探讨常见最短路程问题

初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法
两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。

步骤：
①找到A（或B）关于直线的对称点P
②连接PB（PA）交直线于O，点O就是所要找的点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。

步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。

则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。

步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。

③交点就是动点的位置
例题：
（2015，广西玉林、防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．
思路：。

文章标题：探讨13.4最短路径问题的教学设计一等奖1. 引言最短路径问题是图论中的一个重要问题，其在各种领域都有着广泛的应用。

本文将结合教学设计的思路，探讨如何在教学中更好地教授13.4最短路径问题，并共享我的个人观点和理解。

2. 概念解释13.4最短路径问题是指在一个有向图中，寻找两个顶点之间的最短路径的问题。

在教学中，首先需要对最短路径的概念进行清晰的解释，引导学生理解路径长度的定义和最短路径的意义。

3. 教学方法针对13.4最短路径问题的教学设计，我认为可以采用“由浅入深”的方式进行教学。

可以从简单的无向图和有向图开始，引导学生理解图的基本概念和表示方法。

可以介绍Dijkstra算法和Floyd算法，让学生了解具体的最短路径求解方法。

可以通过实际案例和应用场景，引导学生理解最短路径问题在实际生活中的重要性和应用。

4. 教学案例以城市道路规划为例，可以设计一个教学案例来帮助学生理解最短路径问题。

通过引导学生分析不同城市之间的道路网络，让他们应用所学的最短路径算法，找出两个城市之间的最短路径，并解释该路径在实际中的意义。

5. 总结与回顾通过上述教学设计，我们可以帮助学生全面、深刻地理解13.4最短路径问题。

我个人认为教学设计应该注重理论与实践的结合，让学生在实际问题中应用所学知识，从而更好地掌握知识点。

6. 总结在13.4最短路径问题的教学设计中，我们可以通过“由浅入深”的教学方法，结合具体案例，帮助学生深入理解最短路径的概念和应用。

教学设计应该注重理论与实践的结合，培养学生的问题解决能力和创新思维。

结尾语：希望本文的教学设计能够帮助您更好地教授13.4最短路径问题，并对学生的知识学习起到积极的引导作用。

也欢迎各位老师共享自己在教学设计中的经验和理解，让我们共同进步。

13.4最短路径问题是图论中一个非常有趣和实用的问题，它在现实生活中有着广泛的应用。

在教学中，我们需要引导学生深入理解这一问题，并掌握相关的求解方法和技巧。

13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如下图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如下图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA －CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。

浅谈初中数学教学中的最短路径问题摘要：最短路问题是一类具有代表性的中学数学问题，其研究与解决要求对数学知识进行灵活运用。

因此，数学的教学与实践必须密切结合，因为数学来源于生活，对生活有指导作用。

在此基础上，作者根据以往的教学实践，提出了一种新的解决方案。

关键字：初中数学；最短路径；策略引言初中数学的最短路问题，涉及到了“最短垂线”和“轴对称”的概念，这些概念在实际生活中是很常见的。

比如，一个人想要游到另一个人的身边，问他从哪里走到另一个人的身边，是最短的一条路，这就是一个最短路径问题。

从这一点来看，本论文所提出的最短路问题是一项很有意义的研究工作。

在中学数学习题中，最常出现的是最短路问题。

这是一道很常见的题目，也是近年来各省市中考中的热门题目。

所以，在教学中，教师应指导学生如何正确地解决这类问题，从而更好地了解问题的实质，并培养学生的思维。

老师既要让学生分析和总结“最短路径问题”，又要让学生明确各种问题的解法，让学生去感受和体会这些问题中所包含的数学哲学，从而让学生在求解“最短路径问题”的过程中寻找到关键信息，将问题变得简单，让学生在读完文章后，就可以理解所求问题的数学实质。

