2012年二模试题分类代数综合学生版

北京2012年中考二模试题分类汇编：代几综合题2012年北京市中考数学二模分类汇编――代几综合题图像信息+几何最值 1. （延庆）已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C两点的坐标分别为A(4,2)，C(n,-2)（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O―A―B―C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ；（2）求B、C两点的坐标及图2中OF 的长；（3）若OM是∠AOB的角平分线,且点G与点H分别是线段AO 与射线OM上的两个动点，直接写出HG+AH的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由。

图3 25. （1）m= …………..1分（2）∵四边形ODEF是等腰梯形∴可知四边形OABC是平行四边形……..2分由已知可得：S△AOC=8,连接AC交x轴于R点又∵A(4,2)，C(n,-2) ∴S△AOC=S△AOR+S△ROC=0.5×RO×2+0.5×RO×2=2RO=8∴OR=4…………….……….3分∴OB=2RO=8，AR⊥OB ∴B(8,0) ,C(4，-2)且四边形OABC是菱形………….4分∴OF=3AO= …………..5分(3) 如图3，在OB上找一点N使ON=OG, 连接NH ………….6分∵OM 平分∠AOB ∴∠AOM=∠BOM ∵OH=OH ∴△GOH≌△NOH∴GH=NH………….………….7分∴GH+AH=AH+HN 根据垂线度最短可知，当AN是点A到OB的垂线段时，且H点是AN与OM的交点∴GH+AH 的最小值=A N=2………….8分动点+面积问题 1. （门头沟）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D 在y轴上.直线CB的表达式为，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P从A点出发，在AB边上匀速运动. 动点Q从点B 出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）. （1）求出点C的坐标；（2）求S随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值.25. 解：（1）把y＝4代入y＝－ x＋，得x＝1. ∴C点的坐标为（1，4）. ……………………………………….1分（2）当y＝0时，－x＋＝0，∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）. 过点C作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3. ∴BC＝＝＝5. ∴sin∠ABC＝＝. ① 0＜t＜4时，过Q作QN⊥OB于N，则QN＝BQ•sin∠ABC＝t. ∴S＝OP•QN＝（4－t）× t ＝－ t2＋ t（0＜t＜4）..........2分②当4＜t≤5时，连接QO，QP，过点Q作QN⊥OB于N. 同理可得QN＝t. ∴S＝OP•QN＝×（t－4）× t. ＝ t2－ t（4＜t≤5）. (3)分③当5＜t≤6时，连接QO，QP. S＝×OP×OD＝（t－4）×4. ＝2t－8（5＜t≤6）....................4分 S随t变化的函数关系式是 . （3）①当0＜t＜4时，∵－ <0 当t＝＝2时， S最大＝＝. (5)分②当4＜t≤5时， S＝ t2－ t，对称轴为t＝－＝2，∵ >0∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大. ∴当t＝5时，S最大＝×52－×5＝2. …………………………..6分③当5＜t≤6时，在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大. ∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4………7分∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.………8分动点+面积+特殊四边形问题 2.（昌平24）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4， )．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找到点M，使得M到D、B的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．①求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S= 时，在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形, 求出点R的坐标．24．解：（1）据题意，A(0，2)，B(2，2)， C(2，0) ．∵ 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4， )，∴ ∴ ∴ ．…………………… 2分（2）点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A．连接AD，与对称轴的交点即为M．∵ A（0，2）、 D（4，），∴ 直线AD的解析式为：．当x=1时，，∴ M （1，）．………………………………… 4分（3）① AP=2t, PB=2-2t, BQ=t．在Rt△PBQ中,∠B=90°，∴ ．∴ ．∴ ,（0≤t≤1）．②当，．∴ , ＞1（舍）．∴ P（1，2），Q（2，）．∴ PB = 1．