2015-2016学年山东省潍坊市青州市高一上学期期中数学试卷和解析

2015-2016学年山东省潍坊市青州市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，M∪N等于（）A．{x|﹣5＜x＜5} B．{x|x＜﹣5或x＞﹣3} C．{x|﹣3＜x≤5}D．{x|x＜﹣3或x ＞5}2．函数y=的定义域为（）A．{x|x≤1} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}3．若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是（）A．9 B．7 C．5 D．34．函数y=f（x）在[﹣2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）A．f（﹣2），0 B．0，2 C．f（﹣2），2 D．f（2），25．如果奇函数f（x）在区间[1，5]上是减函数，且最小值3，那么f（x）在区间[﹣5，﹣1]上是（）A．增函数且最小值为3 B．增函数最大值为3C．减函数且最小值为﹣3 D．减函数且最大值为﹣36．已知a=30.2，b=0.2﹣3，c=（﹣3）0.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a7．已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y=m x，②y=n x的图象为（）A．B．C．D．8．已知函数y=f（x）是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）=0 的所有实根之和是（）A．0 B．1 C．2 D．49．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A．B．C． D．10．某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y=a•0.5x+b．现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为（）A．1.75万件B．1.7万件C．2万件D．1.8万件11．设函数f（x）=，g（x）=﹣，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．112．若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有人．14．已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=，则当x＜0时，f（x）= ．15．设函数f（x）=，若f（x0）=8，则x0= ．16．给出下列五种说法：（1）函数y=a x（a＞0，a≠1）与函数y=x2得到定义域相同；（2）函数y=x2与y=3x的值域相同；（3）函数y=与y=均是奇函数；（4）函数y=（x﹣1）2与y=2x﹣1在（0，+∞）上都是增函数；（5）记函数f（x）=x﹣[x]（注：[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3；[﹣2.3]=﹣3），则f（x）的值域是[0，1）．其中所有正确说法的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．（1）求f（f（0））的值；（2）在给出坐标系中画出函数f（x）的大致图象（只画图象不写过程）．18．已知集合A={x|a﹣1≤x≤2a+3}，B={x|﹣2≤x≤4}，全集U=R．（1）当a=2时，求A∩B和（∁R A）∩（∁R B）；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．19．（1）化简：（）；（2）若a＞0，b＞0，化简：．20．销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1、y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为，y2=bx，（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1、C2如图所示．（1）求函数y1、y2的解析式；（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．21．已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若对任意x∈[﹣5，﹣1]都有f（1﹣x）+f（1﹣2x）＞0成立，求x的取值范围．22．函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，且a＞0）．（1）若f（﹣1）=0，且f（x）=0有且仅有一个实数根，求a，b的值；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）若f（x）为偶函数，设F（x）=，mn＜0，m+n＞0，试比较F（m）+F（n）的值与0的大小．2015-2016学年山东省潍坊市青州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，M∪N等于（）A．{x|﹣5＜x＜5} B．{x|x＜﹣5或x＞﹣3} C．{x|﹣3＜x≤5}D．{x|x＜﹣3或x ＞5}【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，在数轴上表示集合M、N，由并集的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，在数轴上表示可得：则M∪N={x|x＜﹣5或x＞﹣3}；故选B．【点评】本题考查集合并集的计算，可以借助数轴来分析、求解．2．函数y=的定义域为（）A．{x|x≤1} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据根式有意义的条件求函数的定义域．【解答】解：∵函数y=，∴1﹣x≥0，x≥0，∴0≤x≤1，故选D．【点评】此题主要考查了函数的定义域和根式有意义的条件，是一道基础题．3．若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是（）A．9 B．7 C．5 D．3【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】由函数的解析式得，必须令x+2=3求出对应的x值，再代入函数解析式求值．【解答】解：令x+2=3，解得x=1代入g（x+2）=2x+3，即g（3）=5．故选C．【点评】本题的考点是复合函数求值，注意求出对应的自变量的值，再代入函数解析式，这是易错的地方．4．函数y=f（x）在[﹣2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）A．f（﹣2），0 B．0，2 C．f（﹣2），2 D．f（2），2【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数图象可知，函数的最小值、最大值．【解答】解：由函数图象可知，当x=1时，函数有最大值，最大值为2，当x=﹣2时，函数有最小值，最小值为f（﹣2），故选：C．【点评】本题考查了函数图象的识别和函数值的求法，属于基础题．5．如果奇函数f（x）在区间[1，5]上是减函数，且最小值3，那么f（x）在区间[﹣5，﹣1]上是（）A．增函数且最小值为3 B．增函数最大值为3C．减函数且最小值为﹣3 D．减函数且最大值为﹣3【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间[1，5]上是减函数，且最小值3，则那么f（x）在区间[﹣5，﹣1]上为减函数，且有最大值为﹣3，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．6．已知a=30.2，b=0.2﹣3，c=（﹣3）0.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】借助于中间量，确定a，b，c可得到结论．【解答】解：∵a=30.2＜3，b=0.2﹣3=53=125，即b＞a，c=（﹣3）0.2＜0，∴b＞a＞c，故选：B．【点评】本题考查大小比较和指数函数的单调性，属于基础题．7．已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y=m x，②y=n x的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】计算题；数形结合；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数的图象与性质判断即可．【解答】解：因为0＜m＜n＜1，可得．则指数函数①y=m x，②y=n x都是减函数，当x=﹣1时，，所以x＜0时，①的图象在②的上方．故选：C．【点评】本题考查指数函数的图象的应用，特殊值方法的应用．考查计算能力．8．已知函数y=f（x）是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）=0 的所有实根之和是（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】规律型．【分析】由函数y=f（x）是偶函数，知其图象关于y轴对称，与x轴有四个交点自然也关于y轴对称可得结论．【解答】解：∵函数y=f（x）是偶函数∴其图象关于y轴对称∴其图象与x轴有四个交点也关于y轴对称∴方程f（x）=0 的所有实根之和为0故选A【点评】本题主要考查偶函数的图象关于y轴对称，同时考查函数与方程的转化．9．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A．B．C． D．【考点】函数的图象；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合．【分析】本题利用排除法解．从所给函数的图象看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除一些选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除一些选项，从而得出正确选项．【解答】解：如果水瓶形状是圆柱，V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D错；由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A、C错．故选：B．【点评】本题主要考查知识点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）等简单几何体和函数的图象，属于基础题．本题还可从注水一半时的状况进行分析求解．10．某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y=a•0.5x+b．现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为（）A．1.75万件B．1.7万件C．2万件D．1.8万件【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意知，从而y=0.5x+0.5，由此能求出此工厂3月份该产品的产量．【解答】解：由题设可得，解得a=﹣2，b=2所以y=﹣2×0.5x+2将x=3代入解得，y=1.75故选：A．【点评】本题是指数函数应用题，解答的关键是求出模型中的两个参数，属于容易题．11．设函数f（x）=，g（x）=﹣，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）=与函数g（x）=﹣的图象，对0＜x≤1时单独讨论即可．【解答】解：作函数f（x）=与函数g（x）=﹣的图象如下，，当0＜x≤1时，h（x）=4x﹣4+≥0，（当且仅当4x=，即x=时，等号成立）；故两个函数图象共有三个公共点，故函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数是3，故选：B．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及基本不等式的应用．注意对0＜x≤1时单独讨论．12．若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．【解答】解：因为y=f（x）为偶函数，所以，所以不等式等价为．因为函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，所以解得x＞3或﹣3＜x＜0，即不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．故选C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有20 人．【考点】交集及其运算；元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】利用元素之间的关系，利用Venn图即可得到结论．【解答】解：设既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有x人，则只参加数学的有32﹣x，只参加物理的有28﹣x，则5+32﹣x+28﹣x+x=45，即x=20，故答案为：20【点评】本题主要考查集合元素的确定，利用Venn图是解决本题的关键，比较基础．14．已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=，则当x＜0时，f（x）= ﹣﹣1 ．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；整体思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，﹣x＞0，整体代入已知函数的解析式，由奇函数化简可得．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=，∴整体代入可得f（﹣x）=+1，又函数y=f（x）是奇函数，∴﹣f（x）=f（﹣x）=+1，∴f（x）=﹣﹣1，故答案为：﹣﹣1．【点评】本题考查函数解析式的求解方法，涉及函数的奇偶性，属基础题．15．设函数f（x）=，若f（x0）=8，则x0= 4或．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题．【分析】按照x0≤2与x0＞2两种情况，分别得到关于x0的方程，解之并结合大前提可得到方程的解，最后综合即可．【解答】解：由题意，得①当x0≤2时，有x02+2=8，解之得x0=±，而＞2不符合，所以x0=﹣；②当x0＞2时，有2x0=8，解之得x0=4．综上所述，得x0=4或．故答案为：4或．【点评】本题给出一个关于分段函数的方程，求满足方程的自变量值，着重考查了函数的解析式和方程的解法，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．16．