100以内勾股数表

常用勾股数顺口溜

3，4，5：勾三股四弦五。5，12，13：5·12记一生（13）。6，8，10：连续的偶数。8，15，17：八月十五在一起（17）。常用的套路：当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n，c=2n²+2n+1。

常用勾股数的口诀顺口溜

(一)奇数组口诀：平方后拆成连续两个数

5^2=25,25=12+13，于是5，12，13是一组勾股数。

7^2=49,49=24+25，于是7，24，25是一组勾股数。

9^2=81,81=40+41，于是9，40，41是一组勾股数。

(二)偶数组口诀：平方的一半再拆成差2的两个数

8^2=64,64/2=32,32=15+17，于是8，15，17是一组勾股数。

10^2=100,100/2=50,50=24+26，于是10，24，26是一组勾股数。

12^2=144,144/2=72,72=35+37，于是12，35，37是一组勾股数。

勾股定理的含义

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

史仲夏勾股数组通解公式及（3≤a≤100）常⽤勾股数组表

史仲夏勾股数组通解公式及（3≤a≤100）常⽤勾股数组表

公式：a^2+b^2=(b+k)^2，k=1.2.3.……

令a=mk，b=k(m^2-1)/2。

规律：

当a=质数时，k=1且只有⼀组勾股数组。

当a=质数的2倍时，k=2，也只有⼀组勾股数组。k必须是整数，m通常是奇数或分数。除⾮k与m同是偶数。

k为奇数时，为分母的平⽅。k为偶数时，为分母的⽴⽅。

a=mk=3，k=1，m=3，b=k(m^2-1)/2=4，3^2+4^2=5^2

a=mk=4，k=2，m=2，b=k(m^2-1)/2=3，4^2+3^2=5^2*

a=mk=5，k=1，m=5，b=k(m^2-1)/2=12，5^2+12^2=13^2

a=mk=6，k=2，m=3，b=k(m^2-1)/2=8，6^2+8^2=10^2

a=mk=7，k=1，m=7，b=k(m^2-1)/2=24，7^2+24^2=25^2

a=mk=8，k=2，m=4，b=k(m^2-1)/2=15，8^2+15^2=17^2

a=mk=8，k=4，m=2，b=k(m^2-1)/2=6，8^2+6^2=10^2*

a=mk=9，k=1，m=9，b=k(m^2-1)/2=40，9^2+40^2=41^2

a=mk=9，k=3，m=3，b=k(m^2-1)/2=12，9^2+12^2=15^2

a=mk=10，k=2，m=5，b=k(m^2-1)/2=24，10^2+24^2=26^2

a=mk=11，k=1，m=11，b=k(m^2-1)/2=60，11^2+60^2=61^2

a=mk=12，k=2，m=6，b=k(m^2-1)/2=35，12^2+35^2=37^2

a=mk=12，k=4，m=3，b=k(m^2-1)/2=16，12^2+16^2=20^2

a=mk=12，k=6，m=2，b=k(m^2-1)/2=9，12^2+9^2=15^2*

勾股数列，论勾股数

单 位：四川省达县黄庭学校

教 师：罗昱森

完成时间：2010年5月

1 勾股数列，论勾股数

(罗昱森 四川省达县黄庭学校 635014)

摘 要: 根据无穷勾股数列前两项的存在与否, 得出该数列的存在与否,

论述在1),(yx的条件下, 满足yx取确定奇数的最简勾股数组的无穷性或不存在性.

关键词: 数列}{na, 112nnnaaa, 无穷, 不存在, 特征方程0122, 不等式①、②、③同时有解或无解, 代数环境.

我们要研究一种特殊形式的二次不定方程， 在我国古代数学书《周髀算经》中, 已经栽有“句广三， 股修四， 径偶五”（即勾三， 股四， 弦五的原始提法）这个三边是整数的直角三角形， 因此已经找到了不定方程：

222zyx （I）

的一组解：（3，4，5.）， 刘徽九章注（263）年中又栽有：22213125，

22217158，22225247， 222292120， 由此可知在我国古代已经找到（I）式的很多组解. 在古希腊， 毕达哥拉斯也找到了（I）式的很多组整数解. 因此, 西方称这些解为毕达哥拉斯三元组. 今天, 借住前人的研究成果, 由我和大家继续讨论( 1 )式的解的规律性, 论述其解所具有的性质. 当然, 勾股数组自然是无穷的, 一组勾股数给出后, 总可以将其同时乘上一整数而得到另一组勾股数, 所以我们只需要找最简勾股数, 即yx,互素的勾股数组.

引理: 不定方程(1)的适合条件1),(,0,0yxyx的一切正整数解可以用下列公式表出:

abx2 22aby 22baz

ba0, ,1),(ba ba,一奇一偶.

此引理的证明过程比较简单, 在此我就不给出了.

看下面的问题:

问题一: 求一组勾股数, 除上面所列的(3, 4 ,5)和(20,21,29)外, 使得1xy.

。

-可编辑修改-

勾股定理

编辑

[gōu gǔ dìng lǐ]

勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a2 + b2 = c2的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2 。

中文名

勾股定理、勾股弦定理

外文名

Pythagorean theorem

1基本定理编辑

勾三股四弦五

文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。

数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2 。[1]

推广定理：勾股定理的逆定理。

如果 (a,b,c) 是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即∀n∈Z*，(na, nb, nc) 也是勾股数。若a, b, c 三者互质（它们的最大公约数是 1），它们就称为素勾股数。

2历史编辑

毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。埃及称为埃及三角形。 。

-可编辑修改- 早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且古巴比伦、古埃及、古中国、古印度等的发现都有真凭实据，有案可查。相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。可以说真伪难辨。这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了。至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究。因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了。不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。