2018春人教版数学九年级下册282《解直角三角形及其应用》同步练习

28.2解直角三角形（3）一、选择题1. 一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了500m,那么这山的高度是[ ]m.A.230B.240C.250D.2602. 一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到达B点，再从B点出发向南偏东15°方向走了一段距离到C点，则∠ABC的度数为 [ ]A.15°B.75°C.105°D.45°3. 为了求河对岸建筑物AB的高,在地平面上测得基线CD=180米,在C点测得A点的仰角为30°,在地平面上测得∠BCD=∠BDC=45°,那么AB的高是[ ]米.4. 如图,一船向正北航行,看见正东有两个相距10海里的灯塔,船航行半小时后,一个灯塔在船的东南,另一个灯塔在船的东22°30′南,则船的速度(精确到0.1米)是[ ]米/时(tg22°30′=0.4142)A.12.1B.13.1C.14.1D.15.15. 一只船向正东航行,上午7时在灯塔A的正北C处,上午9时到达塔的北偏东60°B处,已知船的速度为每小时20千米,那么AB的距离是[ ]千米.6. 如图：B处有一船,向东航行,上午9时在灯塔A的西南58.4千米的B上午11时到达灯塔的南C处,那么这船航行的速度是[ ]千米/时.A.19.65B.20.65C.21.65D.22.657. 如图：一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°,2小时后,船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°,则灯塔B到船的航海线AC的距离是 [ ]千米.二、填空题一只船向东航行,上午9点到一座灯塔的西南68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南,这只船航行的速度是_____________.(答案可带根号)三、解答题1. 如图：已知一船以每小时20海里的速度向正南行驶,上午10时在A 处见灯塔P 在正东,1小时后行至B 处,观察灯塔P 的方向是北60°东.求正午12时船行驶至C 处距灯塔P 的距离.(答案可带根号)2．如图：东西方向的海岸线上有A 、B 两码头，相距100 )13(-千米，由码头A 测得海上船K 在北偏东30°，由码头B 测得船K 在北偏西15°，求船K 距海岸线AB 的距离（已知tan75°=32+-）参考答案一、选择题1. C2. B3. C4. C5. D6. B7. C二、填空题时海里/217三、解答题1．米7202．350千米。

解直角三角形及其应用一、双基整合:1．在下面条件中不能解直角三角形的是（）A．已知两条边 B．已知两锐角 C．已知一边一锐角 D．已知三边2．在△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，用科学计算器求∠A约等于（）A．24°38′ B．65°22′ C．67°23′ D．22°37′3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，有下列关系式：•①b=ccosB，②b=atanB，③a=csinA，④a=bcotB，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．为测一河两岸相对两电线杆A、B间距离，在距A点15m的C处，（AC⊥AB），测得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为( )mA．15sin50° B．15cos50° C．15tan50° D．15cot50°5．在△ABC中，∠C=90°，52，则斜边c=_____，∠A的度数是____．6．在直角三角形中，三个内角度数的比为1：2：3，若斜边为a，•则两条直角边的和为________．7．四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12，BC=4，CD=3，AD=13，•则四边形ABCD•的面积为________．8．如图，小明想测量电线杆AB•的高度，•发展电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_______米．（结果1.411.73）9．如图所示，在Rt△ABC中，a，b分别是∠A，∠B的对边，c为斜边，如果已知两个元素a，∠B，就可以求出其余三个未知元素b，c，∠A．（1）求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程．第一步：已知：a,∠B,用关系式:_______________,求出:_________________;第二步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________;第三步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________.（2）请你分别给出a，∠B的一个具体数据，然后按照（1）中的思路，求出b，c，∠A的值．bcaA10．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=3cm，AB=7cm，高为，求底角B的度数．11．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BCD=α，•求cos α的值．BCD二、探究创新12．国家电力总公司为了改善农村用电量过高的现状，目前正在全面改造各地农村的运行电网，莲花村六组有四个村庄A ，B ，C ，D 正好位于一个正方形的四个顶点，•现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图所示的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线（以下数据可供参考）．13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt △ABC 中较小锐角的余弦值．三、智能升级14．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD，CD的长．15．（2006·宜昌）如图，•某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，•与地面的夹角∠BPC为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5m，窗户的高度AF为2.5m，求窗外遮阳篷外端一点D到窗户上椽的距离AD．（结果精确到0.1m）答案:1．B 2．D 3．C 4．C 5°6．36 8．8．7 9．略10．60° • •11．cosα12．设正方形边长为a，则（1）3a，（2）3a，（3）（a，（4））a ∴第（4）种方案最省电线13．45 14．，15．过点E 作EG ∥AC 交BP 于点G ，∵EF ∥DP ，∴四边形BEFG 是平行四边形． 在Rt △PEG 中，PE=3.5，∠P=30°，tan ∠EPG=EGEP ，∴EG=EP ·tan ∠ADB=3.5×tan30°≈2.02（或）．又∵四边形BFEG 是平行四边形，∴BF=EG=2.02，∴AB=AF-BF=2.5-2.02=0.48（或．又∵AD ∥PE ，∠BDA=∠P=30°，在Rt•△BAD 中，tan30°= ,ABADtan 30ABAD ∴=︒=0.48）≈0.8（m ），∴所求的距离AD 约为0.8m ．。

