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平凡真功显 秒解素养现——由2017浙江省高中数学模拟卷17题说起

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2017年第4期中学教研（数学)• 39 •平凡真功显秒解素养现—由2017浙江省高中数学模拟卷17题说起•李学军曲文瑞（平湖中学浙江平湖31400)摘要：作为数学教师要研究解题，要研究学生的解题，引导学生用数学的思维求思考和解决问题，去体会、体验在解 题过程中的纠结和成功之后的快乐，实现真正意义的数学学习.文章结合2017年浙江省数学模拟卷中的一道填空题，深入 挖掘考点，深刻探寻题源，为2017年的高考复习及数学素养的培养提供一种思考的方向.关键词：解法;探源;教学;启迪中图分类号：〇123.1 文献标识码：A文章编号：1003 -6407(2017)04-39-032016年12月17日浙江省考试院在全省范围 内对参加2017年高考的学生进行了数学模拟测试，元济中学、湖州二中及平湖中学这3所学校结 盟进行了网上阅卷，其中第1题的平均分为0.73，作为填空题的压轴题，真正发挥了对学生的选拔功 能.1考题重现:似曾相识燕归来题目已知函数/(%) =/ +a%+6(其中a，^R)，在区间(0 ,)内有2个零点，则3a+ 6的取值范围是______(答案：（-5,0)).人教A版教材必修1第87页明确指出：方程 有实数根^函数与％轴有交点^函数有零点.本题的实质是考查对函数零点概念的理解，并 且融多种数学思想及解法于一体，这也是处理函数 零点问题中最基本的想法.本题紧扣教材，无论是 函数值范围的处理还是数形结合思想都源于教材.该题作为填空题的压轴题语言简洁，解题入口宽、层次多、区分度好，具有非常明显的“浙江风采”.2解法探究:横看成岭侧成峰解法1直接法/ + a + 6 =0的2个不相等的实数根为a< 0，6>0，于是12a2 -46 >0，、a+6 + 1 >0•设3a+ 6 =，如图1，由ra2 -46 =0，[a+ 6 + 1 =0得交点P( -2，1).当直线3a+6 =经过点0(0,0)时，z=0;当直线3a+6 =经过点尸（-2,1)时，=-5,因此 3a+6e( —5,0).点评该题对于大多数考生来说要么基本没有想法，要么有想法但无行动.的确，在平时的高考 复习中，学生对字母的运算是存在畏难心理的.另外，在平时复习的过程中也很少遇到.因此，该解法 在考试的过程中，很少被考生想到，更不要说用好.解法2根的分布因为函数/()=尤2 + a% + 6(其中a，6 E R)在 区间（0，1)内有2个零点，所以</(0) =6>0，/(1) =1 +a+6>0，气2槡a2 -46 2从而 0<~a-^a2 ~46<^槡a2 -46^=a2-46>0,[0<-了 <i，*收文日期：016-12-20;修订日期:2017-02-16作者简介:李学军（1976 -)男，吉林省德惠市人，中学高级教师.研究方向:数学教育.• 40 •中学教研（数学)2017年第4期整理得- 2 < < 0，b>0,'a-44 >0，+ b + 1 > 0，接下来的处理方式有2种：方法1接下来走规划的路径，通过数形结合进行求解（同解法1).方法2把不等式组变形为2—a —1 <b <-4且—2 < a < 0，2贝丨J-5 <2a-1 <3a+ b<3a+^4<0.点评通过数形结合的方式找出关于a，b的 不等式组，大多数学生比较推崇方法1，因此在考 场上，学生更喜欢走这样的路径.对于方法2来说，学生很难在短时间内想到，利用不等的关系进行消 元，然后再利用函数的单调性，求出相关函数的上界或下界.解法3韦达定理由题意设方程^ +似+ b = 0的2个不相等的 实数根分别为％1，，2，且0 <%1 <%2 <1则+ 尤2 =—a，^^2 = b，从而 3a + b= + :\;1^2 =(^1 —3)(^2 _3) —9.因为0<%<^<1，所以—3 <^1 —3 < —2, 一3<尤2 一3<一2，从而 斗^^-])(2-3) <9，即一5 < (巧一3)(巧一3) _9 <0，亦即 -5<3tt + b〈0.点评该解法把变量a，b用新的有范围的变量^A来表示，根据^，巧的范围来限制出3a +b 的范围.这是一种非常值得推广的解题方法，但是 这种解法说起来轻巧，在遇到实际问题时，马上进 入解题通道的确有难度.解法4构造函数3a + b= ) +%尤2=%(：\;2—3) - 3尤2，尤2 一6尤2 <尤1(尤2 一3) 一3尤2〈一3尤2.因为0<%2<1，所以—3尤2〈0，尤2 —6尤2 >—5，}从而—5 <3tt + b <0.点评该解法把3a + b用一个有限定范围的新的变量表示出来，这种表述可以是相等的也可以 是不等的.