给出下列五种说法：（1）函数y=a x（a＞0，a≠1）与函数y=x2得到定义域相同；（2）函数y=x2与y=3x的值域相同；（3）函数y=与y=均是奇函数；（4）函数y=（x﹣1）2与y=2x﹣1在（0，+∞）上都是增函数；（5）记函数f（x）=x﹣[x]（注：[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3；[﹣2.3]=﹣3），则f（x）的值域是[0，1）．其中所有正确说法的序号是（1）（3）（5）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】求出两函数的定义域判断（1）；求出两函数的值域判断（2）；利用奇函数的定义判断（3）；判出函数y=（x﹣1）2的单调性判断（4）；由新定义求出函数f（x）=x﹣[x]的值域判断（5）．【解答】解：（1）函数y=a x（a＞0，a≠1）与函数y=x2的定义域都是R，相同，（1）正确；（2）函数y=x2的值域为[0，+∞），y=3x的值域为（0，+∞），（2）错误；（3）==﹣f（x），y=为奇函数，f（﹣x）===，﹣f（x）=﹣（）=，函数y=是奇函数，（3）正确；（4）函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，（4）错误；（5）记函数f（x）=x﹣[x]（注：[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3；[﹣2.3]=﹣3，则f（x）的值域是[0，1），（5）正确．故答案为：（1）（3）（5）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数定义域和值域的求法，训练了函数奇偶性的判断，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．（1）求f（f（0））的值；（2）在给出坐标系中画出函数f（x）的大致图象（只画图象不写过程）．【考点】函数的图象；函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数的解析式求得f（0）的值，从而求得f[f（0）]的值．（2）根据函数的解析式做出函数f（x）的图象．【解答】解：（1）∵函数f（x）=，∴f（0）=1，∴f（f（0））=f（1）=0．（2）函数f（x）的图象如图所示：【点评】本题主要考查求函数的值，做函数的图象，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．18．已知集合A={x|a﹣1≤x≤2a+3}，B={x|﹣2≤x≤4}，全集U=R．（1）当a=2时，求A∩B和（∁R A）∩（∁R B）；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；分类讨论；分析法；集合．【分析】（1）根据集合的混合运算法则计算即可；（2）由A∩B=A，得到A⊆B，分两种情况讨论即可．【解答】解：（1）当a=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2≤x≤4}，全集U=R，∴A∩B={x|1≤x≤4}，（∁R A）∩（∁R B）={x|x＜﹣2，或x＞7}，（2）∵A∩B=A，∴A⊆B，当A=∅时，则a﹣3＞2a+3，解得a＜﹣4，当A≠∅，则，解得﹣1≤a≤，综上；a的取值范围是{a|a＜﹣4，或﹣1≤a≤}【点评】本题考查了集合的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（1）化简：（）；（2）若a＞0，b＞0，化简：．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）（2）利用指数的运算法则即可得出．【解答】解：（1）原式==﹣．（2）原式=﹣（4a﹣1）=4a﹣（4a﹣1）=1．【点评】本题考查了指数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1、y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为，y2=bx，（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1、C2如图所示．（1）求函数y1、y2的解析式；（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．【考点】根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为，由此列出关于m，a 的方程组，解出m，a的值，即可得到函数y1、y2的解析式；（2）对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（4﹣x）（万元），根据公式可得甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y的最大值．【解答】解：（1）由题意，解得，…又由题意得，（x≥0）…（不写定义域扣一分）（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4﹣x）万元由（1）得，（0≤x≤4）…令，则有=，，当t=2即x=3时，y取最大值1．答：该商场所获利润的最大值为1万元．…（不答扣一分）【点评】本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题．21．已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若对任意x∈[﹣5，﹣1]都有f（1﹣x）+f（1﹣2x）＞0成立，求x的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由g（3）=8，利用待定系数法即可求出指数函数g（x）=2x，从而得到f（x）=，而根据f（x）在R上为奇函数，便有f（﹣1）=﹣f（1），这样即可求出m=2，从而得出；（2）容易判断f（x）为减函数，根据减函数的定义，设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，然后作差，通分，证明f（x1）＞f（x2）便可得出f（x）在R上单调递减；（3）根据定义在[﹣5，﹣1]上的f（x）为奇函数，且单调递减，从而可以得到f（1﹣x）＞f（2x﹣1），进一步可得到，从而解该不等式组便可得出x的取值范围．【解答】解：（1）设g（x）=a x，则g（3）=a3=8；∴a=2；∴g（x）=2x；∴；f（x）为R上的奇函数；∴f（﹣1）=﹣f（1）；即；∴m=2；∴；（2）x增大时，2x增大，∴f（x）减小；∴f（x）在R上单调递减，证明如下：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：=；∵x1＜x2；∴，；又；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在R上单调递减；（3）根据前面知，f（x）在R上单调递减，且为奇函数；∴由f（1﹣x）+f（1﹣2x）＞0得，f（1﹣x）＞f（2x﹣1）；∴；∴2≤x≤3；∴x的取值范围为[2，3]．【点评】考查指数函数的一般形式，待定系数法求函数解析式，奇函数的定义，分离常数法的运用，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，根据减函数的定义解不等式．22．函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，且a＞0）．（1）若f（﹣1）=0，且f（x）=0有且仅有一个实数根，求a，b的值；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）若f（x）为偶函数，设F（x）=，mn＜0，m+n＞0，试比较F （m）+F（n）的值与0的大小．【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又f（x）=0有且仅有一个实数根，即最小值为0⇒4a ﹣b2=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．（3）把F（m）+F（n）转化为f（m）﹣f（n）=a（m2﹣n2）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a ＞0来判断即可．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0①又f（x）=0有且仅有一个实数根，所以a≠0， =0即4a﹣b2=0②由①②得a=1，b=2∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．（2）由（1）有g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1=（x+）2+1﹣，当≥2或≤﹣2时，即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是具有单调性．（3）∵f（x）为偶函数，∴b=0，∴f（x）=ax2+1，∴F（x）=，∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞﹣n＞0，∴|m|＞|﹣n|∴F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，∴F（m）+F（n）＞0．．【点评】本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．。

青州市2016届高三上学期第一次阶段性检测数学（理）试题一、选择题1、已知集合A ＝{}0x <2x|log ，B ＝1|2x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，则A B I ＝ A 、1(,]2-∞ B 、(0,1] C 、1(0,]2 D 、1(,0)[,1)2-∞U2、若平面向量(1,2),(2,)a b y ==-r ，且a b ⊥r r ，则||b r＝A 、2B 、5C 、22D 、5 3、设0.3121log 3,(),ln 3a b c π===，则A 、a ＜c ＜bB 、a ＜b ＜cC 、c ＜a ＜bD 、b ＜a ＜c 4、若将函数()sin(2)6f x x π=-的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的值不可能是 A 、－6π B 、3πC 、23πD 、56π5、下列四个命题中，真命题的序号是①若,,a b c R ∈，则“22ac bc >”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件 ②当(0,)4x π∈时，函数1sin sin y x x=+的最小值为2； ③命题“若｜x ｜≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若｜x ｜＜2，则－2＜x ＜2” ④3()ln 2f x x x =+-在区间（1，2）上有且仅有一个零点 A 、①②③ B 、①②④ C 、①③④ D 、②③④6、若实数x ，y 满足201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2z x y =-的最大值为2，则实数a 的值是A 、－2B 、0C 、1D 、2 7、函数()cos(2)f x x x π=-的图象大致为8、已知函数f （x ）的导函数图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是A 、(cos )()f A f cosB < B 、(sin )(sin )f A f B <C 、(sin )(sin )f A f B >D 、(sin )(cos )f A f B >9、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且f(0)＝－1，对任意x R ∈，有f （x ）＝－f （2－x ）成立，则f （2015）的值为 A 、1 B 、－1 C 、0 D 、210、函数()sin 2'(),'()3f x x xf f x π=+为()f x 的导函数，令12a =，3log 2b =，则下列关系正确的是A 、()f a ＞()f bB 、()f a ＜()f bC 、()f a ＝()f bD 、以上都不正确 二、填空题（25分）11、已知函数sin ,5(),8(1),5x x f x f x x π⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩则f （6）＝＿＿＿＿＿12、13、已知命题：“[1,2]x ∃∈，使220x x a ++≥”为真命题，则实数a 的取值范围是＿＿＿ 14、设α为锐角，若3sin(),sin(2)356ππαα-=--则＝＿＿＿＿ 15、对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 使f （－x ）＝－f （x ）成立，则称f （x ）为“局部奇函数”，若2()1xx f x e me =--为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的最小值为＿＿＿三、解答题（75分） 16、（本小题满分 12分）已知函数2()sin cos 3f x x x x =（I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 在区间[,]62ππ-上最大值和最小值。