28.2 解直角三角形第3课时坡角、方向角与解直角三角形1. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，堤坝高BC=50 m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100 m B．100C．150 m D．502. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．米 B. 12米 C. (4－米 D. 10米3. 如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路l的距离为米．4. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1:5，则AC的长度是 cm．5. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500 m到达目的地C点．（1）求A、C两点之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的什么方向？参考答案1．A2．A3．4．2105．解：（1）过B点作BE∥AD，如图，∴∠DAB=∠ABE=60°.∵30°+∠CBA+∠ABE=180°，∴∠CBA=90°，即△ABC为直角三角形.由已知可得：BC=500 m，AB，由勾股定理可得：AC2=BC2+AB2，AC.∴1000(m)（2）在Rt△ABC中，∵BC=500 m，AC=1000 m，∴∠CAB=30°.∵∠DAB=60°，∴∠DAC=30°.即点C在点A的北偏东30°的方向.。

28.2 解直角三角形第3课时坡角、方向角与解直角三角形1. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1:3，堤坝高BC=50 m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100 m B．1003 mC．150 m D．503 m2. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．(6+3)米 B. 12米 C. (4－23)米 D. 10米3. 如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路l的距离为米．4. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1:5，则AC的长度是 cm．5. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003 m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500 m到达目的地C点．（1）求A、C两点之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的什么方向？参考答案1．A2．A3．2534．2105．解：（1）过B 点作BE ∥AD ，如图，∴∠DAB =∠ABE =60°.∵30°+∠CBA +∠ABE =180°，∴∠CBA =90°， 即△ABC 为直角三角形.由已知可得：BC =500 m ，AB =5003 m ， 由勾股定理可得：AC 2=BC 2+AB 2，∴22500(5003)1000(m)=+=AC .（2）在Rt △ABC 中，∵BC =500 m ，AC =1000 m ， ∴∠CAB =30°.∵∠DAB =60°，∴∠DAC =30°. 即点C 在点A 的北偏东30°的方向.。

九年级数学人教版下册28.2解直角三角形及其应用同步测试题28.2解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计小题，每题分，共计27分，）1.在Rt△ACB中，∠C=90∘，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC的长为（）A.6B.7.5C.8D.12.52.兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是（）A.北纬34∘03＇B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03＇，东经103∘49＇3.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A.450a元B.300a元C.225a元D.150a元4.如图，在坡度为1:2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（）A.3mB.35mC.12mD.6m5.如图，梯形ABCD中，AD // BC，∠B＝45∘，∠D＝120∘，AB ＝8cm，则DC的长为（）A.863cmB.463cmC.46cmD.8cm6.一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为30∘，若窗高AB=1.8米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则挡板AC （垂直于AB）的长最少应为（）A.1.83米B.0.63米C.3.6米D.1.8米7.在河岸边一点A测得与对岸河边一棵树C的视线与河岸的夹角为30∘，沿河岸前行100米到点B，测得与C的视线与河岸的夹角为45∘，则河的宽度为（）A.200米B.1003米C.1003-1米D.1003+1米8.如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30∘，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度为i=4:3，坡长AB=10.5米，则此时小船C 到岸边的距离CA的长为（）米．（3≈1.7，结果保留两位有效数字）A.11B.8.5C.7.2D.109.某班的同学想测量一教楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为16米，它的坡度i＝1:3，在离C点45米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37∘，则一教楼AB的高度约为（）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，3≈1.73）A.44.1B.39.8C.36.1D.25.9二、填空题（本题共计7小题，每题分，共计21分，）10.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=23，∠B为锐角，则tanB=________．11.如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至A处时，测得小岛C在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C在轮船的南偏东60度的方向处．若CB=40海里，则轮船航行的时间为________．12.在Rt△ABC中，∠C=90∘，a=2，b=3，则cosA=________．如果港口A的南偏东52∘方向有一座小岛B,那么从小岛B观察港口A的方向是________.14.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为________cm，底角的余弦值为________．如图，长为4m的梯子搭在墙上与地面成60∘角，则梯子的顶端离地面的高度为________m（结果保留根号）．如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32＇．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．三、解答题（本题共计小题，共计70分，）17.如图是大型超市扶梯的平面示意图．为了提高扶梯的安全性，超市欲减小扶梯与地面的夹角，使其由45∘改为30∘．已知原扶梯AB 长为42米．（1）求新扶梯AC的长度；（2）求BC的长．18.某校数学兴趣小组的同学为了利用所学知识，测量校园内一棵树DE的高度（如图所示），当这棵树顶点D的影子刚好落在旗台的台阶下点C处时，他们测得此时树顶点D的仰角为60∘；当点D的影子刚好落在台阶上点A时，树顶点D的仰角为30∘，台阶坡度为3:3，台阶高度AB=2米，点B、C、E在同一水平线上，求树高DE（测角仪高度忽略不计）．19.某小区举行放风筝比赛，一选手的风筝C距离地面的垂直高度CD为226米，小明在火车站广场A处观测风筝C的仰角为21.8∘，同时小花在某楼顶B处观测风筝C的仰角为30∘，其中小花观测处距水平地面的垂直高度BE为100米，点A，E，D在一条直线上．试求小明与楼BE间的水平距离AE．(结果保留整数)(3≈1.73,sin21.8∘≈0.37,cos21.8∘≈0.93,tan21.8∘≈0.40)20.如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌(CD)，放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60∘，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45∘．已知山坡AB的坡度为i＝1:3，AB＝10米，AE＝15米．（i＝1:3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）21.如图，要环绕A、B、C、D四地修筑一条高等级公路ABCDA．已知A、B、C三地在同一直线上，D地在A地的北偏东45∘方向，在B地的正北方向，在C地北偏西60∘方向，C地在A地的北偏东75∘方向，B、D两地相距10km．如果该公路每公里造价为2000万元，求该公路全长的造价是多少万元？（用根号表示）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF // MN，小聪在河岸MN上点A处测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30∘方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度．（结果保留根号）23.有一款如图(1)所示的健身器材，可通过调节AB的长度来调节椅子的高度，其平面示意图如图(2)所示，经测量，AD与DE的夹角为75∘，AC与AD的夹角为45∘，且DE // AB．现调整AB的长度，当∠BCA为75∘时测得点C到地面的距离为25cm．请求出此时AB的长度（结果保留根号）．。

