高中数学 046 向量的减法导学案苏教版必修4
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向量的减法及其几何意义导学案课题:2.2.2 向量的减法及其几何意义课型:新授课时间:学习目标:1、理解相反向量的概念;2、掌握向量减法的定义;3、熟练掌握向量减法的三角形法则。
重点:理解向量减法的概念和向量减法的三角形法则。
难点:对向量加法和减法的定义的理解及应用。
【温故知新】1.什么是向量的三角形法则?2.什么是向量的平行四边形法则?【探究新知】阅读教材思考:已知向量a,b,怎样求作a-b?这个问题涉及到两个向量相减,到底如何运算呢?1.用“相反向量”定义向量的减法①“相反向量”的定义:________________________________ .记作:__________。
②规定:零向量的相反向量仍是__________。
-(-a) = __________任一向量与它的相反向量的和是__________。
a + (-a) =0如果a、b互为相反向量,则a= ____, b= ____, a+ b=____③向量减法的定义:向量a加上的b相反向量,叫做a与b的____。
即:a-b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法:向量的减法是向量加法的逆运算:若b + x = a,则x叫做a与b的差,记作a-b3.请同学们自己解决思考题:a-b的作法:方法:已知向量a、b,在平面内任取一点O,作−→−→→−−→aOA,,则=b=OB−→−BA →→-=b a 。
即a -b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量小结:讨论:如右图,a ∥b时,怎样作出a - b 呢?例题讲评例1.已知向量a 、b 、c 、d ,求作向量a -b 、c -d 。
解:例2.平行四边形中,−→−AB =→a ,−→−AD =→b ,用a 、b ,表示向量−→−AC ,−→−DB .解:A BD C A BCb a dc D OA 组1、如图所示,已知ABCDEF 是正六边形,且A B →=a ,A E →=b ,则B C →等于( )A.12(a -b )B.12(b -a ) C .a +12b D.12(a +b ) 1.如图,已知向量a 、b 、c 不共线,求作向量a-b-c 。
2019-2020年高中数学 第三课时 向量的减法 教案 苏教版必修4教学目标:掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量,能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量,了解向量方程,并会用几何法解向量方程. 教学重点:向量减法的三角形法则. 教学难点:对向量减法定义的理解. 教学过程: Ⅰ.复习回顾上一节,我们一起学习了向量的加法,并熟悉了求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则,并进行了简单应用.这一节,我们来继续学习向量的减法. Ⅱ.讲授新课1.向量减法的定义向量a 加上b 的相反向量,叫做a 与b 的差,即a -b =a +(-b ). 求两个向量差的运算,叫向量的减法.说明:(1)与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量; (2)零向量的相反向量仍是零向量;(3)任一向量和它相反向量的和是零向量.[师]从向量减法的定义中,我们可以体会到向量减法与向量加法的内在联系. 2.向量减法的三角形法则以平面内的一点作为起点作a ,b ,则两向量终点的连线段,并指向a 终点的向量表示a-b .说明:向量减法可以转化为向量加法,如图b 与a -b 首尾 相接,根据向量加法的三角形法则有b +(a -b )=a即a -b =CB →.下面我们通过例题来熟悉向量减法的三角形法则的应用.[例1]如图,已知向量a ,b ,c ,d ,求作向量a -b ,c -d . 分析:根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个 同起点的向量.作法:如图,在平面内任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b , OC →=c ,OD →=d .作BA →,DC →,则BA →=a -b ,DC →=c -d[例2]判断题(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反,则a +b 的方向必与a 、b 之一的方向相同. (2)三角形ABC 中,必有AB →+BC →+CA →=0.(3)若AB →+BC →+CA →=0,则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点.(4)|a +b |≥|a -b |.分析:(1)a 与b 方向相同,则a +b 的方向与a 和b 方向都相同;若a 与b 方向相反,则有可能a 与b 互为相反向量,此时a +b =0的方向不确定,说与a 、b 之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB →+BC →=AC →,AC →与CA →是互为相反向量,所以有上述结论. (3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →+BC →+AC →=0,而此时构不成三角形.(4)当a 与b 不共线时,|a +b |与|a -b |分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a 、b 为非零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |;当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有(2)正确.[例3]化简AB →-AC →+BD →-CD →. 解:原式=CB →+BD →-CD →=CD →-CD →=0 [例4]化简OA →+OC →+BO →+CO →.解:原式=(OA →+BO →)+(OC →+CO →)=(OA →-OB →)+0=BA →Ⅲ.课堂练习课本P 65练习1,2,3,4,5,6. Ⅳ.课时小结通过本节学习,要求大家在理解向量减法定义的基础上,掌握向量减法的三角形法则,并能加以适当的应用. Ⅴ.课后作业课本P 68习题 4,8,11向量、向量的加减法1.下列关于零向量的说法中,错误的是 ( ) A.零向量长度为0 B.零向量是没有方向的C.零向量的方向是任意的D.零向量与任一向量平行 2.下列命题中,正确的是 ( ) A.若|a |=|b |,则a =b B.若|a |>|b |,则a >bC.若a =b ,则a ∥bD.若|a |=1,则a =±13.当|a |=|b |,且a 与b 不共线时,a +b 与a -b 的关系为 ( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等4.如右图,已知O 为正六边形ABC DEF 的中心,则与向量DO →相等的向量有 .5.已知|AB →|=10,|AC →|=7,|则|BC →|的取值范围为 . 6.已知OA →=a ,OB →=b ,且|a |=|b |=4,∠AOB =60°. 则|a +b |= ,|a -b |= . 7.化简AB →+DA →+BD →-BC →-CA →= .8.判断以下说法是否正确.(1)向量a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线. ( ) (2)任意两个非零的相等向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点. ( )(3)向量AB →与CD →是共线向量,则A 、B 、C 、D 必在同一直线上. ( ) (4)向量a 与b 平行,则a 与b 的方向相同. ( ) (5)长度相等且起点相同的两个向量,其终点必相同. ( ) 9.已知两个力F 1、F 2的方向互相垂直,且它们的合力F 大小为10 N ,与力F 1的夹角为60°,求力F 1与F 2的大小.10.