无穷级数求和的几种常见方法

级数求和方法总结级数求和问题是无穷级数中的重点也是难点,同时具有较强的技巧*。

以下是小编整理的级数求和方法总结，欢迎阅读。

一、定义法这是以无穷级数前n项求和的概念为基础，以拆项，递推等为方法，进行的求和运算。

这种方法适用于有特殊规律的无穷级数。

二、逐项微分法由于幂函数在微分时可以产生一个常系数，这便为我们处理某些幂函数求和问题提供方法.当然从实质上讲，这是求和运算与求导（微分）运算交换次序问题，因而应当心幂级数的收敛区间（对后面的逐项积分法亦如此）.有时候，所求级数的通项为另一些函数的导数，而以这些函数为通项的级数易于求和，则可将这些函数逐项求导。

三、逐项积分法同逐项微分法一样，逐项积分法也是级数求和的一种重要方法，这里当然也是运用函数积分时产生的常系数，而使逐项积分后的新级数便于求和。

【拓展延伸】数列求和的方法一、分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列构成，则求这个数列的前n项和Sn时可以用分组求和法求解。

一般步骤是：拆裂通项??重新分组??求和合并。

例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和解由和式可知，式中第n项为an=n（3n+1）=3n2+n∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2=n（n+1）2二、奇偶分析求和法求一个数列的前n项和Sn，如果需要对n进行奇偶*讨论或将奇数项、偶数项分组求和再求解，这种方法称为奇偶分析法。

例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）分析：观察数列的通项公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn与数列项数n的奇偶*有关，故利用奇偶分析法及分组求和法求解，也可以在奇偶分析法的基础上利用并项求和法求的结果。

⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法-⽆穷级数求和的⽅法⽬录摘要 (2)1⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法 (2)利⽤级数和的定义求和 (2)利⽤函数的幂级数展开式求和 (3)利⽤逐项求积和逐项求导定理求和 (4)逐项求极限 (5)利⽤Flourier级数求和 (7)构建微分⽅程 (9)拆项法 (9)'将⼀般项写成某数列相邻项之差 (10)2总结 (12)3参考⽂献 (12)$⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法摘要：⽆穷级数是数学分析中的⼀个重要内容，同时⽆穷级数求和问题，也是学⽣学习级数过程中较难掌握的部分.然⽽，⽆穷级数求和没有⼀个固定的⽅法可循.本⽂结合具体例⼦，根据⽆穷级数的不同特点，介绍⼏种常⽤的求⽆穷级数的和的⽅法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和⽆穷级数是数学分析中的⼀个重要内容，它是以极限理论为基础，⽤以表⽰函数，研究函数的性质以及进⾏数值计算的⼀种重要⼯具.然⽽数学分析中注重函数的敛散问题，却对⽆穷级数求和问题的⽅法介绍的⽐较少，所以求和问题是学⽣学习级数过程中较难掌握的部分.⽆穷级数求和没有⼀个固定的⽅法可循.本⽂结合具体例⼦，根据不同的⽆穷级数的不同特点，介绍⼏种常⽤的求⽆穷级数的和的⽅法和技巧. 1利⽤级数和的定义求和定义[1]若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1lim lim n n n n n S u S ∞→∞→∞===∑,则称级数1n n u ∞=∑收敛，记为1n n u S ∞==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列{}n S 发散，则称级数1n n u ∞=∑发散.例1 /例2求级数()∑∞=--1112n n q n ，1≤q 的和 .解： 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2)（1）-（2）得：11(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+---12112(21)1(1)1n nn q q S q n q q q--=+-----212lim 1(1)n n qS q q →∞=+--即级数和2121(1)q S q q =+--. 2利⽤函数的幂级数展开式求和利⽤函数的幂级数展开式可以解决某些级数的求和问题.下⾯是⼏个重要的幂级数展开式：例（01,!xnn e x x n ∞==-∞<<+∞∑1,111n n x x x ∞==-<<-∑ 01ln(1),11!n x x x n ∞=-=--≤<∑3521sin (1),()3!5!(21)!n nx x x x x x n -=-+-+-+-∞<+∞-等等. 例2 求0(1)(21)!nn nn ∞=-+∑的和.解 : 0(1)(21)!nn n n ∞=-+∑0(21)11(1)(21)!2n n n n ∞=+-=-?+∑ 0111(1)2(2)!(21)!n n n n ∞=??=--??+??∑=001111(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n n n ∞∞==---+∑∑ 注意到3521sin (1),()3!5!(21)!n nx x x x x x n -=-+-+-+-∞<+∞-242cos 1(1),()2!4!(2)!nx x x x x n =-+-+-+-∞<+∞>得1(1)(cos1sin1)(21)!2nn n n ∞=-=-+∑.3利⽤逐项求积和逐项求导定理求和定理[2]设幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径为R ,其和函数为()x S ，则在00(,)x R x R -+内幂级数可以逐项积分和逐项微分.即：对00(,)x R x R -+内任意⼀点x ，有：10000()()()1xx nn nn x x N n a a x x x x S x dx n ∞∞+==-=-=+∑∑10000()()()n n n n n n d d a x x na x x S x dx dx ∞-==??-=-=??∑∑并且逐项积分和逐项求导后的级数（显然是幂级数），其收敛半径仍为R . 例3[]3 计算⽆穷级数()() +-++?-+--14534231215432n n x xxxxnn之和(1)x <.解：对于级数()xxnn n+=∑-∞=111(1)x <. ^两边从0积分到x 得()()x nx n n n+=++∞=∑-1ln 11,(1)x <，两边从0积分到x 得()()()()()()x x x x dt t n n xn n nx++-+=+=++?∑-+∞=1ln 1ln 1ln 21021,(1)x <上式右边是原级数. 故级数和()()x x x x S ++-+=1ln 1ln ,(1)x <.例4 求幂级数()()x nn n n n 2112111??-+∑-∞=的和函数()x S .解：令2t x =，幂函数()11111(21)n n n t n n ∞-=??-+??-??∑的收敛半径 '11(21)lim 11(1)(21)n n n R n n →∞+-=+++故原函数的收敛半径1R ==，从⽽收敛区间为(1,1)-，⽽知级数2122211(1)(),(1,1)1n nnn n x xx x x ∞∞-==-=--=∈-+∑∑，记1211()(1),(0)0(21)n n n x x n n ??∞-==-=-∑，'121'12()(1),(0)021n n n x x n ??∞--==-=-∑且''12212212()(1)22(1),(1,1)1n n n n n n x xx x x∞∞---===-?=-?=∈-+∑∑ 于是(1,1)x ∈-，对上式，从0到x 作积分得'''0 ()()()2arctan x x x d x x ??==?,'()()()2arctan xxx x d x xdx ??==??=122012(arctan 2arctan ln(1)1x x dx x x x x -=-++?因此222()2tan ln(1),(1,1)1x f x x x x x x=+-+∈-+. 4逐项求极限如果函数在端点处⽆定义，那么可⽤求极限的⽅法讨论在端点处的和函数. 例5 []4 求幂级数121(1)1n nn x n +∞=--∑的和函数.,解：（1）容易验证该幂级数的收敛域为[]1,1-.