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平面向量练习题

一．填空题。

1． AC DB CD BA 等于 ________．

2．若向量 a ＝（ 3，2）， b ＝（ 0，－ 1），则向量 2 b － a 的坐标是 ________．

3．平面上有三个点 A（1，3），B（ 2，2）， C（ 7， x），若∠ ABC ＝90°，则

x 的值为 ________．

4.向量 a、b 满足 | a|=1,| b|= 2 ,(a+b)⊥ (2a-b),则向量 a 与 b 的夹角为 ________．

5．已知向量 a ＝（1，2），b ＝（ 3，1），那么向量 2 a － 1 b 的坐标是 _________．

2

6．已知 A（－ 1， 2），B（2，4），C（ 4，－ 3）， D（x ，1），若 AB 与 CD 共线，

则 | BD | 的值等于 ________．

7．将点 A（2，4）按向量 a ＝（－ 5，－ 2）平移后，所得到的对应点 A′的坐标

是 ______．

8. 已知 a=(1,－2),b=(1,x),若 a⊥ b,则 x 等于 ______

9. 已知向量 a,b 的夹角为 120 ，且 |a|=2,|b|=5, 则（ 2a-b）·a=______

10. 设 a=(2,－3),b=(x,2x),且 3a·b=4,则 x 等于 _____

11. 已知 AB (6,1), BC (x, y), CD ( 2, 3), 且 BC ∥ DA ，则 x+2y 的值为 _____

12. 已知向量 a+3b,a-4b 分别与 7a-5b,7a-2b 垂直，且 |a| ≠ 0,|b| ≠ 0，则 a 与 b 的夹角为 ____

uuur uuur uuur

13． 在△ ABC 中， O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM=2 ，则 OA OB OC 的最小值

是 .

14．将圆 x2 y 2 2 按向量 v=（ 2，1）平移后，与直线 x y 0 相切，则λ的值为 .

二．解答题。

1．设平面三点 A（1，0），B（0，1），C（2，5）．

（ 1）试求向量 2 AB ＋ AC 的模； （2）试求向量 AB 与 AC 的夹角；

（ 3）试求与 BC 垂直的单位向量的坐标．

2.已知向量 a=( sin , cos )（ R ） ,b=( 3,3)

（ 1）当 为何值时，向量 a、 b 不能作为平面向量的一组基底

（ 2）求 | a－ b| 的取值范围

3．已知向量 a、 b 是两个非零向量，当 a+tb(t ∈ R)的模取最小值时，

（1）求 t 的值

（2）已知 a、 b 共线同向时，求证 b 与 a+tb 垂直

4. 设向量 OA (3,1), OB ( 1,2) ，向量 OC 垂直于向量 OB ，向量 BC 平行于 OA ，试求

OD OA OC时,OD 的坐标 .

5.将函数 y=－x2 进行平移，使得到的图形与函数 y=x2－ x－2 的图象的两个交点关于原点

对称 .(如图 )求平移向量 a 及平移后的函数解析式 .

6.已知平面向量 a ( 3, 1), b ( 1 , 3 ).若存在不同时为零的实数 k 和 t, 使

2 2

x a (t 2 3)b, y ka t b,且 x y.

（ 1）试求函数关系式 k=f （ t）

（ 2）求使 f（ t） >0 的 t 的取值范围 .

参考答案

1. 0

2.（－ 3，－ 4）

°

11

（ 2 ，3 2 ）．

6. 73 ．

7.（－ 3，2）．

8.－ 2

1

10. 3

12. 90 °

13. 2

14. 1或 5

（ 1）∵ AB ＝（ 0－1，1－ 0）＝（－ 1，1）， AC ＝（ 2－ 1，5－0）＝（1，5）．

∴ 2 AB ＋ AC ＝ 2（－ 1，1）＋（ 1， 5）＝（－ 1，7）．

∴ |2 AB ＋ AC | ＝ ( 1)2 72 ＝ 50 ．

（ 2）∵ | AB | ＝ ( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝ 12 52 ＝ 26 ，

