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含参数问题

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含参数求取值范围问题含参数问题一般分为几类：参数与定义域，值域（最大最小值）结合； 参数与单调性结合；参数恒成立问题，能成立，恰好成立问题； 参数与方程问题结合。

两种数学思想：分类讨论；数形结合； 方法：参变量分离，把参数当常数看； 10. 已知函数110)3(1)(+⋅-=x p x f 的定义域为)(∞+-∞，，则实数p 的取值范围是 . P>=321．（本题满分16分）已知函数)0()1(log )(22≥+=x x x f ，)(,)(R a a x x g ∈-=。

（1）试求函数)(x f 的反函数)(1x f-；（2）函数)()()(1x g x f x h +=-，求)(x h 的定义域，并判断函数)(x h 的增减性； （3）（理）若（2）中函数)(x h ，有2)(≥x h 在定义域内恒成立，求a 的范围。

21．给出函数封闭的定义：若对于定义域D 内的任一个自变量x 0，都有函数值f(x 0)D ∈，则称函数y=f(x)在D 上封闭。

（1）若定义域D 1=（0，1），判断下列函数中哪些在D 1上封闭，且给出推理过程f 1(x)=2x-1，f 2(x)=121221+--x x ，f 3(x)=2x -1，f 4(x)=cosx.； （2）若定义域D 2=（1，2），是否存在实数a 使函数f(x)=25+-x ax 在D 2上封闭，若存在，求出a 的值，并给出证明，若不存在，说明理由。

解：14.定义在R 上的函数f(x)的图像过点M （－6，2）和N （2，－6），且对任意正实数k ，有f(x+k)< f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|<4的解集为(－4,4)时，实数t 的值为 ．14．(理科)若关于x 的方程2||3x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ．13．函数y=|x 2–1|和函数y=x+k 的图像恰有三个交点，则k 的值是 ．22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．已知函数4()log (41)(1)xf x k x =+--（x ∈R ）为偶函数． （1）求常数k 的值；（2）当x 取何值时函数()f x 的值最小？并求出()f x 的最小值；（3）设44()log (2)3xg x a a =⋅-（0a ≠），试根据实数a 的取值，讨论函数()f x 与()g x 的图像的公共点个数．13、设,,a b R ∈且1b ≠。

若函数1y a x b =-+的图象与直线y x =恒有公共点，则,a b 应满足的条件是 。

23、（本题满分18分，第（1）小题4分，第2小题6分，第3小题8分）.（理）已知函数21a a x -1f(x)=2+，实数a R ∈且0a ≠。

（1）设0mn >，判断函数)(x f 在[,]m n 上的单调性，并说明理由；（2）设0m n <<且0a >时，f(x)的定义域和值域都是[,]m n ，求n m -的最大值； （3） 若不等式2|()|2a f x x ≤对1x ≥恒成立，求a 的范围；14、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科）已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-).0)(1(),0(12)(x x f x x f x 若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_________)1,(-∞19、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科）（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设函数)0(3)2()(2≠+-+=a x b ax x f ，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-。