（2）再求幂级数在其收敛区间(1,1)-上的和函数，下⾯⽤逐项求导的⽅法求解.设1122()(1)1n n n x f x n +∞-==--∑，(1,1)x ∈- 则有1'12()(1)1n n n x f x n +∞-==--∑ 1n x x n ∞==-∑再设1()(1)nnn x g x n ∞==-∑，(1,1)x ∈-⼜有1'11()(1)1n nn x g x n x -∞==-=-+∑-于是对上式两边进⾏积分，得1()()(0)1xg x dt g t=-++?ln(1)x =-+ 并有'()()ln(1)f x xg x x x ==-+.再进⾏积分，⼜得0()ln(1)(0)xf x t t dt f =-++?221ln(1)224x x x x -=+-+（3）最后讨论幂级数在其收敛域上的和函数.因为函数221()ln(1)224x x x f x x -=+-+在1x =处左连续，⽽幂级数在1x =处收敛，所以等式》21(1)ln(1),1224n n n x x x x x n +∞-=--=+-+-∑ 在1x =处也成⽴.但因()f x 在1x =-处⽆定义，故要改⽤逐项求极限来确定该幂级数在1x =-处的值，即由22111lim ()lim ln(1)224x x x x x f x x ++→-→-??-=+-+ 11ln(1)3lim 1241x x x x +→-??-+=?++?12131lim 14(1)x x x +→-+=+-+34= 得到112123lim ((1))41n n x n x n ++∞-→-==--∑11212lim ((1))1n n x n x n ++∞-→-==--∑ 1122(1)(1)1n n n n +∞-=-=--∑2211n n ∞==-∑ %所以原幂级数的和函数为221ln(1),(1,1]224()3,14x x x x x S x x ?-+-+∈-??=??=-??.5利⽤Flourier 级数求和求某些数值级数的和可选择某个特殊的函数在[]0,2π或[],ππ-上展成傅⾥叶级数，然后再去适当的x 值或逐项积分即可.例6[5]求21(1)nn n ∞=-∑的和.解：21(1)n n n ∞=-∑可以看作是余弦函数21(1)cos nn nx n∞=-∑在0x =时的值，因此可以考虑适当选取⼀个偶函数()f x ，满⾜21(1)()cos nf x nxdx nπππ--=?对于上式左端利⽤分部积分，得到'''22111()cos ()cos ()cos f x nxdx f x nx f x nxdx n n πππππππππ---??=-='''(3)233111()cos ()sin ()f x nx f x nx f x n n nπππππππππ---??-+ 注意到$cos cos()(1)nn n ππ=-=-有1(1)1()cos ()()()sin n f x nxdx f f f x nxdx n n πππππππππ---??=--+?取21()4f x x =，则21(1)()cos nf x nxdx nπππ--=?同时211()6f x dx n πππ-=?，这样21()4f x x =在[],ππ-上的Flourier 级数为 222111(1)cos 412n n x nx nπ∞=-==+∑ `令0x =，得2=-=∑ 例7[4]证明: 441190k k π∞==∑.证明:将函数2()()2xf x π-=展成傅⾥叶级数222001()26xa dx ππππ-==22211()cos 2k xa kxdx k πππ-=， 0k b =是2221cos ()(),02212k xkxf x x k πππ∞=-==+≤≤∑由柏塞⽡尔等式（函数2()( )2xf x π-=连续）2224040111()()22k k k a xa b dx k πππ∞=-++=∑?,有2422444011111ππππππππ∞-=-+===∑?即441190k k π∞==∑. 6构建微分⽅程如果某些级数的⼀般项的分母类似于阶乘的级数时，可以利⽤经过逐项积分或逐项积分后得到的级数之和函数与原级数的和函数构成微分⽅程，然后解微分⽅程来求其和.例8 求级数11112242462468-+-+之和.解：设幂级数246821()(1)2242462468(2)!!nn x x x x x S x n -=-+-++-+则3572'1()(1)224246(2(1))!!nn x x x x S x x n -=-+-++-+24681()2242462468x x x x x ??=--+-+(1())x S x =-于是所得⼀阶微分⽅程：'()(1())S x x S x =-,其通解为22()1,x S x Ce-=+由(0)0S =得1C =- 因此得22121()(1)1(2)!!x nn N xS x Ce n ∞--==-=-∑从⽽121111(1)12242462468S e --+-+==-.7拆项法⽆穷级数求和时，有时根据⼀般项的特点，将⼀般项进⾏拆分来简化运算过程.例9 求幂级数121(1)n n n n x ∞-=-∑的和函数.解:先求幂级数的收敛域.因为1n =，且级数121(1)n n n ∞-=-∑与21所以幂级数的收敛域为(1,1)-. 由于2(1)(2)3(1)1n n n n =++-++因此12111111(1)(1)(1)(2)3(1)(1)(1)n nn nnnn n n n n n n x n n x n x x ∞∞∞∞---====-=-++--++-∑∑∑∑12''11'11(1)()3(1)()1n n n n n n x xx x ∞∞-+-+===---++∑∑ 12''11'1())3((1)())1n n n n n n x xx x∞∞-+-+===---++∑∑ 32'''()3()111x x x x x x=-++++ 【23(1)x x x -=+,(1,1)x ∈-因为幂级数的收敛域为，所以所求和函数为23()(1)x x S x x -=+,(1,1)x ∈-.8将⼀般项写成某数列相邻项之差⽤这⼀⽅法求⽆穷级数的和，⾸先需要解决：已知1n n u ∞=∑，如何求n v当111n n n n m u b b b ++-=，其中(1,2,)i b i =形成公差为d 的等差数列时，1111n n n n m v md b b b ++-=-（m 为待定因⼦）.于常数项级数1n n u ∞=∑，如果能将⼀般项写某数列{}n v 的相邻两项之差:1n n n u v v +=-且极限lim n n u v ∞→∞=存在，则21321111()()()n k n n n n S u v v v v v v v v ∞++===-+-+。