28.2 解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在△ABC中，AB=12√2，AC=13，cos∠B=√22，则BC边长为（）A.7B.8C.8或17D.7或172. 如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sin B=()A.5 13B.1213C.35D.453. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30∘方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A.30√2海里B.30√3海里C.60海里D.30√6海里4. 如图，在高为2m，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A.2(√3+1)mB.4mC.(√3+2)mD.2(√3+3)m5. 在离电视塔am的A处，测得塔顶仰角为β，若测角仪高度为bm，则电视塔高为（）A.(a tanβ+b)mB.(a cotβ+b)mC.(a sinβ+b)mD.(a cosβ+b)m6. 如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．现在AC上取一点B，使∠ABD=145∘，BD=500 m，∠D=55∘，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离为（）mA.500⋅sin55∘ mB.500⋅cos55∘ mC.500⋅tan55∘ mD.50cos55∘，AC=2√3，则AB=()7. 如图，在△ABC中，∠A=30∘，tan B=√32A.4B.5C.6D.78. 如图是一长为50米的游泳池的纵切面，该游泳池的最浅处为1.2米，最深处为2.2米，底面为斜坡，则底面的坡度为（）A.50B.1:50C.3:125D.11:2509. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60∘方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30∘方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30∘方向，则A，C两地的距离为()A.10√33km B.5√33km C.5√2km D.5√3km10. 如图，等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，则腰AB、AC的值为（）A.20B.15C.10D.7.5二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=2√3，BC=√3，那么∠B=________度．12. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________∘．13.在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=2，若sin C=15，则BC的长度为________．14. 如图，C岛在A岛的北偏东50∘，C岛在B岛的北偏西40∘方向，且BC为5海里，AC为12海里，则sin∠CAB=________．15. 在△ABC中，AB=AC=6cm，BD为AC边上的高，∠DAB=60∘，则线段CD的长为________．16. 如图，一个小球由地面沿着坡度i=1:2的坡面向上前进了10m，此时小球距离出发点的水平距离为________m．17. 如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32′．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．18. 如图，设∠AOC=α，∠BOC=β，P为射线OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，等于________（用α、β的三角函数表示）则PDPE19. 如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30∘，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC 的高度为________m（结果保留根号）．20. 如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD．小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60∘，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45∘．已知山坡AB垂直于视线AD，AB=20米，AE=30米，则这块宣传牌CD的高度为________．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知一艘轮船从港口A出发以80km∕ℎ的速度向正东方向航行，30min后到港口B，又从港口B以同样的速度15min后航行到港口C，此时在C处测得港口A位于港口C的南偏西63.4∘方向上，求该艘轮船以80km∕ℎ的速度返回到港口A所需的时间．（精确到0.01ℎ，参考数据：cos63.4∘≈0.45，sin26.6∘≈0.45，cos26.6∘≈0.89，tan26.6∘≈0.50，√2≈1.41，√5≈2.24）22. 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45∘，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30∘，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）23. 如图，一幢居民楼OC临近山坡AP，山坡AP的坡度为i=1:√3，小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60∘，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45∘，点O，A，B在同一直线上，求该居民楼的高度．（结果保留整数，√3≈1.73）24. 教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53∘，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45∘，已知山坡AB的坡度1:√3，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，tan53∘≈4，3 cos53∘≈0.60）25. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜为12∘−24∘的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1所示，AB 可绕点A旋转，在点C处安装一根长度一定且C处固定，可旋转的支撑臂CD，AC=30cm．（1）如图2中，当CD⊥AB于D时，测得∠BAC=24∘，求此时支撑臂CD的长．（2）在图3中，当CD不垂直AB时，测得∠BAC=12∘，求此时AD的长（结果保留根号）．[参考数据:sin24∘=0.40, cos24∘=0.91, tan24∘=0.46, sin12∘=0.20]参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：∵ cos∠B=√22，∵ ∠B=45∘，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵ AB=12√2，∠B=45∘，∵ AD=BD=12，∵ AC=13，∵ 由勾股定理得CD=5，∵ BC=BD−CD=12−5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12+5=17，故选D．2.【答案】A【解答】解：由勾股定理知，AC2=CD2+AD2=25，∵ AC=5．∵ AC2+BC2=169=AB2，∵ △CBA是直角三角形．∵ sin B=ACAB =513．故选A．3.【答案】A【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C．在Rt△PAC中，∵ PA=60海里，∠PAC=30∘，AP=30海里．∵ CP=12在Rt△PBC中，∵ PC=30海里，∠PBC=∠BPC=45∘，∵ PB=√2PC=30√2海里．即海轮所在的B处与灯塔P的距离为30√2海里．故选：A．4.【答案】A【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为(AC+BC)，在Rt△ABC中，∠A=30∘，BC=2m，∠C=90∘．∵ tan A=BC，AC∵ AC=BC÷tan30∘=2√3．∵ AC+BC=2√3+2．故选A．5.【答案】A【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△BCD中，∠CBD=β，BD=AE=am，则tanβ=CD，即CD=BD tanβ=a tanβ(m)，BD又因为DE=AB=bm，则CE=CD+DE=(a tanβ+b)m．故选A．6.【答案】B【解答】解：由题意可得，∠DBC=180∘−∠ABD=180∘−145∘=35∘，BD=500m，∵ 要使A，C，E成一直线，则∠DEB=180∘−∠DBE−∠D=90∘，∵ DE=BD⋅cos50∘=500⋅cos55∘，故选B．7.【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于点D．