（1）求b a ,的值；（2）若函数)(x f 在]1,[m x ∈上的最小值为1，求实数m 的值。

21．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）（满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第三小题6分） 已知函数 ()(0)x af x a ax-=> （1）判断并证明)(x f y =在),0(+∞∈x 上的单调性；（2）若存在0x ，使()00f x x =，则称0x 为函数()f x 的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a 的值，并求出不动点0x ；（3）若x x f 2)(<在),0(+∞∈x 上恒成立 , 求a 的取值范围．21．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分5分.已知函数)2,(|2|lg )1()(2-≠∈++++=a R a a x a x x f 且. （1）写出一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h ，使)(x f =)(x g +)(x h ；（2）对（1）中的)(x g . 命题P ：函数)(x f 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数；命题Q ：函数)(x g 是减函数；如果命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求)2(f 的取值范围.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a a y 的图像关于点)2,1(A 对称． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围； （3）设函数)()(x f x g -=，),2[∞+-∈x ，)(x g 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关．试求a 的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数()22x x f x a -=+（常数)a ∈R ． （1）若1a =-，且()4f x =，求x 的值；（2）若4a ≤，求证函数()f x 在[1,)+∞上是增函数；（3）若存在[0,1]x ∈，使得2(2)[()]f x f x >成立，求实数a 的取值范围．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .【答案】(,)-∞⋃+∞【例4】设函数41)(2-+=x x x f . （Ⅰ）若定义域限制为[0，3]，求f(x)的值域； （Ⅱ）若定义域限制为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]161,21[-，求a 的值. 解:21)21()(2-+=x x f ，∴对称轴为21-=x ， （Ⅰ）2103->≥≥x ，∴)(x f 的值域为)]3(),0([f f ，即]447,41[-；（Ⅱ）∴-=,21)]([min x f 对称轴]1,[21+∈-=a a x ，212321121-≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥+-≤∴a a a ， ∵区间]1,[+a a 的中点为210+=a x ，（1）当211,2121-≤≤--≥+a a 即时，16141)1()1(,161)1()]([2max =-+++∴=+=a a a f x f ，49(4302748162-=-=⇒=++∴a a a a 不合）；（2）当123,2121-<≤--<+a a 即时，161)()]([max ==a f x f ，41(45051616,1614122=-=⇒=-+∴=-+∴a a a a a a 不合）；综上，4543-=-=a a 或.【研讨.欣赏】设f(x)＝lg 1243++x x a，如果当x ∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a 的取值范围。

思路点拔：当x ∈(-∞,1]时f(x)有意义，转化为1＋2x ＋4x a>0在x ∈(-∞,1]上恒成立问题，即 (12)2x ＋(12)x＋a>0在x ∈(-∞,1]上恒成立。

解：由题设可知，不等式1＋2x ＋4xa>0在x ∈(-∞,1]上恒成立，即：(12)2x ＋(12)x＋a>0在x ∈(-∞,1]上恒成立。

设t ＝(12)x , 则t ≥12， 又设g(t)＝t 2＋t ＋a ，其对称轴为t ＝－12∴ t 2＋t ＋a ＝0在[12,+∞)上无实根， 即 g(12)＝(12)2＋12＋a>0，得a>－34所以a 的取值范围是a>－34。

【例3】设函数2()lg(1)f x ax ax =++分别满足下列条件，求实数a 的取值范围 (1)()f x 的定义域是R ； (2)()f x 的值域是R ；（3）()f x 在（-2，1）有意义；温馨提示: 视f (x )为y=lgu 和u =ax 2+ax +1，并结合图象性质看u(x)取值变化．本题四问形似实异,注意区别.解：（1）200440a a a a a >⎧=⇒≤<⎨∆=-<⎩或 （2）040a a >⎧⇒≥⎨∆≥⎩（3）只须210ax ax ++>在（-2，1）上恒成立当a=0时，恒成立当a>0时，∵2()1g x ax ax =++图象过点（0，1），且对称轴为12x =-∴只须(2)421000g a a a a -=-+≥⎧⇒>⎨>⎩ 当a<0时，只须010(2)42106a a g a a <⎧⇒-≤<⎨=++≥⎩综上所述，a 的取值范围是1[,)6-+∞ 【例4】 若函数f （x ）=cx ax ++21的值域为［－1，5］，求实数a 、c . 解：由y =f （x ）=cx ax ++21，得x 2y －ax +cy －1=0. 当y =0时，ax =－1，∴a ≠0.当y ≠0时，∵x ∈R ，∴Δ=a 2－4y （cy －1）≥0.∴4cy 2－4y －a 2≤0.∵－1≤y ≤5，∴－1、5是方程4cy 2－4y －a 2=0的两根.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.54,412ca c∴⎪⎩⎪⎨⎧=±=.41,5c a 方法提炼；题目逆向给出，是由值域即不等式的解求系数.重在用好判别式法（两次）。

【研讨。

欣赏】求函数2||1y x x a =+-+的值域。

解：221()1x x a y f x x x a ⎧+-+⎪==⎨-++⎪⎩2213()()2413()()24x a x a x a x a ⎧++-≥⎪⎪=⎨⎪-++<⎪⎩（1）当12a ≤-时，如图1知13()24y f a ≥-=-（2）当1122a -<<时，如图知2()1y f a a ≥=+（3）当12a >时，如图3 知，13()24y f a ≥=+综上所述：当12a ≤-时，值域为3[,)4a -+∞ （2）当1122a -<<时，值域为2[1,)a ++∞当12a >时，值域为3[,)4a ++∞2．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数xa y )25(--=是减函数。

