高中数学北师大版选修2-1第二章《习题2—5》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学北师大版选修2-3第二章《习题2—1》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1. 在对具体实例的分析中,认识和体会随机变量对刻画随机现象的重要性和建立随机变量概念的必要性,并会恰当地定义随机变量来描述所感兴趣的随机现象,能叙述随机变量可能取的值及其所表示的随机试验的结果;
2. 在列举的随机试验中,通过对随机变量取值类型的分辨,归纳和概括离散型随机变量的特征,形成离散型随机变量的概念,并会利用离散型随机变量刻画随机试验的结果;
3. 在举例、观察、思考、发现中经历将随机试验结果数量化的过程,渗透将实际问题转化为数学问题的思想方法,进一步形成用随机观念观察和分析问题的意识。

2学情分析
学生在必修1中已经学习过映射与函数的相关知识,在必修3中也已学习了部分概率知识,理论上来了说,离散型随机变量概念的讲授可以平滑迁移。

但由于是在高一第一学期学习的,时间跨度有一年多,再加上学生对这两个抽象的数学知识理解的不到位,估计在随机变量概念的讲授上要花一些精力及时间,最终让学生明白随机变量就是一种特殊的“映射”,这种特殊性在于它是随机实验结果到实数的的映射,而非实数集到实数集的映射。

3重点难点
教学重点:本节课的重点是认识离散型随机变量的特征,了解其本质属性,体会引入随机变量的作用。

教学难点:对引入随机变量目的与作用的认识,以及随机变量和普通变量的本质区别。

4教学过程
活动1【导入】离散型随机变量课堂导入
观看2014年巴西世界杯阿根廷队和荷兰队半决赛中点球大战的部分片段,思考并回答下列问题:。

高中数学北师大版选修2-1第二章《5.1直线间的夹角》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1、知识目标:
①使学生理解直线夹角的定义使学生掌握空间向量的夹角公式及其简单应用;
②提高学生选择恰当的方法求两条异面直线夹角的技能;
2、能力目标:
①在与平面向量的夹角公式的比较基础上,培养学生观察、分析、类比转化的能力;
②通过对空间几何图形的探究,使学生会恰当地建立空间直角坐标系;通过空间向量的坐标表示法的学习,使学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程,从而提高分析问题、解决问题的能力。

3、情感目标:
①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置,激发学生的学习热情和求知欲,充分体现学生的主体地位;
②通过数形结合的思想和方法的应用,让学生感受和体会数学的魅力,培养学生“做数学”的习惯和热情。

2教材分析
教材的地位与作用
本节课是在已完成了“平面向量的数量积公式、夹角公式,空间向量的坐标表示,空间向量的数量积”等内容的教学以后进行的,是《夹角的计算》的第1课时,是空间向量在立体几何中的简单应用。

这节课的教学,为向量在数学和物理上的综合运用奠定了基础。

按照传统方法解立体几何题,需要有较强的空间想象能力、演绎推理能力以及作图能力,学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。

用向量法处理立体几何问题,把对空间图形的研究从“定性推理”转化为“定量计算”,有助于学生克服空间想象力的障碍而顺利解题。

3重点难点
重点:(1)理解直线夹角的定义及其取值范围
(2)掌握夹角公式及其坐标表示法;选择恰当的方法求两条异面直线的夹角。

高中数学北师大版选修2-1第一章《命题》优质课公开课教
案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
一、知识与技能
1.了解命题的概念;
2.通过简单的例子,让学生体会四种命题的构成形式;
3.能正确判断命题的真假,掌握四种命题的关系.
二、过程与方法
经历从具体数学数学实例中抽象出数学命题的过程,感受命题在数学学习中的重要性和广泛性.
三、情感态度与价值观
通过命题的学习过程,使学生了解命题的基本知识,认识命题的相互关系,提高思维的严谨性.
2学情分析
本节课将要在高二理科一班进行讲授,该班学生基础知识较好,课堂气氛活跃。

在长期教学中,学生已经具有了一定的自主学习能力和创新能力。

3重点难点
教学重点:
①命题的概念及表现形式
②四种命题及其关系
教学难点:
四种命题之间的相互关系
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1新设计
一.复习回顾
引入:初中已学过命题的知识,请同学们回顾:什么叫做命题?。