山东省潍坊市2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．B．{﹣1， 3} C．{﹣1，1} D．{﹣1，1，3}2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．85．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．7．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．D．9．（5分）若实数x，y满足不等式组，且目标函数z=x﹣2y的最大值为1，则a=（）A．B．C．2 D．310．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，5]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．13．（5分）如图，长方形四个顶点为O（0，0），A（，0），B（，2），C（0，2），若幂函数y=f（x）图象经过点B，则图中阴影部分的面积为．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为m．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在是单调递递增；④若方程f（x）=m在上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是．（请把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥A B，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S△ABC=，求b+c的值．18．（12分）已知a＞0，给出下列两个命题：p：函数f（x）=ln（x+1）﹣ln小于零恒成立；q：关于x的方程x2+（1﹣a）x+1=0，一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q 为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f＜f（x）．山东省潍坊市2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．B．{﹣1，3} C．{﹣1，1} D．{﹣1，1，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，由A为奇数集，求出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x﹣3≠0，解得：﹣1≤x＜3，即B=“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的充分不必要条件，故选：A．点评：在充要条件判断时，抓住“小能推大，大不能推小”，认真判断，不可出错．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和题意求出a5的值，再求出公差d、a n和S n，对S n化简后利用二次函数的性质，求出S n取最小值时对应的n的值．解答：解：由等差数列的性质得，2a5=a3+a7=﹣6，则a5=﹣3，又a1=﹣11，所以d==2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣13，S n==n2﹣12n，所以当n=6时，S n取最小值，故选：B．点评：本题考查等差数列的性质、通项公式，以及利用二次函数的性质求S n最小值的问题．5．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：由图象可知对数的底数满足0＜a＜1，且0＜f（0）＜1，再根据指数函数g（x）=a x+b的性质即可推得．解答：解：由图象可知0＜a＜1且0＜f（0）＜1，即即解②得log a1＜log a b＜log a a，∵0＜a＜1∴由对数函数的单调性可知a＜b＜1，结合①可得a，b满足的关系为0＜a＜b＜1，由指数函数的图象和性质可知，g（x）=a x+b的图象是单调递减的，且一定在x轴上方．故选：B．点评：本小题主要考查对数函数的图象、指数函数的图象、对数函数的图象的应用、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．解答：解：由题意得 AB=2，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=0+=×=1．故选B．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．7．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．C．D．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出f（1）的值，通过讨论a的范围，得到不等式，从而求出a的范围．解答：解：∵f（1）=﹣3，∴f（a）﹣f（﹣a）≤﹣6，a≥0时，﹣a2﹣2a﹣≤﹣6，整理得：a2+2a﹣3≥0，解得：a≥1，a＜0时，a2﹣2a﹣≤﹣6，整理得：a2﹣2a+3≤0，无解，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题．8．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．D．考点：两角和与差的正弦函数；函数的零点．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可知g（x）=sin2x+cos2x与直线y=m在上两个交点，数形结合可得m 的取值范围．解答：解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+）与直线y=m在上两个交点．由于x∈，故2x+∈，故g（x）∈．令2x+=t，则t∈，函数y=h（t）=2sint 与直线y=m在上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤m＜2，故选B．点评：本题主要考查方程根的存在性及个数判断，两角和差的正弦公式，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．9．（5分）若实数x，y满足不等式组，且目标函数z=x﹣2y的最大值为1，则a=（）A．B．C．2 D．3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由目标函数z=x﹣2y的最大值为1，确定约束条件中a的值即可．解答：解：约束条件为，由，解得A（2，）是最优解，直线x+2y﹣a=0过点A（2，），∴a=3，故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，5]考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：本题根据二阶导数的定义及函数特征，研究原函数的二阶导数，求出m的取值范围，得到本题结论．解答：解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣4x，∴f″（x）=x3﹣mx2﹣4．∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，∴f″（x）＞0．∴x3﹣mx2﹣4＞0，x∈（1，3）．∴，∵在（1，3）上单调递增，∴在（1，3）上满足：＞1﹣4=﹣3．∴m≤﹣3．故答案为：C．点评：本题考查了二阶导数和恒成立问题，本题难度不大，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：首先利用数列的递推关系求出，然后利用相减法得到，进一步求得数列是等比数列，利用关系式直接求出结果．解答：解：已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，①根据递推关系式：（n≥2）②所以：①﹣②得：整理得：数列{a n}是以a1为首项，公比为的等比数列．当n=1时，解得：a1=1所以：=故答案为：点评：本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等比数列通项公式的求法．12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：设与的夹角为θ，则由题意可得 4﹣4+=10，求得cosθ的值，再结合θ∈14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为30m．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：先画出示意图，根据题意可求得∠PCB和∠PEC，转化为∠CPB，然后利用正弦定理求得BP，最后在Rt△BOP中求出OP即可．解答：解：如图所示，依题意可知∠PCB=45°，∠PBC=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠CPB=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知BP=•sin∠BCP=20米∴在Rt△BOP中，OP=PB•sin∠PBO=20×=30米即旗杆的高度为30米故答案为：30．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用正弦定理以及解三角形解答．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在是单调递递增；④若方程f（x）=m在上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是①②④．（请把所有正确命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，令x=﹣1，即可得到f（1）=0；②，利用y=f（x）为周期为2的偶函数，即可得到f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），从而可判断②；③，利用y=f（x）为周期为2的函数，及x∈时，y=f（x）单调递减，可判断函数y=f（x）在是单调递减函数，可判断③；④，由②知y=f（x）关于x=﹣2对称，从而可判断④．解答：解：对于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（1），∴f（﹣1）=0，又f（x）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，故①正确；且当x∈时，y=f（x）单调递减，对于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的偶函数，∴f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），∴y=f（x）关于x=﹣2对称，故②正确；对于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的函数，又x∈时，y=f（x）单调递减，∴函数y=f（x）在是单调递减函数，故③错误；对于④，∵偶函数y=f（x）在区间上单调递减，∴y=f（x）在区间上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，∴y=f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，又y=f（x）关于x=﹣2对称，∴当方程f（x）=m在上的两根为x1，x2时，x1+x2=﹣4，故④正确．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④．点评：本题考查考查命题的真假判断与应用，注重考查函数的单调性、周期性、对称性及函数的零点，考查分析与综合应用能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF，证明四边形ABGF为平行四边形，可得AF∥BG，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（Ⅱ）证明BG⊥DE，BG⊥CD，可得BG⊥平面CDE，利用面面垂直的判定定理，即可得出结论解答：证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．∴AF∥BG．又BG⊂平面BCE，AF⊄平面BCE．∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．∵AB∥DE，∴AF⊥DE．又∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．点评：本题考查线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（12分）已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S△ABC=，求b+c的值．考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）先对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）利用f（A）求得A，进而根据余弦定理构建b，c和a的关系，结合三角形的面积公式，即可求b+c的值．解答：解：（Ⅰ）解：f（x）=sinx（cosx+sinx）+cos2x﹣=sinxcosx+cos2x=sin（2x+）+由2x+∈（﹣+2kπ，+2kπ），可得函数f（x）的单调递增区间（﹣+kπ，+kπ）（k∈Z）；（Ⅱ）由题意f（A）=sin（2A+）+=，化简得 sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴A=；在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccos =（b+c）2﹣3bc=3，∵S△ABC==bc•，∴bc=2∴b+c=3．点评：本题主要考查三角函数恒等变换的运用，余弦定理及三角形的面积公式的基本知识．18．（12分）已知a＞0，给出下列两个命题：p：函数f（x）=ln（x+1）﹣ln小于零恒成立；q：关于x的方程x2+（1﹣a）x+1=0，一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q 为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：先根据对数函数的单调性，二次函数的最值以及二次函数的图象即可求出命题p，q下a的取值范围，而根据p∨q为真名题，p∧q为假命题知p真q假，或p假q真，分别求出这两种情况下的a的取值范围再求并集即可．解答：解：由已知条件知ln（x+1）＜恒成立，即：恒成立，即：a在x∈（﹣1，2）上恒成立；函数在（﹣1，2）上的最大值为；∴；即p：a；设f（x）=x2+（1﹣a）x+1，则由命题q：，解得3；即q：3；若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假；①若p真q假，则：，∴；②若p假q真，则：，∴a∈∅；∴实数a的取值范围为．点评：考查对数函数的单调性，对数函数的定义域，以及配方法求二次函数的最值，二次函数的图象的运用，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接利用前n项和公式及等比中项求出数列的通项公式．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论及等差数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出新数列的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S4，S2，S3成等差数列，则：2S2=S3+S4解得：q=﹣2或1（舍去）由于：16是a2和a8的等比中项解得：a1=1所以：（Ⅱ）等差数列{b n}中，设公差为d，b1=1，前9项和等于27．则：解得：d=所以：令c n=2a n b n==（n+1）（﹣2）n﹣1T n=c1+c2+…+c n﹣1+c n=2•（﹣2）0+3•（﹣2）1+…+（n+1）（﹣2）n﹣1①﹣2T n=2•（﹣2）1+3•（﹣2）2+…+（n+1）（﹣2）n②①﹣②得：3]﹣（n+1）（﹣2）n解得：点评：本题考查的知识要点：等比数列通项公式和前n项和公式，等差数列的通项公式和前n项和公式，利用乘公比错位相减法求数列的和及相关的运算问题20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据生产这批试剂厂家的生产成本有三个方面，可得函数关系P（x），利用配方法求出P（x）的最小值；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），利用导数，可得结论．