525555n n n n n n P P P P P P λλλλ−−−−−⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫−=−+=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪−⎝⎭令3525λλ−=−，解得1λ=或35λ=− ………………8分方法一：当35λ=−时，则()11233355n n n n P P P P n −−−+=+≥，所以135n n P P −⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数列首项为2131932152555P P +=+⨯=，故()13125n n P P n −+=≥， 将()13125n n P P n −+=≥变形可得()15352858n n P P n −⎛⎫−=−−≥ ⎪⎝⎭所以58n P ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以首项为1525985840P −=−=−，公比为35−的等比数列 故15938405n n P −⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，即19354058n n P −⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭………………12分 方法二：当1λ=时，则()()112335n n n n P P P P n −−−−=−−≥， 所以{}1n n P P −−是以首项为21192925525P P −=−=，公比为35−的等比数列， 故()21932n n n P P n −−⎛⎫−=−≥ ⎪成立 ，25593255⎝⎭⎛⎫− ⎪⎝⎭累加可得 0121933325555n n P P −⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−+−++−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦213319139553254054015n n −−⎛⎫⎛⎫+−⨯− ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==−−+ ⎪⎛⎫⎝⎭−− ⎪⎝⎭故1113940540n n P P −⎛⎫=−−++ ⎪⎝⎭，即1935533=4058885n nn P −⎛⎫⎛⎫=−−++− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭………………12分 （3）解答：①当n 为偶数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，最大值为21925P =；当n 为奇数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，最小值为125P =； 综上：数列{}n P 的最大值为1925，最小值为25. ………………………………14分②证明：对任意0ε>总存在正整数0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，（其中[]x 表示取整函数）当358log 13n ε⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦时，…………………………17分。

2011年东北三省四市统一考试暨沈阳市高三教学质量监测（二）数 学（理科）时间：120分钟 总分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）题～第（24）题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡及答题纸上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡（纸）一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．（1）已知集合{}1,0,A a =-，{}|01B x x =<<，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是A.{}1B.(,0)-∞C.(1,)+∞D.(0,1)（2）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则43S a 的值为 A.154B.152C.74 D.72（3）已知复数1cos23sin 23z i =+ 和复数2cos37sin37z i =+ ，则21z z ⋅为A ．i 2321+B ．i 2123+C ．i 2321-D ．i 2123-（4）已知命题p ：抛物线22x y =的准线方程为21-=y ；命题q ：若函数)1(+x f 为偶函数，则)(x f 关于1=x 对称．则下列命题是真命题的是 A ．q p ∧B.)q (p ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.q p ∨（5）等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ．则“1||d a >”是“n S 的最小值为1S ，且n S 无最大值”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D（6）已知图象不间断的函数)(x f 是区间],[b a 在区间(,)a b 上存在零点．图1是用二分法求方程(f x ①0)()(<m f a f ； ②0)()(>m f a f ；③0)()(<m f b f ； ④0)()(>m f b f 其中能够正确求出近似解的是（ ）（2）①、③ B ．②、③ C ．①、④ D ．②、④（7）若1(3)nx x-展开式中各项系数之和为32中含3x 的项的系数为A.5-B.5C.405-D.405 （8）设函数()2cos()23f x x ππ=-，若对于任意的x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值为 A ．4 B ．2 C ．1 D ．12（9）在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2总数为A ．78B ．114C ．108 D. 120（10）设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是A ．(0,1)B ．)0,(-∞C ．)21,(-∞ D ．)1,(-∞（11）已知O 为坐标原点，点M 的坐标为(,1)a （0a >），点(,)N x y 的坐标x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x . 若当且仅当30x y =⎧⎨=⎩时，OM ON ⋅ 取得最大值，则a 的取值范围是A.1(0,)3B.1(,)3+∞C.1(0,)2D.1(,)2+∞（12）已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在图112[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是A ．14[,]23B ．1(0,]2C ．24[,]33D ．1[,1]2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸相应的位置上． （13）231dx x--=⎰． （14）已知双曲线12222=-by a x 左、右焦点分别为21F F 、，过点2F 作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且621π=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为．（15）对于命题：若O 是线段AB=⋅⋅ 将它类比到平面的情形是： 若O 是△ABC 内一点，则有 将它类比到空间的情形应该是： 若O 是四面体ABCD 内一点，则有．（16） 已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为．三、解答题：本大题共70分.（17）（本小题满分12分）如图3，ABC ∆中，,AB ,ABC sin2332==∠ 点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD （Ⅰ）求BC 的长； （Ⅱ）求DBC ∆的面积.左视图主视图1223.S S S OBA OCA OBC =⋅+⋅+⋅（18）（本小题满分12分） 如图4，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112,AAAC AC AB BC ====，且A B B C ⊥,O 为AC 中点． （Ⅰ）在1BC 上确定一点E ，使得//OE 平面1A AB ，并说明理由；（Ⅱ）求二面角11A A B C --的大小．（19）（本小题满分12分）某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图5所示，成绩不小于90分为及格． （Ⅰ）甲班10名同学成绩的标准差 乙班10名同学成绩的标准差（填“>”，“<”）；（Ⅱ）从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同学不及格的概率；（Ⅲ）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和期望．甲 乙 257 368 58 68 7 8 9 10 89 678 1235 1 1A B C A 1B 1O（20）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足t =+（O 为坐标原点）- 时，求实数t 取值范围．