第一讲常用逻辑用语（一）§1 命 题1.了解命题的概念.(重点)2.掌握四种命题的结构形式.会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题.(难点)3.熟练判断命题的真假性.(易混点)(1)定义：可以判断，用文字或符号表述的语句叫命题．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为的语句.假命题：判断为的语句.(3)形式：通常把命题表示为“若p 则q ”的形式，其中p 是，q 是．2.四种命题之间的关系互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系．考点一命题及其真假判断例1．命题：“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( ) A ．逆命题 B ．否命题C ．逆否命题 D ．等价命题例2.将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断相应命题的真假． (1)正数a 的平方根不等于0；(2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形．练习1.命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的条件为________，结论为________． 练习2.①x 2－5x ＋6＝0. ②函数f (x )＝x 2是偶数． ③若ac ＞bc 则b ＞c .④证明x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实数根．以上语句是命题的为________．练习3.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题： (1)若a 2＋b 2＝0，则a ，b 都为0； (2)两个奇数的和是偶数．名师指津1．当一个命题不是“若p，则q”的形式时，要先将命题改写成“若p，则q”的形式，明确条件是什么，结论是什么，然后结合四种命题的关系写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题．2．“都是”的否定是“不都是”；“全是”的否定是“不全是”．考点二四种命题的真假判断例3.设命题为“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．名师指津对一个原命题来说，其逆命题和否命题、原命题和逆否命题同真同假．在进行真假判断时，应抓住四个命题之间的关系，在二者之间选择较简单的命题进行判断．练习1.设命题为：“若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根”．试写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假．练习2.将命题“当a＞0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大，”写成“若p，则q”的形式，并写出其否命题．练习3.写出命题“已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2”的逆命题．基础通关一、选择题1.下列语句不是命题的有()①《非常学案》是最畅销的教辅材料吗？②2x－1＞3.③7＋6＝14.④两直线平行内错角相等.A.①②B.①③C.②④D.①②③2.若命题p的逆命题是假命题，则下列判断一定正确的是()A.命题p是真命题B.命题p的否命题是假命题C.命题p的逆否命题是假命题D.命题p的否命题是真命题3.(2016·烟台高二检测)命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A.这个四边形的对角线互相平分B.这个四边形的对角线互相垂直C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D.这个四边形是平行四边形4.(2016·大理高二检测)在下列命题中，真命题是()A.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题B.“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C.若x∈R，则x2＋3＜0D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题5.(2016·湖北黄冈调研)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图像不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0二、填空题6.若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的________命题.7.把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数f (x )＝3＋log 2x 的图像与g (x )的图像关于________对称，则函数g (x )＝________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况既可) 8.给定下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0”有实数根；②若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ； ③对角线相等的四边形是矩形；④若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0. 其中真命题的序号是________. 三、解答题9.(2016·苏州高二检测)将下列命题改写为“若p ，则q ”的形式，并判断真假. (1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称.10.分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假： (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除； (2)四条边相等的四边形是正方形.[能力提升] 1.有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题. 其中真命题的序号为( ) A.①②B.②③C.①③D.③④2.(2016·长春高二检测)若命题p 的逆否命题是q ，q 的逆命题是r ，则p 与r 是( ) A.互逆命题 B.互否命题C.互逆否命题D.不确定3.(2016·唐山高二检测)下列说法正确的是________.①“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”的否命题为“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为零”. ②“正多边形都相似”的逆命题是真命题.③“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题是真命题.4.若方程x 2＋2px －q ＝0(p ，q 是实数)没有实数根，则p ＋q <14.(1)判断上述命题的真假，并说明理由.(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由.§2 充分条件与必要条件1.理解充分条件、必要条件的概念.(重点)2.掌握充分条件、必要条件的判断.(难点)考点三充分条件的判断例1.（1）下列各题中，p 是q 的充分条件的是________.①p ：(x －2)(x －3)＝0，q ：x －2＝0；②p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等； ③p ：m ＜－2，q ：方程x 2－x －m ＝0无实根(2)“a ＞b ，b ＞2”是“a ＋b ＞4，ab ＞4”的________条件.(3)设命题甲为0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的________条件.名师指津1.判定p 是q 的充分条件要先分清什么是p ，什么是q ，即转化成p ⇒q 问题.2.除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p 构成的集合为A ，q 构成的集合为B ，A ⊆B ，则p 是q 的充分条件.考点四必要条件的判断例2.在以下各题中，分析p 与q 的关系： (1)p ：x ＞2且y ＞3，q ：x ＋y ＞5； (2)p ：y ＝x 2，q ：函数是偶函数；(3)p ：一个四边形的四个角都相等，q ：四边形是正方形.名师指津1.判断p 是q 的什么条件，主要判断若p 成立时，能否推出q 成立，反过来，若q 成立时，能否推出p 成立；若p ⇒q 为真，则p 是q 的充分条件，若q ⇒p 为真，则p 是q 的必要条件.2.也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x ∈A ”.条件乙“x ∈B ”.若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件.练习1.分析下列各项中p 与q 的关系.(1)p ：α＝π3，q ：cos α＝12；(2)p ：(x ＋1)(x －2)＝0，q ：x ＋1＝0.考点五充分条件与必要条件的应用 例3.是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；若不存在，请说明理由.名师指津1.涉及求参数的取值范围与充分必要条件有关的问题，常借助集合的观点来处理.2.此类题的步骤为首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系，然后构建满足条件的不等式组，再进行求解.例4.“0＜x ＜5”的一个必要条件是( )A.x ＞5B.x 2－5x ＞0C.0＜x ＜4D.x ＜5练习1.使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分条件是( ) A.x ＜0B.x ≥0C.x ∈{－1,3,5}D.x ≤－12或x ≥2练习2.(2016·广州高二检测)已知：p ：x ＞1；q ：x ＞2；则p 是q 的( )A.充分条件B.必要条件C.即不充分也不必要条件D.以上答案均不正确基础达标 一、选择题1.“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的( )A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件 2.a ＜0，b ＜0的一个必要条件为( )A.a ＋b ＜0B.a －b ＞0C.a b ＞1D.ab＜－13.“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( ) A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是（） A.a ≤0B.a ＞0C.a ＜－1D.a ＜1 二、填空题5.满足sin α＝12的一个充分条件是α＝____(填一角即可).6(2016·赤峰高二检测)已知“x ＞k ”是“3x ＋1＜1”的充分条件，则k 的取值范围是________.7.已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }.若p 是﹁q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________. 能力提升1.不等式1－1x ＞0成立的充分条件是( )A.x ＞1B.x ＞－1C.x ＜－1或0＜x ＜1D.x ＜0或x ＞12.(2016·天津高二检测)设a ，b 为向量，则“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·长春高二检测)如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件.4.已知p ：x 2－2x －3＜0，若－a ＜x －1＜a 是p 的一个必要条件但不是充分条件，求使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围.2.4充要条件1.理解充要条件的意义.(难点)2.掌握充分、必要、充要条件的应用.(重点、难点)3.区分充分不必要条件、必要不充分条件.(易混点)知识点1.充要条件如果，且，那么称p是q的充分必要条件，简称，记作2.常见的四种条件(1)充分不必要条件，即(2)必要不充分条件，即.