一、设置具体情境，激发学生主动思考最短路径所牵扯到的内容通常都是与生活现实紧密相关的，在进行最短路线问题的教学时，老师应该创设一个特定的生活情景，让学生快速地融入到课堂，并调动他们的积极性。

比如，在教授最短路问题时，老师可以这么安排：“学生，最短路问题在现实生活中被大量使用，比如：在希腊的亚历山大利亚，有一名名叫海伦的学生，一名将领去见海伦，他向她提问：从 A点到 L点，和一匹马，从 B点到 A点，怎样才能最快地到达 B点？现在，你们可以将这个问题变成一个算术问题，并且想一想，怎样才能找到最小的路径。

”在个案中，老师利用特定的情景来让学生快速的融入到教学中，利用特定的情景来提高学生对数学课堂的参与性，使他们对数学知识的意义有更深的认识。

物理优化探究参考答案物理优化探究参考答案在物理学中，优化探究是一种重要的方法，用于解决各种实际问题。

通过优化探究，我们可以找到最佳的物理方案，以提高效率、减少成本或实现其他目标。

本文将探讨一些常见的物理优化问题，并给出相应的参考答案。

一、最短路径问题最短路径问题是优化探究中的一个经典问题。

它通常涉及到在一个图中找到两个节点之间的最短路径。

例如，我们可以考虑一个城市地图，其中各个路口和道路被表示为图中的节点，而道路之间的距离则表示为图中的边。

在这种情况下，最短路径问题可以用来确定两个地点之间的最短驾驶距离。

解决最短路径问题的一种常见方法是使用迪杰斯特拉算法。

该算法基于贪心策略，通过不断更新节点的最短路径估计值，最终找到最短路径。

在应用迪杰斯特拉算法时，我们需要为每个节点维护一个最短路径估计值，并在每一步选择一个未被访问过的节点，使得从起点到该节点的路径估计值最小。

通过迭代这个过程，我们可以找到最短路径。

二、最大流问题最大流问题是另一个常见的优化问题。

它通常涉及到在一个有向图中找到从源节点到汇节点的最大流量。

例如，我们可以考虑一个水管系统，其中各个水管被表示为图中的边，而水流量则表示为边的容量。

在这种情况下，最大流问题可以用来确定从水源到汇点的最大水流量。

解决最大流问题的一种常见方法是使用福特-福尔克森算法，也被称为Edmonds-Karp算法。

该算法基于广度优先搜索，在每一步中选择一条增广路径，通过增加路径上的流量来增加总流量。

通过迭代这个过程，我们可以找到最大流。

三、最小生成树问题最小生成树问题是另一个常见的优化问题。

它通常涉及到在一个连通图中找到一个包含所有节点的树，并且树的边的权重之和最小。

例如，我们可以考虑一个电力网络，其中各个发电站和消费站被表示为图中的节点，而电力线路的长度则表示为边的权重。

在这种情况下，最小生成树问题可以用来确定连接所有发电站和消费站的最短电力线路。

解决最小生成树问题的一种常见方法是使用克鲁斯卡尔算法。

(广泛)初二最短路径探究
引言
最短路径问题是在计算机科学和图论领域中常见的一个问题，
广泛应用于交通规划、网络路由和物流等领域。

本文将探讨初二学
生在研究最短路径问题时可能遇到的困惑和解决方法。

学生困惑
初二学生在初次接触最短路径问题时可能会有以下困惑：
1. 最短路径问题的定义和概念理解困难。

2. 如何确定最短路径的计算方法。

3. 解决最短路径问题时需要考虑的因素和步骤。

解决方法
为帮助初二学生理解和解决最短路径问题，以下是一些建议和
方法：
1. 清晰理解最短路径问题的定义和概念。

通过图示、实例和生
活中的应用场景来帮助学生理解最短路径的概念和意义。

2. 介绍最短路径计算方法，如狄克斯特拉算法和弗洛伊德算法。

通过实际计算和演示来帮助学生理解算法的原理和步骤。

3. 强调最短路径问题中需要考虑的因素，如权重、边长和路线选择。

引导学生思考不同因素对最短路径的影响，并通过实例让学生练权衡选择。

4. 练最短路径问题的解决步骤，如问题分析、图形表示、算法选择和结果解释。