（21）（本小题满分12分）已知()ln(1)()x f x e mx x R =+-∈．（Ⅰ）已知对于给定区间(,)a b ，存在0(,)x a b ∈使得)()()(0x f ab a f b f '=--成立，求证：0x 唯一；（Ⅱ）若1212,x x R x x ∈≠，，当1m =时，比较12()2x x f +和12()()2f x f x +大小，并说明理由；（Ⅲ）设A 、B 、C 是函数()ln(1)(,1)x f x e mx x R m =+-∈≥图象上三个不同的点， 求证：△ABC 是钝角三角形．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图6，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A 、B ，直线AF 交圆O 于F （不与B 重合），直线l 与圆O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连接AC ．求证：（Ⅰ）CAG BAC ∠=∠； （Ⅱ）AF AE AC ⋅=2．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，将曲线⎩⎨⎧==αsin y αcos x 4（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C . 以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲对于任意实数)0(≠a a 和b ，不等式|)2||1(||||2|||-+-≥-++x x a b a b a 恒成立，试求实数x 的取值范围．2011年东北三省四市统一考试暨沈阳市高三教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）D （2）A （3）A （4）D （5） A （6）C （7）C （8）B （9）B （10）D （11）D （12）A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）2ln3（14）x y 2±= （15） ·OA + ·OB + ·OC + ·OD =0 （16）π3520 三、解答题：本大题共共70分. （17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为332sin=∠ABC ，所以313121=⨯-=∠ABC cos . ······· 2分在ABC ∆中，设b AC a BC 3,==， 则由余弦定理可得a a b 344922-+= ① ··············· 5分 在ABD ∆和DBC ∆中，由余弦定理可得b b ADB 331643164cos 2-+=∠， b a b BDC 338316cos 22-+=∠． ····················· 7分 因为BDC ADB ∠-=∠cos cos ，V ACD O -V BCD O -V ABD O -V ABCO -所以有b a b b b 338316331643164222-+-=-+，所以6322-=-a b ② 由①②可得1,3==b a ，即3=BC ． ·················· 9分（Ⅱ）由（Ⅰ）得ABC ∆的面积为223223221=⨯⨯⨯， 所以DBC ∆的面积为322． ···················· 12分 （注：也可以设b a==,，所以b a BD 3231+=，用向量法解决；或者以B 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，用坐标法解答；或者过A 作BC 平行线交BD 延长线于E ，用正余弦定理解答．具体过程略）（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）E 为1BC 中点． ························· 2分证法一：取BC 中点F ，连接EF OF ,．················· 3分 所以可得1//,//BB EF AB OF ，所以面//OEF 面1A AB ． ········· 5分 所以//OE 平面1A AB ． ························ 6分 证法二：因为11A A A C =，且Ｏ为AC 的中点，所以1A O AC ⊥．又由题意可知， 平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ， 且1A O ⊂平面11AA C C ，所以1A O ⊥平面ABC ． 以Ｏ为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．…………1分由题意可知，112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥1,1,2OB AC ∴==所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B -则有：11(0,1,(0,1(1,1,0)AC AA AB ===． ············· 2分 设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有10000AA y x y AB ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得1,x z =-=1所以(1,1,=-n ． ························4分 设0001(,,),,E x y z BE BC λ==即000(1,,)(1x y z λ-=-，得00012x y z λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,2),E λλ=-得(1,2),OE λλ=-由已知//OE 平面1A AB ， 得=0OE ⋅ n ， 即120,λλλ-++-=得12λ=．即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点． ················· 6分 （Ⅱ）由法二，已知)0,2,0(),3,0,1(111=-=C A A ，设面11BC A 的法向量为),,(c b a=，则00111==C A A ⎩⎨⎧==-⇔0203b c a ，令3=c )3,0,3(． ···················8分 所以cos 371213⋅--＝772． ··········· 10分由图可得二面角11A A B C --的大小为arccos(7-． ·········· 12分 （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）>． ······························ 2分 （Ⅱ）甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格”记作A ， 事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B ，则7210030110020)()()|(=-==A P B A P A B P ． ················6分 （Ⅲ）X 取值为0,1,2,3152)0(2102511016=⋅==C C C C X P ；4519)1(2102511014210151511016=⋅+⋅==C C C C C C C C C X P ；4516)2(2101515110142102511016=⋅+⋅==C C C C C C C C C X P ；454)3(2102511014=⋅==C C C C X P ． · 10分 所以X 的分布列为所以545)(==X E ． ····················· 12分 （20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知2c ea ==，所以22222212c a b e a a -===． 即222a b =． ···························· 2分 又因为1b ==，所以22a =，21b =． 故椭圆C 的方程为1222=+y x ． ··················· 4分 （Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，212k <. ··············· 6分 2122812k x x k +=+，21228212k x x k-=+ . ∵t =+，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，21228(12)x x k x t t k +==+， 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++， ∴22216(12)k t k =+. ························· 8分-123x -<，∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++ ，∴22(41)(1413)0k k -+>，∴214k >. ················ 10分 ∴21142k <<，∵22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++，∴23t -<<-或23t <<， ∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --. ·············· 12分 (注意：可设直线方程为2-=x my ，但需要讨论0m =或0m ≠两种情况)（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：假设存在，使得，且0000),(,x x b a x x ≠'∈' )()()(0x f a b a f b f '=-- ，)'()()(0x