4、最小数原理
３、整数集的性质
①整数集构成一个交换环②整数集是有序集③整数集具有离散型④整数集是可列集
1、有理数集是一个数域
2、有理数集是一个有序域
3、有理数集Q+具有阿基米德性质
4、有理数集具有稠密型
5、有理数集是一个可列集
①实数集是一个有序域②实数集R+具有阿基米德性质③实数集具有连续性
④实数集是不可数集
1、复数集是一个数域
2、复数域不是有序域
3、在复数域内，开方运算总可实施。任何非零复数有且只有n个不相等的n次方根。第二章
值
例：求00080cos 40cos 20cos ⋅⋅8
120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 480cos 40cos 40sin 220sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2000000
0000
0000=
===⋅⋅⋅=解：原式N
c
N a
N c N b N b N a ac b c b a log log log log log log :1,,2=--=求证，
的正数，且是不等于例：设原式右边原式左边所以，得证明：由==-⋅-⋅=--=-=-+==a N c N
b N
c N a N a
N b N c N c N
b N b N a N b
N
c N a N b N c N
a N
b N a
c b log log )log (log log )log (log log log 1log 1log 1log 1log log log log log log log 2213cot cot cot 3tan tan tan =-+-θθθθθθ例：求证的值
内的两相异实根，求在为方程、例：已知)sin(),0()0(cos sin βαπβα+≠=+mn p x n x m 原式右边（原式左边证明：（综合法）==⋅-⋅-⋅-⋅-=--⋅-+⋅-=13tan cot 3cot tan 23tan cot 3cot tan 2)3cot )(cot 3tan tan 3tan cot 13cot tan 1θ
θθθθθθθθθθθθθθθ
初等函数 ♦ 1、基本初等函数
♦ 2、定义:初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常
数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个解析式表示的函数。
判断下列函数是否是初等函数？
x y x x x x f x y x x x x x f x
x
x y c bx ax y =++++==⎩⎨
⎧>≤≤=+
-=
++=、、、、、、61)(5]
[41
,1
0,2)(33221323
2
2 答案:是，是，不是，不是，不是，是
22222)(122tan 12tan 2)sin(2tan 2sin 2cos 02sin ,2220,0n m mn n
m n m n m n m +=+⋅=
+++=+=++=+∴≠-∴≠<-<-∴<<<<βαβ
αβαβαβαβαβαβαπ
βαππβπα由万能公式得即又 02sin 2sin )2(2sin 2cos 20
)cos (cos )sin (sin )2()1()
2(cos sin )1(cos sin =-+-⋅+-+⋅=-+--⎩⎨
⎧=+=+βαβαβαβαβαβαββααβαn m n m p n m p n m 即得所以
为方程的两相异实根，、解：因为
判断：是否为同解变形？增根还是失根？判断：是否为同解变形？增根还是失根？
判断：是否为同解变形？增根还是失根？
解方程常用的方法
♦ 1、換元法
2
2221626x x x x -+=+-例：解方程都是原方程的解。经检验解得故有舍）
解得则有令原方程变形为
解3,13,1,362(9,3,02760
6
202762662:21212
212222=-==-==+--===-+>+-==-+-++-x x x x x x y y y y x x y
x x x x 22367211(6)x x x
-+-=-11
1x x x
--（负的舍去）
得即故）得代入（变形为则解：设解方程2
5
1010)11(1211211)1()2(1
2)1(11
1111122+==--=---
=-+-=⎪⎩
⎪⎨⎧-=+-=---
=-+-
=x x x x x x x x x x y x x y x x xy x
x x y x
x x x 11
1x x x x -
+-=
证明不等式的常用方法
1123--=-x x 例：解方程方程的解。经检验这三个解都是原由此得原方程的解为即）得）代入（所以（则设解：（換元法）
10,1,23
,0,11)1(21)2(1)1(11,2321321232
3
3=======+-⎩⎨⎧=+-==-=-x x x v v v v v v u v
u v
x u x i
x i x x x x x x x x x x x x x 32,32,20
)74)(2(0)74)(2()2(0)14154()2(:32122223-=+===+--=----=+---解得原方程化为
解0
1415623=-+-x x x
例：解方程根。
所以原方程有两个实数图像有两个交点。函数从图像不难看出，两个如下。
，作图同解。所以可设解：由于原方程与方程2,2222212+-==+-=--x y y x x x 的实数解的个数。
例：确定方程22
2
=+-x x
3、图像法
的三个根
是三次方程）可知，）（）（由（06116,,541)
5(6
)4(11)
1(623=-+-==++==+t t t z y x xyz zx yz xy z y
x 2、因式分解法