而本题恰恰是用不等关系表示，难度明 显增加，解法4和解法2中的方法2有异曲同工之 妙.解法5构造不等式由题意可得下面的不等式组{0</(0) <1，{0</(1) <1，因为/(0) =b，/(1) =1 +a+b，所以b 二/(0)，"⑴-/(0) - 1从而 3a+b=3/(1) - 2/(0 ) -3.又因为■-1 <-/(0) <0,■0</() <1，所以5<33(1) -2/(0) -3<0,即-5<3a+b<0.点评把t t b用变量/(0)，/(1)表示出来，/(0)，/( 1)的范围通过画图（如图2)可以看出，充 分利用不等式的同向可加性，但在相加的过程中应 尽可能利用整体的作用，否则容易把范围扩大.图2 图3解法6数形结合因为函数/(尤）=尤2+t t + b(其中a，b e R)在 区间（0，1)内有2个零点，所以方程/ +似+ b =0在区间（0，1)内有2个不相等的实数根.设g(尤）=-尤2，（尤）= tt% + b，如图3，尽（尤）和^(尤）的图像在％e(0，1)有2个交点，/i(h) =a% + b的图像经过点八3，）和=-/上一点从当直线燃为#(1，-1)处的切线时，=-5;当直 线为0(0,0)处切线时，=0,因此-5 <<0，即-5<3a+b<0.点评在研究等式、不等式解的时候，通常有2017年第4期中学教研(数学)• 41 •2种思考方向：其一是构造一个函数，研究这个函 数与*轴的交点问题;其二是构造2个函数，研究 2个函数图像的交点问题.本题构造一个静态函数 和一个动态函数，而3a +6恰好可以构造出具体的 几何意义，这才是此题的本质所在.3探源:那人却在灯火阑珊处源头1已知:/(*) =x 2+ax + 6(其中a , ER ).1)当6=^4+i 时，求/(*)在[-i ,i ]上的最小值g ( a )的表达式；2)已知函数/(*)在[-1，1]上存在零点，且0矣6-2a 矣1，求6的取值范围.(2015年浙江省数学高考文科试题第20题）源头 2 设 a ，6(E R ,函数 /(*) = ax 2 + 6 ( * +1) -2.若对任意实数6,方程/(*)=*有2个相异的实数根，求实数a 的取值范围.(2015年浙江省高中数学联赛试题第16题）源头3已知6，c e R ，二次函数/(*)=*2 +6* +c 在(0,1)上与*轴有2个不同的交点，求c 2 +(1 + 6)c 的取值范围.(2014年浙江省高中数学联赛试题第18题）4教学启迪:吹尽狂沙始到金一道精彩的考试题目不仅体现在“表美”，更多的是“神美”的传递.通过对经典试题的钻研，在 一定程度上能够引导教师根据实际调整教学内容 以及根据教学内容选择恰当的教学手段和方法，进 而会直接影响学生的数学学习能力的提升.这道填 空压轴题虽然有着“入手易，解法多”的特点，但是 在操作的过程中，部分学生仍然有力不从心的感 觉.2017年浙江省数学高考文理科合卷，在复习教 学时必须把握好教学的难易，需要落实基本概念， 强化基本运算，需要落实基本方法，培养数学直 观[1].因此，在高三的复习教学中我们应该更多关 注以下几个方面：1以生为“心”.在数学学习中“懂而不会，会而不全”的现象 是非常普遍的，归根结底学生关注的焦点只是是否听懂、是否听会，而忽视了是否自己能够独立、高效 地完成.在解题的过程中我们需要关注解法，但是 作为数学教学，更需要学生亲身体验计算的过程， 酸甜苦辣只有自己亲自尝过才知道其中的滋味.2) 以思为“先”.在平时的学习过程中要经常对所学的知识和 题型进行归纳，寻找规律和突破口.在平时的教学 中要尽量留给学生足够的时间让学生读题、审题，在这个过程中读出若干个思维角度，审出题目的结构，理解问题的本质.教师和学生共同养成解题之后有反思的良好习惯，让学生既要知其然，更要知 其所以然.通过反思养成对题目深入的探索，比如举一反三、一题多解、一题多变、多题一解，真正实现罗增儒先生倡导的“通过有限的典型例题的学习去领悟那种解无数道题的数学机智”.3) 以展突“破”.解题是一种创造性的活动，作为数学的学习，积累一定的解题经验对以后解题过程中快速提取信息是大有裨益的，对一些相似的问题进行归纳总结之后，总会有些许的感悟，可以尝试对题目进行改编、拓展、推广，并在这个过程中巩固方法、辨别异同、提升能力.波利亚曾形象地指出/好问题同某些蘑菇有些相似，它们大都成堆的生长，找到一个之后，你应当在周围再找一找，很可能就有几个．”总之，题目是做不尽、探不完的.《庄子•养生 主》中说/吾生而有涯，而知也无涯.”通过这次浙 江省考试院的模拟调研，笔者有一种感触:学生在 考场上的思路探寻，教师在考后的解法探究，命题 者在命题时的蓝图设计，俨然构成了一幅李白笔下 的“举杯邀明月，对影成三人”的精彩且具有浓厚 浙江风味的美妙画卷.参考文献[1 ]王红权.含绝对值的不等式问题复习研究[J ].中学教研（数学），2016(12) :29-34.。