通过多个练题和实际应用来帮助学生掌握解决最短路径问题的方法和技巧。

结论
通过深入理解最短路径问题的定义、概念和解决方法，初二学生可以更好地应对这一问题，并在实际应用中加深对最短路径的理解和掌握。

希望本文的探讨对初二学生的研究有所帮助。

(注意：本文中的观点及建议仅供参考，实际情况因个体差异而异，具体解决方法需根据实际需求和情况进行决策。

)。

初中数学12个最短路径问题
问题图形作法，原理
【问题1】
在直线l上求一点P，
使PA+PB值最小．
【问题2】
在直线l上求一点P，
使PA+PB值最小．
【问题3】
在直线l1、l2上分
别求点M、N，
使△PMN的周长最小．
【问题4】
在直线l1、l2上分别
求点M、N，使四边
形PQMN的周长最小．
【问题5】
直线m∥n，在m、n
，上分别求点M、N，使MN
⊥m，且AM+MN+BN的值
最小．
【问题6】
在直线l上求两点M、N(M
在左)，使MN=a，并
使AM+MN+NB的值最
小．
问题图形作法，原理
【问题7】
在l1上求点A，在l2上求
点B，使PA+AB值最小．
【问题8】
A为l1上一定点，B为l2上
一定点，在l2上求点M，
在l1上求点N，使
AM+MN+NB的值最小．
【问题9】在直线l上求一
点P，使PA一PB的值
最小．
【问题10】
在直线l上求一点P，使
PA一PB的值最大．
【问题11】
在直线l上求一点P，使
PA一PB的值最大．
【问题12】
△ABC中每一内角都小
于120°，在△ABC内求
一点P，使PA+PB+PC
值最小．。

求最短路程的例题
例一、在解决最短路径问题时，我们通常利用_____、_____等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。

例二、已知，如图，在直线l的同侧有两点A、 B
(1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；(2)在图2的直线上找一点P，使PA-PB最长例三、如图所示，P为∠AOB内一点，P1，P2分别是P关于OA，OB 的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=8 cm，则△PMN的周长是( )
A.7 cm
B.5 cm
C.8 cm
D.10 cm
例四、如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，要使EC+ED 最小，请找点E的位置
例五、如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？
答案：
例一：轴对称平移
例二：(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP；点P即为所求(2)连接AB并延长，交直线l于点P
例三：C
例四：作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB的交点为E点
例五：①过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′=河的宽度；②连接A′B交b 于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置
知识拓展：
最短路径算法具体的形式包括：
（1）确定起点的最短路径问题——即已知起始结点，求最短路径的问题；（2）确定终点的最短路径问题——与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题；（3）确定起点终点的最短路径问题——即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；（4）全局最短路径问题——求图中所有的最短路径。