一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行300 km ,到达B 地,然后向C 地飞行,设C 地恰在A 北偏东60°,且距A 100 3 km 处,求飞机从B 地向C 地飞行的方向和B 、C 两地的距离.向量、向量的加减法答案1.B 2.C 3.B 4.OA →,CB →,EF → 5.[3,17] 6.4 3 4 7.AB →8.(1)错误 (2)错误 (3)错误 (4)错误 (5)错误 9.F 1,F 2分别为5 N 和5 3 N10.解:∵BC =AB 2+AC 2=200 3 ,sin B =100 3 200 3 =12 ∴B=30°,∴飞机从B 以南偏东60°的方向向C 地飞行.2019-2020年高中数学 第三课时 定积分的概念教案 北师大版选修2-2一、教学目标:1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程,了解定积分的背景;2.借助于几何直观定积分的基本思想,了解定积分的概念,能用定积分定义求简单的定积分;3.理解掌握定积分的几何意义.二、教学重点:定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义. 教学难点:定积分的概念、定积分的几何意义. 三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程 (一)、创设情景复习:1. 回忆前面曲边梯形的面积,汽车行驶的路程等问题的解决方法,解决步骤:分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限(逼近) 2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. (二)、新课探析 1.定积分的概念一般地,设函数在区间上连续,用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间等分成个小区间,每个小区间长度为(),在每个小区间上任取一点,作和式:11()()nnn i i i i b aS f x f n x x ==-=D =邋 如果无限接近于(亦即)时,上述和式无限趋近于常数,那么称该常数为函数在区间上的定积分。
教学设计2.2.2向量的减法整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量的加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.三维目标1.通过探究活动,使学生掌握向量减法的概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行的,掌握相反向量.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.2.鼓励学生对一些数学结论作出猜想,并给出证明,培养学生敢于独立思考、勇于创新的科学精神,培养学生的数学人文价值观.重点难点教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算:减法;向量的加法运算有三角形法则和平行四边形法则,那么,向量的减法运算是否也有类似的运算律呢?引导学生去探究、发现.推进新课新知探究向量的减法运算及其几何意义.数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.请同学们思考,类比数的减法运算,我们可以定义向量的减法运算,由上节知相反向量,即-(-a )=a .任一向量与其相反向量的和是零向量,即a +(-a )=(-a )+a =0.所以,如果a 、b 互为相反向量,那么a =-b ,b =-a ,a +b =0.由此我们得到向量的减法定义,向量的减法是向量加法的逆运算.若b +x =a ,则向量x 叫做a 与b 的差,记为a -b ,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则,我们可以得到向量a -b 的作图方法.如图1,设向量AB →=b ,AC →=a ,则AD →=-b ,由向量减法的定义,知AE →=a +(-b )=a-b .图1又b +BC →=a ,所以BC →=a -b .进一步,如图2,已知a 、b ,在平面内任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则BA →=a -b ,即a -b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义.图2教师引导学生仔细观察,细心体会:向量的减法按三角形法则,一定要注意向量的方向.即把减向量与被减向量的起点重合,其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,应充分利用向量加、减法的几何意义,这也是数形结合思想的重要体现.教师再次强调,差向量的箭头指向被减向量的终点.即a -b 是表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.应用示例思路1例1见课本本节例1.变式训练1.如图3(1),已知向量a 、b 、c 、d ,求作向量a -b ,c -d .图3活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.作法:如图3(2),在平面内任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,OD →=d ,则BA →=a -b ,DC →=c -d .2.在ABCD 中,下列结论错误的是( )A.AB →=DC →B.AD →+AB →=AC →C.AB →-AD →=BD →D.AD →+BC →=0解析:A 显然正确,由平行四边形法则可知B 正确,C 中AB →-AD →=BD →错误,D 中AD→+BC →=AD →+DA →=0正确.答案:C例2课本本节例2.变式训练1.如图4,ABCD 中,AB →=a ,AD →=b ,你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗?图4活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC →=a +b ,同样,由向量的减法,知DB →=AB →-AD →=a -b .2.已知一点O 到ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ,则向量OD →等于( )A .a +b +cB .a -b +cC .a +b -cD .a -b -c解析:如图5,点O 到ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ,图5结合图形有OD →=OA →+AD →=OA →+BC →=OA →+OC →-OB →=a -b +c .答案:B3.若AC →=a +b ,DB →=a -b .①当a 、b 满足什么条件时,a +b 与a -b 垂直?②当a 、b 满足什么条件时,|a +b|=|a -b|?③当a 、b 满足什么条件时,a +b 平分a 与b 所夹的角?④a +b 与a -b 可能是相等向量吗?解:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量AC →、DB →恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得AC →=a +b ,DB →=AB →-AD →=a -b .图6由此问题就可转换为:①当边AB 、AD 满足什么条件时,对角线互相垂直?(|a|=|b|)②当边AB 、AD 满足什么条件时,对角线相等?(a 、b 互相垂直)③当边AB 、AD 满足什么条件时,对角线平分内角?(|a |=|b |)④a +b 与a -b 可能是相等向量吗?(不可能,因为对角线方向不同)点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.思路2例1判断题.(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反,则a +b 的方向必与a 、b 之一的方向相同.