f ab a f b f '=-- ，即)()(00x f x f ''=' . · 1分 ∵)()(1)(x f x g m e e x f x x '=-+='，记，∴],[)(,0)1()(2b a x f e e x g x x是'>+='上的单调增函数（或者通过复合函数单调性说明)('x f 的单调性）. ······· 3分∴0000x x x x ≠''=，这与矛盾，即0x 是唯一的. ············· 4分（Ⅱ） 1212()()(),22x x f x f x f ++<原因如下： (法一)设,,2121x x R x x <∈，且 则1212121221212()()2()ln(1)ln(1)2[ln(1)]22x x x x x x x x f x f x f e e x x e ++++-=+++---+- 121222ln(1)(1)ln(1)x x x x e e e +=++-+121212122ln(1)ln(12)x x x x x x x x e e ee e +++=+++-++. ············· 5分 ∵2212121212122,0,0x x x x x x x x e e e e e x x ee +=>+∴≠>>，且. ······ 6分 ∴1+21212111221x x x x x x x x e e ee e +++++>++， 121212121212121222ln(1)ln(12),ln(1)ln(12)0.x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e ee ++++++∴+++>++∴+++-++>12121212()()()()2(), ()222x x x x f x f x f x f x f f +++∴+>∴<. ······ 8分 （法二）设2)()()2()(22x f x f x x f x F +-+=，则2)(')2('21)('2x f x x f x F -+=． 由（Ⅰ）知)('x f 单调增．所以当2x x >即x x x <+22时，有02)(')2('21)('2<-+=x f x x f x F 所以2x x >时，)(x F 单调减． ···················· 5分 当2x x <即x x x >+22时，有02)(')2('21)('2>-+=x f x x f x F 所以2x x <时，)(x F 单调增． ···················· 6分 所以0)()(2=<x F x F ，所以2)()()2(2121x f x f x x f +<+． ······· 8分 （Ⅲ）证明：设321332211),(),,(),,(x x x y x C y x B y x A <<，且，因为1≥m ∵R x x f e m m e e x f x x x ∈∴<+--=-+='是，)(01111)(上的单调减函数． · 9分 ∴123()()()f x f x f x >>．∵)),()(,()),()(,(23232121x f x f x x x f x f x x --=--= ∴))()())(()(())((23212321x f x f x f x f x x x x --+--=⋅． ··· 10分 ∵,0)()(,0)()(,0,023212321<->->-<-x f x f x f x f x x x x ∴B B ∠<∴<⋅,0cos ,0为钝角. 故△ABC 为钝角三角形． ···· 12分（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲证明：（Ⅰ）连结BC ， AB 是直径，∴ 90=∠ACB ，∴90ACB AGC ∠=∠= ． …2分GC 切圆O 于C ，∴GCA ABC ∠=∠． …4分 ∴BAC CAG ∠=∠． …………………………5分（Ⅱ）连结CF ， EC 切圆O 于C ，∴AFC ACE ∠=∠． ……………………………6分又,CAG BAC ∠=∠∴ACF ∆∽AEC ∆． …8分∴AF AE AC ACAF AE AC ⋅=∴=2,． …………10分（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线⎩⎨⎧==αsin y αcos x 4（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得到⎩⎨⎧==αy αx sin cos 2， ················ 1分然后整个图象向右平移1个单位得到⎩⎨⎧=+=αy αx sin 1cos 2，………………………………2分 最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到⎩⎨⎧=+=αy αx sin 21cos 2， ······· 3分 所以1C 为4)1(22=+-y x ， ······················ 4分又2C 为θρsin 4=，即y y x 422=+， ················· 5分 所以1C 和2C 公共弦所在直线为0342=+-y x ， ·············· 7分 所以)0,1(到0342=+-y x 距离为25， 所以公共弦长为114542=-． ··················· 10分（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 解：原式等价于|212-+-≥-++|x ||x |a|b||a b||a ，设t a b =， 则原式变为|2||1||12||1|-+-≥-++x x t t 对任意t 恒成立． ······· 2分 因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+-≥=-++132112213121t ,t t ,t t ,t |t ||t |，最小值为21=t 时取到，为23． ·· 6分所以有23≥=-+-21x x ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-1232＜＜11232x,x ,x ,,x x 解得]49,43[x ∈． ········ 10分。

数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只是一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|0},{||1|1},2x A x B x x A B x -=≤=->+ 则等于（ ）A ．{|20}x x -≤<B ．{|02}x x <≤C ．{|20}x x -<<D ．{|20}x x -≤≤2．4cos ,(,0),sin cos 54παααα=∈-+则=（ ） A ．15 B ．15- C ．75-D ．75 3．函数ln()ln y x x y x x =-=与的图象关于（ ） A ．直线y x =对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称 D ．原点对称4．设随机变量~(0,1),(1),(10)N P p P ξξξ>=-<<若则=哈 师 大 附 中东 北 师 大 附中 辽宁省实验中学 2011年高三第二次联合模拟考试（ ） A ．12p + B ．1p - C ．12p - D ．12p - 5．设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是 （ ）A ．2x y +=B ．2x y +>C ．222x y +>D ．1xy >6．右面程序运行的结果为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，,,(0,1)a b c ∈，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为 （ ）A ．148B ．124C ．112D ．168．已知a 、b 、c 、d 是空间四条直线，如果,,,a c b c a d b d ⊥⊥⊥⊥，那么 （ ）A ．a//b 且c//dB ．a 、b 、c 、d 中任意两条可能都不平行C ．a//b 或c//dD ．a 、b 、c 、d 中至多有一对直线互相平行9．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程ˆ35y x =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程ˆˆˆy bx a =+必过（,x y ）； ④在一个2×2列联中，由计算得213.079,K =则有99%的把握确认这两个变量间有关系；` 其中错误．．的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知实数a ，b 满足11,11a b -≤≤-≤≤，则函数3253y x ax bx =-++有极值的概率（ ）A ．14B ．12C ．23D ．3411．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，若214000,S S =O 为坐标原点，点P （1，n a ），点Q（2011，2011a ），则OP OQ ⋅（ ）A ．2011B ．-2011C ．0D ．112．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别F 1、F 2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，12PF F ∆的内切圆的圆心为I ，且⊙I 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的率心率，则（ ）A ．|OB|=e|OA|B ．|OA|=e|OB|C ．|OB|=|OA|D ．