由题意知，∵ sin A=CDAC，∵ CD=AC sin A=AC sin30∘=2√3×1 2=√3，∵ cos A=ADAC，∵ AD=AC cos30∘=2√3×√3 =3．∵ tan B=CDBD =√32，∵ BD=2．∵ AB=AD+BD=2+3=5．故选B．8.【答案】B【解答】解：因为水平距离为50米，则底面的坡度为2.2−1.250=1:50．故选B．9.【答案】A【解答】解：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30∘，∠EAB=60∘，∠3=30∘．∵ EF // PQ，∵ ∠1=∠EAB=60∘又∵ ∠2=30∘，∵ ∠ABC=180∘−∠1−∠2=180∘−60∘−30∘=90∘．∵ △ABC是直角三角形．又∵ MN // PQ，∵ ∠4=∠2=30∘．∵ ∠ACB=∠4+∠3=30∘+30∘=60∘．∵ AC=ABsin∠ACB =√32=10√33(km)．故选A．10.【答案】C【解答】解：∵ 等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，∵ AB=AC=2AD=2×5=10．故选C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】60【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90∘，AB=2√3，BC=√3，AB，∵ BC=12∵ ∠A=30∘，∵ ∠B=60∘（直角三角形的两个锐角互为余角）．故答案是：60∘．12.【答案】10【解答】解：如图：由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，∵ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.故答案为：10.13.【答案】10【解答】解：∵ ∠A=90∘，∵ sin C=ABBC =15，∵ AB=2，∵ BC=10；故答案为：10．14.【答案】513【解答】解：过C点作CD // AE，∵ C岛在A岛的北偏东50∘，C岛在B岛的北偏西40∘方向，AC // CD，CD // BC，∵ ∠EAC=∠ACD=50∘，∠FBC=∠DCB=40∘，∵ ∠ACB=90∘，∵ sin∠CAB=BCAB，∵ BC为5海里，AC为12海里，∵ AB=13海里，∵ sin∠CAB=BCAB =513．故答案为：513．15.【答案】3cm或9cm【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵ AB=AC，∠DAB=60∘，∵ △ABC是等边三角形，∵ CD=12AC=12×6=3cm，②ABC是钝角三角形时，∵ ∠DAB=60∘，∵ ∠ABD=90∘−60∘=30∘，∵ AB=6cm，∵ AD=12AB=12×6=3cm，∵ CD=AD+AC=3+6=9cm，综上所述，线段CD的长为3或9cm．故答案为：3cm或9cm．16.【答案】4√5【解答】解：∵ AB=10米，tan A=BCAC =12．∵ 设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2√5，∵ AC=4√5，BC=2√5米．故答案为4√5．17.【答案】北偏东68∘28′【解答】解：在B地按北偏东68∘28′施工，就能使公路在山腹中准确接通．∵ 指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，∵ 这样就构成了一对同旁内角，∵ ∠A+∠B=180∘，（两直线平行，同旁内角互补），∵ 可得在B地按北偏东180∘−111∘32′=68∘28′施工．故答案为：北偏东68∘28′.18.【答案】sinαsinβ【解答】解：∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∵ ∠PDO=∠PEO=90∘，∵ sinα=PDPO ，sinβ=PEPO，∵ PDPE =sinαsinβ．故答案为：sinαsinβ．19.【答案】10√3【解答】∵ 在点B处测得塔顶A的仰角为30∘，∵ ∠B=30∘，∵ BC=30m，∵ AC=√33BC=30×√33=10√3m，20.【答案】5.4米【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．Rt△ABF中，∵ ∠AFB=90∘，∠BAF=180∘−60∘−90∘=30∘，∵ BF=12AB=10，AF=√3BF=10√3，∵ BG=AF+AE=10√3+30．在Rt△BGC中，∵ ∠BGC=90∘，∠CBG=45∘，∵ CG =BG =10√3+30．Rt △ADE 中，∵ ∠AED =90∘，∠DAE =60∘，AE =30， ∵ DE =√3AE =30√3，∵ CD =CG +GE −DE =10√3+30+10−30√3≈5.4． 答：宣传牌CD 高约5.4米．故答案为5.4米．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 21.【答案】解：∵ AB =80×12=40km ，BC =80×14=20km ． 根据勾股定理可以得出：AD 2+CD 2=AC 2，BD 2+CD 2=BC 2，在以上式子中，设AD 为x ，那么BD =40−x ， 设AC 为y ，又因为∠ACD =63.4∘， 所以CD =x ⋅tan 26.6∘，根据以上设定可列出如下方程组： {(40−x)2+(x tan 26.6∘)=202x 2+(x ⋅tan 26.6∘)2=y 2，∵ {x ≈24y ≈26.832．以轮船80km/ℎ的速度从C 返回A ，所需的时间为：26.832×180=0.3354小时．【解答】解：∵ AB =80×12=40km ，BC =80×14=20km ．根据勾股定理可以得出：AD 2+CD 2=AC 2，BD 2+CD 2=BC 2，在以上式子中，设AD 为x ，那么BD =40−x ， 设AC 为y ，又因为∠ACD =63.4∘， 所以CD =x ⋅tan 26.6∘，根据以上设定可列出如下方程组： {(40−x)2+(x tan 26.6∘)=202x 2+(x ⋅tan 26.6∘)2=y 2，∵ {x ≈24y ≈26.832．以轮船80km/ℎ的速度从C 返回A ，所需的时间为：26.832×180=0.3354小时．22.【答案】河宽为68.30米．【解答】过C 作CE ⊥AB 于E ，设CE ＝x 米，在Rt △AEC 中：∠CAE ＝45∘，AE ＝CE ＝x在Rt △BCE 中：∠CBE ＝30∘，BE =√3CE =√3x ， ∵ √3x ＝x +50解之得：x ＝25√3+25≈68.30． 23.【答案】解：如图，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥CO 于点F ，∵ 山坡AP的坡度为i=1:√3，AP=10，∵ 可设PE=x，则AE=√3x．在Rt△AEP中，x2+(√3x)2=102，解得x=5或x=−5（舍去），∵ PE=5，则AE=5√3．∵ ∠CPF=∠PCF=45∘，∵ CF=PF．设CF=PF=m米，则OC=(m+5)米，OA=(m−5√3)米．在Rt△AOC中，tan60∘=OCOA =m+5m−5√3，即m−5√3=√3，解得m=10(√3+1)，∵ OC=10(√3+1)+5≈32（米）．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，∵ 山坡AP的坡度为i=1:√3，AP=10，∵ 可设PE=x，则AE=√3x．在Rt△AEP中，x2+(√3x)2=102，解得x=5或x=−5（舍去），∵ PE=5，则AE=5√3．∵ ∠CPF=∠PCF=45∘，∵ CF=PF．设CF=PF=m米，则OC=(m+5)米，OA=(m−5√3)米．在Rt△AOC中，tan60∘=OCOA =m+5m−5√3，=√3，解得m=10(√3+1)，即m−53∵ OC=10(√3+1)+5≈32（米）．24【答案】宣传牌CD高约6.7米．【解答】过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，由（1）得：BH＝5，AH＝5√3，∵ BG＝AH+AE＝5√3+21，Rt△BGC中，∠CBG＝45∘，∵ CG＝BG＝5√3+21．Rt△ADE中，∠DAE＝53∘，AE＝21，AE＝28．∵ DE=43∵ CD＝CG+GE−DE＝26+5√3−28≈6.7m．答：宣传牌CD高约6.7米．25.【答案】解：（1）在Rt△ACD中，∵ ∠DAC=24∘，∠ADC=90∘，∵ sin24∘=CDAC，∵ CD=AC⋅sin24∘=30×0.40=12cm；∵ 此时支撑臂CD的长为12cm；（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，当∠BAC=12∘时，∵ sin12∘=CEAC =CE30，∵ CE=30×0.20=6cm，∵ CD=12，∵ DE=√CD2−CE2=√122−62=6√3，∵ AE=√302−62=12√6cm，∵ AD的长为(12√6+6√3)cm或(12√6−6√3)cm．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∵ ∠DAC=24∘，∠ADC=90∘，∵ sin24∘=CDAC，∵ CD=AC⋅sin24∘=30×0.40=12cm；∵ 此时支撑臂CD的长为12cm；（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，当∠BAC=12∘时，∵ sin12∘=CEAC =CE30，∵ CE=30×0.20=6cm，∵ CD=12，∵ DE=√CD2−CE2=√122−62=6√3，∵ AE=√302−62=12√6cm，∵ AD的长为(12√6+6√3)cm或(12√6−6√3)cm．。