(2)△ABC 中,必有AB →+BC →+CA →=0.(3)若AB →+BC →+CA →=0,则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点.(4)|a +b|≥|a -b |.解:(1)a 与b 方向相同,则a +b 的方向与a 和b 方向都相同;若a 与b 方向相反,则有可能a 与b 互为相反向量,此时a +b =0的方向不确定,说与a 、b 之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则得:AB →+BC →=AC →,AC →与CA →互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →+BC →+CA →=0,而此时构不成三角形.(4)当a 与b 不共线时,由向量加法的平行四边形法则可知其大小不定.当a 、b 为非零向量共线时,同向则有|a +b|>|a -b|,异向则有|a +b|<|a -b |;当a 、b 中有零向量时,|a +b|=|a -b |.综上所述,只有(2)正确.例2若|AB →|=8,|AC →|=5,则|BC →|的取值范围是( )A .[3,8]B .(3,8)C .[3,13]D .(3,13)解析:BC →=AC →-AB →.(1)当AB →,AC →同向时,|BC →|=8-5=3;(2)当AB →,AC →反向时,|BC →|=8+5=13;(3)当AB →,AC →不共线时,3<|BC →|<13.综上,可知3≤|BC →|≤13.答案:C点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a +b|≤|a|+|b |求解.知能训练课本本节练习.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论. 作业已知O 为△ABC 的外心,H 为垂心,求证:OH →=OA →+OB →+OC →.证明:作直径BD ,连结DA ,DC ,有OB →=-OD →,DA ⊥AB ,DC ⊥BC ,故CH ∥DA ,AH ∥DC ,得四边形AHCD 为平行四边形,∴有AH →=DC →.又∵DC →=OC →-OD →=OC →+OB →,∴OH →=OA →+AH →=OA →+DC →=OA →+OB →+OC →.∴结论成立.设计感想1.向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的,两种作图方法各有千.第一种作法结合向量减法的定义,第二种作法结合向量的平行四边形法则,直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差,即a -b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量,第二种作图方法比较简捷.2.鉴于上述情况,教学中引导学生结合向量减法的几何意义,注意差向量的方向,也就是箭头的方向不要搞错了,a -b 的箭头方向要指向a 的终点,如果指向b 的终点则表示b -a ,在几何证明题目中,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.备课资料一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是:两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减),这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点的向量.只要学生理解法则内容,那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手,尤其遇到向量的式子运算题时,一般不用画图就可迅速求解,如下面例题:例1化简:AB →-AC →+BD →-CD →.解:原式=CB →+BD →-CD →=CD →-CD →=0.例2化简:OA →+OC →+BO →+CO →.解:原式=(OA →+BO →)+(OC →+CO →)=(OA →-OB →)+0=BA →.二、备用习题1.下列等式中,正确的个数是( )①a +b =b +a ②a -b =b -a ③0-a =-a ④-(-a )=a ⑤a +(-a )=0A .5B .4C .3D .2图72.如图7,D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则AF →-DB →等于( )A.FD →B.FC →C.FE →D.BE →3.下列式子中不能化简为AD →的是( )A .(AB →+CD →)+BC →B .(AD →+MB →)+(BC →+CM →)C.MB →+AD →-BM →D.OC →-OA →+CD →4.已知A 、B 、C 三点不共线,O 是△ABC 内一点,若OA →+OB →+OC →=0,则O 是△ABC的( )A .重心B .垂心C .内心D .外心参考答案:1.C 2.D 3.C 4.A(设计者:翟昌丽)。
2.2.2 向量的减法课时目标1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义,正确作出两个向量的差.向量的减法(1)定义:若b +x =a ,则向量x 叫做a 与b 的差,记为a -b ,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.(2)作法:在平面内任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则向量a -b =________.如图所示.(3)几何意义:如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为__________,被减向量的终点为__________的向量.例如:OA →-OB →=__________.一、填空题1.若OA →=a ,OB →=b ,则AB →=________.2.若a 与b 反向,且|a |=|b |=1,则|a -b |=________. 3.化简(AB →-CD →)-(AC →-BD →)的结果是________. 4.如图所示,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC 与BD 交于O 点,则BA →-BC →-OA →+OD →+DA →=________.5.如图所示,已知O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a,b ,c ,则OD →=____________(用a ,b ,c 表示).6.在菱形ABCD 中,∠DAB =60°,|AB →|=2,则|BC →+DC →|=________.7.已知OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,OD →=d ,且四边形ABCD 为平行四边形,则a -b +c -d =________.8.若|AB →|=5,|AC →|=8,则|BC →|的取值范围是________. 9.边长为1的正三角形ABC 中,|AB →-BC →|的值为________.10.已知非零向量a ,b 满足|a |=7+1,|b |=7-1,且|a -b |=4,则 |a +b |=________.二、解答题11.如图所示,O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点,设AB →=a ,DA →=b ,OC →=c ,求证:b +c -a =OA →.12.如图所示,已知正方形ABCD 的边长为1,AB →=a ,BC →=b ,AC →=c ,试作出下列向量并分别求出其长度(1)a +b +c ; (2)a -b +c .能力提升13.在平行四边形ABCD 中,AB →=a ,AD →=b ,先用a ,b 表示向量AC →和DB →,并回答:当a ,b 分别满足什么条件时,四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形?14.