八年级数学上册小专题五构造全等三角形的方法技巧选做练习新版新人教版Word版

人教版八年级上册数学 全等三角形单元练习（Word 版 含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________．【答案】5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可．【详解】有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=；∴D （0，5）；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，∴P （0，4）；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，∴OC ＝54， ∴C （0，54）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．2．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为___________．【答案】4【解析】【分析】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED，∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．【详解】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=140°，∴∠DBC=∠DCB=20°，∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，同理可得∠NCD=90°，∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，在△BDM和△CDE中，BM CEMBD ECDBD CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△BDM≌△CDE（SAS），∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，∴∠MDE=∠BDC=140°，∵∠MDN=70°，∴∠EDN=70°=∠MDN，在△MDN和△EDN中，MD EDMDN EDNDN DN⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=EN=CN+CE，∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．3．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.【答案】6； 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．【详解】解：如图，∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=3，∴A 2B 1=3，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1，以此类推：a 2019=22018a 1=3×22018故答案是：6；3×22018．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1…进而发现规律是解题关键．4．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=︒时，11n n n A A B --∠=__________．【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．【详解】解：∵在1ABA ∆中，70A ∠=︒，1AB A B =∴170BA A A ∠==︒∠∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ∆的外角∴12111211703522B A A A B A BA A ︒∠=∠===︒∠ 同理可得，2321217017.542B A A BA A ︒∠===︒∠，343131708.7582B A A BA A ︒∠===︒∠ ∴111702n n n n A A B ---︒∠=． 故答案为：1702n -︒ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键．5．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，D 是线段AB 上一个动点，把ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A '处，当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，ADC ∠的大小为________．【答案】112.5︒或67.5︒【解析】当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，有两种情况，一是当A D BC '时，二是当A D AC '时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．【详解】 如图1，当点D 在线段AB 上，且A DBC '时，45A DB B '∠=∠=︒， 45180ADC A DC '∴∠+∠-=︒︒，解得112.5A DC ADC '∠=∠=︒.图1如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒，解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.图2【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．6．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 为BC 中点，E 为AC 边上一动点，连接DE ，以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ∆，连接BF ，则BF 的最小值为______.【答案】3【分析】由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG，利用△BDF≌△GDE，转换BF=GE，然后即可求得其最小值.【详解】以BD为边作等边三角形BDG，连接GE，如图所示：∵等边三角形BDG，等边三角形DEF∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD，即∠BDF=∠GDE∴△BDF≌△GDE（SAS）∴BF=GE当GE⊥AC时，GE有最小值，如图所示GE′，作DH⊥GE′∴BF=GE=CD+12DG=2+1=3故答案为：3.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F ＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．【答案】2【分析】连接BE ，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE ＝∠F ，进一步说明BE ＝EF ，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.【详解】解：如图：连接BE∵AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于F ，∴AE ＝BE ，∠A +∠AED ＝90°，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴∠F +∠CEF ＝90°，∵∠AED ＝∠FEC ，∴∠A ＝∠F ＝30°，∴∠ABE ＝∠A ＝30°，∠ABC ＝90°﹣∠A ＝60°，∴∠CBE ＝∠ABC ﹣∠ABE ＝30°，∴∠CBE ＝∠F ，∴BE ＝EF ，在Rt △BED 中，BE ＝2DE ＝2×1＝2，∴EF ＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.8．如图，在ABC ∆和DBC ∆中，40A ∠=，2AB AC ==，140BDC ∠=，BD CD =，以点D 为顶点作70MDN ∠=，两边分别交,AB AC 于点,M N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为_______.【答案】4【解析】【分析】延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．