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2017年浙江数学高考试题文档版(含答案)

2017年浙江数学高考试题文档版(含答案)

绝密★启用前2021年一般高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕数 学一、 选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分。

每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

{}{}x -1<x Q x =<<<1，=0x 2P ，那么PQ =A.〔-1,2〕B.〔0，1〕C.〔-1,0〕D.〔1,2〕x y +=22194的离心率是A.B. C. 23 D. 593.某几何体的三视图如下图〔单位：cm 〕，则该几何体的体积〔单位：3cm 〕是 A.π+12B.π+32C.π3+12 D. π3+324.假设x,y 满足约束条件x 0x y 30x 2y 0⎧≥⎪≥=+⎨⎪≤⎩+-，则z 2-x y 的取值范围是A.[0,6]B. [0,4]C.[6, +∞）D.[4, +∞） 5.假设函数()2f x =++x ax b 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-mA. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0〞是465"+2"S S S >的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件y (x)y (x)f f ==，的导函数的图像如下图，则函数y (x)f =的图像可能是8．随机变量i ξ满足P 〔i ξ=1〕=p i ，P 〔i ξ=0〕=1—p i ，i =1，2.假设0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ9．如图，正四面体D –ABC 〔全部棱长均相等的三棱锥〕，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α,β,γ，则 A ．γ<α<β B ．α<γ<β C ．α<β<γ D ．β<γ<α10．如图，平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB ＝ ，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则 A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ． I ３< I １<I ２D ． I ２<I １<I ３非选择题局部〔共110分〕二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题三2017110201138

浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题三2017110201138

浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题（三）一、填空题，每题8分11.设，则sin x cos x sin3x cos3x22.设i为虚数单位，化简(i1)2016(i1)20163.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则a a a11,2,1000a4. 集合x2x3x x R1,2,,100共有个元素，其中x表示不超过x的最大整数。

5.若关于x的方程x2ae x有三个不同的实根，则实数a的取值范围是16.在如图所示的单位正方体 中，设 为正方体的中心，点 分别在棱ABCD A B C DOM , N1 1 1 1A 1D 1,CC 11 2上，,则四面体的体积等于A M,CN OMNB1123D1 M C1 B1A1NDC OAB7.已知抛物线 P 以椭圆 E 的中心为焦点， P 经过 E 的两个焦点，并且 P 与 E 恰有三个交点， 则 E 得离心率等于二、 简答题2a3a 928.已知数列满足，。

用数学归纳法证明：aa1,a5,an 1 n 12nn1n2an2a n2n2329.证明：对任意的实数a,b,c都有a2ab b2a2ac c23a2(a b c)2并求等号成立的充分必要条件。

10.求满足1m n n m mn的所有正整数对(m,n)32017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案三、 填空题，每题 8分11.设，则sin x cos xsin 3 x cos 3 x2113sin x cos x1 2sin x cos xsin x cos x解 答 ： 由， 可 得， 故 ， 从 而24813 11sin x cos xxx2xx x2 x33(sincos )(sin cos sin cos ) (1 )2 8 162.设i 为虚数单位，化简 (i 1)2016(i 1)2016解 答 ： 由 (i1)2 2i ， 可 得 (i 1)201621008 ， 同 理 可 得 (i1)201621008 故(i 1)2016 (i1)2016210093.已知等差数列 的前 100项之和为 100，最后 100项之和为 1000，则a 1,a 2,a 1000 a1解答：设等差数列的公差为 d ，则有 ，解得100a4950d 100 100a94950d 100011a 10.5054. 集合x 2x 3xx R1, 2,,100共有个元素，其中x表示不超过 x 的最大整数。

