2018届高二上期中试题(理)

2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．128．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若直线l ：y =ax ﹣1与抛物线C ：y 2=（a ﹣1）x 恰好有一个公共点，则实数a 的值构成的集合为（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1， }C ．{0， }D ．{1，，0}10．直线kx ﹣y ﹣2k +2=0恒过定点A ，若点A 是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．x +4y ﹣10=0B ．2x ﹣y ﹣2=0C ．4x +y ﹣10=0D ．4x ﹣y ﹣6=011．如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：﹣=1（m ＞0，n ＞0）有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限的交点为P ，满足2•=2（其中O 为原点）设C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2当3e 1+e 2取得最小值时，e 1的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 ．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 ．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1， }C．{0， }D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为　﹣=1　．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1B与平面MBC所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线D1B与平面MBC所成角为θ，则sinθ===．故直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为　+1　．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为　2　．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上， ====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知， =，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知， =，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为： +=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN的一个法向量为=（x，y，z），由，得，取z=2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos＜，＞==．∴二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k≠0，∴，联立y2=﹣x得：ky2+y﹣k=0显然：△＞0，∴，∴=（﹣y12）（﹣y22）+y1y2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S△OAB=×1×|y1﹣y2|===，解得：k=±，∴直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x﹣3y+2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c2=3a2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．…（9分）因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为： =1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

黑龙江省牡丹江一中11-12学年高二地理上学期期中考试理部门： xxx时间： xxx制作人：xxx整理范文，仅供参考，可下载自行修改牡一中2018—2018学年度上学期期中考试高(二>学年理科地理试题一、单项选择题：<本题共35题，每题2分，合计70分）1、我国西北荒漠化严重的主要原因有( >① 气候干旱② 过度放牧③ 植被破坏④ 流水侵蚀A ①②④B ①③④C ①②③D ②③④2、关于区域空间分布形式的叙述，正确的是( >①农业表现为面状②交通运输线表现为线状和网络状③城市和工业表现为岛状④城市群和工业区表现为点状gFI7mWwqSRA ①②B ②③ C③④ D ①④右图是甲～戊5个国家三个产业就业人口结构的等边三角形图。

据图回答3～4题。

3、工业化程度最高的国家是( >A 丁B 乙C 丙D 戊4、经济发展阶段处于高效益的综合发展期的国家是( >A 甲B 乙C 丙D 丁5、下列关于以传统农业为主体的区域发展阶段的叙述，正确的是( >A 传统农业占绝对优势，工业化尚未起步B 区域内部的经济差异比较大C 区域对外开放程度较低，对外贸易规模小D 整个区域处于不平衡的发展状态6、长江中上游防护林所起的生态作用是( >A 涵养水源、保持水土B 繁衍物种、维护生物多样性C 调节气候、稳定大气成分D 净化空气、吸烟除尘下图表示某产业在世界上的迁移过程，回答7—8题7、图中反映的产业部门可能是( >A 玩具制造B 汽车产业C 石化工业D 钢铁工业8、导致该产业迁移变化的主要区位因素是( >A 劳动力价格B 技术C 交通运输D 原料9、我国建设南水北调工程的主要目的是< ）A 解决长江流域的洪涝灾害问题B 连通长江、淮河、黄河、海河四大水系以发展航运C 利用流域间落差发电D 缓解北方地区水资源供需矛盾的问题10、GIS的全称是< ）A 地理信息系统B 文字处理系统C 全球定位系统D 地球卫星系统11、读山西近年来的产业结构图，该省产业结构变化是( >A 第一产业比重略有回升B 第二产业的比重开始下降C 第二产业的比重持续上升且占据主导地位D 第三产业的比重下降幅度最大下图中甲、乙表示两个不同的区域，据此完成12—13题。

2018-2019学年安徽省黄山市屯溪第一中学高二上学期期中考试物理试题第I卷（选择题)一、多选题1．关于静电场的电场强度和电势，下列说法正确的是（）A．电场强度的方向处处与等电势面垂直B．电场强度为零的地方，电势也为零C．随着电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低D．任一点的电场强度总是指向该点电势降落最快的方向2．比值法定义物理量是物理学中一种很重要的思想方法，下列物理量的表达式用比值法定义的是（）A．电场强度B．电势C．电容D．电流3．如图所示，虚线a、b、c代表电场中三条电场线，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点．下列判断正确的是（）A．质点在P点的加速度大于它在Q点的加速度B．该静电场一定是孤立正电荷产生的C．带电质点通过Q点时动能较小D．带电质点通过Q点时电势能较小4．有一横截面积为S的铝导线当有电压加在该导线上时，导线中的电流强度为I。