初中数学试卷桑水出品28.2 解直角三角形及其应用（三）一、双基整合:1．轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B•观测到轮船的方向是_________．2．如图1所示，在离地面高度为5m的C处引拉线固定电线杆，拉线和地面成α角，•则拉线AC的长为_____m（用α的三角函数表示）．(1) (2) (3)3．如图2所示，点B在点A北偏西60°方向，且AB=5km，点C在点B北偏东30°方向，且BC=12km，则A到C的距离为________．4．如图3，为了测量河对岸旗杆AB的高度，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，•沿CB方向前进20m到达D处，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，则旗杆AB的高度为_______（精确到0.1m23）5．如图4所示，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）•是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是（）A．6米 B．5 C．3米 D．12米(4) (5) (6)6．如图5所示，一架飞机在空中A 点处测得飞行高度为h 米，从飞机上看到地面指挥站B的俯角为α，则飞机与地面指挥站间的水平距离为（ ）A ．h ·sin α米B ．h ·cos α米C ．h ·tan α米D ．tan h 米 7．如图6，在高为h 的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑物的高度为（ ）A ．23hB ．32h C ．3h D ．3h 8．如图7，上午9时，一条船从A 处出发以20里/时的速度向正北航行，11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）A ．20里B ．36里C ．72里D ．40里(7) (8) 9．如图8所示，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，已知上底长CB=5米，迎水面坡度为1：3背水面坡度为1：1，坝高为4米，求：（1）坡底宽AD 的长；（2）迎水坡CD 的长；（3）坡角α、β．二、探究创新10．如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，•高为AB，•当太阳光与水平线成50°角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为7m，求树高．（精确到0.1m）三、智能升级11．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，•景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量，景点D位于景点A的北偏东30′方向8km处，•位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km．（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考试其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km）．（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）35，sin53°=0.80，sin37°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=0.62，sin52°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73）．2．如图，海平面上灯塔O方圆100千米范围内有暗礁，•一艘轮船自西向东方向航行，在点A处测量得灯塔O在北偏东60°方向，继续航行100米后，在点B•处测量得灯塔O 在北偏东37°方向．请你作出判断，为了避免触礁，这艘轮船是否要改变航向？（参考数据：sin37°≈0.6018，cos37°≈0.7986，tan37°≈0.7536，cot37°≈1.327，3≈1.732）答案:1．南偏东55° 2．5sin3．13km 4．27．3m 5．B 6．D 7．A 8．D9．（1）（3m；（2）8m；（3）α=30°，β=45°10．解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，∴∠BCD=15°，∠ACD=50°，在Rt△CDB中，CD=7×cos15°，BD=7×sin15°，在Rt△CDA•中，•AD=•CD•×tan50°=7×cos15°×tan50°，∴AB=AD-BD=（7×cos15°×tan50°-7×sin15°）=7（cos15°×tan50°-sin15°）≈6.2（m）11．（1）约3.1km；（2）约4km12．解：如图过点O作OC垂直于AB的延长线于点C，在Rt△COB中，∠BOC=37°，BC=OC．tan37°，在Rt△AOC中，∠AOC=60°，AC=OCtan60°=3OC，又∵AC=AB+BC，AB=100千米，即3OC=100+•OC·tan37°，≈102.2（千米），∴OC=3tan37-︒故OC>100千米，这艘轮船可以不改变航向，不会触礁．。