(3)充要条件，即(4)既不充分也不必要条件，即考点六充要条件的判断例1(1)“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)条件甲：“a＞1”是条件乙：“a＞a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)已知p：－1＜2x－3＜1，q：x(x－3)＜0，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件名师指津对充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断要搞清楚它们的定义实质；①若p⇒q，但q p，则p是q的充分不必要条件；②若q⇒p，但p q，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p q，且q p，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.考点七充要条件的证明例2.求证：“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”的充要条件是“f(0)＝0”.名师指津1.首先分清条件和结论.本例中条件是“f(0)＝0”，结论是“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”.“p是q的……条件”，p是条件，q是结论；“p成立的……是q”，q是条件，p是结论.2.充要条件的证明分两步证明：证明充分性时把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性.练习1.求证：“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”.例3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，p ≠1)，求数列{a n }是等比数列的充要条件.名师指津本题以等比数列的判定为主线，根据数列前n 项和通项之间的递推关系，严格利用等比数列定义判定.证明充要条件的命题，体现了思维的严谨性.练习1.求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.基础达标 一、选择题 1.(2015·安徽高考)设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.(2015·湖南高考)设x ∈R ，则“x >1”是“x 3>1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2015·湖北高考)l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线，q ：l 1，l 2不相交，则( ) A.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C.p 是q 的充分必要条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4.(2015·湖北武汉期中)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.(2016·重庆月考)已知a ，b 为实数，命题甲：ab ＞b 2，命题乙：1b ＜1a ＜0，则甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 二、填空题 6.(2016·南昌高二检测)若p ：x 2－1＞0，q ：(x ＋1)(x －2)＞0，则﹁p 是﹁q 的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个).7.关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的充要条件是________. 8.若命题“若p ，则q ”为真，则下列说法正确的是________.①p 是q 的充分条件；②p 是q 的必要条件；③q 是p 的充分条件；④q 是p 的必要条件. [能力提升]1.(2016·山东潍坊调研)“若a ，b ∈R ＋，a 2＋b 2＜1”是“ab ＋1＞a ＋b ”的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2016·河南郑州联考)已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.(2016·陕西榆林一模)已知命题p ：实数x 满足－2≤1－x －13≤2；命题q ：实数x 满足x 2－2x ＋(1－m 2)≤0(m ＞0).若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________.第二讲常用逻辑用语（二）§3 全称量词与存在量词1.理解全称量词和存在量词的意义.(重点)2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(难点)3.能判断含一个量词的命题的真假.(易混点) 知识点“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题.考点一全称命题、特称命题及其真假判断例1.指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假. ①对任意实数x ，都有x 2＋1＞0；②存在一个自然数小于1； ③菱形的对角线相等；④至少有一个实数x ，使sin x ＋cos x ＝53.名师指津1.判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词.需要注意的是有些全称命题的全称量词可以省略不写.2.要判断全称命题“对任意x ∈M ，p (x )成立”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立.但要判断该命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可.3.要判断特称命题“存在x ∈M ，使p (x )成立”是真命题，只要在集合M 中能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立，否则，这一命题就是假命题.考点二全称命题与特称命题的否定 例2.写出下列命题的否定： (1)对任意实数x ，都有x 3＞x 2； (2)至少有一个二次函数没有零点. 名师指津1.弄清是全称命题还是特称命题，是正确写出含有一个量词的命题否定的前提.2.全(特)称命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量词)，并把判断词否定. 练习1.写出下列命题的否定： (1)所有的菱形都是平行四边形； (2)存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3≤0.考点三含量词的命题的应用例3.已知命题p ：存在x ∈R ，使x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，试求实数a 的取值范围.名师指津1.若函数f (x )存在最大值与最小值，则对任意x ∈A ，f (x )≥M ⇔f (x )min ≥M ；存在x ∈A ，f (x )≥M ⇔f (x )max ≥M .2.当已知的命题是假命题时，可先求出其否定，利用其否定为真命题求解. 例4.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )＞0对于任意x ∈R 恒成立？并说明理由； (2)若存在实数x ，使不等式m －f (x )＞0成立，求实数m 的取值范围.练习1.已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围. 练习2.(2016·唐山一模)已知命题p ：∃x 0∈N ，x 30＜x 20；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图像过点(2,0)，则( )A.p 假q 真B.p 真q 假C.p 假q 假D.p 真q 真练习3.命题：“对任意k ＞0，方程x 2＋x －k ＝0有实根”的否定是( )A.存在k ≤0，使方程x 2＋x －k ＝0无实根B.对任意k ≤0，方程x 2＋x －k ＝0无实根C.存在k ＞0，使方程x 2＋x －k ＝0无实根D.存在k ＞0，使方程x 2＋x －k ＝0有实根[基础达标]一、选择题1.(2016·宁波高二检测)将“a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2”改写成全称命题是( )A.存在a 0，b 0∈R ，使a 20＋b 20＋2a 0b 0＝(a 0＋b 0)2B.存在a 0＜0，b 0＞0，使a 20＋b 20＋2a 0b 0＝(a 0＋b 0)2C.存在a 0＞0，b 0＞0，有a 20＋b 20＋2a 0b 0＝(a 0＋b 0)2D.对所有a ，b ∈R ，有a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 2.下列命题中的真命题是( )A.存在x 0∈N ，使4x 0<－3B.存在x 0∈Z ，使2x 0－1＝0C.对任意x ∈R,2x ＞x 2D.对任意x ∈R ，x 2＋2＞03.已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0＜12x 0，则﹁p 为( )A.∃x 0∈R ，sin x 0＝12x 0B.∀x ∈R ，sin x ＜12xC.∃x 0∈R ，sin x 0≥12x 0D.∀x ∈R ，sin x ≥12x4.非空集合A 、B 满足A B ，下面四个命题中正确的个数是( ) ①对任意x ∈A ，都有x ∈B ；②存在x 0∉A ，使x 0∈B ； ③存在x 0∉B ，使x 0∈A ；④对任意x ∉B ，都有x ∉A . A.1 B.2 C.3 D.45.(2016·广东梅州一模)下列命题中的假命题是( )A.对任意x ∈R,2x －1＞0B.对任意x ∈N *，(x －1)2＞0C.存在x ∈R ，lg x ＜1D.存在x ∈R ，tan x ＝2二、填空题6.下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________. ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数.7.“所有的自然数都大于零”的否定是________.8.若命题“存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________. 三、解答题9.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假. (1)对任意的实数a 、b ，关于x 的方程ax ＋b ＝0恰有唯一解； (2)存在实数x ，使得1x 2－2x ＋3＝34.10.写出下列全称命题或特称命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点共圆； (3)有的三角形是等边三角形.[能力提升]1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A.每一个锐角三角形的内角都是锐角B.至少有一个实数x ，使x 2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x 0，使1x 0＞22.“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于( )A.存在x ∈R ，使得f (x )＞0成立B.存在x ∈R ，使得f (x )≤0成立C.对任意x ∈R ，使得f (x )＞0成立D.对任意x ∈R ，f (x )≤0成立3.命题“偶函数的图像关于y 轴对称”的否定是________.4.已知对任意x ∈(－∞，1]，不等式(a －a 2)4x ＋2x ＋1＞0恒成立.求a 的取值范围.§4逻辑联结词“且”“或”“非”1.通过数学实例，了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.(重点)2.会判断含逻辑联结词的命题的真假.(难点)知识点用“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”.当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”是真命题；在两个命题p和q之中，只要有一个命题是假命题，新命题“p且q”就是假命题.考点四用逻辑联结词构造新命题例1(1)(2016·兰州高二检测)命题“1不是素数且不是合数”中使用的逻辑联结词是________，所以此命题是________形式命题.(2)命题“5≥3”中使用的逻辑联结词是________，所以此命题是________形式命题.(3)命题p“方程x2＋5＝0没有实数根”，则﹁p为________.名师指津1.本例主要训练学生对逻辑联结词“或”“且”“非”的应用，加深对逻辑联结词的理解.