设每单位体积的导线中有n个自由电子，电子电量为e，此时电子定向移动的速度为v，则在△t时间内，通过导体横截面的自由电子数目可表示为（）A．B．C．D．5．两个等量负点电荷位于垂直于x轴的连线上，相对原点对称分布，选无穷远处电势为零．正确描述x轴上电场强度E、电势φ随位置变化规律的是图（）A．B．C．D．二、单选题6．将四个定值电阻a、b、c、d分别接入电路，测得相应的电流、电压值如图所示。

其中阻值最接近的两个电阻是 ()A．a和b B．b和d C．a和c D．c和d7．有一个电风扇，标有“220 V 50 W”，电动机线圈的电阻为0.4 Ω，把它接入220 V 的电路中，以下几种计算时间t内产生热量的方法中正确的是（）A．Q＝Rt B．Q＝Pt C．Q＝D．以上三种方法均正确8．一个电流表，刻度盘的每1小格代表1μA，内阻为Rg。

如果把它改装成量程较大的电流表，刻度盘的每一小格代表nμA，则（）A. 给它串联一个电阻，阻值为nRgB. 给它并联一个电阻，阻值为Rg/nC. 给它串联一个电阻，阻值为（n-1）RgD. 给它并联一个电阻，阻值为Rg/(n-1)9．如图所示，M、N两点分别放置两个等量异种电荷，A为它们连线的中点，B为连线上靠近N 的一点，C为连线的中垂线上处于A点上方的一点，在A、B、C三点中（）A．场强最小的点是A点，电势最高的点是B点B．场强最小的点是C点，电势最高的点是B点C．场强最小的点是A点，电势最高的点是C点D．场强最小的点是C点，电势最高的点是A点10．如图所示，一平行板电容器充电后与电源断开，这时电容器的带电量为Q，P是电容器内一点，电容器的上板与大地相连，下列说法正确的是（）A．若将电容器的上板左移一点，则两板间场强减小B．若将电容器的下板上移一点，则两板间电势差减小C．若将电容器的下板上移一点，则P点的电势升高D．若将电容器的下板上移一点，则两板间电势差增大11．直线mn是某电场中的一条电场线，方向如图所示。

合肥一六八中学2018—2019学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）一、选择题（共60题，每题5分。

每题仅有一个正确选项。

）1．已知a、b是两条平行直线，且a∥平面β，则b与β的位置关系是（）A．平行B．相交C．b在平面β内D．平行或b在平面β内2．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一条直线的两条直线互相平行B．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内C．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．如果ac＞0，bc＞0，那么直线ax+by+c=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．直线（a2+1）x﹣y+1=0（其中a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，]B．[，）C．（，]D．[，π）5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12πB．24πC．D．72π6．半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为（）A．B．C．D．7．三棱柱ABC﹣A'B'C′的所有棱长都等于2，并且AA'⊥平面ABC，M是侧棱BB′的中点，则直线MC′与A′B所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．8．直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），为端点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围是（）A．B．C．D．[1，+∞）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是四边形BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，下列说法正确的个数是（）①点F的轨迹是一条线段②A1F与D1E不可能平行③A1F与BE是异面直线④当F与C1不重合时，平面A1FC1不可能与平面AED1平行A．1B．2C．3D．410．在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．411．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项错误的是（）A．HG=2OGB．++=C．设BC边中点为D，则有AH=3ODD．S△ABG=S△BCG=S△ACG12．如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF不重合）下面说法正确的是（）A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFEB．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFEC．在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立D．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立二、填空题（共20分，每题5分）13、已知直线与平行，则实数的取值是________14．球的半径为5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm和8cm，则这两个平面之间的距离是cm．15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AB上一点，且AE=1，BE=3，以E为球心，线段EC的长为半径的球与棱A1D1，DD1分別交于F，G两点，则△AFG的面积为________三、解答题（共70分，每题必需要有必要的解答过程）17.（10分）设直线l的方程为(＋1)x＋y＋2－＝0 (∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数的取值范围．18.（12分）在平面直角坐标系中，的边所在的直线方程是，（1）如果一束光线从原点射出，经直线反射后，经过点，求反射后光线所在直线的方程；（2）如果在中，为直角，求面积的最小值．19.（12分）如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(Ⅰ)该几何体的体积；(Ⅱ)截面ABC的面积．20（12分）.如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F，并求四面体PDEF的体积．21.（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．22.（12分）如图，在三棱锥中，是正三角形，为其中心.面面，，，是的中点，.（1）证明：面；（2）求与面所成角的正弦值.合肥一六八中学2018—2019学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）参考答案一．选择题二、填空题13.－114.1或715.316.4三、解答题17.（1）3x＋y＝0或x＋y＋2＝0；（2）a≤－1.18（1）设点关于直线的对称点为，由题意应有，解得，所以点．因为反射后光线经过点和点，所以反射后光线所在直线的方程为．（2）设为的一条高，则，设，可得，所以的面积，当且仅当时，等号成立．所以，面积的最小值是．19.（Ⅰ）过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，则该几何体的体积V＝＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6，（Ⅱ）在△ABC中，AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2.则S△ABC＝×2×＝20.（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S△PEF=×2××2×2=．21.（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO=AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则=．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴===1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．∴cos===﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．22.（1）连结，因为是正三角形的中心，所以在上且，又，所以在中有，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解法一：作交的延长线于，作交的延长线于，由面面知面，所以，又，所以所以面,所以面面，作，则面连结，则为与面所成角，∴，即所求角的正弦值为.解法二：以中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.∵，∴，，，，∴，，，.设面的法向量为，则取，∴，即所求角的正弦值为.。