解直角三角形1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )A ．c sin A ＝aB ．b cos B ＝cC ．a tan A ＝bD ．c tan B ＝b2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，c ＝2，则b 的值等于( D ) A.55 B.255 C.355 D.455【解析】 ∵tan A ＝a b ＝12，∴a ＝b 2，又∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋b 2＝4，∴5b 24＝4，∴b ＝45 5. 3．如图28－2－1，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于( B )A ．m ·sin α米B ．m ·tan α米C ．m ·cos α米 D.m tan α米图28－2－14．如图28－2－2，△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A.212B ．12C ．14D ．21 5．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高．则下列结论中，正确的是( B ) A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12AB C ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23，则∠B ＝__30°__．【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形，由tan B ＝b a ＝23＝33，得∠B ＝30°. 7．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°，则a ＝__12__，b ＝__43__．【解析】 本题是已知一锐角和斜边解直角三角形，由sin A ＝a c ，得a ＝sin A ·c ＝383＝12.由∠A ＝60°，得∠B ＝30°，所以b ＝12c ＝4 3. 8．等腰三角形底边长为26，底边上的高为32，则底角为__60°__．【解析】 底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形，通过解直角三角形即可求底角．9．在△ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形．(1)已知∠A ＝60°，b ＝4，求a ；(2)已知a ＝13，c ＝23，求b ；(3)已知c ＝282，∠B ＝30°，求a ； (4)已知a ＝2，cos B ＝13，求b . 解：(1)∵tan A ＝a b ， ∴a ＝b ·tan A ＝4·tan60°＝4×3＝43；(2)∵a 2＋b 2＝c 2，∴b ＝c 2－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝13； (3)∵cos B ＝a c ，∴a ＝c ·cos B ＝282×32＝146； (4)∵cos B ＝a c ，∴c ＝a cos B ＝213＝6. 又∵b 2＝c 2－a 2，∴b ＝c 2－a 2＝62－22＝4 2.10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知a ＝4，b ＝8，求c .(2)已知b ＝10，∠B ＝60°，求a ，c .(3)已知c ＝20，∠A ＝60°，求a ，b .解：(1)c ＝a 2＋b 2＝42＋82＝45；(2)a ＝b tan B ＝10tan60°＝103＝1033，c ＝b sin B ＝10sin60°＝1032＝2033； (3)a ＝c ×sin A ＝20×32＝103，b ＝c ×cos A ＝20×12＝10. 11．根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，∠B ＝60°；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，b ＝ 6. 解：(1)∠A ＝90°－∠B ＝30°，c ＝a cos B＝16，b ＝a ·tan B ＝83； (2)∠B ＝90°－∠A ＝45°，a ＝b ·tan A ＝6，c ＝bcos A ＝2 3.图28－2－312．如图28－2－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝22，解这个直角三角形．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝22，∴sin B ＝AC AB ＝12， ∴∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.BC ＝AB 2－AC 2＝8－2＝ 6.13．如图28－2－4，已知△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，D 是AC 上一点，∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD ＝( A )A.35B.105C.310D.4914．如图28－2－5，已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长(结果保留根号)．解：∵△ABD 是等边三角形，∴∠B ＝ 60°.在Rt △ABC 中，∵cos B ＝ABBC ，sin B ＝AC BC， ∴BC ＝ AB cos B ＝2cos60°＝4， ∴AC ＝BC ·sin B ＝4×sin60°＝23，∴△ABC 的周长＝AB ＋AC ＋BC ＝6＋2 3.15．如图28－2－6，△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，已知∠BDC ＝45°，BD ＝102，AB ＝20.求∠A 的度数．解：在Rt △BDC 中，因为sin ∠BDC ＝BC BD ，所以BC ＝BD ×sin ∠BDC ＝102×sin45°＝102×22＝10. 在Rt △ABC 中，因为sin A ＝BC AB ＝1020＝12，所以∠A ＝30°. 16．如图28－2－7，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，求AB 的长．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°，∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝23，∴CD ＝12AC ＝3，∴BD＝CD＝ 3.由勾股定理得：AD＝AC2－CD2＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3.17．某学校的校门是伸缩门(如图①)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图②)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图③)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.087 2，cos5°≈0.996 2，sin10°≈0.173 6，cos10°≈0.984 8)．图28－2－8解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABC D.根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0．3米．∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6(米)；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0．3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1·A1B1＝sin5°×0.3＝0．02616(米)，∴B1D1＝2B1O1＝0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米；∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了5米．。