如图所示,O 为△ABC 的外心,H 为垂心,求证:OH →=OA →+OB →+OC →.1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-AB →=BA →就可以把减法转化为加法.即:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a -b =a +(-b ).2.在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接两向量的终点,箭头指向被减数”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.3.以向量AB →=a 、AD →=b 为邻边作平行四边形ABCD ,则两条对角线的向量为AC →=a +b ,BD →=b -a ,DB →=a -b ,这一结论在以后应用非常广泛,应该加强理解并记住.2.2.2 向量的减法知识梳理BA → 始点 终点 BA →作业设计1.b -a 2.23.0 4.CA → 5.a -b +c解析 OD →=OA →+AD →=OA →+BC →=OA →+OC →-OB →=a +c -b =a -b +c . 6.2 3 解析如右图,设菱形对角线交点为O , ∵BC →+DC →=AD →+DC →=AC →, 又∠DAB =60°, ∴△ABD 为等边三角形, ∴OB =1,在Rt △AOB 中, |AO →|=|AB →|2-|OB →|2=3,∴|AC →|=2 3. 7.0解析 a -b +c -d =OA →-OB →+OC →-OD →=BA →+DC →=0. 8.解析 ∵|BC →|=|AC →-AB →|且 ||AC →|-|AB →||≤|AC →-AB →|≤|A C →|+|AB →|. ∴3≤|AC →-AB →|≤13. ∴3≤|BC →|≤13. 9. 3 解析如图所示,延长CB 到点D ,使BD =1,连结AD ,则AB →-BC →=AB →+CB →=AB →+BD →=AD →.在△ABD 中,AB =BD =1, ∠ABD =120°,易求AD =3, ∴|AB →-BC →|= 3. 10.4解析 如图所示.设O A →=a ,O B →=b ,则|B A →|=|a -b |. 以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB , 则|O C →|=|a +b |.由于(7+1)2+(7-1)2=42. 故|O A →|2+|O B →|2=|B A →|2,所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形, 从而OA ⊥OB ,所以▱OACB 是矩形, 根据矩形的对角线相等有|O C →|=|B A →|=4, 即|a +b |=4.11.证明 方法一 ∵b +c =DA →+OC →=OC →+CB →=OB →, OA →+a =OA →+AB →=OB →,∴b +c =OA →+a ,即b +c -a =OA →.方法二 ∵c -a =OC →-AB →=OC →-DC →=OD →, OD →=OA →+AD →=OA →-b ,∴c -a =OA →-b ,即b +c -a =OA →.12.解 (1)由已知得a +b =AB →+BC →=AC →,又AC →=c ,∴延长AC 到E , 使|CE →|=|AC →|. 则a +b +c =AE →, 且|AE →|=2 2. ∴|a +b +c |=2 2. (2)作BF →=AC →,连结CF , 则DB →+BF →=DF →,而DB →=AB →-AD →=a -BC →=a -b , ∴a -b +c =DB →+BF →=DF →且|DF →|=2. ∴|a -b +c |=2.13.解 由向量加法的平行四边形法则,得AC →=a +b , DB →=AB →-AD →=a -b .则有:当a ,b 满足|a +b |=|a -b |时,平行四边形两条对角线相等,四边形ABCD 为矩形;当a ,b 满足|a |=|b |时,平行四边形的两条邻边相等,四边形ABCD 为菱形; 当a ,b 满足|a +b |=|a -b |且|a |=|b |时,四边形ABCD 为正方形. 14.证明 作直径BD ,连结DA 、DC ,则OB →=-OD →, DA ⊥AB ,AH ⊥BC ,CH ⊥AB ,CD ⊥BC.∴CH ∥DA ,AH ∥DC , 故四边形AHCD 是平行四边形. ∴AH →=DC →,又DC →=OC →-OD →=OC →+OB →,∴OH →=OA →+AH →=OA →+DC →=OA →+OB →+OC →. 故OH →=OA →+OB →+OC →.。
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义编者:刘凯【学习目标、细解考纲】1、在理解向量加法的基础上,掌握向量减法的运算及几何意义。
2、理解向量减法的几何意义,灵活进行向量的减法运算。
进行向量的减法运算【知识梳理、双基再现】1、相反向量:规定与v a __________________________的向量,叫做r a 的相反向量,记作_____________,向量ra 与a -r互为相反向量,于是___________________________。
任一向量与其相反向量的和是___________,即+-=-+v v v v ()_______________,()______________.a a a a2、向量的减法我们定义,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量,即+v v a b 是互为相反的向量,那么v a =______________,v b =_________________,+v v a b =________________________。
3、向量减法的几何意义:已知va ,vb ,在平面内任取一点O ,作==u u v v u u v v ,OA a OB b ,则__________=-v v a b ,即-v v a b可以表示为从向量_________________的终点指向向量_____________的终点的向量,如果向量v a 的终点,到v b 的终点作向量那么得向量是__________________【小试身手、轻松过关】1、在菱形ABCD 中,下列各式中不成立的是( )A .-=u u u v u u v u u u v AC AB BC B .-=u u v u u v u u v AD BD ABC .-=u u v u u u v u u u v BD AC BC D .-=u u v u u v u u u v BD CD BC2、下列各式中结果为u v O 的有( )①++u u v u u u v u u v AB BC CA ②+++u u v u u v u u v u u v OA OC BO CO③-+-u u v u u u v u u v u u v AB AC BD CD ④+-+u u u v u u v u u u v u u v MN NQ MP QPA .①②B .①③C .①③④D .①②③3、下列四式中可以化简为u u vAB 的是( )①+u u u v u u v AC CB ②-u u u v u u v AC CB ③+u u v u u v OA OB ④-u u v u u v OB OAA .①④B .①②C .②③D .③④4、在下面各式中,不能化简为u u vAD 的是( ) A .++u u vu u v u u u v ()AB CD BC B .+++u u v u u v u u u v u u v ()()AD MB BC CM C .+-u u v u u v u u u v MB AD BM D .-+u u v u u v u u vOC OA CD 【基础训练、锋芒初显】5、在△ABC 中,向量u u u v BC 可表示为( )①-u u v u u u v AB AC ②-u u u v u u v AC AB ③+u u v u u u v BA AC ④-u u v u u vBA CAA .①②③B .①③④C .②③④D .①②④ 6、已知ABCDEF 是一个正六边形,O 是它的中心,其中===u u vv u u v v u u v v ,,OA a OB b OC c 则u u v EF =( )A .a b +r rB .b a -r rC .-v v c bD .-v vb c 7、当C 是线段AB 的中点,则AC BC +u u u r u u u r =( )A .AB u u u r B .BA uu u rC .AC u u u rD .O u r8、在平行四边形ABCD 中,BC CD AD +-u u u r u u u r u u u r 等于( )A .BA uu u rB .BD u u u rC .AC u u u rD .AB u u u r【举一反三、能力拓展】9、化简:AB DA BD BC CA ++--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =_______________。