2017年浙江省高职考数学全真综合模拟试卷(十八)

2017年浙江省高职考数学全真综合模拟试卷(十八)

2017年浙江省高职考数学全真综合模拟试卷（十八）一、选择题1. 已知集合{}是第四象限角x x M =，则下列结论正确的是 （ ) A 。

M ⊆︒30 B 。

{}M ∈︒-30 C.M ∈︒-30 D 。

{}︒<<︒=360270x x M2. 不等式262≤+-x 的解集用区间表示为 （ ） A 。

]4,2[- B 。

)4,2(- C. ]4,2[ D 。

]4,2(3. 已知命题2:=x p ，4:2=x q ，则下列结论正确的是 （ ）A 。

q p ⇒B 。

p q ⇒C 。

q p ⇒且p q ⇒D 。

以上均不对4. 已知函数⎩⎨⎧≥<=)0(10)0(10)(x x x x f ，则()[]=-7f f ( ） A.6 B.100 C 。

10- D 。

100-5. 如图，已知函数)(x f 的图像，则下列结论正确的是 （ ）A.函数)(x f 在区间]4,0[上单调递增B.函数最大值是4C 。

函数)(x f 在区间]2,1[上单调递减D 。

函数最小值是06. 已知二次函数122+-+=m x x y 与122-+=nx x y 的顶点相同，则n m +的值为（ ）A.10 B 。

8 C.7 D.97. 已知数列1,3，5，7，9，则其通项公式可记作 （ ） A 。

12-=n a n B.32-=n a n ()5,1∈nC 。

12-=n a n ]5,1[∈n D. 12-=n a n +∈N n 且]5,1[∈n8. 某小组有男生4名、女生3名，从中选3人参加学校组织的学习调研活动，要求至少1名女生参加,则有不同选派方法 （ ）A.35种B.18种C.30种D.31种9. 已知角α终边上一点)1,2(2---t ，则下列结论正确的是 ( ） A 。