2018—2019第一学期高二期中考试|丨|物理口本卷分第［卷（选择题）和第皿卷I （I非选择题）两部分。

满分丨1001分，考试时间|90分-
钟。

第I卷（选择题共40分）一、选择
触效应C 楞-次首先提出了磁场对运动E电荷有
力作用-D.法拉第首次发现了电磁感应现象，
速 目 同 卫星在轨道1上经过P 点与Q 点时的角速度相
星的轨道半径，则下列悦法中正确的是」
的质量一定大于
B 的质量 B.A 的线速度一定大
半径为R 的圆形区域内有方向垂直纸面向］里的
的速度大小为 D 粒子在磁场中运动的时间为
100m 供电电流I = 40A ，磁场与金属导轨垂 直，不计轨道
摩擦，则关于炮弹在导轨上运动丨
1.28 X|106
W |10•在最新的天文学和物理学期刊上，科学1 半径大约是 | 500 个天文单位（地球至U 太阳 的距. 离为
1 .个天文单位.）I |行星半径为地球的 4
10m/s2,
A ■绕
运行的周期为丨1年，则“第 9大行星” j 一
年 B 阳 B •炮弹达到的最大速度为
m/s C •安培力的
功率恒定D .安培力的最大功率为
家认为“第九大行星
”可
能在太阳系的边缘附!
近，假10倍，公转轨道 倍。

已知地球表面的重力加速度约为 地球的第一宇宙速度为
7.9km/s .，地球绕太阳
•该行星的第一宇宙速度约为。

2018北京师大附中高二（上）期中物理一、单项选择题（每小题3分，共24分）1.因首次比较精确地测出引力常量，被称为“称量地球质量第一人”的科学家是（）A. 伽利略B. 牛顿C. 开普勒D. 卡文迪许2.下列关于经典力学的说法正确的是A. 经典力学适用于宏观、低速（远小于光速）运动的物体B. 经典力学适用于微观、高速（接近光速）运动的粒子C. 涉及强引力时，经典力学同样适用D. 相对论和量子力学的出现，表明经典力学已被完全否定了3.物体做曲线运动时，下列说法中正确的是A. 速度大小一定是变化的B. 速度方向一定是变化的C. 合力一定是变化的D. 加速度一定是变化的4.某人平抛出一个小球，平抛的初速度为，3s末落到水平地面时的速度为，忽略空气阻力。

下列四个图中能够正确反映抛出时刻、1s末、2s末、3s末速度矢量的示意图是5.用一个水平拉力拉着一物体在水平面上绕着点做匀速圆周运动．关于物体受到的拉力和摩擦力的受力示意图，下列四个图中可能正确的是（）A. B. C. D.6.地球的两颗人造卫星A和B，它们的轨道近似为圆。