AB AC

＝（－ 1）× 1＋1×5＝4．

·

AB AC 4 2 13

∴ cos ＝ | AB | | AC | ＝ 2 26 ＝ 13 ．

（ 3）设所求向量为 m ＝（ x，y），则 x2＋ y2＝1． ①

又 BC ＝（ 2－ 0， 5－ 1）＝（ 2，4），由 BC ⊥ m ，得 2 x ＋4 y ＝0． ②

x 2 5 x － 2 5

5 5

y 5 ． y 5 ． 2 5 5 2 5 5

由①、②，得 5 或 5 ∴ （ 5 ，－ 5 ）或（－ 5 ， 5 ）

即为所求．

13．【解】（ 1）要使向量 a、 b不能作为平面向量的一组基底，则向量 a、 b共线

3sin 3 cos 3 0 tan

∴ 3

k (k Z ) k (k Z )

故 6 ，即当 6

基底

时，向量 a、 b 不能作为平面向量的一组

（2） | a b | (sin 3) 2 (cos 3)2 13 2( 3 sin 3cos )

而 2 3 3 sin 3cos 2 3

∴ 2 3 1 | a b | 2 3 1

2 2 2 2

14．【解】（ 1）由 ( a tb) | b | t 2a bt | a |

2a b | a | 是a与b的夹角） t cos (

当 2 | b |2 | b | 时 a+tb(t ∈ R)的模取最小值

| a |

t

（2）当 a、 b共线同向时，则 0 ，此时 | b |

∴ b (a tb) b a tb2 b a | a ||b | | b || a | | a || b | 0

∴ b ⊥ (a+tb)

18．解：设 OC (x, y), OC OB OC OB 0 2 y x 0 ①

又 BC // OA, BC (x 1, y 2) 3( y 2) ( x 1) 0 即： 3y x 7 ②

x 14,

联立①、②得 y 7 10分 OC (14,7),于是 OD OC OA (11,6) .

19．解法一：设平移公式为

x x h

y y k 代入 y x2 ，得到

y k ( x h) 2 .即 y x2 2 hx h2 k ，

2

把它与 y x x 2联立，

y x 2 2hx h 2 k

得 y x 2 x 2

设图形的交点为（ x1， y1），（ x2， y2）， 由已知它们关于原点对称，

x1 x2

即有： y1 y2 由方程组消去 y得： 2x 2 (1 2h) x 2 h 2 k 0.

x1 x2 1 2h 且x1

x2 0得h 1 .

由 2 2

又将（ x1 , y1 ）， ( x2 , y2 ) 分别代入①②两式并相加，

得： y1 y 2 x12 x22 2hx1 x2 h 2 k 2.

0 (x2 x1 )( x2 x1 ) (x1 x2 ) 1 k 2 k 9 .a ( 1 , 9 )

4 . 解得 4 2 4 .

x x 1

2

y y 9

x 2

x 2

平移公式为： 4 代入 y 得： y x 2 . 2

解法二：由题意和平移后的图形与 y x x 2 交点关于原点对称，可知该图形上所有点

都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可 .

y x 2

x 2的顶点为 ( 1 , 9 ) 1 , 9

2 4 ，它关于原点的对称点为 （ 2 4 ），即是新图形的顶点 .

1 1 9 9

由于新图形由 y x 2 平移得到， 所以平移向量为 h 2 0 2 , k 4 0 4 以下同

解法一 .

20．解：（ 1） x y, x y 0.即[( a t 2 3)b] ( k a tb) 0.

a b 2 2 1, 4k t(t 2 3) 0,即k 1 t(t 2 3). 0, a 4,b

4

1 t (t 2 3) 0,即t (t 3) (t 3)0,则 3 t 0或 t 3.

（ 2）由 f(t)>0,得 4