|OA|与|OB|关系不确定第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数 学沈阳命题：沈阳市第一二〇中学 东北育才学校 沈阳铁路实验中学沈阳主审：沈阳市教育研究院本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3．考试结束后，考生将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}3|B x x x ==，则A B = （ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}0,1D. {}1,0,1-2. 抛物线2:y ax Γ=过点()2,1，则Γ的准线方程为（ ） A 1x =B. 1y =-C. 2x =-D. =2y -3. 已知向量()()2,4,3,1a b ==-，则“k =是“()()a kb a kb +⊥- ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ） A.127B. 127-C.247D. 247-.5. 甲、乙、丙三人从事,,a b c 三项工作，乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ） A. ,,a b cB. ,,c a bC. ,,c b aD. ,,b c a6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A =“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B =“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则()P B A =（ ）A.516B.1132C.4163D.15647. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形ABCD 内一点（不含边界），记O 为正方形ABCD 的中心，直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角分别为123,,θθθ，4θ．若1324,θθθθ=>，则点P 在（ ） A. 线段OA 上B. 线段OB 上C. 线段OC 上D. 线段OD 上8. 在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A. 函数()e xy f x =⋅的最大值为1B. 函数()e xy f x =⋅最小值为1C. 函数()exf x y =的最大值为1的D. 函数()exf x y =最小值为1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 设方程210x x ++=在复数范围内的两根分别为12,z z ，则下列关于12,z z 的说法正确的有（ ） A. 212z z =B. 33120z z -=C. 22120z z -=D. 121z z =10. 已知正四棱锥S ABCD -的所有棱长均相等，O 为顶点S 在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）A. 平面SAD ⊥平面SBCB. 侧面SBC 内存在无穷多个点P ，使得//OP 平面SADC. 在正方形ABCD 的边上存在点Q ，使得直线SQ 与底面所成角大小为π3D. 动点,M N 分别在棱AB 和BC 上（不含端点），则二面角S MN O --的范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭11. 已知数列{}n a 的通项公式为()()()2111,2,3,1nn a n n c =-⋅=+- ，则下列说法正确的有（）A. 若1c ≤，则数列{}n a 单调递减 B. 若对任意*n ∈N ，都有1n a a ≥，则1c ≤ C. 若*c ∈N ，则对任意*,i j ∈N ，都有0i j a a +≠ D. 若{}n a 的最大项与最小项之和为正数，则*1122,22k c k k -<<+∈N 第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分．12. 已知函数()()3,02,0xx f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．13. 已知()()1,0,4,0,2A B PB PA --=，若平面内满足到直线:340l x y m ++=的距离为1的点P 有且只有3个，则实数m =________． 14. 有序实数组()()*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N称为n 维向量，12n xx x ++⋅⋅⋅+为该向量的范数，范数在度量向的量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅，其中{}0,1,2,1,2,,i x i n ∈=⋅⋅⋅．记范数为奇数的a的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______．（用含n 的式子表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =. （1）求角A 大小；（2）若BC =，求ABC 的面积. 16. 已知函数()e ,ex x xf x a a =-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对任意x ∈R ，有()1ex f x -≤恒成立，求a 的取值范围．17. 正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+，其中()0,1λ∈．（1）求证1D P AC ⊥；（2）已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．18.P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．的（1）求B '点轨迹Ω的方程；（2）点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．19. 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t12345678910销售量y （千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：1011 2.210i i y y ===∑，101118.73i i i t y ==∑，1021385i i t ==∑． （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为25，选择B 套餐的概率为35，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*N n P n∈．①求n P 最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a ．根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．的参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-． 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}3|B x x x ==，则A B = （ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】化简集合B ，由集合的交集定义计算即可. 【详解】因为{}{}3|1,0,1B x x x ===-，所以{}1,0,1A B =- . 故选：D2. 抛物线2:y ax Γ=过点()2,1，则Γ的准线方程为（ ） A. 1x = B. 1y =- C. 2x =-D. =2y -【答案】B 【解析】【分析】把点()2,1代入抛物线方程，再求得准线方程. 【详解】把点()2,1代入抛物线方程2y ax =，得14a =，解得14a =， 所以抛物线方程为24x y =，准线方程为1y =-. 故选：B.3. 已知向量()()2,4,3,1a b ==-，则“k =是“()()a kb a kb +⊥- ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】计算()()a kb a kb +⊥-时k 的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可.【详解】当()()a kb a kb +⊥- 时，()()0a kb a kb +⋅-= ，即2220ak b -=，故()()2222224310k⎡⎤+-+-=⎣⎦，解得k =故“k =是“()()a kb a kb +⊥-”的充分不必要条件.故选：A4. 已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ） A.127B. 127-C.247D. 247-【答案】C 【解析】【分析】根据1sin cos 5a a +=结合()0,πa ∈可得sin ,cos a a 与tan a ，进而可得tan2a . 【详解】1sin cos 5a a +=则()21sin cos 12sin cos 25a a a a +=+=，即12sin cos 25a a =-，又因为()0,πa ∈，故sin 0a >，cos 0a <，π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()249sin cos 12sin cos 25a a a a -=-=，因为π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7sin cos 5a a -=，结合1sin cos 5a a +=可得4sin 5a =，3cos 5a =-，则4tan 3a =-.