根据分析，以点P、B、Q、R为顶点的平行四边形只能是□PQRB．∴ R （3，）．此时，点R（3，）在抛物线上．……… 8分动点+直角三角形 3．（石景山）已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝ x交于点B、C（B在右、C在左）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2 个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．解：25.解：（1）点A（0，2m-7）代入y＝－x2＋2x＋m-2，得m=5 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3 ………………………2分（2）由得，∴B（），C（） B（）关于抛物线对称轴的对称点为可得直线的解析式为，由，可得∴ ………………………5分（3）当在抛物线上时，可得，，当在抛物线上时，可得，，舍去负值，所以t的取值范围是．………………8分等腰+动点与图形面积 4.（平谷25）如图，抛物线与x轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点M 到达原点时，点Q立刻掉头并以每秒 3 2个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式．25．解：（1）∵抛物线过点A(－2，0)和B(4，0) ∴ 解得∴ 抛物线的解析式为…………1分（2）抛物线的对称轴为令x=0，得y=4，∴ 设T点的坐标为，对称轴交x轴于点D，过C作CE⊥TD于点E 在Rt△ATD中，∵TD=h，AD=3∴ ………………………………………………………………2分在Rt△CET中，∵E ∴ET= ，CE=1 ∴ ∵AT=CT ∴ ， (3)分解得 .∴ . ...............….………………………………………………………………………4分（3）当时，AM=BQ=t，∴AQ= ∵PQ⊥AQ ∴△APM∽△ACO ∴ ∴PM=2t ∴ ………………6分当时，AM=t ∴BM= .由OC=OB=4，可证BM=PM= . ∵BQ= ∴AQ= ∴ ．…………..8分综上所述，抛物线与图形面积 5.（大兴25）已知抛物线y = x2 + bx ，且在x 轴的正半轴上截得的线段长为4，对称轴为直线x = c．过点A的直线绕点A (c ，0 ) 旋转，交抛物线于点B ( x ，y )，交y轴负半轴于点C，过点C且平行于x轴的直线与直线x = c交于点D，设△AOB 的面积为S1，△ABD的面积为S2． (1) 求这条抛物线的顶点的坐标；(2) 判断S1与S2的大小关系，并说明理由． 25．解：（1）∵ 抛物线y=x2+bx，在x轴的正半轴上截得的线段的长为4，∴ A(2，0)，图象与x轴的另一个交点E的坐标为 (4，0)，对称轴为直线x=2．∴ 抛物线为 y = x2 +b x经过点E (4，0) ．∴ b= -4，∴ y = x2 -4x ．∴ 顶点坐标为（2，－4）．………… 2分 (2) S1与S2的大小关系是：S1 = S2 ………… 3分理由如下：设经过点A（2，0）的直线为y=kx+b (k≠0)．∴ 0 =2k+b．∴ k = b．∴ y= ．∴ 点B 的坐标为（x1 ，），点B 的坐标为（x2 ，）．当交点为B1时，，．．……………………………………… 5分当交点为B2时， = ．∴ S1 = S2．综上所述，S1 = S2．……………… 8分6.（通州24）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P′使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 24. 解：（1）将B、C两点的坐标代入得…….(1分) 解得：…………….(2分)所以二次函数的表达式为：……….(3分) （2）存在点P，使四边形POP C为菱形．设P点坐标为（x，）， PP 交CO于E 若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO．连结PP 则PE⊥CO于E，…………………….(4分) ∴OE=EC= ∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，）……………….(5分) （3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F….(6分) 设P （x，），易得，直线BC的解析式为则Q点的坐标为（x，x－3）. 当时，四边形ABPC的面积最大= 此时P点的坐标为，四边形ABPC 的面积．抛物线+图形变换+几何最值 7.（丰台25）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，A（，0），C（0，2）． (1) 抛物线经过点B、C，求该抛物线的解析式；（2）将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度（0°< <90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；（3）如图（2），将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度（0°< <180°），将得到矩形OA’B’C’，设A’C’的中点为点E，联结CE，当°时，线段CE的长度最大，最大值为．25．解：（1）∵矩形OABC，A（，0），C（0，2），∴B（，2）．∴抛物线的对称轴为x= ．∴b= ．……1分∴二次函数的解析式为：．……2分(2)①当顶点A落在对称轴上时，设点A的对应点为点A’，联结OA’，设对称轴x= 与x轴交于点D，∴OD= ．∴OA’ = OA= ．在Rt△OA’D中，根据勾股定理A’D =3．∴A’( ，-3) ．