已知A的周期约为12小时，B的周期约为16小时，则两颗卫星相比A. A距地球表面较远B. A的线速度较大C. A的角速度较小D. A的向心加速度较小7.某物体m在推力F的作用下没有运动，经时间t后（）A. 推力的冲量为零B. 推力的冲量为FtcosθC. 合力的冲量为FtD. 重力的冲量为mgt8.如图所示，在真空中有一对带电的平行金属板水平放置。

一带电粒子沿平行于板面的方向，从左侧两极板中央射入电场中，恰能从右侧极板边缘处离开电场。

不计粒子重力。

若可以改变某个量，下列哪种变化，仍能确保粒子一定飞出电场A. 只减小粒子的比荷B. 只增大电场强度C. 只增大粒子的带电量D. 只减小粒子的入射速度二、多选题（每小题4分，共16分，漏选得2分，错选不得分）9.下列关于重力和万有引力的说法，正确的是A. 若忽略地球自转的影响，物体所受重力就是地球对物体的万有引力B. 若考虑地球自转的影响，同一物体在地球两极受到的重力最小，在赤道受到的重力最大C. 若考虑地球自转的影响，静止在地球赤道上的物体所受的万有引力就是物体随地球自转所需的向心力D. 静止在北京地面上的物体，所受万有引力和地面对物体作用力的合力充当物体随地球自转的向心力10.2012年5月26日，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功地将“中星2A”地球同步卫星送入太空，为我国广大用户提供广播电视及宽带多媒体等传输业务。