第四讲最短路线问题在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题．在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数．例1下图4-1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？分析为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母．如图4—2．在这里，首先我们应该明确从A 到B的最短路线到底有多长？从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD＋DB．因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB．这样我们走的这条路线才是最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走．因此只能向右和向下走．有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即：A→C→D→G→BA→C→F→G→BA→C→F→I→BA→E→F→G→BA→E→F→I→BA→E→H→I→B通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线．如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”．当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的．现在观察这种题是否有规律可循．1．看C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线．因此，从A到C只有一条路线．同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线．我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图4-2．2．看F点：从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法．我们在图4—2中的F点标上数字“2”．2=1＋1．第一个“1”是从A→C 的一种走法；第二个“1”是从A→E的一种走法．3．看G点：从上向下走是D→G，从左向右走是F→G，那么从A→G我们在G点标上数字“3”．3＝2+1，“2”是从A→F的两种走法，“1”是从A→D的一种走法．4．看I点：从上向下走是F→I，从左向右走是H→I，那么从出发点在I点标上“3”．3=2+1．“2”是从A→F的两种走法；“1”是从A→H的一种走法．5．看B点：从上向下走是G→B，从左向右走是I→B，那么从出发点A→B可以这样走：共有六种走法．6=3＋3，第一个“3”是从A→G共有三种走法，第二个“3”是从A→I共有三种走法．在B点标上“6”．我们观察图4-2发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数．这样，我们可以通过计算来确定从A→B的最短路线的条数，而且能够保证“不重”也“不漏”．解：由上面的分析可以得到如下的规律：每个格右上角与左下角所标的数字和即为这格右下角应标的数字．我们称这种方法为对角线法，也叫标号法．根据这种“对角线法”，B点标6，那么从A到B就有6条不同的最短路线（见图4-3）．答：从A到B共有6条不同的最短路线．例2 图4-4是一个街道的平面图，纵横各有5条路，某人从A到B处（只能从北向南及从西向东），共有多少种不同的走法？分析因为B点在A点的东南方向，题目要求我们只能从北向南及从西向东，也就是要求我们走最短路线．解：如图4-5所示．答：从A到B共有70种不同的走法．例3如图4-6，从甲地到乙地最近的道路有几条？分析要求从甲地到乙地最近的道路有几条，也就是求从甲地到乙地的最短路线有几条．把各交叉点标上字母，如图4—7．这道题的图形与例1、例2的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的．①由甲→A有1种走法，由甲→F有1种走法，那么就可以确定从甲→G共有1＋1＝2（种）走法．②由甲→B有1种走法，由甲→D有1种走法，那么可以确定由甲→E共有1+1＝2（种）走法．③由甲→C有1种走法，由甲→H有2种走法，那么可以确定由甲→J共有1+2=3（种）走法．④由甲→G有2种走法，由甲→M有1种走法，那么可以确定从甲→N共有2＋1=3（种）走法．⑤从甲→K有2种走法，从甲→E有2种走法，那么从甲→L共有2＋2=4（种）走法．⑥从甲→N有3种走法，从甲→L有4种走法，那么可以确定从甲→P共有3＋4=7（种）走法．⑦从甲→J有3种走法，从甲→P有7种走法，那么从甲→乙共有3+7=10（种）走法．解：在图4-7中各交叉点标上数，乙处标上10，则从甲到乙共有10条最近的道路．例4某城市的街道非常整齐，如图4-8所示，从西南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（因正在修路）．问共有多少种不同的走法？分析因为B点在A点的东北角，所以只能向东和向北走．为了叙述方便，在各交叉点标上字母，如图4-9．①从A→A1有1种走法，A→A11有1种走法，那么可以确定从A→A10共有1＋1=2（种）走法．②从A→A2有1种走法，A→A10有2种走法，那么可以确定从A→A9共有1+2=3（种）走法．③从A→A3有1种走法，A→A9有3种走法，那么可以确定从A→A8共有1+3=4（种）走法．④从A→A4有1种走法，A→A8有4种走法，那么可以确定A→A7，共有1+4=5（种）走法．⑤从A→A5有1种走法，A→A7有5种走法，那么可以确定A→A6共有1＋5＝6（种）走法．⑥从A→C1有1种走法，A→A10有2种走法，那么可以确定从A→C2共有1+2=3（种）走法．⑦从A→C2有3种走法，A→A9有3种走法，那么可以确定A→C3共有3+3=6（种）走法．⑧从A→C4可以是A→C→C4，也可以是A→A7→C4，因为C处正在修路，所以A→C→C4行不通，只能由A7→C4，由于A→A7有5种走法，所以A→C4也有5种走法，从A→A6有6种走法，所以从A→C5共有5+6＝11（种）走法．