【详解】延长AB至F，使BF=CN，连接DF．∵BD=CD，且∠BDC=140°，∴∠BCD=∠DBC=20°．∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠DBA=∠DCA=90°．在Rt△BDF和Rt△CND中，∵BF=CN，∠DBA=∠DCA，DB=DC，∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN．∵∠MDN=70°，∴∠BDM+∠CDN=70°，∴∠BDM+∠BDF=70°，∴∠FDM=70°=∠MDN．∵DF=DN，∠FDM=∠MDN，DM=DM，∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF，∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4．故答案为：4．【点睛】本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键．9．已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,∠ABC的平分线BF交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当EDC=30 ，CF=43，则DH=______．【答案】2 3【解析】连接AF.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF.在△ABF和△CBF中，AB BCABF CBF BF BF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF≌△CBF，∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°.∵AH⊥CD，∴AH=12AF=12CF=23.∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=2 3 .故答案为2 3 .点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.10．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，F是AC上一个动点，则EF+BF的最小值是________ .【答案】33【解析】试题解析：∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，∴点B、D关于AC对称，连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，∵E为AB的中点，∠DAB=60°，∴DE⊥AB，∴ED=22-=22AD AE63-=33，∴EF+BF的最小值为33．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．所以可知选项①③④正确．【详解】∵AB⊥AC．∴∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝90°∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，∴2∠FBC+2∠FCB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝45°∴∠BFC＝135°故④正确．∵AG∥BC，∴∠BAG＝∠ABC∵∠ABC＝2∠ABF∴∠BAG＝2∠ABF 故①正确．∵AB⊥AC，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵AG⊥BG，∴∠ABG+∠GAB＝90°∵∠BAG＝∠ABC，∴∠ABG＝∠ACB 故③正确．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．12．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A 36B33C．6 D．3【答案】D【解析】分析：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，3∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．详解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，3∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=1233OH=3 2 ,∴CD=2CH=3．故选D．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．13．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°【答案】B【解析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH．∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°．∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°．∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．故选B．14．如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE、BD 相交于点O，AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N，连接 MN、OC，则下列所给的结论中：①AE＝BD；②CM＝CN；③MN∥AB；④∠AOB＝120º；⑤OC 平分∠AOB．其中结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】由题意易证：△ACE≅△DCB，进而可得AE＝BD；由△ACE≅△DCB，可得∠CAE=∠CDB，从而△ACM ≅△DCN，可得：CM＝CN；易证△MCN是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE，即MN∥AB；由∠CAE=∠CDB，∠AMC=∠DMO，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB＝120º；作CG⊥AE，CH⊥BD，易证CG=CH，即：OC 平分∠AOB．【详解】∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACE=∠DCB=120°，∴△ACE≅△DCB(SAS)∴AE＝BD，∴①正确；∵△ACE≅△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC，在△ACM 和△DCN中，∵60CAE CDBAC DCACD DCE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ACM ≅△DCN（ASA）,∴CM＝CN，∴②正确；∵CM＝CN，∠DCE=60°，∴△MCN是等边三角形，∴∠MNC=60°，∴∠MNC=∠BCE ，∴MN∥AB，∴③正确；∵△ACE≅△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∵∠AMC=∠DMO，∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO，即：∠ACM=∠DOM=60°，∴∠AOB＝120º，∴④正确；作CG⊥AE，CH⊥BD，垂足分别为点G，点H，如图，在△ACG和△DCH中，∵90?AMC DHCCAE CDBAC DC∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACG≅△DCH（AAS），∴CG=CH，∴OC 平分∠AOB，∴⑤正确.故选D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键.15．如图，等腰ABC∆中，AB AC=，120BAC∠=，AD BC⊥于点D，点P是BA 延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP OC=.下列结论：①30APO DCO∠+∠=；②APO DCO∠=∠；③OPC∆是等边三角形；④AB AO AP=+.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.