所以在解题过程中，不但要注意从结构上组成“p或q”与“p且q”形式的复合命题，同时还应从字面上对语句的表达加以适当地调整.2.考点五含逻辑联结词的命题的真假判断例2.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题的真假.(1)p：3＞3，q：3＝3；(2)p：A⊆A，q：A∩A＝A；(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有交点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实根.名师指津1.含有逻辑联结词的命题真假的判定步骤：(1)确定它的构成形式；(2)判断其中简单命题的真假；(3)根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假.2.“p且q”、“p或q”、“非p”形式的命题的真假判断可分别对应概括为三句话：“p且q中有假则假”、“p或q 中有真则真”“p与﹁p真假相反”.考点六逻辑联结词的应用例3.已知命题p：对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.名师指津1.正确理解“且”“或”“非”的含义是解此题的关键.由p且q为假知p，q中至少一假，由p或q为真知p，q至少一真.2.充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系理解题意，特别注意“p假”时，可利用补集思想，求“p真”时a的集合的补集.练习1.命题“若a ＞b 且b ＞c ，则a ＞c ”的否定是( ) A.若a ＞b 且b ＞c ，则a ≤c B.若a ＞b 且b ＞c ，则a ＜c C.若a ≤b 或b ≤c ，则a ≤c D.若a ≤b 或b ≤c ，则a ＜c 练习2.分别用“p 且q ”“p 或q ”“非p ”填空： (1)命题“15能被3与5整除”是________形式； (2)命题“16的平方根不是－4”是________形式；(3)命题“李强要么是学习委员，要么是体育委员”是________形式.基础达标 一、选择题1.已知原命题是“若r ，则p 或q ”，则这一命题的否命题是( ) A.若﹁r ，则p 且q B .若﹁r ，则﹁p 或﹁q C.若﹁r ，则﹁p 且﹁q D.若﹁r ，则﹁p 且q2.命题p ：点A 在直线y ＝2x －3上，q ：点A 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p 且q ”为真命题的一个点A (x ，y )是( )A.(0，－3)B.(1,2)C.(1，－1)D.(－1,1) 3.对于p ：x ∈A ∩B ，则﹁p ( )A.x ∈A 且x ∉BB.x ∉A 或x ∈BC.x ∉A 或x ∉BD.x ∈A ∪B4.(2016·四川成都一模)已知命题p ：对任意a ∈R ，且a ＞0，a ＋1a ≥2，命题q ：存在x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝3，则下列判断正确的是( )A.p 是假命题B.q 是真命题C.p 且(﹁q )是真命题D.(﹁p )且q 是真命题 5.(2016·贵州贵阳期末)命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a ＞0且a ≠1)的图像必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图像关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图像关于原点对称，则有( ) A.“p 且q ”为真 B.“p 或q ”为假C.p 真q 假 D.p 假q 真 二、填空题6.命题p ：“相似三角形的面积相等”则﹁p 为________，否命题为________.7.已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零.命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个命题： ①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q 其中真命题是________. 8.(2016·湖南浏阳月考)已知命题p ：函数f (x )＝lg(x 2－4x ＋a 2)的定义域为R ；命题q ：当m ∈[－1,1]时，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立，如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是____________.[能力提升]1.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A.(﹁p )或(﹁q ) B.p 或(﹁q )C.(﹁p )且(﹁q ) D.p 或q2.(2016·长春高二检测)已知：p ：|x －1|≥2，q ：x ∈Z ，若p 且q ，﹁q 同时为假命题，则满足条件的x 的集合为( )A.{x |x ≤－1或x ≥3，x ∉Z }B.{x |－1≤x ≤3，x ∉Z }C.{x |x ＜－1或x ∈Z }D.{x |－1＜x ＜3，x ∈Z }3.已知p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若﹁p 是假命题，则a 的取值范围是____________.4.已知命题p ：c 2＜c 和命题q ：对任意x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0恒成立，已知p 或q 为真，p 且q 为假，求实数c 的取值范围.第三讲空间向量及运算1．了解空间向量的有关概念，会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律．(重点) 2．理解直线的方向向量和平面的法向量．会利用两个空间向量共线的充要条件解决有关问题(难点) 3．会求简单空间向量的夹角，能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积(易混点) 知识点一空间向量的概念①用有向线段AB→表示，A 叫作向量的起点，B 叫作向量的终点数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量如图，两非零向量a ，b ，过空间中任意一点O ，作向量a ，b 的相等向量OA →和OB →，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉规定0≤〈a ，b 〉≤π知识点二空间向量的运算设a 和b 是空间两个向量，过一点O 作a 和b 的相等向量OA →和OB →，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线OC 对应的向量OC →就是a 与b 的和，记作a ＋b ，如图所示①结合律：b ＋②交换律：＝与平面向量类似，a 与b 的差定义为a ＋(－b )，记作考点一空间向量的有关概念例1(1)(2016·成都高二检测)在如图2-1-1所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，与向量AA1→相等的向量有________个(不含AA1→)．(2)下列说法中，正确的是()A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量AB→和CD→是共线向量，则A，B，C，D四点共线C．若a∥b，b∥c，则a∥cD．零向量与任意向量平行(3)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点为起止点的向量中，与向量AB→平行的向量为________，与AB→相反的向量为________．【名师指津】1．在空间中，向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全一样．2．注意区别向量、向量的模、线段、线段的长度等概念．考点二直线的方向向量与平面的法向量 例2 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，(1)以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB 的方向向量有哪些？ (2)在所有棱所在的向量中，写出平面ABCD 的所有法向量．【名师指津】1．直线的方向向量就是与直线平行的非零向量对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的．2．找平面的法向量要注意几何体中的垂直关系，特别是成面面垂直关系．练习1．根据本例的条件，写出平面BCC 1B 1的所有法向量．考点三空间的线性运算例3(1)(2016·合肥高二检测)已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c(2)化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________.(3)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1→的共有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【名师指津】1．在运算时，要注意运算律的应用，在例题中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算． 2．对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的性质．考点四空间向量的共线定理的应用例4如图2-2-3四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线？【名师指津】1．判定向量a 与b 共线就是要找到实数λ，使得a ＝λb 成立．要充分运用空间向量的运算法则，同时结合空间图形，化简得a ＝λb ，从而判定a 与b 共线．2．向量共线定理是证明三点共线，线线平行问题的重要依据，有关空间和平面几何中的线线平行问题均可转化为向量的共线问题．练习1．如图2-2-4，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形思考问题1 空间向量与平面向量有什么关系？问题2 直线的方向向量与平面的法向量只有一个吗？问题3 如何求两个空间向量的夹角？向量角与平面角有什么区别？ 问题1 如何正确地理解空间向量的数量积？问题2 在应用空间向量数量积的运算律时要注意什么？ 问题3 如何灵活地应用空间向量的数量积公式？例3在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求：(1)〈EF →，A 1C 1→〉，〈A 1C 1→，FE →〉； (2)〈AB →，BC →〉，〈A 1B 1→，AD 1→〉．【名师指津】1．求空间向量夹角的关键是平移向量，使它们的起点相同．在平移的过程中，要充分利用已知图形的特点，寻找线线平行，找出所求的角，这一过程可简单总结为：(1)通过平移找角，(2)在三角形中求角． 2．在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2，而向量夹角的范围是[0，π]，比如〈a ，b 〉与〈－a ，b 〉两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的． 练习2．在正四面体ABCD 中，(1)向量AB →与BA →的夹角为________； (2)向量AB →与CD →的夹角为________．课堂练习1．下列有关空间向量的说法中，正确的是( ) A ．如果两个向量的模相等，那么这两个向量相等 B ．如果两个向量方向相同，那么这两个向量相等C ．如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量2．已知向量a 0，b 0是分别与a ，b 同方向的单位向量，那么下列式子正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0＝1C ．a 0，b 0共线D ．|a 0|＝|b 0| 3．下列说法中不正确的是( )A ．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a ，b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量4．设a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |＝________.5．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AM →＝12MC →，A 1N →＝2ND →.设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.。