2.2.2向量的减法●三维目标1.知识与技能(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则,作出几个向量的和、差向量.(2)能结合图形进行向量计算.2.过程与方法由概念的形成过程和解题的思维过程,体验数形结合思想.3.情感、态度与价值观通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算,使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.●重点难点重点:相反向量的概念及向量的加法与减法之间的关系.难点:掌握向量减法运算,并理解其几何意义.●教学建议1.关于相反向量的教学教学时,建议教师类比相反数的定义,结合向量的特征,由学生自主给出“相反向量的概念”,并会画出某具体向量的相反向量.2.关于向量减法的教学教学时,建议教师结合相反向量的表示及向量加法的几何意义,师生共同完成向量的减法及其几何意义的推导,并让学生会用向量减法的几何意义作图、化简、求值.●教学流程创设问题情境,引入相反向量概念.⇒引导学生结合向量加法的几何意义,探究向量减法的几何意义,并强调用向量减法的几何意义作图时注意问题.⇒通过例1及其互动探究,使学生掌握作已知向量的和差的作图方法.⇒通过例2及其变式训练,使学生掌握向量加减法的基本运算方法.⇒通过例3及其变式训练,使学生掌握结合图形,用已知向量表示其他向量的方法.⇒归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解相反向量的概念.2.了解差向量的概念和向量加法与减法间的关系.(重点)3.掌握向量减法运算,并理解其几何意义.(难点)向量的减法【问题导思】若a +b =0,则a 与b 有何关系? 【提示】 由a +b =0,得a =-b , ∴a 是b 的相反向量.若b +x =a ,则向量x 叫做a 与b 的差,记为a -b .求两个向量差的运算,叫做向量的减法.已知向量作和(差)向量图2-2-13如图2-2-13,已知向量a ,b ,c 不共线,求作向量a +b -c .【思路探究】 先将a ,b 首尾相连,作出a +b ,然后根据向量减法的定义作a +b 与c 的差向量.【自主解答】 作法一 如图(1)所示,在平面内任取一点O ,作OA →=a ,AB →=b ,则OB →=a +b ,再作OC →=c ,则CB →=a +b -c .作法二 如图(2)所示,在平面内任取一点O ,作OA →=a ,AB →=b ,则OB →=a +b ,过点B 作CB →=c ,则OC →=a +b -c .1.求作向量的和与差就是三角形法则或平行四边形法则的运用.2.求作向量的差可以转化为两个向量的和进行,也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的始点重合,则差向量就是连结两个向量的终点,并指向被减向量.3.作图时一定要注意箭头的方向.用本例所示的向量,作出向量a -b +c .【解】 如图,在平面上任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则BA →=a -b ,再过A 作AC →=c ,则BC →=a -b +c .向量加减法的基本运算化简:(AB →-CD →)-(AC →-BD →).【思路探究】 思路一:相反向量法,即把向量的减法转化成向量的加法求解;思路二:利用减法的几何意义,即利用向量减法的三角形法则求解;思路三:向量分解法,即把向量转化成从一点出发的两向量的差向量,如AB →=OB →-OA →等.【自主解答】 法一 (利用相反向量) (AB →-CD →)-(AC →-BD →)=AB →-CD →-AC →+BD → =AB →+DC →+CA →+BD →=AB →+BD →+DC →+CA →=0. 法二 (利用向量减法的几何意义)(AB →-CD →)-(AC →-BD →)=AB →-CD →-AC →+BD →=(AB →-AC →)-CD →+BD → =CB →-CD →+BD →=DB →+BD →=0. 法三 (利用AB →=OB →-OA →)设O 是平面内任意一点,则(AB →-CD →)-(AC →-BD →)=AB →-CD →-AC →+BD → =(OB →-OA →)-(OD →-OC →)-(OC →-OA →)+(OD →-OB →) =OB →-OA →-OD →+OC →-OC →+OA →+OD →-OB →=0.1.向量减法运算的常用方法:2.注意满足下列两种形式可以化简: (1)首尾相连且为和; (2)起点相同且为差.做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.(1)化简:(BA →-BC →)-(ED →-EC →)=________.(2)化简:(AC →+BO →+OA →)-(DC →-DO →-OB →)=________. 【解析】 (1)(BA →-BC →)-(ED →-EC →)=CA →-CD →=DA →.(2)(AC →+BO →+OA →)-(DC →-DO →-OB →)=AC →+BA →-DC →+(DO →+OB →)=AC →+BA →-DC →+DB →=BC →-DC →+DB →=BC →+CD →+DB →=BC →+CB →=0.【答案】 (1)DA →(2)0用已知向量表示其他向量图2-2-14如图2-2-14,解答下列各题:(1)用a ,d ,e 表示DB →; (2)用b ,c 表示DB →; (3)用a ,b ,e 表示EC →; (4)用d ,c 表示EC →.【思路探究】 根据图形特点,正确运用向量加法、减法的几何意义即可将要求的向量表示出来.【自主解答】 由题意知,AB →=a ,BC →=b ,CD →=c ,DE →=d ,EA →=e . (1)DB →=DE →+EA →+AB →=d +e +a . (2)DB →=CB →-CD →=-BC →-CD →=-b -c . (3)EC →=EA →+AB →+BC →=e +a +b . (4)EC →=DC →-DE →=-CD →-DE →=-c -d .用已知向量表示某向量的四个步骤: 第一步:观察各向量的位置;第二步:寻找(或作)相应的平行四边形或三角形; 第三步:运用法则找关系; 第四步:化简结果.图2-2-15如图2-2-15,已知OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,OD →=d ,OF →=f ,试用a ,b ,c ,d ,f 表示以下向量:(1)AC →; (2)AD →; (3)AD →-AB →; (4)AB →+CF →; (5)BF →-BD →.【解】 (1)AC →=OC →-OA →=c -a . (2)AD →=AO →+OD →=-OA →+OD →=-a +d . (3)AD →-AB →=BD →=OD →-OB →=d -b .(4)AB →+CF →=OB →-OA →-OC →+OF →=b -a -c +f . (5)BF →-BD →=DF →=OF →-OD →=f -d .向量减法运算法则运用出错致误图2-2-16如图2-2-16所示,已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ,B ,C的向量分别为r 1,r 2,r 3,求OD →.【错解】 因为OD →=OC →+CD →, 且CD →=BA →=OB →-OA →,所以OD →=OC →+OB →-OA →=r 3+r 2-r 1. 