【详解】连接OB ，∵AB AC =，AD ⊥BC ，∴AD 是BC 垂直平分线，∴OB OC OP ==，∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，∵AB=AC ，∠BAC =120∘∴30ABC ACB ∠=∠=︒∴30ABO DBO ∠+∠=︒，∴30APO DCO ∠+∠=．故①②正确；∵OBP ∆中，180BOP OPB OBP ∠=︒-∠-∠，BOC ∆中，180BOC OBC OCB ∠=︒-∠-∠，∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB ∠=︒-∠-∠=∠+∠+∠+∠，∵OPB OBP ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，∴260POC ABD ∠=∠=︒，∵PO OC ，∴OPC ∆是等边三角形，故③正确；在AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，则AOQ ∆为等边三角形，则120BQO PAO ∠=∠=︒，在BQO ∆和PAO ∆中，BQO PAO QBO APO OB OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴BQO PAO AAS ∆∆≌（），∴PA BQ =，∵AB BQ AQ =+，∴AB AO AP =+，故④正确.故选：D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证BQO PAO ∆∆≌是解题的关键．16．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，E 为线段AD 上一点，过E 点的线段FG 交CD 的延长线于G 点，交AC 于F 点，且EG ＝AE ，分别延长CE ，BG 交于点H ，若EH 平分∠AEG ，HD 平分∠CHG 则下列说法：①∠GDH ＝45°；②GD ＝ED ；③EF ＝2DM ；④CG ＝2DE +AE ，正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】首先证明△AEC≌△GEC（SAS），推出CA=CG，∠A=∠CGE=45°，推出DE=DG，故②正确；再证明△EDC≌△GDB，推出∠CED=∠BGD，ED=GD，由三角形外角的性质得出∠HDG=∠HDE，进而得出∠GDH=∠EDH=45°，即可判断①正确；通过证明△EDC和△EMD是等腰直角三角形，得到ED MD，再通过证明△EFC≌△EDC，得到EF=ED，从而可判断③错误；由CG=CD+DG，CD=AD，ED=GD，变形即可判断④正确．【详解】∵AC=BC，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD⊥AB，CD=AD=DB，∠A=∠CBD=45°．∵EH平分∠AEG，∴∠AEH=∠GEH．∵∠AEH+∠AEC=180°，∠GEH+∠CEG=180°，∴∠AEC=∠CEG．∵AE=GE，EC=EC，∴△AEC≌△GEC（SAS），∴CA=CG，∠A=∠CGE=45°．∵∠EDG=90°，∴∠DEG=∠DGE=45°，∴DE=DG，∠AEF=∠DEG=∠A=45°，故②正确；∵DE=DG，∠CDE=∠BDG=90°，DC=DB，∴△EDC≌△GDB（SAS），∴∠CED=∠BGD，ED=GD．∵HD平分∠CHG，∴∠GHD=∠EHD．∵∠CED=∠EHD+∠HDE，∠BGD=∠GHD+∠HDG，∴∠HDG=∠HDE．∵∠EDG=∠ADC=90°，∴∠GDH=∠EDH=45°，故①正确；∵∠EDC=90°，ED=GD，∴△EDC是等腰直角三角形，∴∠DEG=45°．∵∠GDH=45°，∴∠EDH=45°，∴△EMD是等腰直角三角形，∴ED MD．∵∠AEF=∠DEG=∠A=45°，∴∠AFE=∠CFG=90°．∵∠EDC =90°，∴∠EFC =∠EDC =90°．∵EH 平分∠AEG ，∴∠AEH =∠GEH ．∵∠FEC =∠GEH ，∠DEC =∠AEH ，∴∠FEC =∠DEC ．∵EC =EC ，∴△EFC ≌△EDC ，∴EF =ED ，∴EF =2MD ．故③错误；∵CG =CD +DG =AD +ED =AE +ED +ED ，∴CG =2DE +AE ，故④正确．故选B ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．17．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.【详解】①正确，理由如下：∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确；②正确，理由如下：由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC =180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确；③错误，理由如下：∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知，AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CB E,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形，故③错误；④正确，理由如下：如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确；故答案为：B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.18．如果三角形有一个内角为120°，且过某一顶点的直线能将该 三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是( )A ．15°B ．40C ．15°或20°D ．15°或40°【答案】C【解析】【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°，且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，运用分类思想和三角形内角和定理，即可得到该三角形其余两个内角的度数．【详解】如图1，当∠A=120°，AD=AC ，DB=DC 时，∠ADC=∠ACD=30°，∠DBC=∠DCB=15°， 所以，∠DBC=15°，∠ACB=30°+15°=45°；故∠ABC=60°，∠C=80°；如图2，当∠BAC=120°，可以以A为顶点作∠BAD=20°，则∠DAC=100°，∵△APB，△APC都是等腰三角形；∴∠ABD=20°，∠ADC=∠ACD=40°，如图3，当∠BAC=120°，以A为顶点作∠BAD=80°，则∠DAC=40°，∵△APB，△APC都是等腰三角形，∴∠ABD=20°，∠ADC=100°，∠ACD=40°．故选C．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．19．如图，O是正三角形ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+33；⑤S△AOC+S△AOB=6+934．其中正确的结论是（）A．①②③⑤B．①③④C．②③④⑤D．①②⑤【答案】A试题解析：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12×3×4+34×42=6+43，故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=123293，故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．20．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为( )A．1 B．1+3C．2+3D．3【答案】B【解析】【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，推出AM=MM’可得MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，共线时最短；由于点E 也为动点，可得当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE的值.【详解】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM=MM’，∴MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE=4+33，∴MA+MD+ME的最小值为4+33．故选B．【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．。