高中数学北师大版选修2-3第二章《二项分布》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1、知识与技能:
(1)理解n次独立重复试验的模型;理解二项分布的概念。

(2)能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题。

2、过程与方法:在具体问题的解决过程中,领会二项分布需要满足的条件,培养运用概率模型解决实际问题的能力。

3、情感态度与价值观:在利用二项分布解决简单的实际问题过程中深化对某些随机现象的认识,进一步体会数学在日常生活中的广泛应用。

2学情分析
本节课是在学生学习了离散型随机变量的分布列、,互斥事件、相互独立事件、超几何分布的基础上学习的,学生对本节课内容的理解没有多大困难。

3重点难点
教学重点:理解n次独立重复试验的模型;理解二项分布的概念。

教学难点:理解二项分布,利用二项分布解决简单的实际问题。

4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】二项分布（一）
1、若A、B是互斥事件,则 P(A+B)=?
2、若A、B是相互独立事件,则 P(AB)=?
3、求离散型随机变量的分布列的方法步骤?
4、超几何分布。

最新北师大版高中数学选修2-1课时同步讲义（全册共312页）目录第一章常用逻辑用语§1命题(一)§2充分条件与必要条件§3全称量词与存在量词3．1全称量词与全称命题3．2存在量词与特称命题§4逻辑联结词“且”“或”“非”4．1逻辑联结词“且”4．2逻辑联结词“或”第二章空间向量与立体几何§1从平面向量到空间向量§2空间向量的运算(一)§2空间向量的运算(二)§3向量的坐标表示和空间向量基本定理(一)3．1空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2空间向量基本定理3.3空间向量运算的坐标表示§4用向量讨论垂直与平行第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题第2课时用空间向量解决立体几何中的垂直问题§5夹角的计算§6距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1椭圆1．1椭圆及其标准方程1.2椭圆的简单性质(一)§2抛物线2．1抛物线及其标准方程§3双曲线3．1双曲线及其标准方程3．2双曲线的简单性质§4曲线与方程4．1曲线与方程§1 命 题(一)学习目标 1.理解命题的概念.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式.4.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．知识点一 命题的概念及分类思考 下列语句有什么共同特征？(1)空集是任何集合的子集．(2)单位向量的模为1.(3)垂直于同一条直线的两条直线平行．答案 共同特征是：都是陈述句，都可以判断真假．梳理 (1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题⎩⎪⎨⎪⎧ 真命题：判断为真的语句，假命题：判断为假的语句. 知识点二 命题的结构(1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫作命题的条件，q 叫作命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．知识点三 四种命题四种命题的定义如下表所示1．命题均能判断其真假．(√)2．我们所学习过的定理均为命题．(√)3．命题：若函数f (x )为区间D 上的奇函数，则f (0)＝0，为真命题．(×)4．命题：若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，其逆命题为真命题．(×)类型一 命题的概念及真假判断命题角度1 命题的概念例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)π3是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0；(5)一个数的算术平方根一定是负数；(6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数．考点 命题的定义及分类题点 命题的定义解 (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(6)“若a 与b 是无理数，则ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1 下列语句是命题的是( )①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x ＞2；⑤这座山真险啊！A ．①②③B ．①③④C ．①②⑤D ．②③⑤考点 命题的定义及分类题点 命题的定义答案 A解析 依据命题定义，得①②③为命题．命题角度2 命题真假的判断例2 给定下列命题：①若a >b ，则2a >2b ；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题；③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴； ④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形．其中为真命题的是________．考点 命题的真假判断题点 命题真假的判断答案 ①③④解析 结合函数f (x )＝2x 的单调性，知①为真命题；而函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题；又因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题；②中，若a ＝－2，b ＝2，则a ＋b ＝0，是有理数，故②是假命题．引申探究1．本例中命题④变为：若AB →·BC →<0，则△ABC 是锐角三角形，该命题还是真命题吗？解 不是真命题，AB →·BC →<0只能说明∠B 是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．2．本例中命题④改为：若AB →·BC →＝0，则△ABC 是________三角形．答案 直角解析 由AB →·BC →＝0，得∠B ＝90°，故该三角形为直角三角形．反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．跟踪训练2 (1)下列命题中假命题的个数为( )①多边形的外角和与边数有关；②如果数量积a ·b ＝0，那么向量a ＝0或b ＝0；③二次方程a 2x 2＋2x －1＝0有两个不相等的实根；④函数f (x )在区间[a ，b ]内有零点，则f (a )·f (b )<0.A ．1B ．2C ．3D ．4考点 命题的真假判断题点 命题真假的判断答案 C解析 因为Δ＝4＋4a 2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．(2)下列命题中为真命题的是( )A ．若ln x ＜1，则x ＜eB ．若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．已知数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，则该数列为等比数列D ．在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足a cos B ＝b cos A ，则该三角形为等腰三角形考点 命题的真假判断题点 命题真假的判断答案 D解析 对于A ，需满足x ＞0；对于B ，若b ＝0，其结论不成立；对于C ，若a n ＝0，则结论不成立． 类型二 命题的结构形式例3 将下列命题写成“若p ，则q ”的形式．(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；(2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实数根．考点 命题的结构形式题点 改写成标准的若p 则q 形式解 (1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．(2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实数根．反思与感悟 将命题改写为“若p ，则q ”形式的方法及原则跟踪训练3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；(2)负数的立方是负数；(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.考点命题的结构形式题点改写成标准的若p则q形式解(1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等，是真命题．(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数，是真命题．(3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2，是假命题．类型三四种命题的概念及真假判断命题角度1四种命题的概念例4(1)命题“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的() A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．等价命题答案 A(2)写出命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题．考点四种命题的概念题点四种命题定义的应用解逆命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下．否命题：若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝∅.逆否命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上．反思与感悟四种命题的转换方法(1)逆命题：交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)逆否命题：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．跟踪训练4写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．考点 四种命题的概念题点 四种命题定义的应用解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．命题角度2 四种命题的真假判断例5 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a >b ，则ac 2>bc 2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．考点 四种命题的概念题点 判断四种命题的真假解 (1)逆命题：若ac 2>bc 2，则a >b .真命题．否命题：若a ≤b ，则ac 2≤bc 2.真命题．逆否命题：若ac 2≤bc 2，则a ≤b .假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思与感悟 若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同． 在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.跟踪训练5 已知命题“若2m －1＜x ＜3m ＋2，则1＜x ＜3”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 考点 四种命题的概念题点 判断四种命题的真假答案 ⎣⎡⎦⎤13，1解析 其逆命题为若1＜x ＜3，则2m －1＜x ＜3m ＋2.该命题为真命题，需满足⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤1，3m ＋2≥3，解得13≤m ≤1， 故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，1.1．下列语句为命题的是()A．2x＋5≥0 B．求证对顶角相等C．0不是偶数D．今天心情真好啊考点命题的定义及分类题点命题的定义答案 C解析结合命题的定义知C为命题．