故2282tan 243tan21tan 7413a a a -===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：C5. 甲、乙、丙三人从事,,a b c 三项工作，乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ） A. ,,a b cB. ,,c a bC. ,,c b aD. ,,b c a【解析】【分析】根据题意合理进行推理，求解答案即可.【详解】由题意得丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，故从事b 工作的人不是丙， 又从事b 工作人年龄比甲的年龄小，故从事b 工作的人不是甲， 则推出从事b 工作的人一定是乙，又从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，故乙的年龄小于甲的年龄， 而乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，故从事c 工作的人是丙， 可反推出从事a 工作的人是甲，显然甲、乙、丙的职业分别是,,a b c . 故选：A6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A =“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B =“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则()P B A =（ ）A.516B.1132C.4163D.1564【答案】C 【解析】【分析】根据条件概率的公式，分析()(),P A P AB 求解即可.【详解】662163()264P A -==，事件AB =“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”， 则3456666C +C +C 41()264P AB ==，则()41()()63P AB P B A P A ==∣ 故选：C7. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形ABCD 内一点（不含边界），记O 为正方形ABCD 的中心，的直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角分别为123,,θθθ，4θ．若1324,θθθθ=>，则点P 在（ ） A. 线段OA 上 B. 线段OB 上C. 线段OC 上D. 线段OD 上【答案】B 【解析】【分析】根据线面角的定义可得直线1111,,,PA PB PC PD 与直线1111,,,AA BB CC DD 所成角大小关系，再根据1324,θθθθ=>判断即可.【详解】直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角大小分别为1234,,,θθθθ， 等价于直线1111,,,PA PB PC PD 与直线1111,,,AA BB CC DD 成角大小分别为1234ππππ,,,2222θθθθ----， 由13θθ=，可知P 在线段BD 上，又24θθ>，则241ππ,22PB θθ-<-与1BB 所成角更小， 则点P 在线段OB 上.故选：B.8. 在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A. 函数()e xy f x =⋅的最大值为1B. 函数()e xy f x =⋅的最小值为1C. 函数()exf x y =最大值为1D. 函数()exf x y =的最小值为1【答案】C 【解析】【分析】AB 选项，先判断出虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，求导得到()e xy f x =⋅在R上单调递增，AB 错误；再求导得到(,0)x ∈-∞时，()e x f x y =单调递增，当,()0x ∈+∞时，()e xf x y =单调递减，故C 正确，D 错误.【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=， 实线部分为()y f x =，故()()()()()0e e e xxxy f x f x f x f x ='''=⋅+⋅+>⋅恒成立，故()e xy f x =⋅在R 上单调递增，则A ，B 显然错误，对于C ，D ，()2()e ()e ()()e e x xxx f x f x f x f x y ''--'==，由图像可知(,0)x ∈-∞，e ()()0x f x f x y '-=>'恒成立，故()e xf x y =单调递增，当,()0x ∈+∞，()()0e x f x f x y '-'=<，()exf x y =单调递减， 所以函数()e x f x y =在0x =处取得极大值，也为最大值，()010ef =，C 正确，D 错误. 故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 设方程210x x ++=在复数范围内的两根分别为12,z z ，则下列关于12,z z 的说法正确的有（ ） A. 212z z = B. 33120z z -=C. 22120z z -=D. 121z z =【答案】ABD的【解析】【分析】求解可得121122z z =-=--，再逐个选项判断即可.【详解】对A ，由实系数一元二次方程求根公式知121122z z =-=--，则22121122z z ⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭（与12,z z 顺序无关），故A 正确； 对B ，因为33121z z ==，所以33120z z -=，故B 正确； 对C ，由A ，2212210z z z z -=-≠，故C 错误；对D ，由韦达定理可得121z z =，故D 正确． 故选：ABD10. 已知正四棱锥S ABCD -的所有棱长均相等，O 为顶点S 在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）A. 平面SAD ⊥平面SBCB. 侧面SBC 内存在无穷多个点P ，使得//OP 平面SADC. 在正方形ABCD 的边上存在点Q ，使得直线SQ 与底面所成角大小为π3D. 动点,M N 分别在棱AB 和BC 上（不含端点），则二面角S MN O --的范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】过S 作直线l AD ∥，则l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点,E BC 中点F ，连接,ES FS ，求得cos ESF ∠可判断A ；取SB 中点,G SC 中点H ，连接,,OG OH GH ，可得，P GH ∈，可判断B ；由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成的角最大，可得1cos 2SEO ∠>，判断C ；作OI 垂直于MN ，连接SI ，则SIO ∠为二面角S MN O --的平面角，求得二面角S MN O --范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，判断D . 【详解】已知所有棱长都相等，不妨设为1．对于A ：过S 作直线l AD ∥，因为BC AD ∥，所以l BC ∥， 所以l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点,E BC 中点F ，连接,ES FS ，由正四棱锥S ABCD -， 可得,SE AD SF BC ⊥⊥，所以,l AD l BC ⊥⊥， 所以ESF ∠为二面角A l B --的平面角，连接EF ，在EFS中，2211cos 03ESF +-∠==≠ 所以平面SAD 与平面SBC 不垂直，故A 错误；对于B ：取SB 中点,G SC 中点H ，连接,,OG OH GH ，因为,OG SD OH SA ，又,OG OH ⊄平面 SAD ，,SD SA ⊂平面SAD ， 所以//OG 平面SAD ，//OH 平面SAD ，又OG OH O = ，所以平面//OGH 平面SAD ，所以当P GH ∈时，//OP 平面SAD ，这样的点P 有无穷多，故B 正确； 对于C ：由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成角最大，1cos 2SEO ∠==>，所以π3SEO ∠<，所以不布存Q 使得SQ 与底面ABCD 成的角为3π，故C错误；对于D ：作OI 垂直于MN ，连接SI ，因为SO ⊥平面ABCD ，又MN ⊂平面ABCD ，所以SO MN ⊥，又SO OI O = ，所以MN ⊥平面SIO ，因为SI ⊂平面SIO ，所以MN ⊥SI ， 因为则SIO ∠为二面角S MN O --的平面角，的当MN 都无限向点B 靠拢时，π4SIO ∠→；当,M A N C →→时，π2SHO ∠→， 所以二面角S MN O --范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确． 故选：BD.11. 已知数列{}n a 的通项公式为()()()2111,2,3,1nn a n n c =-⋅=+- ，则下列说法正确的有（）A. 若1c ≤，则数列{}n a 单调递减B. 若对任意*n ∈N ，都有1n a a ≥，则1c ≤C. 若*c ∈N ，则对任意*,i j ∈N ，都有0i j a a +≠D. 若{}n a 的最大项与最小项之和为正数，则*1122,22k c k k -<<+∈N 【答案】ACD 【解析】【分析】对于选项A ，求出12211,()1(1)1n n a a n c n c +==-++-+，再作差判断两式分母的大小关系判断即可；对于选项B ，求解1a ，再分n 为奇数与偶数的情况讨论即可；对于选项C ，分n 为奇数与偶数的情况讨论，进而求和分析是否为0即可；对于选项D ，先将条件转化为：到c 距离最小的正奇数到c 的距离大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离，再分情况讨论即可. 