专题：构造全等三角形利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。

EFAEADFABCADBE 1，在△于点中，＝是中线，，且交．1、如图A BFAC试说明线段相等的理由．与BGADADADGDG由于是中线，于是可延长，连结到＝，使，则简析E F GBDACDCDBDACDGBDADGDADCGDB＝在△）和△中，，所以△＝，，∠≌△＝∠（，SAS CB AFEEFCADACGBCADGAE，所以∠所以＝，，∠＝＝∠＝∠，而D BFBFGBFGGBFBGACAFE，所以∠，所以＝∠．又∠，所以＝∠＝＝说明要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个G图1三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形．利用三角形的角平分线来构造全等三角形法一：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

在AB上截取AE=AC，连结DE。

（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。

）法二：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

延长AC到F，使AF=AB，连结DF。

(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。

)法三：在△ABC中，AD平分∠BAC。

作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。

(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形)1 戴氏教育集团努力+勤奋+信心=成功）DM=DN（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证2、已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DF。

F，使BF=BC，连结，连结DE。

法二：延长BA到BE法一：证明：在BC上截取，使BE=AB ABC的角平分线（已知）∵BD是∠∵BD是∠ABC的角平分线（已知）2（角平分线定义）∴∠1=∠∴∠1=∠2（角平分线定义）和△BCD中在△BFD 在△ABD和△EBD中BF=BC（已知）（已知）∵AB=EB∠2（已证）∠1= ∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）BD=BD（公共边）S.A.S）∴△BFD≌△BCD（∴△ABD≌△EBD（S.A.S）C（全等三角形的对应角相等∴∠F＝∠（全等三角形的对应角相等）∴∠A＝∠3 DF=DC（全等三角形的对应边相等）AD=DE（全等三角形的对应边相等）（已证）AD=CD（已知），DF=DC ∵（已证）（已知），AD=DE ∵AD=CD ∴DF=AD（等量代换）∴DE=DC（等量代换）4=∠F（等边对等角）∴∠4=∴∠∠C（等边对等角）＝∠C（已证）∵∠F ∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义），C（等量代换）∴∠4=∠∠A＝∠3（已证）180°（平角定义）∠3+ ∠4＝∵＝∴∠A+ ∠C180°（等量代换）180°C＝（等量代换）∴∠A+ ∠的延长线于N。