……4分②当顶点落C对称轴上时(图略)，设点C的对应点为点C’，联结OC’，在Rt△OC’D中，根据勾股定理C’D=1．∴C’( ，1)．……6分(3) 120°，4．……8分抛物线+特殊四边形 8.（顺义25）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．（1）求二次函数的解析式；（2）设D为线段OC上的一点，若，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在y轴上，要使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M、N是否存在，若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．25．解：（1）将点A（-3，6），B（-1，0）代入中，得解得∴二次函数的解析式为．…………………………… 2分（2）令，得，解得，．∴点C的坐标为（3，0）．∵ ，∴顶点P的坐标为（1，-2）．…………………………………………… 3分过点A作AE⊥x 轴，过点P作PF⊥x轴，垂足分别为E，F．易得．，．又，∴△ACB∽△PCD．…………………… 4分∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．∴点D的坐标为．………… 5分（3）当BD为一边时，由于，∴点M的坐标为或…………… 7分当BD为对角线时，点M的坐标为…………… 8分 9.（海淀24）如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x轴负半轴交于点A, 顶点为B, 且对称轴与x轴交于点C. （1）求点B的坐标 (用含m的代数式表示)；（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上， Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标.备用图 24.解：（1）∵ ，∴抛物线的顶点B的坐标为. (1)分（2）令，解得, . ∵ 抛物线与x轴负半轴交于点A，∴ A (m, 0), 且m<0. ........................2分过点D作轴于F. 由 D为BO中点，DF//BC, 可得CF=FO= ∴ DF = 由抛物线的对称性得 AC = OC. ∴ AF : AO=3 : 4. ∵ DF //EO, ∴ △AFD∽△AOE. ∴ 由E (0, 2)，B ，得OE=2, DF= . ∴∴ m = -6. ∴ 抛物线的解析式为 (3)分（3）依题意，得A（-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为 , 直线BC为 . 作点C关于直线BO的对称点，3)，连接交BO 于M，则M即为所求. 由A（-6，0），，可得直线的解析式为 . 由解得∴ 点M的坐标为(-2,2). ……………4分由点P在抛物线上，设P (t， ). (��)当AM为所求平行四边形的一边时如右图，过M作轴于G, 过P1作于H, 则xG= xM =-2, xH= xB =-3. 由四边形AM P1Q1为平行四边形，可证△AMG≌△P1Q1H . 可得P1H= AG=4. ∴ t-(-3)=4. ∴ t=1. ∴ .………………5分如右图，同方法可得P2H=AG=4. ∴ -3- t =4. ∴ t=-7. ∴ . …………6分 (��)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M作于H, 过P3作轴于G, 则xH= xB =-3，xG= =t. 由四边形AP3MQ3为平行四边形，可证△A P3G≌△MQ3H . 可得AG= MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t=-5. ∴ . …………………7分综上，点P的坐标为、、 . 抛物线+圆+特殊四边形 10.（密云24）如图，在直角坐标系中，以轴为对称轴的抛物线经过直线与轴的交点和点 ( ，0)．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；（2）将这条抛物线沿轴向右平移，使其经过坐标原点．①在题目所给的直角坐标系中，画出平移后的抛物线的示意图；②设平移后的抛物线的对称轴与直线（B是直线与轴的交点）相交于点，判断以为圆心、为半径的圆与直线的位置关系，并说明理由；（3）点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求点的坐标，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形． 24．（本小题满分7分）（1）设，则． A（0,2）．设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：．∵过点 ( ，0)，有．解得．所求抛物线解析式为 -----2分（2）①平移后的抛物线如图所示: --------------------------3分②相切．理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的对称轴为直线．∵ 点是对称轴与直线的相交，易求得点的坐标为（，）．由勾股定理，可求得．设原点O到直线AB的距离为d，则有．∵点A为（0，2），点B为（，0），．．．这说明，圆心O到直线AB的距离d与⊙O的半径OC相等．以为圆心、为半径的圆与直线相切． -------------------5分（3）设点的坐标为（，p）．∵抛物线的对称轴与轴互相平行，即AO∥PC．只需，即可使以，，，为顶点的四边形是平行四边形．由（2）知，点的坐标为（，），．．解得，．点的坐标为（，）或（，）．-----------7分因特殊情况产生相似 11.