无穷级数的求和法及其应用无穷级数是数学中一个非常重要的概念，我们可以利用无穷级数来求和，得到一些非常有用的结果。

本文将介绍无穷级数的求和法及其应用。

一、无穷级数的定义无穷级数是指一个数列的和，该数列包含无穷多个数。

无穷级数的一般形式为：a1 + a2 + a3 + … + an + …其中，a1、a2、a3、…、an是数列中的前n项，...表示剩余项，也就是前n项之后的无穷多项。

二、等比级数首先，我们来看一个特殊的无穷级数——等比级数。

等比数列是指数列中每一项之比都相等的数列，比如1，2，4，8，16，…就是一个等比数列，因为每一项之比都为2。

等比级数是等比数列的和。

对于等比数列a1，a2，a3，…，an，…以及其公比q（q≠0），则它的等比级数为：S = a1 + a2q + a3q2 + … + an-1qn-2 + an-1qn-1 + …等比级数有一个非常重要的性质：当|q|<1时，S可以求和，也就是说，等比级数可以收敛。

三、收敛级数的求和法1.调和级数我们先来看一个非常经典的例子，即调和级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … + 1/n + …这个级数的和是一个无穷大的数，但是它却收敛。

这是怎么回事呢？事实上，调和级数虽然无穷大，但是它增长的速度非常缓慢。

我们可以把调和级数分成很多个小组，每个小组包含2^k个数，其中k为自然数。

例如，第一个小组为1+1/2，第二个小组为1/3+1/4+1/5+1/6，依此类推。

通过这种方式，我们可以得到一个新的级数：1 + (1/2) + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + … + 1/n上述级数的和为2。

因此，我们可以得出调和级数的和为无穷大的结论。

2. 几何级数几何级数也是一个非常常见的级数，其形式为：a + ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^n + …其中，a为首项，r为公比。

等比无穷级数求和公式无穷级数是数学中的重要概念，它可以描述一系列无限多个数的和。

而等比无穷级数则是其中一种特殊的无穷级数，它的每一项与前一项的比值保持不变。

在本文中，我们将介绍等比无穷级数的求和公式，并通过具体的例子来说明其应用。

等比无穷级数的求和公式可以用以下方式表示：S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...其中，a是首项，r是公比。

当公比r的绝对值小于1时，等比无穷级数收敛，其和可以通过以下公式计算：S = a / (1 - r)当公比r的绝对值大于等于1时，等比无穷级数发散，没有有限和。

下面我们通过几个具体的例子来说明等比无穷级数的求和公式的应用。

例1：计算1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和。

这个无穷级数的首项a是1，公比r是1/2。

由于公比r的绝对值小于1，所以该级数收敛。

根据求和公式，我们可以计算出：S = 1 / (1 - 1/2) = 2所以，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和是2。

例2：计算2 + 4 + 8 + 16 + ...的和。

这个无穷级数的首项a是2，公比r是2。

由于公比r的绝对值大于等于1，所以该级数发散，没有有限和。

通过上述例子，我们可以看到等比无穷级数的求和公式在计算无穷级数的和时非常有用。

但需要注意的是，公比r的绝对值必须小于1才能保证级数的收敛性。

除了等比无穷级数的求和公式，我们还可以通过其他方法来计算无穷级数的和，比如递归求和法、部分和数列法等。

这些方法在不同的情况下都有其适用性。

总结起来，等比无穷级数的求和公式是一个重要的数学工具，可以帮助我们计算无穷级数的和。

通过本文的介绍，相信读者对等比无穷级数的求和公式有了更加清晰的认识，并能够灵活运用它来解决实际问题。

大学数学无穷级数的收敛性与求和大学数学：无穷级数的收敛性与求和无穷级数是数学中一个重要的概念，它由一系列无穷多项的代数和组成。

在数学中，我们对于一个无穷级数的收敛性和求和有着浓厚的兴趣和研究。

本文将讨论无穷级数的基本概念、收敛性判定方法以及求和公式。

一、无穷级数的概念无穷级数的概念可表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁，a₂，a₃，...，aₙ代表级数的每一项。

根据级数的无穷性质，我们可以看到级数的项数n无限大。

因此，无穷级数可以看作是无限多项求和的结果。

二、无穷级数的收敛性对于无穷级数的研究，我们最关注的问题之一就是它的收敛性。

在数学中，无穷级数可能出现以下三种情况：1. 收敛：如果一个无穷级数的部分和数列存在有限的极限值，即Sₙ的极限存在，则称该级数是收敛的。

我们可以用符号表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...= lim Sₙ (n→∞)2. 发散：如果一个无穷级数的部分和数列没有有限的极限值，即Sₙ的极限不存在，则称该级数是发散的。