运用全等三角形证题的基本思绪运用全等三角形能够证明若干与线段或角有关的几何成绩．那么如何证明两个三角形全等呢？普通来说，应根据题设条件，结合图形寻求边或角相等，使之逐渐逼近某一判定公理或定理，其基本思绪有：一、有两边对应相等，则寻求夹角或第三边对应相等．例1 已知：如图1，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，求证：BD＝CE．分析：要证明BD＝CE，只需证明△ABD≌△ACE．由于已知条件已给出了有两边对应相等，所以只需证明这两边的夹角也相等，即∠BAD＝∠CAE．而根据图形和已知条件“∠1＝∠2”，即可获证．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAC＝∠2＋∠BAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），故BD＝CE．例2 已知：如图2，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC，求证：AB∥DF．分析：要证明AB∥DF，只需证明∠B＝∠F，由于∠B、∠F分别在△ABC和△DFE中，这就要证明△ABC≌△DFE，由于已知条件给出了两边对应相等，所以可证明两个三角形的第三条边对应相等，即BC＝FE，而根据图形和已知条件“BE＝FC”，即可获证．证明：∵BE＝FC，∴BE＋EC＝FC＋CE，即BC＝FE．在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠B＝∠F，故AB∥DF．二、有两角对应相等，则寻求夹边或任一等角的对边对应相等．例3 已知：如图3，AB∥CD，AD∥BC．求证：AB＝CD，AD＝BC．分析：要证明AB＝CD，AD＝BC，只需连结AC，证明△ABC≌△CDA，由于已知条件告诉AB∥CD，AD∥BC，这就等于告诉∠1＝∠2，∠3＝∠4，而AC又是它们的夹边，则成绩获证．证明：连结AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA（ASA），故AB＝CD，AD＝BC．例4 已知：如图4，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＝CD．分析：要证明BE＝CD，只需证明△BCE≌△CBD，在这两个三角形中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，而∠1的对边是BC，∠2的对边是CB，且有BC＝CB，则成绩获证．证明：在△BCE和△CBD中，∴△BCE≌△CBD（AAS）故BE＝CD．三、有一边和该边的对角对应相等，则寻求另一角对应相等．例5已知：如图5，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足为D、E．求证：BD＝AE．分析：要证明BD＝AE，只需证明△ABD≌△CAE，现有条件是一边和该边的对角对应相等，则还需再证明另一角对应相等，而不难发现∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3，则成绩获证．证明：∵BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°．∵∠2＋∠3＝90°．∴∠1＝∠3．在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），故BD＝AE．四、有一边和该边的邻角对应相等，则寻求夹等角的另一边对应相等，或另一角对应相等．例6已知：如图6，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝45°，E是AC上一点，延伸BC到D，使CD＝CE．求证：BF⊥AD．分析：要证明BF⊥AD．只需证明∠1＋∠2＝90°，这时分分∠AFE＝90°，又∠3＋∠4＝90°，∠2＝∠3，那么只需证明∠1＝∠4，这时分分只需证明△ACD≌△BCE，在这两个三角形中，已知有一边和该边的邻角对应相等，只需证明CA＝CB，此时条件中有∠CBA＝45°，可得到CA＝CB，则成绩获证．证明：∵∠ACB＝90°，∠CBA＝45°，∴CA＝CB．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠1＝∠4．∵∠4＋∠3＝90°，∠3＝∠2．∴∠1＋∠2＝90°，故BF⊥AD．例7已知：如图7，AB＝AC，∠B＝∠C，∠1＝∠2，求证：AD＝AE．分析：要证明AD＝AE，只需证明△ABD≌△ACE，由已知条件知，有一边和该边的邻角对应相等，只需再证明另一角对应相等，此时有∠1＝∠2，可得∠BAD＝∠CAE，则成绩获证．证明：∵∠1＝∠2．∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（ASA），故AD＝AE．五、对于直角三角形来讲，则优先考虑运用“斜边、直角边公理”，当此路不通时，再回到上述思绪中去．例8已知：如图8，AD⊥DB，BC⊥CC，AC＝BD，求证：AD＝BC．分析：要证明AD＝BC，只需证明△ADB≌△BCA，而这两个三角形是直角三角形，可考虑运用“斜边、直角边公理”证明，此时由题设条件AC＝BD，结合图形AB＝BA，则成绩获证．证明：∵AD⊥DB，BC⊥CA，∴△ADB和△BCA都是直角三角形，在Rt△ADB和Rt△BCA中，∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL），故AD＝BC．六、对于运用全等三角形证明的结论一次不到位时，则可反复运用上述思绪进行证明．例9已知：如图9，AB＝DE，AF＝CD，EF＝BC，∠A＝∠D，求证：BF∥CE．分析：要证明BF∥CE，只需考虑证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”，这需求根据已知条件和图形特点，先进行比较，再作选择，由于图中没有现成的“同位角”和“内错角”，但添加辅助线后易得“内错角”（连结BE或CF）；另一方面，若考虑“同旁内角”，则要证“互补”，而由已知条件较易证得△ABF≌△DEC，估计进而证明角“相等”比证明角“互补”容易，所以可优先考虑证明“内错角相等”，即连结BE，想法证明∠FBE＝∠CEB，这又需证明△BEF≌△EBC，这样成绩就解决了，请读者完成这一证明．例10已知：如图10，在△ABC和△DBC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，P是BC上任意一点．求证：PA＝PD．分析：要证明PA＝PD，只需证明△ABP≌△DBP，在这两个三角形中，由条件才知道一边和该边的邻角对应相等，由图形知，还必须证明AB＝BD，这又需证明△ABC≌△DBC，而由∠1＝∠2，∠3＝∠4，BC＝BC，则成绩解决了，请读者完成这一证明．综上数例所述，运用全等三角形处理几何证明成绩，要灵活运用题设条件，结合待证结论，对照图形，从不同角度去摸索，不要怕碰壁，要擅长分析，总结规律，辅之适当练习，才能不断进步运用全等三角形的证题能力．成都七中实验学校 2015-2016学年（上期）第一学月考试八年级语文考生留意：1．开考之前请考生将本人的考室号、座号等信息精确的填写在指定的地位，一切答案都写在答题卷上，对错误填写的考生成绩以0分计算。