⑨从A→B6有1种走法，A→C2有3种走法，那么可以确定从A→B7共有1＋3=4（种）走法．⑩从A→B7有4种走法，A→C3有6种走法，那么可以确定从A→B8共有4＋6=10（种）走法．⑾从A→B9可以是A→B8→B9，也可以是A→C→B9，因为C处正在修路，所以A→C→B9行不通，只能由B8→B9，由于A→B8有10种走法，所以A→B9．也有10种走法．从A→C4有5种走法，所以从A →B10共有10+5=15（种）走法．⑿从A→C5有11种走法，A→B10有15种走法，那么从A→B11共有15+11=26（种）走法．⒀从A→B5有1种走法，A→B7有4种走法，那么可以确定从A→B4共有1+4=5（种）走法．⒁从A→B4有5种走法，A→B8有10种走法，那么可以确定从A→B3共有5+10=15（种）走法．(15)从A→B3有15种走法，A→B9有10种走法，那么可以确定从A→B2共有15＋10=25（种）走法．(16)从A→B2有25种走法，A→B10有15种走法，那么可以确定从A→B1共有25+15=40（种）走法．(17)从A→B1有40种走法，A→B11有26种走法，那么可以确定从A→B共有40+26=66（种）走法．解：如图4-10所示．答：从A到B共有66种不同的走法．习题四1．如果沿图4-11中的线段，以最短的路程，从A点出发到B点，共有多少种不同的走法？2．从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通．如图4-12，李楠从学校出发，步行到少年宫（只许向东和向南行进），最多有多少种不同的行走路线？3．如图4-13，从P到Q共有多少种不同的最短路线？4．如图4-14所示为某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南、由西向东），则共有多少种不同的走法？5．如图4-15所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？6．图4-16为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不能通车，从A到B处的最短路线共有多少条？7．如图4-17所示是一个街道的平面图，在不走回头路、不走重复路的条件下，可以有多少种不同的走法？8．图4-18是某城市的主要公路示意图，今在C、D、E、F、G、H路口修建立交桥，车辆不能通行，那么从A到B的最近路线共有几条？返回目录第五讲归一问题为什么把有的问题叫归一问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归除法．除数是几，就称几归；除数是8，就称为8归．而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！归一问题有两种基本类型．一种是正归一，也称为直进归一．如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一．如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步．正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量．例1一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？分析为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果．解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？12÷6=2（分米）②1小时爬几米？1小时=60分．2×60=120（分米）=12（米）答：小蜗牛1小时爬行12米．还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（即60分是6分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解．解：1小时=60分钟12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）或12÷（6÷60）＝12÷0．1=120（分米）=12（米）答：小蜗牛1小时爬行12米．例2一个粮食加工厂要磨面粉20000千克．3小时磨了6000千克．照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？方法1：分析通过3小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量．问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求．解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）答：磨完剩下的面粉还要7小时．方法2：用比例关系解．解：设磨剩下的面粉还要x小时．6000x＝3×14000x=7（小时）答：磨完剩下的面粉还要7小时．例3 学校买来一些足球和篮球．已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元．现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？分析要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元．根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2（个），总价差355-281＝74（元）．74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解．解：①一个篮球的价钱：（355-281）÷（7-5）=37元②一个足球的价钱：（281-37×5）÷3＝32（元）③共花多少元？32×5＋37×4=308（元）答：买5个足球，4个篮球共花308元．例4一个长方体的水槽可容水480吨．水槽装有一个进水管和一个排水管．单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空．两管齐开需多少小时把满池水排空？分析要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度．