【错因分析】 错误使用了向量的减法法则.【防范措施】 注意运用三角形法则时,两向量的差等于以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量,即AB →=OB →-OA →,防止出现AB →=OA →-OB →的错误.【正解】 OD →=OA →+AD →=r 1+BC →=r 1+OC →-OB →=r 1+r 3-r 2.向量减法的运算法则(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算,可以灵活转化,减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得:用平行四边形法则时,两个向量也是共起点,和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线(AC →),而差向量是另一条对角线(DB →),方向是从减向量指向被减向量;用三角形法则时,把减向量与被减向量的起点相重合,则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.1.△ABC 中,BC →=a ,CA →=b ,则AB →=________. 【解析】 AB →=CB →-CA →=-BC →-CA →=-a -b . 【答案】 -a -b2.下列各式:①OA →+OC →+BO →+CO →;②OA →-OD →+AD →;③(AB →+MB →)+OM →+BO →, 其中结果为0的有________.【解析】 ①OA →+OC →+BO →+CO →=BO →+OA →+OC →+CO →=BA →; ②OA →-OD →+AD →=DA →+AD →=0;③(AB →+MB →)+OM →+BO →=(AB →+BO →)+(OM →+MB →)=AO →+OB →=AB →. 【答案】 ②3.下列四式中,不能化简为PQ →的是________.①QC →-QP →+CQ →;②AB →+(PA →+BQ →);③(AB →+PC →)+(BA →-QC →);④PA →+AB →-BQ →. 【解析】 QC →-QP →+CQ →=PC →+CQ →=PQ →; AB →+(PA →+BQ →)=AB →+BQ →+PA →=AQ →+PA →=PQ →; (AB →+PC →)+(BA →-QC →)=PC →-QC →=PQ →; PA →+AB →-BQ →=PB →-BQ →≠PQ →,故填④. 【答案】 ④图2-2-174.已知不共线的两个非零向量a ,b (如图2-2-17所示),求作向量-a -b . 【解】 法一 如图①,作OA →=-a ,OB →=b ,则BA →=-a -b .法二 如图②,作OA →=a ,OB →=b ,再以OA ,OB 为邻边作平行四边形OACB ,则CO →=-a -b .一、填空题1.下列命题中,正确的个数是________. ①在平行四边形中,BA →+AD →-BD →=AB →+CD →; ②a +b =a ⇔b =0; ③a -b =b -a ;④AB →-CB →+CD →-AD →的模为0.【解析】 由向量的加法与减法法则知①④正确.由a +b =a ⇔a +b -a =0⇔(a -a )+b =0⇔b =0知,②正确.由a -b =a +(-b )=-(b -a )知,③是不正确的. 【答案】 32.已知六边形ABCDEF 是一个正六边形,O 是它的中心,其中a =OF →,b =OA →,c =OB →,则EF →等于________.【解析】 由正六边形性质知:EF →=CB →=OA →=b =a +c . 【答案】 a +c3.已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点,且满足OA →+OC →=OB →+OD →,则四边形ABCD 的形状是________.【解析】 ∵OA →+OC →=OB →+OD →, ∴OA →-OB →=OD →-OC →. ∴BA →=CD →,∴BA 綊CD. ∴四边形ABCD 为平行四边形. 【答案】 平行四边形4.化简(AB →+CD →-EB →)+(BC →-BD →+EF →)-AF →=________.【解析】 原式=(AB →+BE →)+(CD →+DB →)+BC →+(EF →+FA →)=AE →+CB →+BC →+EA →=0. 【答案】 0图2-2-185.如图2-2-18,在平行四边形ABCD 中,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,试用a ,b ,c 表示OD →,则OD →=________.【解析】 因为OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,所以BC →=OC →-OB →=c -b ,又AD →=BC →,所以OD →=OA →+AD →=a +c -b .【答案】 a +c -b 6.给出以下五个说法: ①若|a |=|b |,则a =b ;②任一非零向量的方向都是惟一的; ③|a |-|b |<|a +b |;④若|a |-|b |=|a |+|b |,则b =0;⑤已知A ,B ,C 是平面上任意三点,则AB →+BC →+CA →=0. 其中正确的说法有________.【解析】 由|a |=|b |,得不到a =b ,因为两个向量相等需要模相等,方向相同,故①不正确;当b =0时,|a |-|b |=|a +b |,故③不正确.【答案】 ②④⑤7.已知OA →=a ,OB →=b ,若|OA →|=5,|OB →|=12,且∠AOB =90°,则|a +b |=________,|a -b |=________.【解析】 如图,在矩形OACB 中,OA →+OB →=OC →,即|a +b |=|OC →|=|a |2+|b |2=52+122=13.同理|a -b |=13.【答案】 13 138.如图2-2-19,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC 与BD 交于O 点,则BA →-BC →-OA→+OD →=________.图2-2-19【解析】 法一 BA →-BC →-OA →+OD →=BA →+CB →+AO →+OD →=(CB →+BA →)+(AO →+OD →)=CA →+AD →=CD →.法二 BA →-BC →-OA →+OD →=(BA →-BC →)-(OA →-OD →)=CA →-DA →=CA →+AD →=CD →.【答案】 CD →二、解答题9.已知菱形ABCD 边长都是2,求向量AB →-CB →+CD →的模.【解】 ∵AB →-CB →+CD →=AB →+BC →+CD →=AD →,∴|AB →-CB →+CD →|=|AD →|=2.10.如图2-2-20,在五边形ABCDE 中,若AB →=a ,BC →=b ,CD →=c ,DE →=d ,EA →=e ,求作向量a -c +b -d -e .图2-2-20【解】 a -c +b -d -e =(a +b )-(c +d +e )=(AB →+BC →)-(CD →+DE →+EA →)=AC →-CA→=AC →+AC →.连结AC ,并延长至点F ,使CF =AC ,则CF →=AC →.∴AF →=AC →+AC →即为所求作的向量a -c +b -d -e .如图.11.已知△OAB 中,OA →=a ,OB →=b ,满足|a |=|b |=|a -b |=2,求|a +b |与△OAB 的面积.【解】 由已知得|OA →|=|OB →|,以OA →,OB →为邻边作平行四边形OACB ,则可知其为菱形,如图,且OC →=a +b ,BA →=a -b ,由于|a |=|b |=|a -b |,即OA =OB =BA ,∴△OAB 为正三角形,|a +b |=|OC →|=2×3=23,∴S △OAB =12×2×3= 3.已知非零向量a ,b 满足|a |=7+1,|b |=7-1,且|a -b |=4,求|a +b |的值.【思路探究】 解答本题可先由|a |,|b |及|a -b |出发,找出三者之间的数量关系,从而进一步判断三角形的形状,再求|a +b |的值.【自主解答】 如图,OA →=a ,OB →=b ,则|BA →|=|a -b |,以OA ,OB 为邻边作平行四边形OACB ,则|OC →|=|a +b |.由于(7+1)2+(7-1)2=42.故|OA →|2+|OB →|2=|BA →|2,所以△AOB是∠AOB 为90°的直角三角形,从而OA ⊥OB ,所以▱OACB 是矩形,根据矩形的对角线相等有|OC →|=|BA →|=4,即|a +b |=4.向量在平面几何中的应用一般有两种题型:(1)以平面几何为背景的向量计算、证明问题;(2)利用向量运算证明平面几何问题,这是向量的主要应用.解题的关键是应用向量加法、减法的几何意义,对相关向量进行合理转化.已知OA →=a ,OB →=b ,且|a |=|b |=4,∠AOB =60°,求|a +b |,|a -b |.【解】 以OA →、OB →为邻边作平行四边形OACB ,∵|OA →|=|a |=4,|OB →|=|b |=4,∴四边形OACB 为菱形.∵a +b =OA →+OB →=OC →,a -b =OA →-OB →=BA →,∠AOB =60°,∴|a +b |=|OC →|=43,|a -b |=|BA →|=4.。