【构造全等三角形的方法】一、倍长中线法（利用中点、中线构造）例1、如图，△ABC中，AD是中线，AB=4，AC=6。

练习：1、如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，延长BE交AC于F，AF=EF。

求证：AC=BE2、如图，△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF△AD交CA的延长线于F，交AB于点G，若BG=CF，求证：AD是△ABC的角平分线。

二、利用角平分线例1、已知：△1=△2，△3=△4。

求证：AP平分△BAC例2、BE是角平分线，AD垂直BE于D，求证：△2=△1+△C例3、已知在△ ABC中，△B=2△C，△A的平分线AD交BC边于点D．求证：AC=AB+BD．练习：1、如图，已知△1=△2，P是BN上的一点，PF△BC于F，PA=PC.求证：△PCB+△BAP=180°2、如图，已知△BAC=90°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，且CE△BD交BD的延长线于点E。

求证：BD=2CE三、截长补短法（通常用来证明线段和差相等）例1、如图（1）已知：正方形ABCD中，△BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=AC．例2、AB//CD，BE,CE是角平分线，求证：BC=AB+CD练习：1、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是△BAC的平分线，M是AD上任意一点。

求证：MB-MC＜AB-AC2、如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且△APB=△ABC.（1）如图1，若△BAC=60°，点P恰巧在△ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若△BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明。

四、旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形例1、如图，正方形ABCD中，DE=3，BF=1，△EAF=45°，求证：EF=BF+DE．练习：如图所示，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为五、平行线法（平移法）例1、如图，△ABC中，AB＝AC。

证明三角形全等的解题思路思路一：找边边相等呈现的方式：①公共边(包括全部公共和部分公共)；②中点．类型1已知两边对应相等，找第三边相等1．如图，已知AB＝DE，AD＝EC，D是BC的中点，求证：△ABD≌△EDC.类型2已知两角对应相等，找夹边相等2．如图，∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠DBC，求证：△ABD≌△CDB.类型3已知两角对应相等，找其中一角的对边相等3．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF 的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？类型4已知直角三角形的直角边(或斜边)相等，找斜边(或直角边)相等4．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DF，BE＝CF.求证：△ABC≌△DFE.思路二：找角角相等呈现的方式：①公共角；②对顶角；③角平分线；④垂直；⑤平行．类型5已知两边对应相等，找夹角相等5．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.求证：△ABC≌△ADE.6．如图，已知AD＝AE，AB＝AC，求证：△ABE≌△ACD.7．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD.类型6已知一边一角对应相等，找另一角相等8．如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE，求证：△ABC≌△DAE.9．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：(1)△ADO≌△AEO；(2)△BDO≌△CEO.参考答案专题1 证明三角形全等的解题思路1．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△ABD 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝ED ，AD ＝EC ，BD ＝DC ，∴△ABD ≌△EDC(SSS )．2．证明：在△ABD 和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠CDB ，BD ＝DB ，∠ADB ＝∠CBD ，∴△ABD ≌△CDB(ASA )． 3．解：全等．理由：∵两三角形纸板完全相同，∴BC ＝BF ，AB ＝BD ，∠A ＝∠D. ∴AB －BF ＝BD －BC ， 即AF ＝DC.在△AOF 和△DOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠AOF ＝∠DOC ，AF ＝DC ，∴△AOF ≌△DOC(AAS )． 4．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ， 即BC ＝EF.在Rt △ABC 和Rt △DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，BC ＝FE ， ∴Rt △ABC ≌Rt △DFE(HL )．5．证明：∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC. ∴∠BAC ＝∠DAE.在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ， ∴△ABC ≌△ADE(SAS )．6．证明：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，∠A ＝∠A ，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△ACD(SAS )．7．证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD.在△ACD 和△EBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝BD ，∠ADC ＝∠EDB ，DA ＝DE ，∴△ACD ≌△EBD(SAS )． 8．证明：∵DE ∥AB ，∴∠CAB ＝∠EDA.在△ABC 和△DAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAB ＝∠EDA ，AB ＝DA ，∠B ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△DAE(ASA )． 9．证明：(1)∵AO 平分∠BAC ，∴∠DAO ＝∠EAO.∵∠BDC ＝∠CEB ＝90°， ∴∠ADO ＝∠AEO.在△ADO 和△AEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADO ＝∠AEO ，∠DAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△ADO ≌△AEO(AAS )． (2)∵△ADO ≌△AEO ， ∴DO ＝EO.在△BDO 和△CEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BDO ＝∠CEO ，DO ＝EO ，∠DOB ＝∠EOC ， ∴△BDO ≌△CEO(ASA )．。

