三角函数周期的常用求法
河南 陈长松
三角函数的周期是三角函数的一个重要性质，也是高考的热点．本文通过实例介绍求三角函数周期的几种常用方法，供参考． 一、公式法
例1 函数)2
3sin(
x y -=π
的最小正周期是 （ ）
Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．－４π Ｄ．４π 解：由公式，得ππ42
12=-=
T ，故选Ｄ．
评注：对于函数)s in(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y 可直接利用公式ω
π
2=
T 求得；对于
)t an(ϕω+=x A y 或)cot(ϕω+=x A y 可直接利用公式ω
π=
T 求得。
二、图像法
例２ 求下列函数的最小正周期
① x y sin = ②x y sin 解：分别作出两个函数的图像知
不是周期函数
评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决． 三、定义法
例３ 求函数x x y cos sin +=的最小正周期
解：∵ 2
cos()2
sin(ππk x k x +++
＝x x cos sin + （Z k ∈）
∴ 2
πk 是函数x x y cos sin +=的周期．显然2
πk 中最小者是
2
π
下面证明2
π
是最小正周期
假设
2
π
不是x x y cos sin +=的最小正周期，则存在<π
，使得：
=+)(T x f )cos()sin(T x T x +++＝x x cos sin +对R x ∈恒成立，
令0=x ，则=+)0(T f T T cos sin +＝10cos 0sin cos sin =+=+T T ① 但<
π
，∴1cos sin >+T T ②
∴ ①与②矛盾， ∴ 假设不成立，∴2
π
是x x y cos sin +=最小正周期．
评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子)()(x f T x f =+出发，设法找出周期T 中的最小正数（须用反证法证明）．
四、转化法 例４ 求函数x x y 6
6
cos
sin +=的最小正周期
解：∵ y ＝)cos
sin
3cos
sin
3()cos (sin
4
2
2
4
3
2
2
x x x x x x +-+
＝)4cos 1(8
31)cos (sin )cos (sin 312
2
2
x x x x x --=+-
＝
x 4cos 8
385+
∴ 函数x x y 6
6
cos sin +=的最小正周期是2
4
2π
π=
=
T
评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求．这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点． 五、最小公倍数法
例５ 求函数y sin3x cos5x =+的最小整周期
解：设sin 3x 、co s 5x 的最小整周期分别为1T 、2T ， 则12T 3
π=
，22T 5
π=
，2T 1
π=
＝2π
∴y sin3x cos5x =+的最小整周期为2π
评注：设()f x 与()g x 是定义在公共集合上的两个三角周期函数，1T 、2T 分别是它们的周期，且
1T ≠2T ，则()f x ±()g x 的最小整周期是1T 、2T 的最小公倍数．
分子的最小公倍数分数的最小公倍数＝
分母的最小公倍数