解答：解：（Ⅰ）P（x）=÷x=x++40，∵50≤x≤200，∴x=90时，P（x）的最小值为220元；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），∴L′（x）=1200﹣x2﹣2x=﹣（x+120）（x﹣100），∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′（x）＜0，∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，考查配方法，考查导数知识的综合运用，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f＜f（x）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数f（x）=e x﹣x﹣1的单调递减区间，可以先求函数f（x）=e x﹣x﹣1的导函数，然后由导函数式小于零求出x的范围，从而得到函数的减区间．（Ⅱ）对F（x）=f（x）﹣xlnx进行化简，构造函数h（x）=﹣xlnx（x＞0），研究函数h（x）的单调性和最值，即可确定F（x）=f（x）﹣xlnx在定义域内是否存在零点；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，要证明f（g（x））＜f（x），只要证明g（x）＜x即可．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣∞，+∞），a=1时，f′（x）=（e x﹣x﹣1）′′=e x ﹣1．由f′（x）＜0，得e x﹣1＜0，e x＜1，∴x＜0，所以函数的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间是（0，+∞）．（Ⅱ）函数F（x）=f（x）﹣xlnx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0，得a=﹣lnx（x＞0），令h（x）=﹣lnx（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，e x﹣1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故h（x）≥h（1）=e﹣1．又h（2）=当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即e x﹣1＞x，即＞1，当e﹣1＜a＜＜e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；当a=e﹣1或a=时，函数F（x）有且仅有一个零点；当a＜e﹣1或a＞时，函数F（x）没有零点．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=0；∴对x＞0时，有f（x）＞0，则e x﹣1＞x；故对任意x＞0，g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx＞0；所以，要证f＜f（x），只需证：∀x＞0，g（x）＜x；只需证：∀x＞0，ln（e x﹣1）﹣lnx＜x；即证：ln（e x﹣1）＜lnx+lne x；即证：∀x＞0xe x＞e x﹣1；所以，只要证：∀x＞0xe x﹣e x+1＞0；令H（x）=xe x﹣e x+1，则H′（x）=xe x＞0；故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增；∴H（x）＞H（0）=0；∴对∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0成立，即g（x）＜x，∴f＜f（x）．点评：本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法，属于中档题．。

2015-2016学年山东省潍坊市青州市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．不等式的解集是（）A．B．C．D．2．已知{a n}是等差数列，且a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=（）A．12 B．16 C．20 D．243．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．＜C．0＜b﹣a＜1 D．a2＞b24．在△ABC中，已知sin2A=sin2B+sin2C，且sinA=2sinBcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形5．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．6．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log357．若变量x，y满足约束条件且z=3x+y的最小值为﹣8，则k=（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣38．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时n的值为（）A．8 B．9 C．10 D．169．已知数列{a n}中，a1=1，且满足a n+1=a n+2n，n∈N+，则a10=（）A．19 B．91 C．101 D．12110．设x，y均为正数，且，则xy的最小值为（）A．1 B．3 C．6 D．9二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．等比数列{a n}中，a4a10=16，则a7= ．12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则= ．13．已知两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，若，则= ．14．不等式对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是．15．下列四种说法：①函数y=（x＞1）的最小值为5；②等差数列{a n}中，a1，a3，a4成等比数列，则公比为；③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则的最小值为5+2；④方程x2+ax+2b=0的两个实数根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，则的取值范围是（，1）．其中正确的命题为（填上所有正确命题的序号）．三、解答题（共6小题，满分75分）16．如图，在△A BC中，AB=3，B=，D是BC边上一点，且∠ADB=．（1）求AD的长；（2）若CD=10，求AC的长及△ACD的面积．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a1+a2=10，S5=40．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0．（1）求A；（2）若b+c=4，求△ABC的周长的最小值．19．解关于x的不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0（a∈R）20．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车每年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．（1）写出4辆车运营的总利润y（万元）与运营年数x（x∈N*）的函数关系式；（2）这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？21．各项均为正数的等比数列{a n}，a1=1，a2a4=16，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=（n∈N+）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）c n=a n b n（n∈N+），求数列{c n}的前n项和T n；（3）若d n=a n+（﹣1）n b n，设数列{d n}的前n项和为U n，求U n．2015-2016学年山东省潍坊市青州市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．不等式的解集是（）A． B．C．D．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】根据两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负，原不等式可化为或，即可求出不等式的解集，【解答】解：不等式，可化为①或②，解①得：﹣≤x≤，解②得：x∈∅，故选A．【点评】本小题主要考查一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．2．已知{a n}是等差数列，且a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=（）A．12 B．16 C．20 D．24【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质可得：a2+a11=a3+a10=a6+a7．代入已知即可得出．【解答】解：∵{a n}是等差数列，∴a2+a11=a3+a10=a6+a7．又a2+a3+a10+a11=48，∴2（a6+a7）=48，解得a6+a7=24．故选D．【点评】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．3．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．＜C．0＜b﹣a＜1 D．a2＞b2【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用不等式的性质即可得出．【解答】解：∵0＜a＜b＜1，∴0＜b﹣a＜1，故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．4．在△ABC中，已知sin2A=sin2B+sin2C，且sinA=2sinBcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】综合题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】由sin2A=sin2B+sin2C，可得△ABC为直角三角形．再由 sinA=2sinBcosC，可得sin （B﹣C）=0，B=C，由此可得△ABC为等腰三角形．【解答】解：在△ABC中，∵sin2A=sin2B+sin2C，∴a2=b2+c2，故△ABC为直角三角形．再由 sinA=2sinBcosC，可得 sin（B+C）=2sinBcosC，即 sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，∴sin（B﹣C）=0，∴B=C，故△ABC为等腰三角形．综上，△ABC为等腰直角三角形．故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．5．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】先利用等差数列的前n项和公式化简得出，然后将其代入化简即可得出答案．【解答】解：∵∴=∴=则==故选：A．【点评】此题考查了等差数列的前n项和公式，化简已知条件是解题的关键，属于中档题．6．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．【解答】解：∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．7．若变量x，y满足约束条件且z=3x+y的最小值为﹣8，则k=（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，建立条件关系即可求出k的值．【解答】解：目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为﹣1，则平面区域位于直线y=﹣3x+z的右上方，即3x+y=﹣8，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点A时，目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，由，解得，即A（﹣2，2），同时A也在直线x+k=0时，即﹣2+k=0，解得k=2，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键．8．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时n的值为（）A．8 B．9 C．10 D．16【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】根据所给的等差数列的S16＞0且S17＜0，根据等差数列的前n项和公式，看出第九项小于0，第八项和第九项的和大于0，得到第八项大于0，这样前8项的和最大．【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选A【点评】本题考查等差数列的性质和前n项和，本题解题的关键是看出所给的数列的项的正负，本题是一个基础题．9．已知数列{a n}中，a1=1，且满足a n+1=a n+2n，n∈N+，则a10=（）A．19 B．91 C．101 D．121【考点】数列递推式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由于a1=1，且满足a n+1=a n+2n，n∈N+，利用a10=（a10﹣a9）+（a9﹣a8）+…+（a2﹣a1）+a1即可得出．【解答】解：∵a1=1，且满足a n+1=a n+2n，n∈N+，∴a10=（a10﹣a9）+（a9﹣a8）+…+（a2﹣a1）+a1=2×（10﹣1）+2×（9﹣1）+…+2+1=+1=91．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．设x，y均为正数，且，则xy的最小值为（）A．1 B．3 C．6 D．9【考点】基本不等式．【专题】方程思想；综合法；不等式．【分析】由已知式子变形可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，解关于的一元二次不等式可得．【解答】解：∵x，y均为正数，且+=，∴=，整理可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，整理可得（）2﹣2﹣3≥0，解得≥3，或≤﹣1（舍去）∴xy≥9，当且仅当x=y时取等号，故选：D．【点评】本题考查基本不等式和不等式的解法，属基础题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．等比数列{a n}中，a4a10=16，则a7= ±4．