3. 不确定：在某些情况下，我们无法判断一个无穷级数的收敛性，这种情况被称为不确定。

三、无穷级数的收敛性判定为了确定一个无穷级数的收敛性，数学家们发展了许多判定方法。

下面介绍其中几种主要的方法：1. 正项级数判别法：如果一个无穷级数的每一项都是非负数，并且部分和数列有界，则该级数是收敛的。

2. 比较判别法：如果一个无穷级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，而另一个级数是收敛的，则该级数也是收敛的。

类似地，如果一个无穷级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，而另一个级数是发散的，则该级数也是发散的。

3. 比值判别法：对于一个无穷级数，如果存在一个正常数r，使得级数的项的绝对值与n的幂次之比的极限为r，则有以下结论： - 当r<1时，级数收敛；- 当r>1时，级数发散；- 当r=1时，判定不确定。

高等数学中的无穷级数求和引言：无穷级数是高等数学中的一个重要概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

无穷级数求和的问题一直以来都是数学家们关注的焦点之一。

本教案将以高等数学中的无穷级数求和为主题，通过分析和讨论不同类型的无穷级数求和方法，帮助学生深入理解无穷级数的性质和求和技巧。

一、级数的定义与性质1.1 级数的定义无穷级数是由一列数的和组成的，形如：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，a1、a2、a3...为级数的项。

1.2 级数的收敛与发散级数的和S存在时，称该级数收敛，否则称级数发散。

1.3 级数的部分和级数的部分和Sn表示级数前n项的和，即：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an二、常见的无穷级数求和方法2.1 等差数列求和当级数的项满足等差数列的形式时，可以利用等差数列求和公式进行求和。

例如：S = 1 + 3 + 5 + ...可以将其转化为等差数列的求和问题。

2.2 几何级数求和几何级数是指级数的项之间的比值为常数的级数，形如：S = a + ar + ar^2 + ...其中，a为首项，r为公比。

2.3 幂级数求和幂级数是指级数的项是幂函数的系数，形如：S = a0 + a1x + a2x^2 + ...其中，a0、a1、a2...为系数。

三、常见的无穷级数求和技巧3.1 逐项求和法逐项求和法是指将级数的每一项分别求和，然后将这些部分和相加得到级数的和。

这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。

3.2 积分法积分法是指将级数的每一项进行积分，然后求出积分结果的极限值。

这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。

3.3 求导法求导法是指将级数的每一项进行求导，然后求出导数结果的极限值。

这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。

四、经典的无穷级数求和问题4.1 调和级数求和调和级数是指级数的每一项为倒数的级数，形如：S = 1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个经典的发散级数，但可以通过取部分和的方式得到一个无穷大的极限。