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数学含参问题总结

数学含参问题总结

数学含参问题总结引言数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，其在各个科学领域中都扮演着重要的角色。

在实际应用中，我们经常会遇到含有未知变量或参数的数学问题，这类问题被称为数学含参问题。

本文将对数学含参问题进行总结，并介绍一些解决这类问题的常用方法。

常见数学含参问题线性方程组线性方程组是最常见的数学含参问题之一。

其一般形式为：a_1*x_1 + a_2*x_2 + ... + a_n*x_n = b其中a_1, a_2, ..., a_n是已知的系数，x_1, x_2, ..., x_n是未知的变量，b是已知的常数。

当某些系数为参数时，我们需要找到满足方程组的变量解。

导数和积分问题在微积分中，我们经常会遇到含参的导数和积分问题。

例如，求函数的导数时，如果函数中含有未知参数，我们需要将参数视为常数，并对函数进行求导。

同样地，在积分问题中，含参函数的积分需要在视参数为常数的情况下进行。

最优化问题最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找使某个目标函数取得最大值或最小值的问题。

当目标函数或约束条件中存在参数时，我们需要通过参数的取值，来确定最优解。

概率和统计问题在概率和统计学中，我们常常需要处理含参的问题。

例如，根据样本数据来估计总体参数，或者计算含有参数的概率分布函数。

解决数学含参问题的方法对于数学含参问题，我们可以采取以下一些常用的方法来求解。

代数方法代数方法是解决数学含参问题的一种常用方法。

通过利用代数运算的性质，可以将含参问题转化为不含参或者参数已知的问题。

例如，在求解线性方程组时，我们可以使用高斯消元法将方程组转化为简化的行阶梯形式，从而解出未知变量。

数值方法数值方法是一种通过数值逼近来求解数学问题的方法。

对于含参问题，可以通过固定参数的值，将问题转化为已知参数的数值计算问题。

然后使用数值计算的方法，例如迭代法、数值积分和插值等来获得近似解。

符号计算方法符号计算方法是一种通过计算机代数系统来求解数学问题的方法。

含参数不等式恒成立问题

含参数不等式恒成立问题

含参数不等式恒成立问题参数不等式恒成立问题是一类重要的数学问题，其表达形式为：（1）存在m个变量x1,x2,…,xm，每个变量的取值范围是实数集合Xi；（2）定义n个不等式Fi(X1,x2,…,xm)；（3）寻找一组Xi使得F1(X1,x2,…,xm)≤0、F2(X1,x2,…,xm)≤0、⋯、Fn(X1,x2,…,xm)≤0成立。

参数不等式恒成立问题常见于最优化理论中的多元函数最优化。

在多元函数最优化中要求某几个函数的值都在一定的范围内。

为此必须找到一组最优参数使得这些不等式恒成立。

由此可以看出该问题是一个典型的大规模多变量不动点问题。

由于该问题是NP完全课时间复杂性问题，所以在本文中采用近似方法来进行求解。

通常情况下考虑使用“差分近似”来对连续可微无界函数Fi(Xi)进行局部递归分割处理。

即将Xi平面上分割成小单元格后将该单元格上的Fi(Xi)值作为Fi′(Xi)的左侧界和上侧界。

使用差分近似法能将大尺度的复杂性转化成小尺度的特征对应的问题来实施局部递归处理。

因此无界期望价值函数能够由一般情况中承受大量决策者原始价核心化而得到解决。

此外，由于该问题之所以难以直接求解是因为它是NP完全难以直接通过传统方法来处理的难度。

在这种情况下，采用动态规划技术来近似代替多项式时间复杂性方法也是常用而有效的手段。

动态规划技术需要将问题分解为一系列子问题，其中每个子问题都只包含部分参数的不等式恒成立的情况。

在这些子问题中，由于参数的数量并不大，因此可以使用多项式时间复杂度的算法来寻找出适当的解决方案。

总之，参数不等式恒成立问题是一类重要但复杂的数学问题。

在本文中，我们使用了“差分近似”和动态规划技术来近似解决该类难题。

它们能够帮助我们快速准确地对大规模多变量不动点问题进行实施局部递归处理。

同时也能有效地将原始NP完全课时间复杂度问题转化为尺度小特征对应的可行解决方案。

含参数的最短路问题及其原始—对偶算法

含参数的最短路问题及其原始—对偶算法

含参数的最短路问题及其原始—对偶算法
一、含参数的最短路问题
含参数的最短路问题（Parametrized Shortest Path Problem, PSP）是最短路径问题（Shortest Path Problem, SPP）的扩展，是的待求解的网络拓扑结构依赖于一组实参构成的参数，它主要用在那些路径选择依赖于实参因素的场合。

