构造全等三角形种常用方法

... . .名师堂 校区地址： 市顺庆区吉隆街 咨询：2244028优学小班——提分更快、针对更强、时效更高构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS ”，“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“HL ”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。

如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS ”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。

上述可归纳为：()()()()S SSS S A SAS S S SAS A A AAS ASA ⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩用用用用或搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．1．截长补短法例1．如图（1）已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，求证：AB+BE=AC ． 解法（一）（补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC ，由已知△AEF ≌△AEC ，∴∠F=∠ACE=45º， ∴BF=BE ，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC ． 解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB ，由已知 △ ABE ≌△AGE ，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45º, ∴CG=EG, ∴AB+BE=AG+CG=AC ． 2．平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt △,有时可作出斜边的中线．例2．△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ， 求证：AB+BP=BQ+AQ ．证明：如图（1），过O 作OD ∥BC 交AB 于D ，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DAO=∠QAO ，OA=AO ， ∴△ADO ≌△AQO ，∴OD=OQ ，AD=AQ ，又∵OD ∥BP ，∴∠PBO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠DBO ，∴∠DBO=∠DOB ，∴BD=OD ，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ ．A B C P Q D OD则△ADO ≌△ABO 来解决． ② 如图（3），过O 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，则△ADO ≌△AQO ，△ABO ≌△AEO 来解决． ③ 如图（4），过P 作PD ∥BQ 交AB 的延长线于D ，则△APD ≌△APC 来解决．④ 如图（5），过P 作PD ∥BQ 交AC 于D ，则△ABP ≌△ADP 来解决．（本题作平行线的方法还很多，感兴趣 的同学自己研究）．3．旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。

例3 如图3所示，已知点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 与CD 上，并且AF 平分EAD ∠，求证：BE DF AE +=。

分析：本题要证的BE 和DF 不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。

可将ADF ∆绕点A 旋转90︒到ABG ∆，则ADF ∆≌ABG ∆，BE =DF ，从而将BE BG +转化为线段GE ，再进一步证明GE AE =即可。

证明略。

4．倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形。

例4．如图（7）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ．求证：AC=BF证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD ，∠BDH=∠ADC ，DH=DA ， ∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ， ∴∠DAC=∠AFE ，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE= 图（7） ∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ． 5、过手练习：（1）．已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分∠EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF.E A B C DF H P图（3）A B C P Q 图（4） D OA B C P Q 图（5） D O D图 3GCBA E FDF（2）.如图,△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.（1）判断CD与BE有怎样的数量关系;（2）探索DC与BE的夹角的大小.（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE 的位置关系。

6．翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．例5．如图（8）已知：在△ABC中，∠A=45º, AD⊥BC，若BD=3，DC=2，求：△ABC的面积．解：以AB为轴将△ABD翻转180º，得到与它全等的△ABE，以AC为轴将△ADC翻转180º，得到与它全等的△AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，则BG=x－3，CG=x－2，在Rt△BGC中，（x-3）2+（x-2）2=52．解得x=6，则AD=6，∴S△ABC=21×5×6=15．图（8）例6．已知：如图（6），P为等边三角形△ABC一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．分析：直接求∠APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，联想到构造直角三角形．略解：将△BAP绕A点逆时针方向旋转60°至△ACD，连接PD，则△BAP≌△ADC，∴DC=BP=4，∵AP=AD，∠PAD=60°，又∵PC=5，PD2+DC2=PC2图（6）∴△PDC为Rt△, ∠PDC=90º∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90º=150º．１、平移法构造全等三角形例１如图１所示，四边形ABCD中，AC平分DAB∠，若AB AD>，DC BC=，求证：180B D∠+∠=︒。

AB CDEGFABCPD分析：利用角平分线构造三角形，将D ∠转移到AEC ∠，而AEC ∠与CEB ∠互补，CEB B ∠=∠，从而证得180B D ∠+∠=︒。

主要方法是：“线、角进行转移”。

证明：在AB 上截取AE AD =，在ADC ∆与AEC ∆中，AD AEDAC EAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ ADC ∆≌AEC ∆（SAS ） ∴ D AEC ∠=∠,DC CE =, ∵ DC BC =, ∴ CE BC =， ∴ CEB B ∠=∠,∵ 180CEB AEC ∠+∠=︒, ∴ 180B D ∠+∠=︒. ２、翻折法构造全等三角形例２ 如图２所示，已知ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠，求证：AB BC CD =+。

证明：∵ BD 平分ABC ∠，将BCD ∆沿BD 翻折后，点C 落在AB 上的点E ，则有BE CE =， 在BCD ∆与BED ∆中，BC BECBD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ BCD ∆≌BED ∆（SAS ）∴ 90DEA ACB ∠=∠=︒,CD DE =,∵ 已知ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒， ∴ 45A ∠=︒,∴ 45EDA A ∠=∠=︒, ∴ DE EA =,∴ AB BE EA BC CD =+=+。

4、延长法构造全等三角形D 图１ECBA D图 2ECBA例4 如图4所示，在ABC ∆中，2ACB B ∠=∠，BAD DAC ∠=∠，求证：AB AC CD =+。

分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。

本题可延长AC 至E ，使AE AB =，构造ABD ∆≌AED ∆，然后证明CE CD =，就可得AB AC CD =+。

5、截取法构造全等三角形例5 如图5所示，在ABC ∆中，边BC 上的高为AD ，又2B C ∠=∠，求证：CD AB BD =+。

分析：欲证明CD AB BD =+，可以在CD 上截取一线段等于BD ，再证明另一线段等于AB 。

如果截取DE BD =（如图所示），则ADE ∆可认为而ADB ∆沿AD 翻折而来，从而只需证明CE AE =即可。

证明略。

除了上述的方法外，还可以根据题意和以图形中现有的边和角关系为基础构造全等的三角形。

D图 4CB AED 图 5 C B AE例6、已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，求证：∠AMB=∠DMC1、作业：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. A DOE D B A2．如图△ABC 中，∠A =500，AB >AC ，D 、E 分别在AB 、AC 上，且BD=CE ,∠BCD =∠CBE ，BE 、CD 相交于O 点，求∠BOC 的度数.3．△ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥DF ，E 在AB 边上，F 在AC 边上，判断并证明BE+CF 与EF 的大小？.4．已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，∠1=∠2， 求证：BC =AB +AD ． （分别用截长法和补短法各证一次）AB C DE FA2 1 D5、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE ⊥BD 的延长线于E.求证：BD=2CE.6．已知，如图，在正方形ABCD 中AB=AD ，∠B ＝∠D ＝90°． （1）如果BE ＋DF ＝EF ，求证：①∠EAF ＝45°；②FA 平分∠DFE ． （2）如果∠EAF ＝45°，求证：①BE ＋DF ＝EF ．②FA 平分∠DFE ．（3）如果点F 在DC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，且DF －BE ＝EF ，求证：①∠EAF ＝45°；②FA 平分∠DFE ．（画图并证明）A BCDEF。