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（最新精品小专题同步练习）小专题(三) 证明三角形全等的基本思路类型1 已知两边对应相等方法1 寻找第三边对应相等，用“SSS”1．把四根木条做成如图所示的四边形ABCD，其中AB＝AD，CB＝CD，有人说它可以当成一个平分角的仪器，请你说明其中的道理．方法2 寻找夹角对应相等，用“SAS”2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.求证：BC＝DE.类型2 已知两角对应相等方法1 寻找夹边对应相等，用“ASA”3．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC 于F.求证：AE＝DF.方法2 寻找任一对应角的对边对应相等，用“AAS”4．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？类型3 已知一边一角对应相等方法1 有一边和该边的对角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E.求证：AD＝BE.方法2 有一边和该边的邻角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS”6．如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C，求证：OA＝OD.方法3 有一边和该边的邻角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”7．(北京中考)已知：如图，D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE.求证：BC＝AE.。

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专题(一）三角形高线与角平分线的夹角探究方法点津·根据三角形的内角和定理及外角性质，还有角平分线、高的性质，可以发现从三角形的一个顶点出发的高与角平分线的夹角与另两个内角之间有一个不变的数量关系,呈现如下：图1－S－1典题精练·1．如图1－S－2，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝70°,∠C＝30°。

（1）求∠BAE的度数．（2）求∠DAE的度数．(3)探究:小明认为若将条件“∠B＝70°，∠C＝30°"改成“∠B－∠C＝40°”，也能得出∠DAE的度数，小明的想法正确吗？若正确，请你写出求解过程；若不正确,请说明理由．图1－S－22．如图1－S－3①，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B ＝β（α＞β)．（1)若∠BAC＝70°，∠B＝40°，求∠DCE的度数；(2）已知∠BAC＝α，∠B＝β（α＞β），则∠DCE＝________（用含α，β的式子表示);(3）若将△ABC换成钝角三角形，如图1－S－3②，其他条件不变，试用含α,β的式子表示∠DCE的度数，并说明理由；图1－S－3（4）如图1－S－3③，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA延长线于点E，且α－β＝30°，则∠DCE＝________°(直接写出结果）．3．如图1－S－4,在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC，垂足为D,AE平分∠BAC.已知∠B＝65°，∠DAE＝20°，则∠C＝________°.图1－S－44.如图1－S－5，在△ABC中，∠A＝38°，∠B＝70°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB,DP ⊥CE于点P，则∠CDP的度数为________．图1－S－55．（1)感知:如图1－S－6①,在△ABC中,AD平分∠BAC，AE⊥BC,∠B＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；(2）探究：如图1－S－6②，在△ABC中，若把（1)中的“AE⊥BC"变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”,其他条件不变，求∠DFE的度数；（3）拓展：如图1－S－6③,若把（1）中的△ABC变成四边形ABEC，把“AE⊥BC”变成EA平分∠BEC，其他条件不变,猜测∠DAE的度数是否变化，请证明你的结论．图1－S－6专题（二) 三角形内、外角的平分线的夹角探究类型一三角形两内角的平分线的夹角根据三角形内角和定理与角平分线的性质，可以发现三角形两内角的平分线相交所得到的钝角与第三个角有一个不变的等量关系：图2－S－11．如图2－S－2所示，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动,△AOB的角平分线AC与BD相交于点P，随着点A，B的位置的变化，∠APB的大小是否变化?若保持不变,请说明理由；若发生变化，请求出变化的范围．图2－S－22．已知在△ABC中,∠A＝50°。