适用精选文件资料分享云南玉溪一中 2018-2019 高二上学期数学期中（理科答案）玉溪一中 2018-2019 学年上学期高二年期中考理科数学卷命人：金志文一、：本共12 个小，每小 5 分，共60 分. 1．已知会集 M={x|2x 1} ，N={x| ? 2 x 2} ， RM∩N=（）A．[ ? 2，1] B．[0 ，2] C．（0，2] D．[ ? 2，2] 2．“x 2”是“ x2+x? 60”的（）A．必需不充分条件 B ．充分不用要条件C．充要条件 D．既不充分也不用要条件 3 ．已知 a=log20.3 ，b=20.3 ，c=0.32 ，a，b，c 三者的大小关系是（）A．b c a B．b a c C．a b c D．c b a 4 ．2 路公共汽每 5 分一次，小明到乘点的刻是随机的，他候不超两分的概率是（）A． B ． C． D． 5 ．已知高一（ 1）班有 48 名学生，班主任将学生随机号 01，02，⋯⋯， 48，用系抽方法，从中抽8 人，若05 号被抽到了，以下号的学生被抽到的是（） A ．16 B．22 C．29 D．33 6 ．直 2x+3y? 9=0 与直 6x+my+12=0平行，两直的距离（） A． B． C．21 D．13 7．某几何体的三如所示，中每一个小方格均正方形，且1，几何体的体（）A．B．C．D．8．在△ ABC中，（）A．B ．C．D．9 ．已知 m，n R，且 m? 2n+6=0，的最小（）A． B ．4 C． D．3 10．已知某算法的程序框如所示，算法的功能是（）A．求首1，公差2的等差数列前2017和 B ．求首 1，公差 2 的等差数列前 2018 和 C．求首1，公差 4 的等差数列前 1009 和 D．求首 1，公差 4 的等差数列前1010 和 11 ．已知四棱 P? ABCD的点都在球 O的球面上，底面ABCD是 2 的正方形，且 PA⊥面 ABCD，若四棱的体，球的体（）A．64π B．8π C．24π D．6π12．定在 R 上的函数 f （x）足： f （x? 2）的称 x=2，f（x+1）= （f （x）≠ 0），且 f （x）在区（ 1，2）上增，已知α，β 是角三角形中的两角， f （sin α）和 f （cosβ）的大小关系是（） A ．f （sin α） f （cosβ） B ．f （sin α） f（cosβ） C．f （sin α）=f （cosβ） D．以上状况均有可能二、填空：本共4 个小，每小 5 分，共 20 分. 13 ．在等比数列{an} 中，已知 =8 ，则 =__________ 14 ．已知变量 x,y 满足拘束条件，则目标函数 z=2x-y 的最大值是 ________ 15．将函数 f （x）=sin( 2x)的图象向左平移个长度单位，获得函数g（x）的图象，则函数 g（x）的单调递减区间是 __________ 16．由直线 x+2y? 7=0上一点 P 引圆 x2+y2? 2x+4y+2=0 的一条切线，切点为 A，则 |PA| 的最小值为 __________ 二．解答题（共 6 小题） 17 ．( 本小题满分 10分) 已知△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB．（1）求角 C的大小；（2）若 c= ，a2+b2=10，求△ ABC的面积．18．( 本小题满分 12 分) 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M名学生作为样本，获得这 M名学生参加社区服务的次数．依据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图以下：分组频数频率[10 ，15） 10 0.25 [15 ，20） 25 n [20 ，25） m p [25 ，30） 2 0.05合计 M 1 （1）求出表中 M，p 及图中 a 的值；（2）若该校高一学生有 360 人，试预计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15 ，20）内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数许多于20 次的学生中任选 2 人，请列举出全部基本领件，并求至多 1 人参加社区服务次数在区间 [20 ，25）内的概率．19．( 本小题满分 12 分) 如图，在长方体 ABCD? A1B1C1D1中，AD=AA1= AB=1，点 E 在棱 AB上挪动．（1）证明： B1C⊥平面 D1EA；（2）若 BE= ，求二面角 D1? EC? D的大小．20．( 本小题满分 12 分) 设数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足：Sn=nan? 2n （n? 1），首项 =1 ．（1）求数列{an} 的通项公式；（2）设数列的前 n 项和为 Mn，求证： Mn ．