陕西理工学院函授本科毕业论文题目无穷级数求和的若干方法学生姓名专业名称数学与应用数学无穷级数求和的若干方法摘 要：本文介绍了十种无穷级数求和的方法，并通过举例说明这些方法的应用.关键词：无穷级数；级数收敛；级数发散；求和无穷级数包括数项级数和函数项级数.它是表示函数性质的一个重要工具，也是对函数进行数值计算的一个重要手段.我们较常见到的无穷级数求和多为数项级数和幂级数的求和，无穷级数求和问题是无穷级数中的难点，因此这里给出的十种方法主要是针对上述两种级数，并通过例题讲述这些求和方法的应用.1 定义法[1]这是利用无穷级数和的定义来求级数和的一种方法，这种方法用于级数前n 项部分和数列比较好求的级数，在此我又把其分为以下三类.(1) 直接法：适用于1k k u ∞=∑为等差或等比级数或通过简单变换易化为这两种级数.例1 求级数()1121n n n q∞-=-∑的和，()1q <.解 ()2113521n n S q q n q -=++++- (1) n S 中各项的系数1、3、5、是公差为2的等差数列，(1)的两边同乘以q 得：()233521nn qS q q q n q =++++- (2)(1)－(2)得：()()211122221n n n q S q q q n q --=++++-- ()()211221n n q q q n q -=++++--()()1211211n n q q n q q--=+---()()()1221121111n nn q q q S n q qq --=+----- 因为1q <，所以()1121n n n q ∞-=-∑()()22121lim 111n n q qS q q q →∞+==+=---. (2) 拆项法：()()10011lim lim n n n n n n n n n a b b b b b b ∞∞-→∞→∞===-=-=-∑∑.例2 求级数1n ∞=的和.解n u==1n S n⎛=++++-⎝⎝1=即1n ∞=lim 1n n S →∞==.(3) 递推法：是利用问题本身所具有的递推关系来求解问题的一种方法. 例3 求级数211arctan2n n ∞=∑的和. 解 21111228arctan arctan arctanarctan 11283128S +=+==- 311121arctan arctan arctan arctan arctan 2818318S =++=+213318arctanarctan 2141318+==- 由数学归纳法可证： arctan 1n nS n =+πlim lim arctan arctan114n n n n S n →∞→∞===+, 故211arctan 2n n∞=∑π4=. 2 阿贝尔法[2]（即构造幂级数法）若级数0n n a ∞=∑收敛，则0n n a ∞=∑1lim nn x n a x -∞→==∑.由0n n a ∞=∑构造一个幂级数0n n n a x ∞=∑是很简单的，而幂级数的和函数可通过逐项微分或积分得到，故易得0n n a ∞=∑的和.例4 级数1212nn n ∞=-∑的和. 解 令()221212n n n n f x x ∞-=-=∑,x . 之所以这样构造幂级数,是为了消去系数中的因子()21n -.逐项积分()222101121122xxn n n n on n n f x dx x dx x ∞∞--==-==∑∑⎰⎰2112nn x x ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 22212212x xx x x ==--, 即()0xf x dx ⎰22xx =-. 上式两边对x 求导: ()()22222x f x x +=-,故1212n n n ∞=-∑=()()222112lim lim 32x x x f x x --→→+==-. 3 逐项微分法[2]由于幂函数在微分时可以产生一个常系数，这便为我们处理某些幂函数求和问题提供方法.当然从实质上讲，这是求和运算与求导（微分）运算交换次序问题，因而应当心幂级数的收敛区间（对后面的逐项积分法亦如此）.例5 级数()11nn x n n ∞=+∑ 的和函数()S x ，其中1x <.解 ()111111111n n n n n n n n x x x x n n n n n n ∞∞∞∞====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑ 令()11n n x S x n ∞==∑,()211nn x S x n ∞==+∑.由()111n n S x x ∞-='=∑11x =-,则()()101ln 11x S x dx x x ==---⎰;类似地()()()121111ln 1ln 111n n x S x x x x x n x x+∞===--+=---⎡⎤⎣⎦+∑, 故()()()()1211ln 11S x S x S x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.有时候，所求级数的通项为另一些函数的导数，而以这些函数为通项的级数易于求和，则可将这些函数逐项求导.例6 求级数()()21021n n n x ∞+=+∑的和函数，在区间()1,1-内.解()()21021n n n x∞+=+∑()()22121nn n n x n x x x∞∞+=='=+=∑∑210n n x x ∞+='⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ()()222220111n n x x x x x x x x x ∞=''+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-∑ . 4 逐项积分法同逐项微分法一样，逐项积分法也是级数求和的一种重要方法，这里当然也是运用函数积分时产生的常系数，而使逐项积分后的新级数便于求和.例7 求级数()()21021n n n x ∞+=+∑的和函数，这儿1x <.解 令()S x =()2021n n n x ∞=+∑,1x <.而()()22122211xxnn n n n n xS x dx n x dx xx x x∞∞∞+====+===-∑∑∑⎰⎰, 故()()2222111x x S x x x '+⎛⎫== ⎪-⎝⎭-, 则()()21021n n n x∞+=+∑=()()()22211x x xS x x +=-.5 逐项微分、积分有时在同一个级数求和式中既需要逐项微分,又需要逐项积分,这往往是将一个级数求和问题化为两个级数求和问题才会遇到.例8 求级数211nn n x n ∞=+∑的和函数，这儿1x <. 解 ()21111111111n n n n nn n n n n n n n x nx x n x x x n n n∞∞∞∞∞∞======+=+=+-+∑∑∑∑∑∑ ()0011111x x n n n n x n x dx x x n ∞∞==''⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∑∑⎰⎰dx ()()2120112ln 11111x n n x x x x x dx x x x x x ∞+='-⎛⎫=-+=--- ⎪----⎝⎭∑⎰ ()()2ln 11xx x =--- ()1x <.6 通过函数展开法数项级数的求和也可通过函数幂级数或傅里叶级数展开后赋值而得到（当然它们常与幂级数逐项微分、积分技巧配合使用）.(1) 幂级数的赋值法：根据所给数项级数的特点构造一个容易求和的幂级数，在此幂级数的收敛域内有一点0x ，当0x x =时所得的常数项级数恰是要求和的级数.设所求级数的和为S ，幂级数的和为()S x ，则()0S S x =.例9 求级数113nn n ∞=∑的和. 