0sin >α B.0cos >α C 。

0cos sin <αα D 。

0tan >α10. 化简)4sin()4cos(απαπ--+的结果是 （ ) A.αsin B 。

(word完整版)2017年浙江高考理科数学试题及解析

(word完整版)2017年浙江高考理科数学试题及解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）选择题部分（共50 分）1. (2017 年浙江)已知集合P={x|-1 v x v 1} , Q={0 v x v 2}，那么P U Q=( )A • ( 1, 2)B . ( 0, 1) C.(-1 , 0) D . ( 1 , 2)1.A 【解析】利用数轴，取P, Q所有元素，得P U Q= (-1 , 2).2. （2017年浙江）椭圆X9+y4=1的离心率是（C.cm)，则该几何体的体积（单位：cm3）3. （2017年浙江）某几何体的三视图如图所示（单位:2.B 【解析】e= 3 = 3 .故选B .3. A 【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所1 nX 211 n以，几何体的体积为V=3X3 X （~Y~+2^2 X1）=2+1.故选A.x >04. （2017年浙江）若x, y满足约束条件x+y-3>Q则z=x+2y的取值范围是（）x-2y WQA. [0, 6]B. [0, 4]C. [6, +s)D. [4, +〜4. D 【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4,无最大值,5. (2017年浙江)若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，贝U M -m()A .与a有关，且与b有关 B .与a有关，但与b无关C .与a无关，且与b无关 D .与a无关，但与b有关a a25 . B 【解析】因为最值 f (0)=b , f (1)=1+a+b , f (-2)=b-4中取，所以最值之差一定与b无关.故选B.6. (2017年浙江)已知等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n,贝U d>0堤S4 + S6>2S5”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D •既不充分也不必要条件6. C 【解析】由S4 + S6-2S5=10a1+21d-2 (5a1+10d) =d，可知当d>0 时，有S4+S6-2S5〉0,即S4 + S6>2S5,反之，若S4 + S6>2S5,则d>0，所以d>0”是S4 + S6>2S5”的充要条件，选C.7. (2017年浙江)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是18. (2017 年浙江)已知随机变量 &满足 P ( &=1) =p i , P ( &=0) =1 -i , i=1 , 2.若 0<p i <p 2<2, 则( ) A . E( g ) v E(^), D(3) v D(切 B . E( 3)v E(切，D(匕)> D (切 C . E(g ) > E( g ), D(g ) v D(②D . E(g ) > E( g ), D( g ) > D(②8. A 【解析】•/ E( g)=p 1, E(②=p 2, ••• E(8) v E(②,•/ D( 8)=p 1(1-p”，D(②=p 2(1-p 2),二 D( 8)- D( g 2)=( p 1-p 2)(1-p 1-p 2)v 0•故选 A .9. （2017年浙江）如图，已知正四面体 D -\BC （所有棱长均相等的三棱锥）， P , Q , R 分别 为 AB , BC , CA 上的点，AP=PB , B Q =CR =2，分别记二面角 D -PR-Q , D -PQ -R, D -QR-PQC RA R（第 9题图）（第 7题图）的平面角为a,伏Y 则（ ）A . y< a< 3B . a< 3 C.a< 3< Y D . 3< Y a9. B 【解析】设O为三角形ABC中心，贝U O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此a< Y 3故选B.10. (2017年浙江)如图，已知平面四边形ABCD , AB丄BC, AB = BC= AD = 2, CD = 3, AC 与BD 交于点O，记I1 = OA O B , I2=OB OC , I3=OC OD，则( )10. C 【解析】 因为/ AOB= / COD > 90 ° OA < OC , OB < OD ，所以 OB OC > 0 >OA OB > OC OD •故选 C.非选择题部分（共100分）11. （2017年浙江）我国古代数学家刘徽创立的 割圆术”可以估算圆周率 n 理论上能把 n 的 值计算到任意精度. 祖冲之继承并发展了 割圆术”，将n 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年. 割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6, S 6= ______ .11.【解析】将正六边形分割为 6个等边三角形，则 Se=6 X （2x1 X1伽60 ―普.A . I i v |2V |3 C . I 3V I i < I 2B . I i < I 3< I 2 D . I 2< I 1< I 3（第10题图）12. （2017 年浙江）已知a, b€ R, （a+bi）2=3+4i （i 是虚数单位）则a2+b2= __________ ,ab= __________ .a2-b2=3, a2=4,12.5 2 【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i，贝U ab=2, 解得b2=1,则a2+b2=5, ab=2.13. （2017 年浙江）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1X4+a2X3+a3X2+a4X+a5,,则a4=_____ ,13. 16 4 【解析】由二项式展开式可得通项公式为Cr 3x r Cm 2 22-m= Cr 3 Cm 2 22-m x r+m, 分别取r=0, m=1 和r=1, m=0 可得a4=4+12=16，取r=m，可得a5=1 X22=4.14. （2017年浙江）已知△ ABC , AB=AC=4, BC=2 .点D 为AB 延长线上一点， BD=2，连结工惟时间（小时）15. （2017年浙江）已知向量a , b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 _________ ，最大值是15. 4, 2丘【解析】设向量 a , b 的夹角为 0,由余弦定理有 a-b|^/12+22-2X 1 X 2X cos 0=75-4COS ,0|a+b|= . 