21．( 本小题满分 12 分) 已知圆 C经过原点 O（0，0）且与直线 y=2x?8 相切于点 P（4，0）．（1）求圆 C 的方程；（2）已知直线 l 经过点（4, 5），且与圆 C订交于 M，N两点，若 |MN|=2，求出直线 l 的方程．22．(本小题满分 12 分) 已知函数（k R），且满足 f（? 1）=f（1）．（1）求 k 的值；（2）若函数 y=f （x）的图象与直线没有交点，求 a 的取值范围；（3）若函数，x [0 ，log23] ，能否存在实数 m使得 h（x）最小值为 0，若存在，求出 m的值；若不存在，请说明原由．玉溪一中 2018-2019 学年上学期高二年级期中考试理科数学试卷答案一．选择题（共 12小题）ACBBCACBA二、填空题13．414．215．16．二．解答题（共 6 小题） 17 ．【解答】解：（1）∵△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB，∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，∵A+B+C=π，∴ 2sinAcosC=sin （B+C）=sinA ，∴cosC= ，∵ 0＜ C＜π，∴∠ C= ．（5 分）（2）∵c= ， a2+b2=10，，∴由余弦定理得： c2=a2+b2? 2abcosC，即7=10? ab，解得 ab=3，∴△ ABC的面积 S= = = ．（5 分）18 ．【解答】（1）由分组 [10 ，15）内的频数是 10，频率是 0.25 知，，因此M=40．由于频数之和为 40，因此．由于 a 是对应分组 [15 ，20）的频率与组距的商，因此．（4 分）（2）由于该校高三学生有 360人，分组 [15 ，20）内的频率是 0.625 ，因此预计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 360×0.625=225 人．（7 分）（3）这个样本参加社区服务的次数许多于 20 次的学生共有 3+2=5人设在区间 [20 ，25）内的人为 {a1 ，a2，a3} ，在区间 [25 ，30）内的人为 {b1 ，b2} ．则任选 2 人共有（ a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10 种状况，（9 分）而两人都在 [20 ，25）内共有（ a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3 种状况，至多一人参加社区服务次数在区间 [20 ，25）内的概率为．（12 分） 19．（6 分）（6 分） 20 ．【解答】解：（1）Sn=nan? 2n（n? 1），当 n≥2时，Sn? 1=（n? 1）an? 1? 2（n? 1）（n? 2），相减可得 an=nan? 2n（n? 1）? （n? 1）an? 1+2（n? 1）（n? 2），化为 an=an? 1+4，则{an} 为首项为 1，公差为 4的等差数列，即有an=1+4（n? 1）=4n? 3；（6分）（2）证明：=适用精选文件资料分享=（ ? ），前 n 和 Mn= （1? + ? +⋯+ ? ） = （1? ），由（1? ）在自然数集上增，可得 n=1 获得最小，且（1? ）＜，≤Mn＜．（6 分） 21 ．【解答】解：（ 1）由已知，得心在点 P（4，0）且与 y=2x? 8 垂直的直上，它又在段OP的中垂 x=2 上，因此求得心 C（2，1），半径．因此 C 的方程（ x? 2）2+（y? 1）2=5．（6 分）（2）①当直 l 的斜率存在，直 l 的方程，即 .因 |MN|=2， C的半径，因此心到直的距离 d=2 , 解得，因此直 , ②当斜率不存在，即直 l:x=4 ，吻合意上直 l 或 x=4（12 分）22．已知函数（k R），且足f（? 1）=f（1）．（1）求k的；（2）若函数 y=f（x）的象与直没有交点，求 a 的取范；（3）若函数，x [0 ，log23] ，能否存在数 m使得 h（x）最小 0，若存在，求出 m的；若不存在，明原由．【解答】解：（1）∵f （? 1）=f （1），即∴（3 分）（2）由意知方程即方程无解，令，函数 y=g（x）的象与直 y=a 无交点∵任取 x1、x2 R，且 x1＜x2，，∴ ．∴，∴g（x）在（ ? ∞， +∞）上是减函数．∵，∴．∴a的取范是（ ? ∞， 0] ．（7 分）注意：假如从复合函数角度解析出性，全分．⋯9分（3）由意h（x）=4x+m×2x，x [0 ，log23] ，令 t=2x [1 ，3] ，φ（t ） =t2+mt ，t [1 ，3] ，∵张口向上，称．当，，m=? 1 当，，m=0（舍去）当，即 m＜? 6，φ（t ）min=φ（3）=9+3m=0，m=? 3 （舍去）∴存在 m=? 1 得 h（x）最小 0（12 分）。