2．下列说法中错误的是()A．命题“a，b，c中至少有一个等于0”的否命题是“a，b，c中没有一个等于0”B．命题“若x＞1，则x2－1＞0”的否命题是“若x≤1，则x2－1＜0”C．命题“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”D．命题“若x＝－4，则x是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“若x1≠－4，则x不是方程x2＋3x－4＝0的根”考点四种命题的概念题点按要求写命题答案 B解析由否命题的定义知B是错误的．3．命题“若a≥b，则a＋b＞2017且a＞－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2017且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2017且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2017或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2017或a≤－b，则a≤b考点四种命题的概念题点按要求写命题答案 C解析将原命题的条件与结论互换的同时，对条件和结论进行否定即得逆否命题．“若a≥b，则a＋b＞2 017且a＞－b”的逆否命题为“若a＋b≤2 017或a≤－b，则a＜b”．故选C.4．命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________．考点命题的定义及分类题点由命题的真假求参数的取值范围答案(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.5．命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．考点命题的定义及分类题点由命题的真假求参数的取值范围解“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；当m>0，且Δ＝m2－12m<0，即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立，所以0<m<12满足题意．综上所述，实数m的取值范围是[0,12)．1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．一、选择题1．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()A．两个平面B．一条直线C．垂直D．两个平面垂直于同一条直线考点命题的结构形式题点区分命题的条件和结论答案 D解析所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D.2．下列命题为假命题的是()A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．0是偶数D．5＞3考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 B解析结合向量的有关知识知A为真命题，B为假命题．C，D显然是真命题．3．命题“若x2＞1，则x＜－1或x＞1”的逆否命题是()A．若x2＞1，则－1≤x≤1B．若－1≤x≤1，则x2≤1C．若－1＜x＜1，则x2＜1D．若x＜－1或x＞1，则x2＞1考点四种命题的概念题点按要求写命题答案 B解析结合逆否命题的定义知B正确．4．下列命题是真命题的是()A．若ab＝0，则a2＋b2＝0B．若a>b，则ac>bcC．若M∩N＝M，则N⊆MD．若M⊆N，则M∩N＝M考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 D解析A中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M说明M⊆N.故A，B，C均错误．5．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是() A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 D解析D中如果α，β相交，a和b可以相交，也可以异面．6．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 B解析设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，A成立；由向量的运算律易知C，D成立．故选B.7．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．①③考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 D解析结合线面、面面位置关系易知①③为真命题．8．对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列说法正确的是()A．否命题是“正弦函数是分段函数”B．逆否命题是“分段函数不是正弦函数”C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D．以上都不正确考点四种命题题点四种命题的判断答案 B解析否命题为“不是正弦函数的函数是分段函数”，所以A错误；B正确；C不正确，故选B.二、填空题 9．有下列命题： ①22340能被5整除；②不存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0； ③对任意的实数x ，均有x ＋1＞x ； ④方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根． 其中假命题有________．(填序号) 考点 命题的真假判断 题点 命题真假的判断 答案 ④解析 易知①②③为真命题，④中Δ＝4－12＜0，方程x 2－2x ＋3＝0无实根，因而④为假命题．10．命题“当a ＞0，a ≠1时，若函数f (x )＝log a x 在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题是______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题答案 当a ＞0，a ≠1时，若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x 在其定义域内不是减函数．11．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ，q 中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是________． 考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围 答案 (－∞，－2]解析 p 为真命题时，Δ＝4a 2－16＜0， 解得－2＜a ＜2.q 为真命题时，5－2a ＞1， 解得a ＜2.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥2，a ∈∅.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜2，即a ≤－2.故实数a 的取值范围为(－∞，－2]． 三、解答题12．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0. 考点 命题的结构形式题点 改写成标准的若p 则q 形式，并判断命题的真假 解 (1)若ac >bc ，则a >b .∵ac >bc ，c <0时，a <b ，∴该命题是假命题． (2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根．∵Δ＝1－4m <0，∴该命题是真命题．(3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，该命题是真命题．13．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假． 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假解 其逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集． ∵a ＜1，∴Δ＝(2a ＋1)2－4×(a 2＋2)＝4a ＋1－8＝4a －7＜0， 即不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集， ∴原命题的逆否命题是真命题． 四、探究与拓展14．命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <0或a ≥3 B ．a ≤0或a ≥3 C ．a <0或a >3 D ．0<a <3考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围 答案 A解析 若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，当a ＝0时，3>0符合题意，当a ≠0时，则a >0且Δ<0，解得0<a <3，综上可知，当0≤a <3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，故当a <0或a ≥3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题．15．写出命题“当2m ＋1＞0时，如果m ＋32m －1＞0，那么m 2－5m ＋6＜0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别指出四种命题的真假． 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假解 由2m ＋1＞0，得m ＞－12.由m ＋32m －1＞0，得m ＜－3或m ＞12，又m ＞－12，所以m ＞12.由m 2－5m ＋6＜0，得2＜m ＜3， 又m ＞－12，所以2＜m ＜3.由此可知，原命题可变为“如果m ＞12，那么2＜m ＜3”，显然原命题是假命题．逆命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6＜0， 那么m ＋32m －1＞0”，即“如果2＜m ＜3，那么m ＞12”，它是真命题．否命题为“当2m ＋1＞0时，如果m ＋32m －1≤0，那么m 2－5m ＋6≥0”，因为⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1＞0，m ＋32m －1≤0，所以⎩⎨⎧m ＞－12，－3≤m ＜12，所以－12＜m ＜12，由⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1＞0，m 2－5m ＋6≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－12，m ≤2或m ≥3，即－12＜m ≤2或m ≥3，所以否命题可表述为“如果－12＜m ＜12，那么－12＜m ≤2或m ≥3”，它是真命题．逆否命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6≥0， 那么m ＋32m －1≤0”，则逆否命题可表述为“如果－12＜m ≤2或m ≥3，那么－12＜m ＜12”，它是假命题．§2 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一 充分条件与必要条件(1)“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(2)若p ⇒q ，但q ⇏p ，称p 是q 的充分不必要条件，若q ⇒p ，但p ⇏q ，称p 是q 的必要不充分条件． 知识点二 充要条件思考 在△ABC 中，角A ，B ，C 为它的三个内角，则“A ，B ，C 成等差数列”是“B ＝60°”的什么条件？ 答案 因为A ，B ，C 成等差数列，故2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°，故B ＝60°，反之，亦成立，故“A ，B ，C 成等差数列”是“B ＝60°”的充要条件．梳理 (1)一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．