第三课时 向量的减法教学目标:掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量,能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量,了解向量方程,并会用几何法解向量方程.教学重点:向量减法的三角形法则.教学难点:对向量减法定义的理解.教学过程:Ⅰ.复习回顾上一节,我们一起学习了向量的加法,并熟悉了求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则,并进行了简单应用.这一节,我们来继续学习向量的减法.Ⅱ.讲授新课1.向量减法的定义向量a 加上b 的相反向量,叫做a 与b 的差,即a -b =a +(-b ).求两个向量差的运算,叫向量的减法.说明:(1)与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量;(2)零向量的相反向量仍是零向量;(3)任一向量和它相反向量的和是零向量.[师]从向量减法的定义中,我们可以体会到向量减法与向量加法的内在联系.2.向量减法的三角形法则以平面内的一点作为起点作a ,b ,则两向量终点的连线段,并指向a 终点的向量表示a -b .说明:向量减法可以转化为向量加法,如图b 与a -b 首尾相接,根据向量加法的三角形法则有b +(a -b )=a即a -b =CB →.下面我们通过例题来熟悉向量减法的三角形法则的应用.[例1]如图,已知向量a ,b ,c ,d ,求作向量a -b ,c -d .分析:根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.作法:如图,在平面内任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,OD →=d .作BA →,DC →,则BA →=a -b ,DC →=c -d[例2]判断题(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反,则a +b 的方向必与a 、b 之一的方向相同.(2)三角形ABC 中,必有AB →+BC →+CA →=0.(3)若AB →+BC →+CA →=0,则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点.(4)|a +b |≥|a -b |.分析:(1)a 与b 方向相同,则a +b 的方向与a 和b 方向都相同;若a 与b 方向相反,则有可能a 与b 互为相反向量,此时a +b =0的方向不确定,说与a 、b 之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB →+BC →=AC →,AC →与CA →是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →+BC →+AC →=0,而此时构不成三角形.(4)当a 与b 不共线时,|a +b |与|a -b |分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a 、b 为非零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |;当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |.综上所述,只有(2)正确.[例3]化简AB →-AC →+BD →-CD →.解:原式=CB →+BD →-CD →=CD →-CD →=0[例4]化简OA →+OC →+BO →+CO →.解:原式=(OA →+BO →)+(OC →+CO →)=(OA →-OB →)+0=BA →Ⅲ.课堂练习课本P 65练习1,2,3,4,5,6.Ⅳ.课时小结通过本节学习,要求大家在理解向量减法定义的基础上,掌握向量减法的三角形法则,并能加以适当的应用.Ⅴ.课后作业课本P 68习题 4,8,11向量、向量的加减法1.下列关于零向量的说法中,错误的是 ( )A.零向量长度为0B.零向量是没有方向的C.零向量的方向是任意的D.零向量与任一向量平行2.下列命题中,正确的是 ( )A.若|a |=|b |,则a =bB.若|a |>|b |,则a >bC.若a =b ,则a ∥bD.若|a |=1,则a =±13.当|a |=|b |,且a 与b 不共线时,a +b 与a -b 的关系为 ( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等4.如右图,已知O 为正六边形ABC DEF 的中心,则与向量DO → 相等的向量有 .5.已知|AB →|=10,|AC →|=7,|则|BC →|的取值范围为 .6.已知OA →=a ,OB →=b ,且|a |=|b |=4,∠AOB =60°.则|a +b |= ,|a -b |= .7.化简AB →+DA →+BD →-BC →-CA →= .8.判断以下说法是否正确.(1)向量a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线. ( )(2)任意两个非零的相等向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点. ( )(3)向量AB →与CD →是共线向量,则A 、B 、C 、D 必在同一直线上.( )(4)向量a 与b 平行,则a 与b 的方向相同. ( )(5)长度相等且起点相同的两个向量,其终点必相同. ( )9.已知两个力F 1、F 2的方向互相垂直,且它们的合力F 大小为10 N ,与力F 1的夹角为60°,求力F 1与F 2的大小.10.一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行300 km ,到达B 地,然后向C 地飞行,设C 地恰在A 北偏东60°,且距A 100 3 km 处,求飞机从B 地向C 地飞行的方向和B 、C 两地的距离.向量、向量的加减法答案1.B 2.C 3.B 4.OA →,CB →,EF → 5.[3,17] 6.4 3 4 7.AB →8.(1)错误 (2)错误 (3)错误 (4)错误 (5)错误9.F 1,F 2分别为5 N 和5 3 N10.解:∵BC =AB 2+AC 2 =200 3 ,sin B =100 3 200 3 =12∴B =30°,∴飞机从B 以南偏东60°的方向向C 地飞行.。
2.2.1向量的加法(教学设计)一、学习目标:1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义。
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和,培养数形结合解决问题的能力。
3、通过向量的运算和熟悉的数学运算进行类比,使学生掌握向量加法的交换律与结合律,并会用它们进行向量运算,渗透类比的数学方法。
二、学习重点、难点重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量。
难点:理解向量加法的定义和几何意义。