解 作()1n n x S x n ∞==∑,由()1111n n S x x x ∞-='==-∑,则()()0ln 11xdxS x x x==---⎰()1x < 令13x =,则113nn n ∞=∑123ln 1ln ln 332⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭. (2) 傅里叶级数的赋值法：利用函数的傅里叶级数展开再赋值是求数项级数和的一个重要手段.例10 求级数()1211n n n +∞=-∑的和.解 把()22f x x =在[]π,π-上展成余弦级数π2200242ππ3a x dx ==⎰()π220282cos 1πn n a x nxdx n==-⎰ ()1,2,n = 00b =()1,2,n =()()22128π1cos 3n n f x nx n ∞==+-∑ ()ππx -≤≤令0x =,则 ()221280π13n n n ∞==+-∑,故()1211n n n +∞=-∑2π12=. 7 复数法[1]（三角级数求和法）这是求三角级数和常用的方法，为了求级数0cos n n a nx ∞=∑及0sin n n a nx ∞=∑的和，常把它们视为复数域内的幂级数0nn n a z ∞=∑（其中ixz e =）的实部和虚部.如果0nn n a z ∞=∑的和好求，则级数0cos n n a nx ∞=∑及级数0sin n n a nx ∞=∑的求和问题就已解决.例11 求级数1sin n nxn ∞=∑的和函数. 解 ()1111sin Im Im Im nix inxnn n n n e nx e z n n nn∞∞∞∞=======∑∑∑∑,其中ix z e =令()1nn z f z n∞==∑()1z < ()111111n n n n f z zz z z∞∞-=='===-∑∑, ()()()()ln 1ln 1ln 1cos isin ix f z z e x x =--=--=---sin ln 1cos isin i arctan 1cos x x x x -⎡⎤=---+⎢⎥-⎣⎦ ()1sin ln 22cos iarctan21cos xx x=--+-, 故1sin n nx n ∞=∑()sin πIm arctan arctan cot 1cos 22x x x f z x -⎛⎫==== ⎪-⎝⎭ ()02πx <<. 8 积分法(1) [2]积分概念实际上可视为无穷级数求和概念的拓广，但相对来说，定积分较无穷级数好处理，因而有些级数求和问题可化为定积分问题去考虑，但它与定积分的递推公式有关.例12 求级数()111n n n-∞=-∑的和.解 令101n n x I dx x =+⎰,考虑到111110011n n n n n x x I I dx x dx x n---++===+⎰⎰. 当01x ≤≤时，由于1n n x x -≤，故1n n I I -≤, 于是112n n n I I I n -≤+=，即12n I n ≤，又1121n n n I I I n +≥+=+， 即122n I n ≥+.综合上两式有11222n I n n≤≤+ ()1n ≥,故lim 0n n I →∞=.再者递推可有 ()()()11101111n n n n n I I n-∞--=-=---∑, (3)又()11000ln 1ln 21dxI x x==+=+⎰.将(3)式两边取极限()n →∞且0n I → 则()111n n n-∞=-∑()100lim 1ln 2n n n I I I -→∞⎡⎤=+-==⎣⎦.(2)[3]利用公式()()101111a bn x x dx n a n b b a x -∞=-=++--∑⎰，()a b ≠. 来求无穷级数的和，当a 、b 为非负整数时，利用此公式求级数的和特别简单，下面我们验证此公式的正确性.作函数()11n a n b n x x f x b a n a n b ++∞=⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭∑ 1x <()()1111n a n b n f x x x b a ∞+-+-='=--∑111a b x x b a x x ⎛⎫=- ⎪---⎝⎭1x <由于()00f =，故()001111a b a bxx x x x x f x dx dx b a x b a x--==----⎰⎰. 而()()11n n a n b ∞=++∑()10lim x f x →-=,所以()()101111a b n x x dx n a n b b a x -∞=-=++--∑⎰. 例13 求级数()()1112n n n ∞=++∑的和.解 此级数与上面公式比较知1,2a b ==从而()()1112n n n ∞=++∑2101211x x dx x --=--⎰1012xdx ==⎰. 9 化为微分方程求解有些级数的和函数经过微分后，再与原来的级数作某种运算后，可以组成一个简单的微分方程，这样级数求和问题就化为微分方程的求解问题.例14 求()202!nn x n ∞=∑的和函数，()x -∞<<+∞.解 设()()202!n n x S x n ∞==∑,考虑到()()()21211021!21!n n n n x x S x n n -+∞∞=='==-+∑∑, 则()()()()2210002!21!!n n nx n n n x x x S x S x e n n n +∞∞∞==='+=+==+∑∑∑,于是()12dx dx x x xS x e e e dx C e Ce --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰.又()01S =，则12C =，这样可有 ()()12x xS x e e chx -=+=. 10 利用无穷级数的乘积[2]有些级数可视为两个无穷级数的乘积，这时便可将所求级数和问题化为先求两个级数积（当然它们应该好求），再计算它们的乘积，当然这基于下面的结论：若级数n a ∑与n b ∑均收敛，又n c ∑也收敛，其中0110n n n n c a b a b a b -=+++,则n n n c a b =⋅∑∑∑.若n a ∑,nb∑都收敛且至少其中之一绝对收敛，其中nc∑收敛于nna b ⋅∑∑.例15 求级数1111123n n x n ∞=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭∑的和函数()S x ，其中1x <.11 解 考虑()00n n n n x a x ∞∞===∑∑为绝对收敛级数，且()100nn n n x b x n ∞∞==+=∑∑收敛，这里1x <.又()11111101123n n n n n n x x c x x x x x x n n n --⎛⎫=⋅+⋅++⋅+⋅=++++ ⎪-⎝⎭, 则()()()100n n nn n n c x a x b x ∞∞∞====⋅∑∑∑, 再由011nn x x ∞==-∑,()1ln 1n n x x n ∞==--∑, 故()()()()1ln 1ln 111n n x x S x c x x x ∞=--==-=--∑. 无穷级数求和的方法远不止这十种，还有待于继续探索和总结，有些求和问题用一种方法求解很麻烦，甚至不可能，它需要多种方法的灵活交错使用，有些题目则可以多种方法求解，比如例13用定义法求和也可以(拆项相消就可求出部分和),这就要求我们熟练掌握上述方法,根据具体的题型寻找简单可行的途径来求解.参考文献：[1] 陈文灯，黄先开，曹显兵，施明有．高等数学复习指导[M]．北京：清华大学出版社，2007：516-524．[2] 陈文灯，吴振奎，黄惠青．高等数学解题方法和技巧[M]．北京：中国财政经济出版社，2004：334-345．[3] 周翠莲，于兰芳．无穷级数求和的方法[J]．承德民族师专学报:自然科学版，1996，（2）：15-18．。