【详解】对于选项A ，由条件知()211n a n c =+-，()12111n a n c +=-++，而()()()()22112112c n c n c n -+-+=--++，结合1c ≤，*N n ∈知212210n c n +-≥->，所以()()22111n c n c +>+--+， 所以1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减，故A 正确； 对于选项B ，首先有()121011a c =-<+-. 若2≤c ，则当n 为偶数时，()()122110111n a c a n c >---+=>=+，从而1n a a ≥必成立；而当n 为奇数且3n ≥时，由30n c c -≥->，知332341n c n c c c c c c -=-≥-=-+≥-+=-，31n c n c c c -=-≥->-，从而1c n c -≤-，即()()221c n c --≤，这意味着()()12211111n a c c a n -≥--+=-=+.所以只要2≤c ，就一定有1n a a ≥恒成立，所以由1n a a ≥恒成立不可能得到1c ≤，故B 错误； 对于选项C ，显然当,i j 同为奇数或同为偶数时，必有,i j a a 同号，故0i j a a +≠； 而当,i j 的奇偶性不同时，i j +为奇数，此时不妨设,i j 分别是奇数和偶数，则()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222221121111111111i ji j i j c a i c j c i c j c i c j c i c j c i c j c i c j c a +-+--+-+=-+===+++++++-----------+- 因为*c ∈N ，故2c 为偶数，而i j +为奇数，所以20i j c +-≠， 所以0i j a a +≠，故C 正确；对于选项D ，首先显然的是，最大项必定是某个第偶数项，最小项必定是某个第奇数项. 当1n n =为偶数时，要让()211n a n c =+-最大，即要让n c -最小；而当2n n =为奇数时，要让()211n n c a =--+最小，即要让n c -最小.设1n 和2n 分别是到c 距离最小的正偶数和正奇数，则条件相当于120n n a a +>. 而()()()()()()()()12222122221212111111n n n n a c a n n n n c c c c c =----+--+=-+++-，故条件等价于()()2221n c n c ->-，即21c n c n ->-.这表明，条件等价于，到c 距离最小的正奇数到c 的距离，大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离. 若1c ≤，则到c 距离最小的正奇数和正偶数分别是1和2，而由1110c -≥-=可知2211c c c c -≥->-=-，不符合条件；若1c >，c 是正奇数，则到c 距离最小的正奇数到c 的距离为0，不可能大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离，不符合条件；若1c >，且c 不是正奇数，设到c 的距离最近的正偶数为()*2k k ∈N，则2121k c k -<<+.此时到c 距离最小的正偶数到c 的距离为2k c -，从而到c 距离最小的正奇数到c 的距离大于2k c -，进一步知任意正奇数到c 的距离都大于2k c -.从而212k c k c +->-，212k c k c -->-，这意味着()()()22021********k c k c k c k c <+---=⋅+-=+-，()()()22021********k c k c k c c k <----=-⋅--=-+，所以112222k c k -<<+. 综上，112222k c k -<<+，*k ∈N ，故D 正确． 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的数列通项中含有()1n-，这往往意味着我们需要对n 的奇偶性作分类讨论，分两种情况对数列进行讨论才可全面地解决问题.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分．12. 已知函数()()3,02,0xx f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】8116【解析】【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】331log log 1616=-Q ，233163<<， 313log 216∴-<<-，381log 1633331118181log log 2log 22log 31616161616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：811613. 已知()()1,0,4,0,2A B PB PA --=，若平面内满足到直线:340l x y m ++=的距离为1的点P 有且只有3个，则实数m =________．【答案】5或5- 【解析】【分析】设出动点P 的坐标，由2PB PA =求得其轨迹方程，由题意知，只需使圆心到直线:340l x y m ++=的距离等于1即可.【详解】设点(,)P x y ，由||2||PB PA == 两边平方整理得：224x y +=，即点P 的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2. 若该圆上有且只有3个点到直线:340l x y m ++=的距离为1， 则圆心到直线的距离||15m d ==，解得5m =±． 故答案为：5或5-.14. 有序实数组()()*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N称为n 维向量，12n xx x ++⋅⋅⋅+为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅，其中{}0,1,2,1,2,,i x i n ∈=⋅⋅⋅．记范数为奇数的a的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______．（用含n 的式子表示）【答案】 ①. 40 ②.21312n +- 【解析】【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解4A ；根据21(21)n ++和21(21)n +-的展开式相减得到21n A +的通项公式.【详解】根据乘法原理和加法原理得到133444C 2C 240A =⋅+⋅=．奇数维向量，范数为奇数，则1i x =的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，21n +， 根据乘法原理和加法原理得到123225242102121212121C 2C 2C 2C 2nn n n n n n n n A --++++++=++++L ，212102112222210212121213(21)C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n n +++-+++++=+=++++L 2102112222210212121211(21)C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n ++-+++++=-=-+--L两式相减得到2121312n n A ++-=.故答案为：2；21312n +-. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =. （1）求角A 的大小；（2）若BC =，求ABC 的面积. 【答案】（1）2π3（2 【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得tan A =，可得结果；（2）由三角形面积公式并利用ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc +=，再由余弦定理即可求得5bc =,由三角形的面积公式可得结果. 【小问1详解】因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan A =，2π3A =. 【小问2详解】由题意可知ABD ACD ABC S S S +=△△△， 即1π1π12πsin sin sin 232323c b bc +=，化简可得b c bc +=， 在ABC 中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +--+-===-，从而()2220122bc bc bc--=-，解得5bc =或4bc =-（舍），所以11sin 5sin12022ABC S bc A ==⨯⨯︒=△.16. 已知函数()e ,ex x xf x a a =-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对任意x ∈R ，有()1e xf x -≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1ey =（2）()f x 的单调递增区间为：()0,∞+；递减区间为：(),0∞-，()f x 的极大值为1-，无极小值（3）12ea ≥- 【解析】【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可. （2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可. （3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可. 