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1 / 18 解直角三角形及其应用同步测试试题（一） 一．选择题 1．已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东57°方向航行．离开港口1小时后，则两船相距（ ）

A．8海里 B．8海里 C．16海里 D．24海里

2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝2BC，则tan∠ABD的值

为（ ）

A．2 B． C． D．

3．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C分别是小正方形的三个顶点，则sin∠BAC的值

为（ ）

A． B． C．1 D．

4．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝4m，则AB的长度为（ ） word版 初中数学

2 / 18 A．2m B．4m C．4m D．6m 5．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与

他相距300m，则图书馆A到公路的距离AB为（ ）

A．150m B．150m C．150m D．100m 6．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝1：，堤高BC＝10m．则坡面AB的长度是（ ）

A．15m B．20m C．20m D．10m 7．如图，一艘渔船从点A出发，沿正南方向航行了半小时到达点B，再沿南偏西60°方向

航行了半小时到达点C，此时测得码头D在C的正东方向，该渔船的速度为60海里/时，则B，D两点间的距离为（ ） word版 初中数学

3 / 18 A．10海里 B．15海里 C．30海里 D．90海里

8．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长

为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则tan∠AOC的值为（ ）

A． B． C． D．

9．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问

题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得∠AED＝52.5°，BC＝5米，CD＝35米，DE＝19米，则铁塔AB的高度约为（参考数据：sin52.5°≈0.79，cos52.5°≈0.61，tan52.5°≈1.30）（ ）