(2)充要条件的实质是原命题“若p ，则q ”和其逆命题“若q ，则p ”均为真命题，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件． (3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.的充分不必要的必要不充分的必要条件其中p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}．1．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)2．若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．(√)3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)类型一充分条件、必要条件、充要条件的判定例1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a＞b，q：ac＞bc.考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断解(1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇒q，且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．(4)∵p⇏q，且q⇏p，∴p是q的既不充分又不必要条件．反思与感悟充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0<a<4；(2)p：|x－2|<3，q：6x－5<－1；(3)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B ；(4)p ：⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 解 (1)当a ＝0时，1>0满足题意；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a <0，a >0，可得0<a <4.故p 是q 的必要不充分条件． (2)易知p ：－1<x <5，q ：－1<x <5， 所以p 是q 的充要条件．(3)因为A ∪B ＝A ⇔A ∩B ＝B ，所以p 是q 的充要条件．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，根据同向不等式相加、相乘的性质，有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，即p ⇒q ，但⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β>4，αβ>4⇏⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，比如，当α＝1，β＝5时，⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝6>4，αβ＝5>4，而α<2，所以q ⇏p ，所以p 是q 的充分不必要条件．类型二 充要条件的探求与证明 命题角度1 充要条件的探求例2 求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？ 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件解 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1.①方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1x 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0，∴a <0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0，∴0<a ≤1.综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.反思与感悟探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．跟踪训练2已知数列{a n}的前n项和S n＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{a n}是等差数列的充要条件？请说明理由．考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件解是充要条件．(充分性)当t＝－1时，S n＝(n＋1)2－1＝n2＋2n.a1＝S1＝3，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n＋1.又a1＝3符合上式，∴a n＝2n＋1(n∈N＋)，又∵a n＋1－a n＝2(常数)，∴数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列．故t＝－1是{a n}为等差数列的充分条件．(必要性)∵{a n}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，∵a1＝S1＝4＋t，a2＝S2－S1＝5，a3＝S3－S2＝7，∴10＝11＋t，解得t＝－1，故t＝－1是{a n}为等差数列的必要条件．综上，t＝－1是数列{a n}为等差数列的充要条件．命题角度2充要条件的证明例3求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明充分性(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)，∵ac＜0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x1，x2，则x1x2＝ca＜0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根． 必要性(由方程有一正根和一负根推证ac ＜0)， ∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根， 不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝ca ＜0，即ac ＜0，此时Δ＝b 2－4ac ＞0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0.反思与感悟 对于充要条件性命题证明，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，需要分清条件和结论． 跟踪训练3 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k ＜－2. 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的证明 证明 必要性：若方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，(x 1＋x 2)－2＞0，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，－(2k －1)－2＞0，k 2＋(2k －1)＋1＞0，解得k ＜－2. 充分性：当k ＜－2时，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝1－4k ＞0. 设方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根为x 1，x 2.则(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝k 2＋2k －1＋1＝k (k ＋2)＞0. 又(x 1－1)＋(x 2－1)＝(x 1＋x 2)－2＝－(2k －1)－2＝－2k －1＞0， ∴x 1－1＞0，x 2－1＞0，∴x 1＞1，x 2＞1.综上可知，方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根的充要条件为k ＜－2. 类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)例4 设命题p ：x (x －3)＜0，命题q ：2x －3＜m ，已知p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围答案 [3，＋∞)解析 p ：x (x －3)＜0，即0＜x ＜3； q ：2x －3＜m ，即x ＜m ＋32.由题意知p ⇒q ，q ⇏p ，则在数轴上表示不等式如图所示，则m ＋32≥3，解得m ≥3， 即实数m 的取值范围为[3，＋∞)．反思与感悟 (1)在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p 和q 转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围． (2)根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤 ①记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}；②若p 是q 的充分不必要条件，则M ?N ，若p 是q 的必要不充分条件，则N ?M ，若p 是q 的充要条件，则M ＝N ；③根据集合的关系列不等式(组)； ④求出参数的范围．跟踪训练4 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪y ＝2x 2x ＋1，x ∈R，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝13x ＋m ，x ∈[－1，1]，记命题p ：“y ∈A ”，命题q ：“y ∈B ”，若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围为______________． 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 ⎝⎛⎭⎫13，23解析 由题意知A ＝{y |0＜y ＜1}．， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | m －13≤y ≤m ＋13，依题意，得B ?A ，故⎩⎨⎧m －13>0，m ＋13<1，∴13<m <23.1．“x ＞0”是“x 2＋x ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点 充分条件、必要条件的判断题点 充分、必要条件的判断答案 A解析 由x 2＋x ＞0⇔x ＜－1或x ＞0，由此判断A 符合要求．2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 当a ＋b ＝0时，得a ＝－b ，所以a ∥b ，但若a ∥b ，不一定有a ＋b ＝0.3．“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0，x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．0＜a ＜1B ．0≤a ≤1C ．0＜a ＜12D ．a ≥1或a ≤0 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 充分、必要条件的判断答案 B解析 当关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0，x ∈R 恒成立时，应有Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1.所以一个必要不充分条件是0≤a ≤1.4．设p ：1≤x ＜4，q ：x ＜m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．(用区间表示) 考点 充分条件的概念及判断题点 由充分条件求取值范围答案 [4，＋∞)解析 因为p 为q 的充分条件，所以[1,4)⊆(－∞，m )，得m ≥4.5．设p ：|x |＞1，q ：x ＜－2或x ＞1，则q 是p 的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”“充要”)考点 充分条件、必要条件的判断题点 充分、必要条件的判断答案 充分不必要。