【考点】等比数列的通项公式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得： =a4a10，即可得出．【解答】解：由等比数列{a n}的性质，及其a4a10=16，∴=a4a10=16，∴a7=±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则= 2 ．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．已知两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，若，则= ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的通项公式和前n项和公式推导出=，由此能求出结果．【解答】解：∵两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，，∴====．故答案为：．【点评】本题考查两个等差数列的前19项和的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14．不等式对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是m≤2．【考点】基本不等式．【专题】函数思想；转化思想；分类法；不等式的解法及应用．【分析】不等式对任意实数x都成立⇔（3﹣m）x2+（2﹣m）x+（2﹣m）≥0．对任意实数x都成立，对m分类讨论即可得出．【解答】解：不等式，化为（3﹣m）x2+（2﹣m）x+（2﹣m）≥0．∵不等式对任意实数x都成立，∴（3﹣m）x2+（2﹣m）x+（2﹣m）≥0．对任意实数x都成立，当m=3时，化为x+1≤0，不满足要求，舍去；当m≠3时，变形满足，解得：m≤2．故答案为：m≤2．【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．15．下列四种说法：①函数y=（x＞1）的最小值为5；②等差数列{a n}中，a1，a3，a4成等比数列，则公比为；③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则的最小值为5+2；④方程x2+ax+2b=0的两个实数根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，则的取值范围是（，1）．其中正确的命题为①③④（填上所有正确命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】根据基本不等式，可判断①③；根据常数列也满足条件，可判断②；利用线性规划，可判断④【解答】解：当x＞1时，x﹣1＞0，∴y==（x﹣1）++1≥2+1=5，故①正确；等差数列{a n}中，a1，a3，a4成等比数列，则a32=a1•a4，即（a1+2d）2=a1•（a1+3d），解得：a1=﹣4d，或d=0，则公比为或1，故②错误；a＞0，b＞0，a+b=1，则=（）（a+b）=（+）+5≥5+2；故③正确；令f（x）=x2+ax+2b，若方程x2+ax+2b=0的两个实数根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，则，即，表示的平面区域Ω如图所示：表示平面区域Ω内一点（为包含边界）与（1，2）点连线的斜率，故的取值范围是（，1）．故④正确；故答案为：①③④【点评】本题考查的知识点是基本不等式，线性规划，等差数列与等比数列，难度中档．三、解答题（共6小题，满分75分）16．如图，在△ABC中，AB=3，B=，D是BC边上一点，且∠ADB=．（1）求AD的长；（2）若CD=10，求AC的长及△ACD的面积．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）在△ABD中，由正弦定理可得AD=，即可求值．（2）在△ADC中，由余弦定理可求AC=的值，由三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）在△ABD中，由正弦定理可得：AD===6…6分（2）在△ADC中，由余弦定理可得：AC===14…12分所以S△ACD===15…14分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于基础题．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a1+a2=10，S5=40．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）b n==．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2=10，S5=40．∴，解得a1=4，d=2．∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2．（2）b n==．∴数列{b n}的前n项和T n=++…+==．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0．（1）求A；（2）若b+c=4，求△ABC的周长的最小值．【考点】解三角形．【专题】综合题；转化思想；解三角形．【分析】（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的最小值．【解答】解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0，∴由正弦定理可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=0，∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，∴sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°；（2）由余弦定理a2=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2（当且仅当b=c时取等号），∴a≥2，∴a+b+c=a+4≥6，∴△ABC的周长的最小值为6．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．19．解关于x的不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0（a∈R）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对a分类：a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1，分别解不等式即可．【解答】解：ax2﹣2（a+1）x+4＞0⇔（ax﹣2）（x﹣2）＞0…（ⅰ）a=0时，x﹣2＜0⇔x∈（﹣∞，2）…（ⅱ）0＜a＜1时，…（ⅲ）a=1时，（x﹣2）2＞0⇔x∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）…（ⅳ）a＞1时，…（ⅴ）a＜0时，…【点评】本题考查不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题．20．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车每年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．（1）写出4辆车运营的总利润y（万元）与运营年数x（x∈N*）的函数关系式；（2）这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】（1）先分别计算出每辆车x年总收入与总支出，从而可求总利润y（万元）与运营年数x（x∈N*）的函数关系式；（2）年平均运营利润为，利用基本不等式可求年平均运营利润最大值．【解答】解：（1）由题意得，每辆车x年总收入为100x万元，每辆车x年总支出为万元，∴=16（﹣2x2+23x﹣50）（x∈N*）（2）年利润为∵∴，当且仅当x=5年时，等号成立．答：这4辆车运营5年，可使年平均运营利润最大【点评】本题以函数为载体，考查函数模型的关键，关键是确定每辆车x年总收入与总支出，利用基本不等式求最值，应注意其条件．21．各项均为正数的等比数列{a n}，a1=1，a2a4=16，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=（n∈N+）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）c n=a n b n（n∈N+），求数列{c n}的前n项和T n；（3）若d n=a n+（﹣1）n b n，设数列{d n}的前n项和为U n，求U n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；方程思想；分类法；等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式可得a n=2n﹣1：再由数列的通项和求和的关系，可得n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1，注意检验n=1的情况；（2）求得c n=a n b n=（3n﹣1）•2n﹣1，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到；（3）d n=a n+（﹣1）n b n=2n﹣1+（﹣1）n•（3n﹣1），讨论n为偶数和奇数，运用分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a2a4=16，可得q4=16，解得q=2，（﹣2舍去），即有a n=2n﹣1：由S n=（n∈N+），可得a1=S1=2，n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=3n﹣1，对n=1也成立，则b n=3n﹣1；（2）c n=a n b n=（3n﹣1）•2n﹣1，T n=2+5•2+8•22+…+（3n﹣1）•2n﹣1，2T n=2•2+5•22+8•23+…+（3n﹣1）•2n，两式相减可得，﹣T n=2+3（2+22+…+2n﹣1）﹣（3n﹣1）•2n，=2+3•﹣（3n﹣1）•2n，化简可得T n=4+（3n﹣4）•2n；（3）d n=a n+（﹣1）n b n=2n﹣1+（﹣1）n•（3n﹣1），当n为偶数时，U n=（1+2+…+2n﹣1）+（﹣2+5）+（﹣8+11）+…+（﹣3n+4+3n﹣1）=+=n+2n﹣1；当n为奇数时，U n=U n﹣1+d n=（n﹣1）+2n﹣1﹣1+2n﹣1﹣（3n﹣1）=2n﹣．即有U n=．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式及求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法和分组求和，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．。

高三数学（理）2014.11第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合1{|21,},{|0}3x A x x k k Z B x x +==-∈=≤-，则A B =( ) A ．[]1,3- B ．{}1,3- C ．{}1,1- D ．{}1,1,3- 2、若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b aa b> 3、“直线2()x k k Z π=∈”是“函数()2sin()2f x x π=+图象的对称轴”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1371,6a a a =-+=-，当n S 取得最小值是，n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85、若函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的大致图象如右图所示，则函数()xg x a b =+的大致图象为（ ）6、ABC ∆中，90,2C CA CB ∠===，点M 在边AB 上，且满足3BM MB =，则CM CB ⋅=（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．137、已知函数()222020x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()21f a f a f --≤，则a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．[]1,1-D ．[]2,2- 8、已知函数()2cos 2f x x x m =+-在[0,]2π上有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．[)1,2C ．(]1,2-D ．[]1,29、若实数,x y 满足不等式201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，且目标函数2z x y =-的最大值为1，则a =（ ）A ．13 B ．12C ．2D ．3 10、设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()54112012f x x x =- 22x +在()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．31(,)9-∞ B ．31[,5]9C ．(),3-∞D ．(),5-∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