三、教法、学法教法:本着“以教师为主导,以学生为主体,以问题解决为主线,以能力发展为目标”的指导思想,结合我校学生实际,主要采用“问题探究”式教学方法.通过创设问题情境,使学生对向量加法有了一定的感性认识;通过设置一条问题链,引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程;通过层层深入的例题与习题的配置,引导学生积极思考,灵活掌握知识,使学生从“懂”到“会”到“悟”,提高思维品质,力求把传授知识与培养能力融为一体。
采用计算机辅助教学,通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果,优化课堂结构,提高教学质量。
四、学习过程 (一)知识储备 1、向量的有关概念(1)零向量的方向是___________,规定_________________。
(2)相等向量应满足__________________________________。
相反向量应满足___________________________________。
(3)共线向量是指____________________________________。
2、平行四边形对边____________________________________。
(二)自主先学 1、向量加法的定义已知向量a 和b ,在平面内任取一点o ,作,OA a AB b ==,则向量OB 叫做a 与b 的_____,记作_________,即a b OA AB OB +=+=. 如下图,分别作出a 与b 的和(1) (2) (3) (4)向量的加法:求两个向量____的运算叫做向量的加法。
2.2.2向量的减法运算及其几何意义学习目标:1. 了解相反向量的概念;2. 掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义;3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,理解事物间可以相互转化的辩证思想.教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点:减法运算时方向的确定. 教学思路:一、 复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则,向量加法的运算定律:例:在四边形中,=++ . 二、新课1. 用“相反向量”定义向量的减法(1) “相反向量”的定义:与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。
易知-(-a ) = a.(2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量. →→=-00 。
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0 (3) 向量减法的定义:向量a 加上的b 相反向量,叫做a 与b 的差. 即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2. 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若b + x = a ,则x 叫做a 与b 的差,记作a - b 3. 求作差向量:已知向量a 、b ,求作向量a - bA作法:在平面内取一点O ,作= a , = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.OabBa ba -b注意:1︒表示a - b . 强调:差向量“箭头”指向被减向量。
2︒用“相反向量”定义法作差向量,a - b = a + (-b )4. 探究:1)如果从向量a 的终点指向向量b2)若a ∥b , 如何作出a - b ?三、例题:例1、已知向量a 、b 、c 、d ,求作向量a -b 、c -d .例2、平行四边形ABCD 中,=a ,=b , 用a 、b 表示向量AC 、DB . 变式一:当a , b 满足什么条件时,a +b 与a -b 垂直? 变式二:当a , b 满足什么条件时,|a +b | = |a -b |? 变式三:a +b 与a -b 可能是相等向量吗? AOOB C5. 练习:1。
2019-2020学年高中数学2.2.2 向量的减法导学案苏教版必修4【课堂检测】 课题:2.2.2向量的减法检测案1、在平行四边形ABCD 中,b AD a AB ==,,用a ,b 表示DB AC ,。
2、若OM OE OD =+,下列结论正确的是______________________。
(1)OD OE OM =- (2)OE DO OM =+(3)OM EO OD =+ (4)MO EO DO =+3、若非零向量a 和b 互为相反向量,则错误的是( )A 、b a //B 、b a ≠C 、||||b a ≠D 、a b -=4、ABC ∆中,D 是BC 的中点,设d AD a BD b AC c AB ====,,,,则=-a d ;=+a d 。
5、已知ABC ∆中,︒=∠90C ,BC AC =,则下列等式成立的是______________。
(1)||||CB CA CB CA +=- (2)||||BC BA AC AB -=-(3)||||AB CB BA CA -=- (4)222||||||CA BA AC AB CB CA -+-=+6、已知:四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,且OC AO =,OD BO =。
求证:四边形ABCD 是平行四边形。
【课后巩固】1、若b OB a OA ==,,则AB 为( )A 、b a +B 、b a -C 、a b -D 、b a --2、下列各式不能化简为AD 的是( )A 、BC CD AB ++)(B 、)()(CM BC MB AD +++ C 、BM AD MB -+ D 、CD OC OA ++-3、已知b OB a OA ==,,且12||,5||==b a ,︒=∠90AOB ,则=-||b a 。
4、已知b OB a OA ==,,且4||||==b a ,︒=∠60AOB ,则=-||b a 。
向量的减法导学案
班级 姓名
【学习目标】
1.理解向量减法的概念;
2.会作两个向量的差
3.会进行向量加、减的混合运算
【学习过程】
自主学习
1.向量的减法:
①a 与b 的差:若______________,则向量x 叫做a 与b 的差.记为______________ ②向量a 与b 的减法:
求两个向量差的运算叫做向量的减法
注意: 向量的减法是向量加法的逆运算.
向量a b -的减法的作图方法: 已知a ,b ,求作:a b -
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. ()a b a b -=+-
4.关于向量的减法需要注意以下几点:
①在用三角形法则作向量的减法时,只要记住连结两向量的终点,箭头指向被减向量即可. ②以向量AB a =,AD b =为邻边作平行四边形ABCD ,则两条对角线的向量为AC a b =+,BD b a =-,DB a b =-这一结论在以后应用还是非常广泛的,应该 加强理解记住.
③对任意一点O ,AB OB OA =-,简记“终减起”,在解题中经常用到,必须记住. 合作探究
例1、已知向量a 、b 、c 、d ,求作向量a b 、c d
例2、如图,O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,若AB a =,DA b =,OC c =,试证明b c a OA +-=
c b
a O D
C
B A
例3.化简下列各式:
①()AB BC BD AD -+- ②AB DA BD BC CA ++-- ③()()AB CD AC BD ---
当堂训练
1.已知函数32,()5x x f x x x +⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,写出当x 为整数时求()f x 的算法,并画出流程
图.
2.任意给定3个正实数,设计一个算法,判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在,并画出这个算法的流程图.
【学习反思】。