【小问1详解】 当0a =时，()ex x f x =， 则()1e x xf x -'=，()10f '=，()11ef =， 所以切线方程为1ey =． 【小问2详解】当1a =时，()e e xxf x x -=-，()()21e 1e e exxxxx f x x -'--=--=． 令()21e xg x x =--，()212e0xg x =--<'，故()g x 在R 上单调递减，而()00g =，因此0是()g x 在R 上的唯一零点 即：0是()f x '在R 上的唯一零点当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),0∞-()0,∞+()f x ' +-()f x极大值()f x 的单调递增区间为：()0,∞+；递减区间为：(),0∞- ()f x 的极大值为()01f =-，无极小值【小问3详解】 由题意知1ee exx x x a ---≤，即1e e ex x xx a ---≥，即21e e x x a ≥-， 设()21e e x x m x =-，则()()22222e 2e 12e e x x x x x x m x '--==， 令()0m x '=，解得12x =， 当1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x ，()0m x '>，()m x 单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0m x '<，()m x 单调递减， 所以()max 1e11122e 2e m x m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， 所以12ea ≥-17. 正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+，其中()0,1λ∈．（1）求证1D P AC ⊥；（2）已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可. 方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 方法一：∵1112A B AB =，∴112AA AB AA AD ⋅=⋅== ． ∵1112D A AD AA =--∴()()111111122D P D A AP AB AD AA λλλ⎛⎫=+=-+-+- ⎪⎝⎭∴()()()11111122D P AC AB AD AA AB AD λλλ⎡⎤⎛⎫⋅=-+-+-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()22111111122AB AD AB AA AD AA λλλλ⎛⎫=-+-+-⋅+-⋅ ⎪⎝⎭()()1181841022λλλ⎛⎫=-+-+-= ⎪⎝⎭．∴1D P AC ⊥，即1D P AC ⊥．方法二：以底面ABCD 的中心O 为原点，以OM 方向为y 轴，过O 点平行于AD 向前方向为x 轴， 以过点O 垂直平面ABCD 向上方向为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有)A，)B，()C，()D，1A h⎫⎪⎪⎭，1C h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1D h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()M，()AC=-()()()110,,,2AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=-+-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1D A h⎫=-⎪⎪⎭，11D P D A AP h hλ⎛⎫=+=++-⎪⎪⎝⎭．故1AC D P⋅=，所以1D P AC⊥．【小问2详解】设平面ABCD的法向量为()0,0,1n=，设平面1AMC的法向量为(),,m x y z=，()AM=，1AC h⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，则有1AM mAC m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即x y hz⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令x=，则(),3m=．又题意可得3cos,7m n==，可得2h=．因为23λ=，经过计算可得40,0,3P⎛⎫⎪⎝⎭，12D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，143D P⎫=⎪⎭．将2h =代入，可得平面1AMC的法向量()m =． 设直线DP 与平面1AMC 所成角的为θsin cos ,DP θ=18.P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．（1）求B '点轨迹Ω的方程；（2）点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．【答案】（1）22163x y += （2） 【解析】【分析】（1）设(,),B x y POP θ''∠=，根据条件得到cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩，消元即可求出结果； （2）法一：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，联立直线MN 与椭圆方程得到()222124260k x kmx m +++-=，由韦达定理得2121222426,1212km m x x x x k k --+==++，根据题设得到直线MN 的方程为12y x m =-+，再利用点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，得到1OG k =，从而有OG与y轴负平轴所形成的夹角为π4α=，再求出OA 与x 正半轴所形成的夹角，即可解决问题；法二：设()()1122,,,M x y N x y ，直线AM 的方程为(2)1y k x =-+，直接求出,M N ，再根据条件求出12MN k =-，后面同法一；法三：建立新的坐标系，在新的坐标系中，得椭圆的方程为22(2)(1)163x y --+=，及直线MN 的方程为1mx ny +=，联立直线与椭圆，再结合条件得到2n m =，从而有12MN k =-，后面同法一；法四：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程得()222124220kxkmx m +++-=，进而得到()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++-=+--，通过令2x =，得到()()()()222124128221222k km m k x x +++-=+--，令1mx k-=，得到()()2222122(1)1111242212m m m m k km m k x x k k k k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而有 24210k km m ++-=，下面同方法一.【小问1详解】设(,),B x y POP θ''∠=，则cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩，消去θ得22163x y +=，所以B '点轨迹Ω的方程为22163x y +=. 【小问2详解】方法一：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，22163y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222124260k x kmx m +++-=， ()()22222Δ(4)41226488240km k mk m =-+-=-+>，即2263m k <+由韦达定理知2121222426,1212km m x x x x k k --+==++， ()()221212121212121212(1)(1)111112222242AM ANk x x k m x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +-++---+-+-⋅=⋅=⋅==-----++， 所以222222222(226)4(1)128(1)1226122114m k m k m k k m km k k m ++---++--++=++，整理得24210k km m ++-=， 即()241(21)(21)(21)0k m k k k m -++=+-+=， 当210k +=时，直线MN 的方程为12y x m =-+ 当210k m -+=时，直线MN 的方程为(2)1y k x =-+，恒过(2,1)A 点，不合题意 设(),G G G x y ，将()()1122,,,M x y N x y ，将M 、N 两点代入到椭圆得22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212063x x y y --+=， 即()()()()()()121212*********2032602y yy y y y y y x x x x x x x x +⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭==-+-+⎛⎫--⎪⎝⎭，所以12MN OG k k ⋅=-，故1OG k =，设OG与y 轴负平轴所形成的夹角为α，因为1OG k =，所以π4α=， 设OA与x 正半轴所形成的夹角为β，因为(2,1)A，所以sin ββ==πcos cos