2015-2016学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015秋•潍坊期中）若集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}，则∁M N=（）A．∅B．0 C．{0}D．{﹣1，1}2．（5分）（2015秋•潍坊期中）已知命题p：∀x＞1，log x＞0，命题q：∃x∈R，x3≥3x．则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q3．（5分）（2016•大庆一模）已知数列{a n}和{b n}都是等差数列，若a2+b2=3，a4+b4=5，则a7+b7=（）A．7 B．8 C．9 D．104．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）（2015秋•潍坊期中）函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（0，） B．（，）C．（，）D．（，1）6．（5分）（2016•福安市校级模拟）《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，估算出每天多织的布的布约有（）A．0.55尺B．0.53尺C．0.52尺D．0.5尺7．（5分）（2015秋•潍坊期中）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣1或﹣D．28．（5分）（2015秋•长春校级期末）函数y=（x+2）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）（2015秋•潍坊期中）如图，在△ABC上，D是BC上的点，且AC=CD，2AC=AD，AB=2AD，则sinB等于（）A．B．C．D．10．（5分）（2015秋•巴彦淖尔校级期末）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2015秋•长春校级期末）（1﹣2sin2）dx=______．12．（5分）（2015秋•潍坊期中）不等式|x|﹣|x﹣3|＜2的解集为______．13．（5分）（2015秋•潍坊期中）函数f（x）=cos（x+2φ）+2sinφsin（x+φ）的最大值为______．14．（5分）（2015秋•潍坊期中）把数列{3n}（n∈N*）中的数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示三角形表：设a（i，j）（i，j∈N*）是位于从上往下第i行且从左往右第j个数，则a（37，6）=______．15．（5分）（2015秋•潍坊期中）已知定义域为R的奇函数满足f（x+4）=f（x），且x∈（0，2）时，f （x）=ln（x2+a），a＞0，若函数f（x）在区间[﹣4，4]上有9个零点，则实数a的取值范围为______．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）（2015秋•潍坊期中）如图，D、E分别是△ABC的边BC的三等分点，设=m，=n，∠BAC=．（1）用、分别表示，；（2）若•=15，||=3，求△ABC的面积．17．（12分）（2015秋•潍坊期中）设p：A={x|2x2﹣3ax+a2＜0}，q：B={x|x2+3x﹣10≤0}．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）当a＜0时，若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．18．（12分）（2015秋•潍坊期中）已知函数f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．19．（12分）（2015秋•长春校级期末）某公司生产一批A产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元．该公司通过设备升级，生产这批A产品所需原材料减少了x吨，且每吨原材料创造的利润提高0.5x%；若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品，每吨原材料创造的利润为12（a﹣x）万元（a＞0）．（Ⅰ）若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润，求x的取值范围．（Ⅱ）若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，求a的最大值．20．（13分）（2015秋•潍坊期中）已知递增等比数列{a n}，满足a1=1，且a2a4﹣2a3a5+a4a6=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n+，求数列{a n2•b n}的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，令c n=，{c n}的前n项和为T n，若T n＞λ恒成立，求λ的取值范围．21．（14分）（2015秋•潍坊期中）己知函数f（x）=xlnx．（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）对∀x≥1，f（x）≤m（x2﹣1）成立，求实数m的最小值；（3）证明：1n．（n∈N*）2015-2016学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015秋•潍坊期中）若集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}，则∁M N=（）A．∅B．0 C．{0}D．{﹣1，1}【分析】化简集合N，求出它在M中的补集．【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}={x|x=1或x=﹣1}={1，﹣1}，∴∁M N={0}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）（2015秋•潍坊期中）已知命题p：∀x＞1，log x＞0，命题q：∃x∈R，x3≥3x．则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：关于命题p：∀x＞1，log x＞0，则0＜x＜1，命题p是假命题；关于命题q：∃x∈R，x3≥3x，则是假命题，故选：B．【点评】本题考查了对数函数、指数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．（5分）（2016•大庆一模）已知数列{a n}和{b n}都是等差数列，若a2+b2=3，a4+b4=5，则a7+b7=（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】由数列{a n}和{b n}都是等差数列，得{a n+b n}为等差数列，由已知求出{a n+b n}的公差，再代入等差数列通项公式求得a7+b7．【解答】解：∵数列{a n}和{b n}都是等差数列，∴{a n+b n}为等差数列，由a2+b2=3，a4+b4=5，得d=．∴a7+b7=（a4+b4）+3×1=5+3=8．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，关键是由数列{a n}和{b n}都是等差数列，得{a n+b n}为等差数列，是基础题．4．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．5．（5分）（2015秋•潍坊期中）函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（0，） B．（，）C．（，）D．（，1）【分析】根据导函数判断函数f（x）=e x+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3∴f′（x）=e x+4当x＞0时，f′（x）=e x+4＞0∴函数f（x）=e x+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为单调递增函数，∵f（0）=e0﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，∴函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（，），故选：B．【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题．6．（5分）（2016•福安市校级模拟）《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，估算出每天多织的布的布约有（）A．0.55尺B．0.53尺C．0.52尺D．0.5尺【分析】设每天多织d尺，由题意a1=5，{a n}是等差数列，公差为d，前30项和为390，由此利用等差数列前n项和公式能求出结果．【解答】解：设每天多织d尺，由题意a1=5，{a n}是等差数列，公差为d∴，解得d≈0.55．故选：A．【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．（5分）（2015秋•潍坊期中）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣1或﹣D．2【分析】利用分段函数列出方程求解即可．【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=4，可得4=f（1﹣b），当1﹣b＜1，即b＞0时，2（1﹣b）﹣b=4，解得b=﹣，（舍去）．当1﹣b≥1，即b≤0时，21﹣b=4，解得b=﹣1，故选：A．【点评】本题看看菜分段函数的应用，分类讨论思想的应用，考查计算能力．8．（5分）（2015秋•长春校级期末）函数y=（x+2）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的零点，单调性及极限思想结合选项使用排除法得出答案．【解答】解：令y=（x+2）ln|x|=0得x=﹣2或x=1或x=﹣1，∴该函数由三个零点，排除B；当x＜﹣2时，x+2＜0，|x|＞2，∴ln|x|＞ln2＞0，∴当x＜﹣2时，y=（x+2）ln|x|＜0，排除C，D．故选A．【点评】本题考查了函数图象的判断，常从单调性、奇偶性、特殊点、定义域等几个方面进行判断．9．（5分）（2015秋•潍坊期中）如图，在△ABC上，D是BC上的点，且AC=CD，2AC=AD，AB=2AD，则sinB等于（）A．B．C．D．【分析】由题意设AD=2x，则AC=CD=x，AB=4x，在△ADC中由余弦定理可得cos∠ADC，进而可得sin∠ADB，在△ADB中由正弦定理可得sinB．【解答】解：由题意设AD=2x，则AC=CD=x，AB=4x，在△ADC中由余弦定理可得cos∠ADC==，∴sin∠ADB=sin∠ADC==，∴在△ADB中由正弦定理可得sinB===，故选：C【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，属中档题．10．（5分）（2015秋•巴彦淖尔校级期末）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【分析】求出函数的f（x）的定义域，f'（x），由f'（1）=0，得b=1﹣a，通过讨论a的范围，去掉函数的单调区间，结合已知条件求出a的取值范围即可．【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=﹣ax﹣b，由f'（1）=0，得b=1﹣a．所以f'（x）=．①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以x=1是f（x）的极大值点．②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=﹣．因为x=1是f（x）的极大值点，所以﹣＞1，解得﹣1＜a＜0．综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．故选：B．【点评】本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2015秋•长春校级期末）（1﹣2sin2）dx=1．【分析】根据二倍角公式得到1﹣2sin2=cosx，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：（1﹣2sin2）dx=cosxdx=sinx|=1，故答案为：1．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是利用二倍角公式化简，属于基础题．12．（5分）（2015秋•潍坊期中）不等式|x|﹣|x﹣3|＜2的解集为{x|x＜2.5} ．【分析】由条件利用绝对值的意义，求得不等式|x|﹣|x﹣3|＜2的解集．【解答】解：由于|x|﹣|x﹣3|表示数轴上的x对应点到0对应点的距离减去它到3对应点的距离，而2.5对应点到0对应点的距离减去它到3对应点的距离正好等于2，故不等式|x|﹣|x﹣3|＜2的解集为{x|x＜2.5}．故答案为：{x|x＜2.5}．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．13．（5分）（2015秋•潍坊期中）函数f（x）=cos（x+2φ）+2sinφsin（x+φ）的最大值为1．【分析】由条件利用两角和差的余弦公式把函数f（x）的解析式化为cosx，再利用余弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+2φ）+2sinφsin（x+φ）=cos（x+φ）cosφ﹣sin（x+φ）sinφ+2sinφsin （x+φ）=cos（x+φ）cosφ+sin（x+φ）sinφ=cos（x+φ﹣φ）=cosx，故函数f（x）的最大值为1．【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式，余弦函数的值域，属于基础题．14．（5分）（2015秋•潍坊期中）把数列{3n}（n∈N*）中的数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示三角形表：设a（i，j）（i，j∈N*）是位于从上往下第i行且从左往右第j个数，则a（37，6）=2016．【分析】由已知可得前36行共有1+2+3+…+36=666个数，即a（37，6）为672个数，再由数列的通项公式，可得答案．【解答】解：由已知可得前36行共有1+2+3+…+36=666个数，即a（37，6）为672个数，∴a（37，6）=672×3=2016，故答案为：2016【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．15．（5分）（2015秋•潍坊期中）已知定义域为R的奇函数满足f（x+4）=f（x），且x∈（0，2）时，f （x）=ln（x2+a），a＞0，若函数f（x）在区间[﹣4，4]上有9个零点，则实数a的取值范围为（0，1）．【分析】根据f（x+4）=f（x）推得f（x）是以4为周期的函数，再根据函数的奇偶性原问题等价为：x ∈（0，2）时，f（x）必有唯一零点．【解答】解：因为f（x+4）=f（x），所以f（x）是以4为周期的函数，且f（x）为奇函数，所以f（0）=0，因此f（4）=f（0）=0，再令x=﹣2代入f（x+4）=f（x）得，f（﹣2）=f（2）=﹣f（2），所以，f（﹣2）=f（2）=0，因此，要使f（x）=0在[﹣4，4]上有9个零点，则f（x）在（0，4]上必有4个零点，且已有零点x=2，x=4，所以，当x∈（0，2）时，f（x）必有唯一零点，（依据：若在（0，2）有唯一零点，则（﹣2，0）有唯一零点，则（2，4）有唯一零点）即令f（x）=ln（x2+a）=0，分离a得，a=1﹣x2，x∈（0，2），解得a∈（﹣3，1），且a＞0，所以，a∈（0，1），故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查了函数零点的判定，涉及函数的图象和性质，尤其是奇偶性和周期性，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）（2015秋•潍坊期中）如图，D、E分别是△ABC的边BC的三等分点，设=m，=n，∠BAC=．（1）用、分别表示，；（2）若•=15，||=3，求△ABC的面积．【分析】（1），，=，代入可得；同理可得：．（2）=c，=b．由•=15，||=3，∠BAC=．