12+22-2 X X2X cos （ n B ）="/5+4cos 0 U|a+b|+|a-b|= 5+4cos +9, 5-4cos 0 令 y= ,5+4cos + ,5-4cos 0 则 y 2=10+2 25-16cos 2 9 € [16,20],据此可得（|a+b|+|a-b|）max = . 20 =2 .5,（|a+b|+|a-b|）min = .16=4,即 |a+b|+|a-b|的最小值是 4,最大值是 2 . 5.16. （2017年浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人服务队，要求服务队中至少有 1名女生，共有 ______ 种不同的选法.（用数字作答） 16. 660 【解析】由题意可得，从8名学生中选出队长 1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为 C4 8XC1 4X C1 3 （种）方法，其中 服务队中没有女生”的选法有 C4 6XC1 4XC1 3 （种）方法，则满足题意的选法有 C4 8XC1 4X C1 3- C4 6 X C1 4XC1 3=660（种）CD ，则△ BDC 的面积是 ,cos / BDC =,15 14. 2 …cos.10 4 【解析】取BC 中点E ,由题意，AE 丄BC , △ ABE 中, .154BE 1cos / ABE= AB =4,1/ DBC=- 4,sin / DBC=1 S A BCD =2 X/151XBDXBC X sin / DBC=〒.T / ABC=2 / BDC , ■ cos / ABC=cos 2 / BDC=2cos 2/ BDC-1=4, 解得cos / BDC=〒 或cos / BDC=- （舍去）•综上 可得，△ BCD 面积为飞， cos / BDC= 4 •417. (2017年浙江)已知a R ，函数f (x ) =|x+：-a|+a 在区间［1 , 4］上的最大值是5,贝U a 的取 值范围是 ____________ . 9 4 4 417. ( a, Z]【解析】x € [1,4],x+ 4€ [4,5],分类讨论：①当 a 》5时,f (x ) =a-x--+a=2a-x--,'2x x x9 4 4函数的最大值2a-4=5，二a=2，舍去；②当aW4时，f (x ) =x+--a+a=x+4W5,此时命题成立； 2x x9 9 9得a=2或 a v 2•综上可得，实数 a 的取值范围是(心，云］.18. (2017 年浙江)已知函数 f (x ) =sin 2x_cos 2x - ,3sin x cos x (x € R ) (1 )求 f (2^ 的值. (2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间.18. 解：(1)由 sin 罕三3, cos 罕-*, f (争=(屮)2- (-2 2-2 3 得 f (=2 .(2 )由 cos 2x=cos 2x-sin 2x 与 sin 2x=2sin xcos x , 得 f(x)=-cos 2x- 3sin 2x=-2sin(2x+ n )6 所以f(x)的最小正周期是 n 由正弦函数的性质得n +2k 2詐2^ n k € Z ,解得 6+k nW 3n +2k n k € Z ,所以，f (x )的单调递增区间是[f +k n 32n +2k n] k € Z .19. (2017年浙江)如图，已知四棱锥 P-\BCD , △ PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形, BC // AD , CD 丄 AD , PC=AD=2DC=2CB , E 为 PD 的中点.③当4 v a v 5时,[f(x)] max =max{|4-a|+a,|5-a|+a}，则|4-a|+a >-05+a , |4-a|+a=5或 |4-a|+a v |5-a|+a ,|4-a|+a=5(第19题图)(1) 证明：CE//平面PAB;(2) 求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.19•解：(1)如图，设FA中点为F，连接EF , FB .因为E, F分别为FD , FA中点，1所以EF // AD 且EF=2AD ,1又因为BC // AD , BC= 2AD ,所以EF // BC 且EF=BC ,即四边形BCEF为平行四边形，所以CE // BF ,连接PN交EF于点Q,连接MQ. 因为E, F, N分别是PD, PA, AD的中点，所以Q为EF中点,在平行四边形BCEF中，MQ // CE.由厶PAD为等腰直角三角形得PN丄AD.在 Rt △ MQH 中, 1 QH=4 MQ= 2, 所以 sin / QMH=¥, 8 所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是 20. (2017 年浙江)已知函数 f(x)= (x - 2x-1 )e -x (x (1) 求 f(x)的导函数;1(2)求f(x)在区间［?, +s)上的取值范围.__ 120.解：(1)因为(x — 2x-1 ) ' =-1 , ( e -x ) ' =-x , \2x-1所以 f (X ) = (1^^) e-x - (X -) e -x =(1~x)^H 1-2}^(x>2). (2)由f(x)=(1-x)( 2x-1-2)e-x =0,2x-1 V 2x-1 5解得x=1或1 1 1所以f (x )在区间［-,+s 上的取值范围是［0, -e'~］.由DC 丄AD , N 是AD 的中点得 BN 丄AD . 所以AD 丄平面 PBN , 由BC//AD 得BC 丄平面PBN , 那么平面PBC 丄平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连接MH . MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以/ QMH 是直线 CE 与平面PBC 所成的角. 设 CD=1 . PC=2 , CD=1 , PD= 2得 CE= 2, _ 1 PN=BN=1 , PB= 3得 QH=j , 在厶PCD 中, 在厶PBN 中, 因为又 f (x ) =2 (葫-1) 2e "x >0113 9 1 21. (2017年浙江)如图，已知抛物线x2=y，点A (三，4)，B(2, 4)，抛物线上的点卩以呦三3V X v 2)•过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1) 求直线AP斜率的取值范围;(2) 求|PA| |PQ|的最大值.21.解：(1)设直线AP的斜率为k,x2-11x+T，1 3因为-2 V X V 3，所以直线AP斜率的取值范围是(-1, 1).1 1kx-y+2k+4=0，(2)联立直线AP与BQ的方程9 3x+kyqk-^O,解得点Q的横坐标是乂。