全等三角形知识总结及典型例题
知识点1：全等三角形的定义和表示方法
（1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对
应边，重合的角叫做对应角 （2）“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在
对应的位置上。 例1. 如图11.1-3所示，图中两个三角形能完全重合，下列写法正确的是（ ）
A ．△ABE ≌△AF
B B ．△ABE ≌△ABF
C ．△ABE ≌△FBA
D ．△AB
E ≌△FAB
知识点2：全等三角形的性质
性质：全等三角形中，对应边相等，对应角相等。
【注意：全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线）相等；全等三角形的周长相等，面积相等。】 例2.如图11.1-7，△ABD ≌△ACE ，点B 和点C 是对应顶点，AB=8，AD=6，BD=7，则BE 的长是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
例3.如图11.1-12，△ABD ≌△EBC ，AB=3cm ，BC=4.5cm ． （1）求DE 的长；
（2）判断AC 与BD 的位置关系，并说明理由．
（1）“边边边”（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等。 （2）“边角边”（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （3）“角边角”（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （4）“角角边”（AAS ）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 （5）“斜边，直角边”（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
【注意：①三角形全等证明时要注意应用“公共边”、“公共角”、“对顶角”等 。②证明线段或角相等通常转换证明线段或角所在的三角形全等。③在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等。④有两边和一角对应相等，角必须是这两边的夹角。⑤“HL ”只适合于Rt ⊿ 。⑥利用全等三角形可以测出不能（或不易）直接测量长度的线段长，例如，河宽，或利用全等测量小口瓶的内径等。】 例4(SSS).(1) 如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF=DC ，AB=DE ，BC=EF 求证：DE AB //
(2)在ABC ∆中，︒=∠90C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD ，AE=BC ，DE=DC ．求证：AB
DE ⊥A
B
E F
A
C
B D
E
E
D
A
C
例5(SAS).(1)已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1 =∠2 。试说明：△ABD ≌△ACE 。
(2)已知：如图，△ABC 中， AD ⊥BC 于D ，AD=BD ， DC=DE ， ∠C=50°。 求∠ EBD 的度数。
例6(ASA).(1)已知：如图 , FB=CE , AB ∥ED , AC ∥FD.F 、C 在直线 BE 上．求证：AB=DE , AC=DF ．
例7(AAS).已知：如图AC ⊥CD 于C , BD ⊥CD 于D , M 是AB 的中点 , 连结CM 并延长交BD 于点F 。求证：AC=BF ．
例8(HL).(1)如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，M 是AB 的中点，点N 在BC 上，MN ⊥AB 。 求证:AN 平分∠BAC 。
(2)公路上A 、B 两站（视为直线上的两点）相距26km ，C 、D 为两村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于点A ，
CB ⊥AB 于点B ，已知DA=16km ，BC=10km ，现要在公路AB 上建一个土特产收购站E ，使CD 两村庄到E 站的距离相等，那么E 站应建在距A 站多远才合理？
知识点4
、角平分线的作法、性质、判定和辅助线
B A
2
1N M
C
A B D ┐ ┎
E
F
C B
A
D
1.尺规作图画角平分线
①、以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N 。
②、分别以M 、N 为圆心，大于MN 2
1的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C 。
③、画射线OC 。射线OC 即为所求。【如图1】
2.角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
图形表示：若CD 平分∠ADB,点P 是CD 上一点PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE=PF 【如图2】 3.角平分线的判定定理： 到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
图形表示：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE=PF ，则PD 平分∠ADB 【如图3】 4.角平分线常作的辅助线：遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线得到相等．
图1 图2 图3
例 9（角平分线性质）.（1）如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△
ABC 面积是28 cm 2，AB=20cm ，AC=8cm ，则DE 的长为_________ cm ．
（2）已知：如图，AM 是∠BAC 的平分线，O 是AM 上一点，过点O 分别作AB ，AC 的垂线，垂足为F ，D ，且分别交AC 、AB 于点G ，E ． 求证：OE=OG ．
例 10（角平分线判定）. 课本p52第7题 例119（角平分线辅助线）.课本p50第2题
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M
A
C
B E O
F
D G