分别利用数量积运算性质、余弦定理可得bc，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1），，=，∴===；同理可得：=．（2）=c，=b．∵•=15，||=3，∴•=++=+b2+bccos=+b2+bc=15，=，化为b2+c2﹣bc=27．∴bc=18．∴S△ABC===．【点评】本题考查了数量积运算性质、余弦定理、三角形面积计算公式、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（12分）（2015秋•潍坊期中）设p：A={x|2x2﹣3ax+a2＜0}，q：B={x|x2+3x﹣10≤0}．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）当a＜0时，若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围，解不等式求出集合A即可；（Ⅱ）先求出集合A，B，问题转化为A 是B的子集，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）关于p：A={x|2x2﹣3ax+a2＜0}，解不等式2x2﹣3ax+a2＜0，得：a＞0时：＜x＜a；a＜0时：a＜x＜，∴a＞0时：A=[，a]；a＜0时：A=[a，]；（Ⅱ）当a＜0时：A=[a，]，B=[﹣5，2]，若￢p是￢q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，即A⊆B，∴，解得：﹣5≤a＜0．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合问题，是一道基础题．18．（12分）（2015秋•潍坊期中）已知函数f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x）=2sin（2ωx﹣），由题意可求周期T=，由周期公式可求ω，从而可得函数解析式，进而得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求g（x）=2sin（4x+4m﹣），由题意可得4×+4m﹣=kπ（k∈Z），可得：m=﹣，可求m的最小值，由2k≤4x+≤2k，k∈Z，解得g（x）的单调递增区间．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意可得：f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣）∵f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．∴周期T=，由=，可得ω=2．∴f（x）=2sin（4x﹣），∴f（）=2sin（4×﹣）=2sin=1…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（4x﹣），则g（x）=2sin（4x+4m﹣），∵（，0）为y=g（x）图象的一个对称中心，∴2sin（4×+4m﹣）=0，解得：4×+4m﹣=kπ（k∈Z），可得：m=﹣，当k=1时，m取得最小值…10分本题此时g（x）=2sin（4x+），由2k≤4x+≤2k，k∈Z，解得g（x）的单调递增区间为：[﹣，+]，k∈Z…12分【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）（2015秋•长春校级期末）某公司生产一批A产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元．该公司通过设备升级，生产这批A产品所需原材料减少了x吨，且每吨原材料创造的利润提高0.5x%；若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品，每吨原材料创造的利润为12（a﹣x）万元（a＞0）．（Ⅰ）若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润，求x的取值范围．（Ⅱ）若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，求a的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意，12（500﹣x）（1+0.5x%）≥12×500，即可求x的取值范围．（Ⅱ）利用生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，建立不等式，即可求a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，12（500﹣x）（1+0.5x%）≥12×500，∴x2﹣300x≤0，∵x＞0，∴0＜x≤300；（Ⅱ）生产B产品创造利润12（a﹣x）x万元，设备升级后生产这批A产品的利润12（500﹣x）（1+0.5x%），∴12（a﹣x）x≤12（500﹣x）（1+0.5x%），∴a≤++．∵+≥2=4，当且仅当=，即x=250时等号成立，∴0＜a≤5.5，∴a的最大值是5.5．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生解不等式的能力，属于中档题．20．（13分）（2015秋•潍坊期中）已知递增等比数列{a n}，满足a1=1，且a2a4﹣2a3a5+a4a6=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n+，求数列{a n2•b n}的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，令c n=，{c n}的前n项和为T n，若T n＞λ恒成立，求λ的取值范围．【分析】（1）设递增等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项和性质，计算即可得到q，进而得到通项公式；（2）化简b n=log3a n+=（n﹣1）log3+=，再由数列的求和方法：错位相减法可得前n项和S n；（3）求得c n===4（﹣），运用裂项相消求和，可得T n，判断单调性，求得最小值，再由不等式恒成立思想可得λ的取值范围．【解答】解：（1）设递增等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的性质可得，a32﹣2a3a5+a52=36，即有（a3﹣a5）2=62，可得a5﹣a3=6，即q4﹣q2=6，解得q2=3（﹣2舍去），即有q=，数列{a n}的通项公式为a n=（）n﹣1；（2）b n=log3a n+=（n﹣1）log3+=，数列{a n2•b n}的通项为n•3n﹣1．前n项和S n=（1+2•3+3•32+4•33+…+n•3n﹣1），3S n=（1•3+2•32+3•33+4•34+…+n•3n），两式相减可得，﹣2S n=（1+3+32+33+…+3n﹣1﹣n•3n）=（﹣n•3n），化简可得S n=﹣；（3）c n===4（﹣），{c n}的前n项和为T n=4（﹣+﹣+…+﹣）=4（﹣）=2﹣，由2﹣为递增数列，即有n=1时，取得最小值2﹣=．由T n＞λ恒成立，可得λ＜．【点评】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．21．（14分）（2015秋•潍坊期中）己知函数f（x）=xlnx．（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）对∀x≥1，f（x）≤m（x2﹣1）成立，求实数m的最小值；（3）证明：1n．（n∈N*）【分析】（1）由f（1）=0，f′（1）=1；从而写出切线方程即可；（2）化简可得m（x﹣）﹣lnx≥0，从而令g（x）=m（x﹣）﹣lnx，x≥1；则问题等价于∀x≥1，g （x）≥0恒成立；从而求导确定函数的单调性及取值情况，从而解得．（3）由（2）知，当m=时，对∀x≥1，xlnx≤（x2﹣1）恒成立，从而化简可得lnx≤（当且仅当x=1时等号成立）；再设i∈N*，则＞1，从而证明．【解答】解：（1）f（1）=ln1=0，f′（1）=ln1+1=1；故曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=x﹣1，即x﹣y﹣1=0；（2）∵x≥1，f（x）≤m（x2﹣1），∴xlnx≤m（x2﹣1），∴m（x﹣）﹣lnx≥0，设g（x）=m（x﹣）﹣lnx，x≥1；则问题等价于∀x≥1，g（x）≥0恒成立；注意到g（1）=0，∵g′（x）=m（1+）﹣，∵x≥1，∴，∴当m≤0时，g（x）在[1，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，故不成立；当m＞0时，g′（x）=，令h（x）=mx2﹣x+m，∵△=1﹣4m2，①若△=1﹣4m2≤0，即m≥时；此时，h（x）≥0，故g′（x）≥0，故g（x）在[1，+∞）上单调递增，故g（x）≥g（1）=0，故成立；②若△=1﹣4m2＞0，即0＜m＜时；此时，h（x）=0存在两个不同的实数根x1，x2，不妨设x1＜x2，故x1x2=1，故x1＜1＜x2，故g（x）在[1，x2）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0，故不成立；综上所述，实数m的最小值为；（3）证明：由（2）知，当m=时，对∀x≥1，xlnx≤（x2﹣1）恒成立，即lnx≤（当且仅当x=1时等号成立）；设i∈N*，则＞1，故ln＜（+1）（﹣1）=，故ln＜，故，即1n．（n∈N*）．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想应用及联加的应用，属于难题．。

山东省潍坊市2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．B．{﹣1，3} C．{﹣1，1} D．{﹣1，1，3}2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5B．6C．7D．85．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b 的大致图象为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1C．2D．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1B．2C．3D．48．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．D．10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m 的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为m．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在是单调递递增；④若方程f（x）=m在上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是．（请把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S△ABC=，求b+c的值．18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q 为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f＜f（x）．山东省潍坊市2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．B．{﹣1，3} C．{﹣1，1} D．{﹣1，1，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，由A为奇数集，求出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x﹣3≠0，解得：﹣1≤x＜3，即B=B．利用不等式的基本性质由a＜b＜0，可得a2＞ab＞b2；C．取a=﹣1，b=﹣2时，即可判断出；D．由a＞b＞0，可得＜．解答：解：A．c=0时不成立；B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立；D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．故选：B．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先将“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”求出其等价命题，然后判断．解答：解：f（x）=2sin（x+）=2cosx，其图象对称轴是x=kπ，k∈Z，“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的充分不必要条件，故选：A．点评：在充要条件判断时，抓住“小能推大，大不能推小”，认真判断，不可出错．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5B．6C．7D．8考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和题意求出a5的值，再求出公差d、a n和S n，对S n化简后利用二次函数的性质，求出S n取最小值时对应的n的值．解答：解：由等差数列的性质得，2a5=a3+a7=﹣6，则a5=﹣3，又a1=﹣11，所以d==2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣13，S n==n2﹣12n，所以当n=6时，S n取最小值，故选：B．点评：本题考查等差数列的性质、通项公式，以及利用二次函数的性质求S n最小值的问题．5．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b 的大致图象为（）A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：由图象可知对数的底数满足0＜a＜1，且0＜f（0）＜1，再根据指数函数g（x）=a x+b的性质即可推得．解答：解：由图象可知0＜a＜1且0＜f（0）＜1，即即解②得log a1＜log a b＜log a a，∵0＜a＜1∴由对数函数的单调性可知a＜b＜1，结合①可得a，b满足的关系为0＜a＜b＜1，由指数函数的图象和性质可知，g（x）=a x+b的图象是单调递减的，且一定在x轴上方．故选：B．点评：本小题主要考查对数函数的图象、指数函数的图象、对数函数的图象的应用、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1C．2D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．解答：解：由题意得AB=2，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=0+=×=1．故选B．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1B．2C．3D．