2017-2018学年天津市实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题4分，共32分）1．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1与B1D1所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．（4分）下列说法正确的是（）（1）任意三点确定一个平面；（2）圆上的三点确定一个平面；（3）任意四点确定一个平面；（4）两条平行线确定一个平面A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）3．（4分）若△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（）A．B．（y≠0）C．（y≠0）D．（y≠0）4．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β5．（4分）直线l：x﹣2y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．7．（4分）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（）（1）AC⊥BD（2）AC∥截面PQMN（3）AC=BD（4）异面直线PM与BD所成的角为45°A．1 B．2 C．3 D．48．（4分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，若二面角C﹣AB﹣C1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为（）A．B．C．D．1二、填空题：（每小题4分，共16分）9．（4分）已知一个长方体的同一个顶点出发的三条棱长分别为1，，，则这个长方体外接球的表面积为．10．（4分）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．11．（4分）把边长为α的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论正确的有．（1）AC⊥BD；（2）△ADC是正三角形；（3）三棱锥C﹣ABD的体积为a3；（4）AB与平面BCD成角60°．12．（4分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为．三、解答题：（本题共4小题，共52分）13．（12分）求经过两点（，），（0，﹣）的椭圆的标准方程，并求出它的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．14．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E，F分别是A′D′和CC′的中点．（1）求异面直线EF与AB所成角的余弦值．（2）在棱BB′上是否存在一点P，使得二面角P﹣AC﹣B的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．16．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．2017-2018学年天津市实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题4分，共32分）1．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1与B1D1所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1∥AD1连接AB1，B1D1，AD1，则AD1=AB1=B1D1，∴△AD1B1为等边三角形，故∠AD1B1=60°，即AD1与B1D1所成角为60°，即BC1与B1D所成角为60°．故选：C．2．（4分）下列说法正确的是（）（1）任意三点确定一个平面；（2）圆上的三点确定一个平面；（3）任意四点确定一个平面；（4）两条平行线确定一个平面A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）【解答】解：在（1）中，不共线的三点才能确定一个平面，故（1）错误．在（2）中，圆上三点不共线，可以确定一个平面，故（2）正确．在（3）中，当四个点共线时能确定无数个平面，当四个点不共线时，能确定一个或三个平面，故（3）错误．在（4）中，两条平行线确定一个平面，故（4）正确．故选：C．3．（4分）若△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（）A．B．（y≠0）C．（y≠0）D．（y≠0）【解答】解：∵A（﹣4，0）、B（4，0），∴|AB|=8，又△ABC的周长为18，∴|BC|+|AC|=10．∴顶点C的轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆，则a=5，c=4，b2=a2﹣c2=25﹣16=9，∴顶点C的轨迹方程为．故选：D．4．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，知：在A中，m⊂α，n⊂β，m∥n，一组线线平行，不能推出面面平行，故α与β相交或平行，故A错误；在B中．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，m⊥β，由垂直于同一直线的两平面相互平行，得α∥β，故D正确．故选：D．5．（4分）直线l：x﹣2y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：在l：x﹣2y+2=0上，令y=0得F1（﹣2，0），令x=0得B（0，1），即c=2，b=1．∴a=，e==．故选：D．6．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．7．（4分）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（）（1）AC⊥BD（2）AC∥截面PQMN（3）AC=BD（4）异面直线PM与BD所成的角为45°A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵MN∥PQ，∴PQ∥面ACD，又∵平面ACD∩平面ABC=AC，∴PQ∥AC，∴AC∥截面PQMN．故（2）正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD．故（1）正确，又MQ∥BD，∠PMQ=45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故（4）正确．根据已知条件无法得到AC、BD长度之间的关系，故（3）错误．故选：C．8．（4分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，若二面角C﹣AB﹣C1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为（）A．B．C．D．1【解答】解：点C到平面C1AB的距离为h．∵S=，S△ABC1=，△ABC=V C1﹣ABC，∵V C﹣ABC即S•C1C=S△ABC1•h，△ABC∴h=．故选：A．二、填空题：（每小题4分，共16分）9．（4分）已知一个长方体的同一个顶点出发的三条棱长分别为1，，，则这个长方体外接球的表面积为9π．【解答】解：长方体外接球的直径d==3，∴半径r=，∴长方体外接球的表面积为：S=4πr2=4π×（）2=9π．故答案为：9π．10．（4分）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是0＜m＜．【解答】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴该椭圆的标准方程为，满足1﹣m＞2m＞0，解之得0＜m＜故答案为：0＜m＜11．（4分）把边长为α的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论正确的有（1）（2）（3）．（1）AC⊥BD；（2）△ADC是正三角形；（3）三棱锥C﹣ABD的体积为a3；（4）AB与平面BCD成角60°．【解答】解：边长为α的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角C﹣BD﹣A，设BD的中点为O，连接OA，OC，由等腰三角形性质可得BD⊥OC，BD⊥OA，可得BD⊥面AOC，∴BD⊥AC，（1）正确；平面BCD⊥平面ABD，OC⊥BD，可得OC⊥平面ABD，OC⊥OA，OC=OA=a，即有AC=a，AD=CD=a，△ACD为正三角形，（2）正确；V C﹣ABD=•a2•a=a3，（3）正确；由AO⊥BD，平面BCD⊥平面ABD，可得AO⊥平面BCD，AB与平面BCD所成角∠ABD=45°，（4）错误．故答案为：（1）（2）（3）．12．（4分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），则∵|AF1|=3|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）∴B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程可得，∵1=b2+c2，∴b2=，c2=，∴x2+=1．故答案为：x2+=1．三、解答题：（本题共4小题，共52分）13．（12分）求经过两点（，），（0，﹣）的椭圆的标准方程，并求出它的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．【解答】解：设所求椭圆方程为Ax2+By2=1，（A＞0，B＞0，A≠B），依题意，得A+B=1，B=1，可得A=5，B=4，故所求椭圆的标准方程为+=1，可得a=，b=，c=，长轴长2a=1，短轴长2b=，离心率e==，焦点为（0，），（0，﹣），顶点坐标（0，﹣），（0，），（﹣，0），（，0）．14．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E，F分别是A′D′和CC′的中点．（1）求异面直线EF与AB所成角的余弦值．（2）在棱BB′上是否存在一点P，使得二面角P﹣AC﹣B的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）取B′C′中点G，连结EG，又∵E为A′D′中点，∴EG∥A′B′∥AB，连结GF，则∠FEG即为异面直线EF与AB所成角，∵F为CC′中点，正方体边长为2，∵EG=A′B′=2，EF==，∴cos∠FEG==，∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为．（2）假设在棱BB′上存在一点P，使得二面角P﹣AC﹣B的大小为30°．在棱BB′上取一点P，由题意可知，BP⊥面ABC，连结AC，BD，交于点O，由题意知BO⊥AC，BO=，连结PO，则∠POB为二面角P﹣AC﹣B的平面角，当∠POB=30°时，即tan∠POB==，解得BP=，∴当BP=时，二面角P﹣AC﹣B的大小为30°．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD=AC=，∴CO⊥AD，又∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．16．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=•==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。