与传统SPP相比，在含参数SPP中任务不在于仅求出只依赖于路径上边/弧权值的最短路径，而是求出优化另外一组实数参数的最优路径，这给出的解决方案不再是路径，而是一组相关的参数值，通常这组参数值都是路径上一个或多个节点的权值值。

二、原始——对偶算法
含参数SPP的计算机解决方案一般有两种：原始——对偶算法和隐式唯一性解法。

原—对偶算法是一种割点问题求解方法，由原始算法和对偶算法组成。

原始算法通过改变权值算出最优路径及其关联参数；而对偶算法则采用贪心算法来进行搜索最优路径，当采用原始-对
偶算法解决SPP时，先利用原始算法找出最优的路径及参数，然后再用对偶算法进行简化和精确，以此来减少搜索范围，加快收敛速度。

原始算法首先先利用贪心算法找出满足要求的路径，确定出路径上所有节点的参数值。

然后利用搜索策略对得到的路径进行优化，其方法有：一是贪心优化，二是贪心轮换，三是贪心随机优化，等等。

贪心优化主要是按贪婪算法边/弧及其所有变量依次改变其参数值，找出更优的路径；贪心轮换的思路主要是尝试若干次通过不同参数设置对路径上某些节点变换使得路径达到最佳状态；而贪心随机优化则是改变每个变量以优化整个路径。

含参数不等式问题模型总结

含参数不等式问题模型总结

含参数求取值范围问题含参数问题一般分为几类：参数与定义域，值域（最大最小值）结合； 参数与单调性结合；参数恒成立问题，能成立，恰好成立问题； 参数与方程问题结合。

两种数学思想：分类讨论；数形结合； 方法：参变量分离，把参数当常数看； 10. 已知函数110)3(1)(+⋅-=x p x f 的定义域为)(∞+-∞，，则实数p 的取值范围是 .21．（本题满分16分）已知函数)0()1(log )(22≥+=x x x f ，)(,)(R a a x x g ∈-=。

（1）试求函数)(x f 的反函数)(1x f-；（2）函数)()()(1x g x f x h +=-，求)(x h 的定义域，并判断函数)(x h 的增减性； （3）（理）若（2）中函数)(x h ，有2)(≥x h 在定义域内恒成立，求a 的范围。

21．给出函数封闭的定义：若对于定义域D 内的任一个自变量x 0，都有函数值f(x 0)D ∈，则称函数y=f(x)在D 上封闭。

（1）若定义域D 1=（0，1），判断下列函数中哪些在D 1上封闭，且给出推理过程f 1(x)=2x-1，f 2(x)=121221+--x x ，f 3(x)=2x -1，f 4(x)=cosx.； （2）若定义域D 2=（1，2），是否存在实数a 使函数f(x)=25+-x ax 在D 2上封闭，若存在，求出a 的值，并给出证明，若不存在，说明理由。

解：14.定义在R 上的函数f(x)的图像过点M （－6，2）和N （2，－6），且对任意正实数k ，有f(x+k)< f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|<4的解集为(－4,4)时，实数t 的值为 ．14．(理科)若关于x 的方程2||3x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ．13．函数y=|x 2–1|和函数y=x+k 的图像恰有三个交点，则k 的值是 ．22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．已知函数4()log (41)(1)xf x k x =+--（x ∈R ）为偶函数． （1）求常数k 的值；（2）当x 取何值时函数()f x 的值最小？并求出()f x 的最小值； （3）设44()log (2)3xg x a a =⋅-（0a ≠），试根据实数a 的取值，讨论函数()f x 与()g x 的图像的公共点个数．13、设,,a b R ∈且1b ≠。