4考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过C（2，）时，直线在y轴上的截距直线，z最大．∴．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．C．D．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出f（1）的值，通过讨论a的范围，得到不等式，从而求出a的范围．解答：解：∵f（1）=﹣3，∴f（a）﹣f（﹣a）≤﹣6，a≥0时，﹣a2﹣2a﹣≤﹣6，整理得：a2+2a﹣3≥0，解得：a≥1，a＜0时，a2﹣2a﹣≤﹣6，整理得：a2﹣2a+3≤0，无解，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题．9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．D．考点：两角和与差的正弦函数；函数的零点．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可知g（x）=sin2x+cos2x与直线y=m在上两个交点，数形结合可得m 的取值范围．解答：解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+）与直线y=m在上两个交点．由于x∈，故2x+∈，故g（x）∈．令2x+=t，则t∈，函数y=h（t）=2sint 与直线y=m在上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤m＜2，故选B．点评：本题主要考查方程根的存在性及个数判断，两角和差的正弦公式，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m 的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：函数在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，所以f″（x）＜0，即对函数y=f（x）二次求导，分离参数，求参数的最小值即可；解答：解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣3x，∴f″（x）=x3﹣mx2﹣3（3分）若f（x）为区间（﹣1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x3﹣mx2﹣3＜0在区间（﹣1，2）上恒成立，当x=0时，f″（0）=﹣3＜0，恒成立，当x≠0时，mx2＞x3﹣3，即m＞x﹣，设g（x）=x﹣，则g′（x）=1+=当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，当x=2时，函数g（2）=2﹣=当x∈（﹣1，0），g（x）＜0，故函数g（x）在（﹣1，2）的最大值为g（2）=，故m≥，故实数m的取值范围为故选：C点评：本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：首先利用数列的递推关系求出，然后利用相减法得到，进一步求得数列是等比数列，利用关系式直接求出结果．解答：解：已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，①根据递推关系式：（n≥2）②所以：①﹣②得：整理得：数列{a n}是以a1为首项，公比为的等比数列．当n=1时，解得：a1=1所以：=故答案为：点评：本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等比数列通项公式的求法．12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：设与的夹角为θ，则由题意可得4﹣4+=10，求得cosθ的值，再结合θ∈时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在是单调递递增；④若方程f（x）=m在上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是①②④．（请把所有正确命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，令x=﹣1，即可得到f（1）=0；②，利用y=f（x）为周期为2的偶函数，即可得到f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），从而可判断②；③，利用y=f（x）为周期为2的函数，及x∈时，y=f（x）单调递减，可判断函数y=f（x）在是单调递减函数，可判断③；④，由②知y=f（x）关于x=﹣2对称，从而可判断④．解答：解：对于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（1），∴f（﹣1）=0，又f（x）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，故①正确；且当x∈时，y=f（x）单调递减，对于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的偶函数，∴f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），∴y=f（x）关于x=﹣2对称，故②正确；对于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的函数，又x∈时，y=f（x）单调递减，∴函数y=f（x）在是单调递减函数，故③错误；对于④，∵偶函数y=f（x）在区间上单调递减，∴y=f（x）在区间上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，∴y=f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，又y=f（x）关于x=﹣2对称，∴当方程f（x）=m在上的两根为x1，x2时，x1+x2=﹣4，故④正确．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④．点评：本题考查考查命题的真假判断与应用，注重考查函数的单调性、周期性、对称性及函数的零点，考查分析与综合应用能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF，证明四边形ABGF为平行四边形，可得AF∥BG，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（Ⅱ）证明BG⊥DE，BG⊥CD，可得BG⊥平面CDE，利用面面垂直的判定定理，即可得出结论解答：证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．∴AF∥BG．又BG⊂平面BCE，AF⊄平面BCE．∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．∵AB∥DE，∴AF⊥DE．又∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．点评：本题考查线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S△ABC=，求b+c的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）由两向量的坐标，以及平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的递增区间即可；（2）由f（A）=，求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把sinA与已知面积代入求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入，利用完全平方公式变形，把bc的值代入计算求出b+c的值即可．解答：解：（1）∵=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），∴f（x）=•=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为，k∈Z；（2）由f（A）=，得到sin（2A+）+=，即sin（2A+）=，∴2A+=，即A=，∵a=，S△ABC=，∴由三角形面积公式得：bcsinA=，即bc=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣6，即（b+c）2=9，解得：b+c=3．点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q 为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先根据二次函数的最大值及二次函数的图象求出命题p，q下a的取值范围，再根据p∨q为真命题，p∧q为假命题得到p真q假，和p假q真两种情况，求出每种情况下a 的取值范围再求并集即可．解答：解：由命题p知，函数（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4的最大值小于0；a=2时，﹣4＜0，∴符合题意；a≠2时，则a需满足：，解得﹣2＜a＜2；∴命题p：﹣2＜a≤2；根据命题q，设f（x）=x2+（a﹣1）x+1，所以：，解得；∴命题q：；若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假：p真q假时，，∴；p假q真时，，∴a∈∅；∴实数a的取值范围为．点评：考查二次函数的最大值的计算公式，注意讨论二次项的系数是否为0的情况，注意结合二次函数图象，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接利用前n项和公式及等比中项求出数列的通项公式．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论及等差数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出新数列的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S4，S2，S3成等差数列，则：2S2=S3+S4解得：q=﹣2或1（舍去）由于：16是a2和a8的等比中项解得：a1=1所以：（Ⅱ）等差数列{b n}中，设公差为d，b1=1，前9项和等于27．则：解得：d=所以：令c n=2a n b n==（n+1）（﹣2）n﹣1T n=c1+c2+…+c n﹣1+c n=2•（﹣2）0+3•（﹣2）1+…+（n+1）（﹣2）n﹣1①﹣2T n=2•（﹣2）1+3•（﹣2）2+…+（n+1）（﹣2）n②①﹣②得：3]﹣（n+1）（﹣2）n解得：点评：本题考查的知识要点：等比数列通项公式和前n项和公式，等差数列的通项公式和前n项和公式，利用乘公比错位相减法求数列的和及相关的运算问题20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据生产这批试剂厂家的生产成本有三个方面，可得函数关系P（x），利用配方法求出P（x）的最小值；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），利用导数，可得结论．解答：解：（Ⅰ）P（x）=÷x=x++40，∵50≤x≤200，∴x=90时，P（x）的最小值为220元；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），∴L′（x）=1200﹣x2﹣2x=﹣（x+120）（x﹣100），∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′（x）＜0，∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，考查配方法，考查导数知识的综合运用，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f＜f（x）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数f（x）=e x﹣x﹣1的单调递减区间，可以先求函数f（x）=e x﹣x﹣1的导函数，然后由导函数式小于零求出x的范围，从而得到函数的减区间．（Ⅱ）对F（x）=f（x）﹣xlnx进行化简，构造函数h（x）=﹣xlnx（x＞0），研究函数h（x）的单调性和最值，即可确定F（x）=f（x）﹣xlnx在定义域内是否存在零点；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，要证明f（g（x））＜f（x），只要证明g（x）＜x即可．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣∞，+∞），a=1时，f′（x）=（e x﹣x﹣1）′′=e x﹣1．由f′（x）＜0，得e x﹣1＜0，e x＜1，∴x＜0，所以函数的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间是（0，+∞）．（Ⅱ）函数F（x）=f（x）﹣xlnx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0，得a=﹣lnx（x＞0），令h（x）=﹣lnx（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，e x﹣1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故h（x）≥h（1）=e﹣1．又h（2）=当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即e x﹣1＞x，即＞1，当e﹣1＜a＜＜e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；当a=e﹣1或a=时，函数F（x）有且仅有一个零点；当a＜e﹣1或a＞时，函数F（x）没有零点．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=0；∴对x＞0时，有f（x）＞0，则e x﹣1＞x；故对任意x＞0，g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx＞0；所以，要证f＜f（x），只需证：∀x＞0，g（x）＜x；只需证：∀x＞0，ln（e x﹣1）﹣lnx＜x；即证：ln（e x﹣1）＜lnx+lne x；即证：∀x＞0xe x＞e x﹣1；所以，只要证：∀x＞0xe x﹣e x+1＞0；令H（x）=xe x﹣e x+1，则H′（x）=xe x＞0；故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增；∴H（x）＞H（0）=0；∴对∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0成立，即g（x）＜x，∴f＜f（x）．点评：本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法，属于中档题．。