2.2 必要条件-北师大版选修2-1教案一、教学目标1.了解必要条件的概念和性质。

2.掌握求解必要条件的方法。

3.能够理解并解决实际问题中必要条件的应用。

二、教学重点1.必要条件的概念和性质。

2.求解必要条件的方法。

三、教学难点1.必要条件在实际问题中的应用。

2.掌握并运用必要条件解决实际问题。

四、教学内容1. 必要条件的概念和性质1.1 必要条件的定义必要条件是指某个命题成立所必须满足的条件，如果这个条件不满足，那么这个命题就一定不成立。

在日常生活中，我们常用“只要……就……”的方式来描述必要条件。

1.2 必要条件的性质如果一个命题P是另一个命题Q的必要条件，那么：•如果Q成立，P就一定成立。

•如果P不成立，Q就一定不成立。

2. 求解必要条件的方法2.1 命题的逆命题和逆命题的关系一个命题的逆命题是将它的主语和谓语交换位置得到的命题。

例如：“如果下雨，路会湿”的逆命题是“如果路干燥，就不会下雨”。

两个命题构成的命题和它们的逆命题的关系如下：•命题成立，那么它的逆命题也成立。

•命题不成立，那么它的逆命题也不成立。

2.2 通过命题的逆命题求解必要条件对于命题P，它的必要条件是Q，那么P的逆命题的充分条件就是Q的逆命题。

例如：•如果一个角是直角，则它的两条腰互相垂直。

这个命题的必要条件是这个角是直角，也就是Q。

•那么这个命题的逆命题是如果它的两条腰互相垂直，则这个角是直角。

•这个逆命题的充分条件就是这个角不是直角，也就是P的逆命题。

通过这种方法，我们可以轻松求解出必要条件。

3. 必要条件的应用3.1 实际问题中必要条件的应用在实际问题中，我们常常需要通过必要条件来判断某个命题的真假或者是做其他的推理。

例如：•如果一个点在某个圆的内部，则这个点到圆心的距离小于半径。

我们可以通过判断点到圆心的距离是否小于半径来判断这个点是否在圆的内部。

3.2 必要条件的应用实例例如，有一道数学题：问题：如果a+b=10，则a和b都是整数的充分必要条件是什么？解：将命题转化为数学形式，即“a和b都是整数”的充分必要条件是“a+b=10”的逆命题“如果a不是整数或者b不是整数，则a+b≠10”。

§夹角的计算第一课时直线间的夹角、平面间的夹角山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的处，乙站在山坡斜面上的处，从，两点到直线(水平地面与山坡的交线)的距离和分别为和，的长为，的长为 .问题：直线和的夹角范围是什么？向量与向量的夹角范围是什么？提示：，[，π]．问题：直线与的夹角与〈，〉有什么关系？提示：当≤〈，〉≤时，它们相等；当<〈，〉≤π时，直线与的夹角为π－〈，〉．问题：上图中水平地面与斜坡面的夹角α与〈，〉有什么关系？为什么？提示：α＝π－〈，〉，因为图中两平面夹角(即为直线与的夹角)为锐角，而〈，〉为钝角，所以α＝π－〈，〉．问题：若，分别为两个平面π，π的法向量，则π与π的夹角θ与〈，〉有什么关系？提示：当≤〈，〉≤时，θ＝〈，〉；当<〈，〉≤π时，θ＝π－〈，〉．．两直线的夹角当两条直线与共面时，把两条直线交角中，范围在内的角叫做两直线的夹角．．异面直线与的夹角()定义：直线与是异面直线，在直线上任取一点作∥，则直线和直线的夹角叫作异面直线与的夹角．()计算：设直线与的方向向量分别为，.当≤〈，〉≤时，直线与的夹角等于〈，〉；当<〈，〉≤π时，直线与的夹角等于π－〈，〉．．平面间的夹角()定义：平面π与π相交于直线，点为直线上任意一点，过点，在平面π上作直线⊥，在平面π上作直线⊥，则直线和的夹角叫作平面π与π的夹角．()计算：已知平面π和π的法向量分别为和，当≤〈，〉≤时，平面π和π的夹角等于〈，〉；当<〈，〉≤π时，平面π和π的夹角等于π－〈，〉．．求空间角时，要注意角的范围．()异面直线夹角范围是；()两平面夹角范围是.．求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解；也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解，但要注意其转化关系．[例]如图所示，在四棱锥－中，底面是一直角梯形，∠＝°，∥，＝＝，＝，且⊥底面，∠＝°，⊥，为垂足．()求证：⊥；()求异面直线与夹角的余弦值．[思路点拨]要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．[精解详析]以为原点，，，所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则()，()，(，)，()．又∵∠＝°，∴＝· °＝·＝，＝· °＝·＝.过作⊥，垂足为，在△中，＝，∠＝°，∴＝，＝.∴，.()证明：＝，＝，∴·＝＋－＝.∴⊥，∴⊥.。

高中数学北师大版选修2-1第三章《本章小结建议》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
教学过程
(一)知识梳理:
1、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1.我们把平面内到两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的集合
1. 我们把平面内到两个定点,的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于)的点的集合
2.与定点和直线的距离之比为定值的点的集合()
2.与定点和直线的距离之比为定值的点的集合()
与定点和直线的距离相等的点的轨迹
图形
标准方程
(>0)
(a>0,b>0)
2、曲线与方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.
那么,这条曲线叫作方程的曲线,这个方程叫作曲线的方程.
3.圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值.
当时,圆锥曲线是椭圆;
当时,圆锥曲线是双曲线;
当时,圆锥曲线是抛物线.。

4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。