当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内排出的水等于进水与排水速度差．解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水所需时间．解：①进水速度：480÷8=60（吨/小时）②排水速度：480÷6=80（吨/小时）③排空全池水所需的时间：480÷（80-60）=24（小时）列综合算式：480÷（480÷6-480÷8）=24（小时）答：两管齐开需24小时把满池水排空．例5 7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土．现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？方法1：分析要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运完560吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土．解：①一辆卡车一次能运多少吨沙土？336÷6÷7=56÷7=8（吨）②560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走几吨？560÷5＝112（吨）③需要增加同样的卡车多少辆？112÷8-7＝7（辆）列综合算式：560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（辆）答：需增加同样的卡车7辆．方法2：在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式：①336÷6÷7，②336÷7÷6．算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量．在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：求出一共用车14辆后，再求增加的辆数就容易了．例6 某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7．5天完成任务．由于缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人．求每天加班工作几小时？分析我们把1个工人工作1小时，作为1个工时．根据已知条件，加工这批零件，原计划需要多少“工时”呢？求出“工时”数，使我们知道了工作总量．有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要能够达到加工零件所需“工时”总数，再求出要加班的工时数，问题就解决了．解：①原计划加工这批零件需要的“工时”：8×18×7．5=1080（工时）②增加6人后每天工作几小时？1080÷（18+6）÷4=11．25（小时）③每天加班工作几小时？11．25-8=3．25（小时）答：每天要加班工作3．25小时．例7 甲、乙两个打字员4小时共打字3600个．现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个．求甲、乙二人每小时各打字多少个？分析已知条件告诉我们：“在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个．”既然知道了“时间相同”，问题就容易解决了．题目里还告诉我们：“甲、乙二人4小时共打字3600个．”这样可以先求出“甲乙二人每小时打字个数之和”，就可求出所用时间了．解：①甲、乙二人每小时共打字多少个？3600÷4＝900（个）②“相同时间”是几小时？（2450＋2050）÷900＝5（小时）③甲打字员每小时打字的个数：2450÷5=490（个）④乙打字员每小时打字的个数：2050÷5=410（个）答：甲打字员每小时打字490个，乙打字员每小时打字410个．还可以这样想：这道题的已知条件可以分两层．第一层，甲乙二人4小时共打字3600个；第二层，在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个．由这两个条件可以求出在相同的时间内，甲乙二人共打字2450+2050=4500（个）；打字3600个用4小时，打字4500个用几小时呢？先求出4500是3600的几倍，也一定是4小时的几倍，即“相同时间”．解：①“相同时间”是几小时？4×[（2450＋2050）÷3600]＝5（小时）②甲每小时打字多少个？2450÷5=490（个）③乙每小时打字多少个？2050÷5=410（个）答：甲每小时打字490个，乙每小时打字410个．习题五1．花果山上桃树多，6只小猴分180棵．现有小猴72只，如数分后还余90棵，请算出桃树有几棵？2．5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？3．4辆汽车行驶300千米需要汽油240公升．现有5辆汽车同时运货到相距800千米的地方，汽油只有1000公升，问是否够用？4．5台拖拉机24天耕地12000公亩．要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？返回目录。

初中最短路线题目
最短路线问题是在初中数学中常见的一类问题，这类问题主要考察学生对几何图形和几何性质的理解，以及如何利用这些性质来找到最短路径。

下面是一个常见的最短路线问题的例子：
题目：在直角三角形ABC中，角C=90度，角A=30度，在直线BC或AC 上取一点P，使得三角形PAB的周长最小，找出点P的位置。

这个问题需要我们使用数学中的轴对称和最短路径等概念来解决。

我们可以按照以下步骤来解答：
1. 首先，由题意可知，角A=30度，所以AB不是直角三角形ABC的最长边。

因此，我们可以通过作AB的垂直平分线来找到点P。

2. 其次，由于点P在垂直平分线上，我们可以将点C关于AB的对称点C'
找出来。

由于点C和点C'关于AB对称，所以线段CC'与AB垂直。

3. 最后，我们只需要连接线段PC'与AC或BC相交，交点即为点P。

此时，三角形PAB的周长最小。

通过以上步骤，我们可以找到点P的位置，使得三角形PAB的周长最小。

这个问题主要考察了轴对称和最短路径等概念的应用。