（朝阳25）在平面直角坐标系中，抛物线经过A（－3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动. （1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.25. 解：（1）∵抛物线经过A（－3,0），B（4,0）两点，∴ 解得∴所求抛物线的解析式为. .................................2分（2）如图，依题意知AP＝t，连接DQ，由A（－3,0），B（4,0），C（0,4），可得AC＝5，BC＝，AB＝7. ∵BD＝BC，∴ . (3)分∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ= ∠CDP. ∵BD＝BC，∴∠ DCB= ∠CDB. ∴∠CDQ= ∠DCB. ∴DQ∥BC. ∴△ADQ∽△ABC. ∴ . ∴ . ∴ . 解得.…………………4分∴ .…………………………5分∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为 .（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点E. 点A、B关于对称轴对称，连接BQ交该对称轴于点M. 则，即. …………6分当BQ⊥AC 时，BQ最小. ………………7分此时，∠EBM= ∠ACO. ∴ . ∴ .∴ ，解得. ∴M（，）. ………………………8分即在抛物线的对称轴上存在一点M（，），使得 MQ＋MA的值最小.抛物线+等分面积 12.（东城区25）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△ 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.25．解：（1）由题意，得：解得：所以，所求二次函数的解析式为：……2分顶点D的坐标为（-1，4）.……3分（2）易求四边形ACDB的面积为9. 可得直线BD的解析式为y=2x+6 设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6. ① 当时，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE的解析式为y=-x. 设M 点坐标（x，-x），∴ ……4分② 当时，同理可得M点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）……5分（3）连接，设P点的坐标为，因为点P在抛物线上，所以，所以……6分……7分因为，所以当时，. △ 的面积有最大值……8分所以当点P的坐标为时，△ 的面积有最大值，且最大值为抛物线+几何定值 13.（房山25）如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．25．解：解：⑴把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，------------------------1分再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；-----------------------------------------------3分⑵不变．当x=1时，y=1-t，故M（1，1-t），∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°-----------------------------------------------5分⑶ ＜t＜．-----------------------------------------------7分抛物线+相似 14.（怀柔25）如图，已知抛物线过点D(0， )，且在x 轴上截得线段AB长为6，若顶点C的横坐标为4. (1) 求二次函数的解析式； (2) 在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； (3) 在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．25．解：(1) ∵抛物线对称轴为x=4，且在x轴上截得的线段长为6，∴ A( 1 , 0 )、B( 7 , 0 ); .........1分设抛物线解析式为：y=a(x －h)2+k，∵顶点C的横坐标为4，且过点D(0， )，∴ 解得，， . ∴ 二次函数的解析式为：y= (x-4)2－，或y= x －x+ (2)分（2）∵点A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，∴当点P在线段DB上时，PA+PD取得最小值，……………3分∴DB 与对称轴的交点即为所求点P. 设直线x=4与x轴交于点M，∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴ ，∴ ，∴点P的坐标为(4，)………………………4分（3）由⑴可知，C(4， )，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM= ，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o ① 当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o，∴QN=3 ，BN=3，ON=10，此时点Q(10， )，…………………………………………………5分如果AB=AQ，由对称性可知Q(－2，)………………………6分② 当点Q 在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4， )，………………………………………7分经检验，点(10， )与(－2， )都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为(10， )或(－2， )或(4， )．…………………………8分。