sin()(sin cos cos sin )2AOG αβαβαβαβ⎛⎫∠=++=-+=-+= ⎪⎝⎭方法二：设()()1122,,,M x y N x y ，直线AM 的方程为(2)1y k x =-+22(2)1163y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()()222212848840k x k k x k k +--+--=从而21288412A k k x x k --⋅=+，故21244212k k x k --=+，将1x 代入直线AM 的方程可得21244112k ky k --=++，所以222244244,11212k k k k M k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭， 又12AM ANk k ⋅=，将式点M 中的k 换成12k 得到22224424,11212k k k N k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭， 212112MN y y k x x -==--，下面同方法一方法三：以(2,1)A 为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程22(2)(1)163x y --+=，在新坐标系下设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为1mx ny += 将椭圆方程变形可得：224240x x y y +++=将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得224()24()0x x mx ny y y mx ny +++++=， 整理得22(42)(44)(14)0n y n m xy m x +++++=即：2(42)(44)(14)0y y n n m m x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以1212141422AM AN y y m k k x x n +⋅=⋅==+，故2n m =， 直线MN 的方程为121,2MN mx my k +==-，下面同方法一 方法四：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()222124220k x kmx m +++-= 因为12,x x 是上述一元二次方程的两个根，所以()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++-=+--①又1212111222AM AN y y k k x x --⋅=⋅=--整理得：()()()()121222211x x y y -----()()21212112220m m x x k x x k k --⎛⎫⎛⎫=---+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在①式中令2x =得：()()()()222124128221222kkm mk x x +++-=+--②令1m x k -=得：()()2222122(1)1111242212m m m m k km m k x x k k k k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③()22k +⨯-②③可得：整理得24210k km m ++-=，下面同方法一【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问，通过设出直线MN 的方程为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线MN 与椭圆方程得到()222124260k x kmx m +++-=，由韦达定理得2121222426,1212km m x x x x k k--+==++，根据题设得到直线MN 的方程为12y x m =-+，再利用点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，得到1OG k =，从而将问题转化成πcos cos 2AOG αβ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭解决，其中α为OG与y 轴负平轴所形成的夹角，β为OA与x 正半轴所形成的夹角.19. 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t12345678910销售量y （千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：1011 2.210i i y y ===∑，101118.73i i i t y ==∑，1021385i i t ==∑． （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为25，选择B 套餐的概率为35，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*N n P n ∈．①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a ．根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-． 【答案】（1）673220760001200y t =+ （2）533885nn P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1925，最小值为25；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用最小二乘法，结合数据分析与公式的变换即可得解； （2）利用全概率公式得到1223(3)55n n n P P P n --=+≥，再两次利用构造法依次求得135n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭常数列，是58n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而得解；（3）①结合（2）中结论，分类讨论n 为偶数与n 为奇数，结合数列的单调性即可得解；②理解数列收敛的定义，取0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而得证.【小问1详解】剔除第10天数据的911 2.2100.4() 2.499i i y y =⨯-===∑新， 123456789()59t ++++++++==新，91118.73100.4114.73i i i t y =⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭∑新，922138510285i i t =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑新， 所以91292219()()114.7395 2.46732859560ˆ009()i i i i i x y t y b t t ==⎛⎫-⋅ ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新， 故67322072.4560001200a =-⨯=，所以673220760001200y t =+． 【小问2详解】由题意可知1223(3)55n n n P P P n --=+≥， 其中12222319,555525P P ==⨯+=， 所以11233(3)55n n n n P P P P n ---+=+≥，又2131932152555P P +=+⨯=， 所以135n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，故131(2)5n n P P n -+=≥， 所以1535(2)858n n P P n -⎛⎫-=--≥ ⎪⎝⎭，又1525985840P -=-=-， 所以58n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为940-，公比为35-的等比数列，故15938405n n P -⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即19355334058885n nn P -⎛⎫⎛⎫=-⋅-+=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【小问3详解】①当n 为偶数时，53353358858858n nn P ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，最大值为21925P =；当n 为奇数时，53353358858858nnn P ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，最小值为125P =； 综上：数列{}n P 的最大值为1925，最小值为25.②证明：对任意0ε>总存在正整数0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，（其中[]x 表示取整函数）， 当358log 13n ε⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦时，358log 353333338858585n n n P εε⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-=⋅<⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n P 收敛.【点睛】思路点睛：本题第2小问求n P 的常见思路是，利用独立事件的概率公式、条件概率公式或全概率公式等得到关于n P 的递推式，再利用数列的构造法即可得解.。