28.2解直角三角形及其应用同步习题一．选择题1．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（）A．B．C．D．2．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则cosα的值为（）A．B．C．D．3．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．6.29B．4.71C．4D．5.334．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．（100+100•sinα）米B．（100+100•tanα）米C．（100+）米D．（100+）米5．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（）A．5 m B．10m C．5m D．8 m6．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（）A．6B．2C．2D．97．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tan A＝（）A．B．C．D．8．小明为了测量一楼房AB的高度，如图，小明从楼底B出发走了10米到达一坡角（即∠DCM）为30°的斜坡的底部，再走12米到达一观测平台，测得楼顶A的仰角∠ADH为37°．则楼房AB的高度为（）（参考数据：cos37°＝0.80，tan37°＝0.75，＝1.7）A．15B．21C．22D．169．如图，某大楼DE的顶部竖有一块广告牌CD，小林在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i＝1：2.4，AB＝26米，AE＝30米．则广告牌CD的高度约为（）（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）A．35B．30C．24D．2010．数学实践活动课中小明同学测量某建筑物CD的高度，如图，已知斜坡AE的坡度为i ＝1：2.4，小明在坡底点E处测得建筑物顶端C处的仰角为45°，他沿着斜坡行走13米到达点F处，在F测得建筑物顶端C处的仰角为35°，小明和建筑物的剖面在同一平面内，小明的身高忽略不计．则建筑物的CD高度约为（）（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）A．28.0米B．28.7米C．39.7米D．44.7米二．填空题11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20．AC＝16，点D是AC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么cot∠ADE＝．12．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，sin A＝，AD＝6，BC＝CD，AB＝CD，那么BC＝．13．如图，在△ABC中，tan∠DFC＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝2，则线段EF的长为．14．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A 处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）三．解答题16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段CD的长；（2）sin∠BAC的值．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．（1）求sin B的值；（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．18．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）参考答案一．选择题1．解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AE，∴AE＝＝＝3，∴CE＝＝＝1，∴cos∠ACB＝＝＝，故选：B．2．解：过点P作PE⊥x轴于E．∵P（a，3），∴OE＝a，PE＝3，∵tan∠POE＝＝，∴OE＝4，∴OP＝＝＝5，∴cosα＝＝．故选：B．3．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，∵坡面DE的坡度为1，∴＝1，∴DM＝EM＝1＝FC，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，∵tan∠DAF＝≈0.75，设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，在Rt△ABC中，∵tan∠B＝，∴tan37°＝≈0.75，解得x＝≈6.29（米），故选：A．4．解：在Rt△ABC中，，∴BC＝AB•tanα，在Rt△ABD中，tan45°＝，∴BD＝AB•tan45°＝AB，∴CD＝a＝BC+BD＝AB•tanα+AB＝（100+100•tanα）米，故选：B．5．解：∵tan∠CAB＝＝＝，∴在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，又∵BC＝5m，∴AB＝2BC＝10m，故选：B．6．解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝3，∴BD＝AB+AD＝7，由勾股定理得，CD＝＝3，在Rt△BCD中，BC＝＝2，故选：B．7．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，∴tan A＝＝＝．故选：C．8．解：作DN⊥BM于N，如图：则HB＝DN，DH＝BN，∵∠DCN＝30°，CD＝12米，∴HB＝DN＝CD＝6米，CN＝DN＝6米，∴DH＝BN＝BC+CN＝10+6（米），在Rt△ADH中，tan∠ADH＝＝tan37°＝0.75，∴AH＝0.75DH＝0.75×（10+6）＝15.15米，∴AB＝AH+HB＝15.15+6≈21（米），即楼房AB的高度约为21米．故选：B．9．解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，如图：则BG＝AH+AE，GE＝BH，在Rt△ABF中，i＝tan∠BAH＝1：2.4＝，∴AH＝2.4BH，∴AB＝＝2.6BH＝26，∴BH＝10，AH＝24，∴BG＝AH+AE＝24+30＝54，在Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝54．在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，∴∠ADE＝90°＝53°＝37°，∵tan∠ADE＝＝tan37°≈0.75，∴DE＝AE＝40．∴CD＝CG+GE﹣DE＝54+10﹣40＝24（米）；即广告牌CD的高度约为24米；故选：C．10．解：过点F作FG⊥BD于G，FH⊥CD于H，如图所示：则∠CFH＝35°，四边形DGFH是矩形，∴HF＝DG，DH＝FG，∵斜坡AE的坡度为i＝1：2.4，∴设FG＝x米，则EG＝2.4x米，在Rt△FGE中，由勾股定理得：EF2＝FG2+EG2，即：132＝x2+（2.4x）2，解得：x＝5，∴FG＝5，EG＝12，∵∠CED＝45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，设CD＝y米，则CH＝（y﹣5）米，HF＝（y+12）米，Rt△CHF中，tan∠CFH＝，即tan35°＝，则y﹣5＝tan35°×（y+12），即y﹣5＝0.7×（y+12），解得：y≈44.7，即建筑物的CD高度约为44.7米；故选：D．二．填空题11．解：∵∠ADE＝90°﹣∠A，∠B＝90°﹣∠A，∴∠ADE＝∠B，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，AC＝16，∴BC＝＝＝12，∴cot∠ADE＝＝＝，故答案为．12．解：作BE⊥AD于E，连接BD，如图所示：设BC＝CD＝x，则AB＝x，∵sin A＝＝，∴BE＝AB＝x，∴AE＝＝＝x，∵BC＝CD，∠C＝90°，∴BD＝BC＝x，∴BD＝AB，∵BE⊥AD，∴AE＝DE＝AD＝3，∴x＝3，解得：x＝，即BC＝，故答案为：．13．解：∵∠ACB＝45°，AD⊥BC，AC＝2，∴AD＝CD＝×2＝2，∵tan∠DFC＝2＝，∴DF＝AF＝AD＝，∴FC＝＝5，∵CE⊥AB，∠DFC＝∠AFE，∴cos∠DFC＝＝cos∠AFE＝，∴＝，∴EF＝1，故答案为：1．14．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．15．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．三．解答题16．解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠D＝90°，在Rt△ABD中，∵sin B＝．∴＝，又∵AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝＝9，又∵BC＝4，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；答：线段CD的长为5；（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CE∴×4×12＝×15×CE，∴CE＝，在Rt△AEC中，∴sin∠BAC＝＝＝，答：sin∠BAC的值为．17．解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，∴BD＝DC＝BC＝9，∴AB＝＝＝3，∴sin B＝＝＝；（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，∴＝＝＝，∴EF＝AD＝×6＝4，BF＝BD＝×9＝6，∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，在Rt△DEF中，DE＝＝＝5．18．解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝30°，∴BC＝PC＝x，∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，在Rt△P AC中，∵∠P AC＝22°，∴tan∠P AC＝，即＝，解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，∵16＜16，∴有危险．如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，在Rt△PBD中，∵sin∠PBD＝＝＝，∴∠PBD＝45°，∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．。