( 2012 年二模文科)立体1(东城区2012.5)（17）（本小题共13分）如图，矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直， MB ∥NC ,MN MB ⊥． （Ⅰ）求证：平面AMB ∥平面DNC ；（Ⅱ）若MC CB ⊥，求证BC AC ⊥.（17）（共13分） 证明：（Ⅰ）因为MB //NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ，所以MB //平面DNC ． ……………2分 因为AMND 是矩形，所以MA //DN ．又MA ⊄平面DNC ，DN ⊂平面DNC ， 所以MA //平面DNC ． ……………4分又MA MB M =，且MA ，MB ⊂平面AMB ， 所以平面AMB //平面DNC ． ……………6分（Ⅱ）因为AMND 是矩形，所以AM MN ⊥.因为AMND MBCN ⊥平面平面，且AMND MBCN =MN 平面平面，所以AM MBCN ⊥平面. 因为BC MBCN ⊂平面，所以AM BC ⊥. ………………10分 因为,MC BC MCAM M ⊥=，所以BC AMC ⊥平面. ………………12分 因为AC AMC ⊂平面,所以BC AC ⊥. ………………13分2房山区2012.517.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，且o60ABC ∠=，E 为棱CD 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1AED ； （Ⅱ）求证：平面1AED ⊥平面1C DD .17．证明：（Ⅰ）连接1A D ，交1AD 与F ,连接EF 由已知四边形11ADD A 是矩形，所以F 为1AD 的中点， 又E 为CD 的中点. 所以EF 为1ΔAED 的中位线.所以1//AC EF 因为1AC ⊄平面1AED ,EF ⊂平面1AED ， 所以1//AC 平面1AED . ………………6分 （Ⅱ）由已知11,DD AD DD BD ⊥⊥，又AD BD D ⋂=,AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴1DD ⊥平面ABCD∵AE ⊂平面ABCD ,∴1AE DD ⊥ ………………10分 ∵底面ABCD 是菱形，且o60ABC ∠=，E 为棱CD 的中点.∴AE CD ⊥又1CD DD D ⋂=,CD ⊂平面1CDD ，1DD ⊂平面1CDD ∴AE ⊥平面11CDD C ………………12分 ∵AE ⊂平面1AED∴平面1AED ⊥平面1C DD . ………………14分3.(朝阳2012.5)17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF .（Ⅰ）求证：⊥BC AF ； （Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ； （Ⅲ）试判断直线AF 与平面EBC 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为EF//AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，因为⊥EA 平面ABCD ，所以⊥EA BC . ………2分 由已知得⊥AB BC 且=EA AB A ， 所以⊥BC 平面EABF . ………3分 又AF ⊂平面EABF ,所以⊥BC AF . ………4分 （Ⅱ）过M 作MN BC ⊥,垂足为N ，连结FN ,则MN //AB . .………5分又14CM AC =,所以14MN AB =. 又EF //AB 且14EF AB =,所以EF //MN ..………6分且EF MN =,所以四边形EFNM 为平行四边形.………7分所以EM //FN .又FN ⊂平面FBC ,EM ⊄平面FBC ,所以//EM 平面FBC . ………9分 （Ⅲ）直线AF 垂直于平面EBC . ………10分证明如下：由（Ⅰ）可知，AF BC ⊥.在四边形ABFE 中，=4,=2,=1AB AE EF ，90BAE AEF ∠=∠=， 所以1tan tan 2EBA FAE ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠. 设AFBE P =,因为90PAE PAB ∠+∠=,故90PBA PAB ∠+∠=则90APB ∠=,即⊥EB AF . ………12分 又因为=EBBC B ，所以⊥AF 平面EBC . ………13分BQ PBACDOQPBACD4(丰台区2012.5 )17.（本小题共14分）如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．（Ⅰ）若Q是P A的中点，求证：PC//平面BDQ；（Ⅱ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若P A=PC，PB=3，∠ABC=60º，求四棱锥P-ABCD的体积．17．证明：（Ⅰ）连结AC，交BD于O．因为底面ABCD为菱形，所以O为AC中点．因为Q是P A的中点，所以OQ// PC，因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC//平面BDQ．……………………5分（Ⅱ）因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，O为BD中点．因为PB=PD，所以PO⊥BD．因为PO∩BD =O，所以BD ⊥平面P AC．因为CQ⊂平面P AC，所以BD⊥CQ．……10分（Ⅲ）因为P A=PC，所以△P AC为等腰三角形．