无穷级数求和的几种方法
康淑卫;李应川
【期刊名称】《邯郸农业高等专科学校学报》
【年(卷),期】2003(020)004
【摘要】@@ 无穷级数求和需要一些技巧,做起来比较困难,下面简单介绍无穷级数求和的几种常用方法.rn1裂项法
【总页数】2页(P27-28)
【作者】康淑卫;李应川
【作者单位】河北工程学院农学校区,河北,永年,057150;河北工程学院农学校区,河北,永年,057150
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.无穷级数求和的几种常用方法 [J], 董汉芬
2.正项无穷级数求和的方法研究 [J], 张红锋
3.探求无穷级数求和的几种常用方法 [J], 易曲
4.无穷级数求和的若干方法 [J], 赵萍
5.关于无穷级数求和的几种方法 [J], 吴坚
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无穷级数公式一般而言，无穷级数指的是以下形式的无穷和：$$ \sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots $$。

其中 $a_1,a_2,a_3,\cdots$ 是数列中的元素。

对于无穷级数的求和，最常用的方法是通过极限的概念来讨论。

具体而言，若存在一数 $L$，使得对于任意正数 $\epsilon$，都存在正整数 $N$，使得当 $n \geqN$ 时，$|\sum_{k=1}^n a_k-L|<\epsilon$，则称级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛于 $L$，否则称级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$ 发散。

若数列 $\{a_n\}$ 满足以下性质，则称级数 $\sum_{n=1}^\inftya_n$ 收敛：1. 数列 $\{s_n\}$，其中 $s_n=\sum_{k=1}^na_k$，即级数部分和数列，是有界的。

2.任意两项之差$|a_{n+1}-a_n|$极限趋于$0$。

对于一些特殊的级数，存在简便的求和公式，例如：1. 正比级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，且求和公式为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}=\frac{1}{1-p}$。

2. 几何级数：$\sum_{n=0}^\infty ar^n$ 当 $|r|<1$ 时收敛，且求和公式为 $\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}$。

3. 幂级数：$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$ 可收敛于某个区间上的函数，且在该区间上可以求导和积分，常用于泰勒级数的求解中。

以上仅列举了一些常用的收敛级数和求和公式，对于更多类型的级数和收敛判别方法，需要进一步学习和掌握。