因为O为AC中点，所以PO⊥AC．由（Ⅱ）知PO⊥BD，且AC∩BD =O，所以PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高．因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC=60º，所以，所以．所以13P ABCDV-=⨯=P ABCDV-=……………14分5(2012.5怀柔区)16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ．证明：（Ⅰ）连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE（Ⅱ）证明：由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以BD SO ^，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ^因为ACSO O =，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面6(顺义区2012.5) 16． （本小题共13分）如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，090ACB ∠=，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =F 是BC 的中点．(Ⅰ)求证：DA ⊥平面PAC ；(Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使CG ∥平面PAF ，并求三棱锥A -CDG 的体积．ADCFPB。

1 n [(x1
x)2
(x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

x )2
(xn
6．已知函数 f (x) kx 1，其中实数 k 随机选自区间[2,1] ．对 x [0,1] ， f (x) 0 的
概率是（ ）
1
（A）
3
1
（B）
2
7．某大楼共有12 层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第 2 至第12 层，每层
14．曲线 C 是平面内到定点 F (0,1) 和定直线 l : y 1的距离之和等于 4 的点的轨迹，给
出 下列三个结论：
① 曲线 C 关于 y 轴对称； ② 若点 P(x, y) 在曲线 C 上，则| y | 2 ； ③ 若点 P 在曲线 C 上，则1 | PF | 4 .
其中，所有正确结论的序号是____________．
9．在△ ABC 中， BC 3 ， AC 2 ， A π ，则 B _____． 3
10．已知复数 z 满足 (1 i) z 1 ，则 z _____．
11．如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形， PA 是⊙ O 的切 线， PB 交 AC 于点 E ，交⊙ O 于点 D ．若 PA PE ， ABC 60 ， PD 1， PB 9 ，则 PA _____； EC _____．
8．对数列{an}，如果 k N* 及 1, 2 ,, k R ，使 ank 1ank 1 a2 nk 2 k an 成立，其中 n N* ，则称{an}为 k 阶递归数列．给出下列三个结论： ① 若{an}是等比数列，则{an}为1阶递归数列； ② 若{an}是等差数列，则{an}为 2 阶递归数列； ③ 若数列{an}的通项公式为 an n2 ，则{an}为 3 阶递归数列．

2012年北京市中考数学二模分类汇编——几何综合与中点有关的问题1.(昌平24) 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 分别是CE 、CF 的中点.（1）求证：△DMN 是等边三角形；（2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P . 求证：DP ＝DQ .同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.2.（丰台24）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1 图23.(海淀25.)在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论;（2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.AEFPD CCE BAD F PF A ( M ) D N D A C E NM BFE C BF N M E C B3.（密云25）已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=，等边△AEF 两边分别交DC 、CB 于点E 、F ．（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为P ． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN+值．旋转变换在几何证明应用1.（延庆24）（1）如图1：在△ABC 中，AB =AC ，当∠ABD =∠ACD =60°时，猜想AB 与BD +CD数量关系，请直接写出结果 ；（2）如图2：在△ABC 中，AB =AC ，当∠ABD =∠ACD =45°时，猜想AB 与BD +CD 数量关系并证明你的结论； （3）如图3：在△ABC 中，AB =AC ，当∠ABD =∠ACD =β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD +CD 数量关系(用含β的式子表示)。