湖南省双峰县第一中学2018-2019学年高二下学期入学考试数学(理)试题(含答案)
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双峰一中2019年高二下学期入学考试数学试卷（理）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1.命题“2,0xRxx”的否定是( )
A．2,0xRxx B．2,0xRxx C．2,0xRxx D． 2,0xRxx
2.设，则( )
A． B． C． D．
3.若k∈R，则k>3是方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4.在△ABC中，若2cosAa＝2cosBb＝2cosCc，则△ABC是( )．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5.在等比数列{an}中，a1+an=82,a3∙an-2=81，且前n项和Sn=121，则此数列的项数n等于( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.已知实数yx,满足约束条件201
70xyxxy，则yx的取值范围是（ ）
A.1,3 B.9[,3]5 C.3,6 D.9[,6]5
7函数y=f(x)的导函数()yfx的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（ ）
8.根据下列条件解三角形：①∠B＝30°，a＝14，b＝7；②∠B＝60°，a＝10，b＝9．那么，下面判断正确的是( )．
A．①只有一解，②也只有一解 B．①有两解，②也有两解
C．①有两解，②只有一解 D．①只有一解，②有两解
9..曲线f (x)= x3+x－2在P0点处的切线平行于直线y= 4x－1，则P0点的坐标为 （ ）
A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）和（－1，－4） D．（2，8）和（－1，－4）
10．过点C(4,0)的直线与双曲线x24－y212＝1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是( )
A．|k|≥1 B．|k|>3 C．|k|≤3 D．|k|<1
11.已知两点，，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”给出下列直线：其中为“B型直线”的是
A． B． C． D．
12.已知函数的定义域为，是的导函数，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线34xyxy与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为_______．
14.已知向量a=(x-l,2),b=(4,y),若a⊥b,则93xy的最小值为_______.
15.P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－a2c(c为椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，椭圆的离心率为.________．
16.已知函数f（x）=（x-1）2（x+a）在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围为_____．
三、解答题：本题共70分.解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcos C＝(2a－c)cos B，
(1)求∠B的大小；
(2)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面积．
18.（12分）已知数列na满足)2*,(1221nNnaannn且1a=5.
(1)求32,aa的值；
(2)若数列{nna2}为等差数列，请求出实数λ；
(3)求数列na的通项公式及前n项和为nS.
19（12分）.已知函数.ln2xaxxf
(1)当2a时，求函数xf的单调区间和极值；
(2)若g(x)=f(x)+x2在,1上是单调增函数，求实数a的取值范围.
20.（12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，点M，N分别在PD，PC上，，PM=MD，
（Ⅰ）求证：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值。
21.（12分）
22.（12分）已知函数f（x）=x2+2x+alnx．
（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．
高二数学（理科）答案
1-12：BCABBD DDCBBB
13：4 14：1 15：215 16：（-∞，-1）
17.
18：
19.解：（1）易知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=﹣2时，xxxxxxf)1)(1(222)(．
当x变化时，f'（x）和f（x）的值的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1,+∞)
f,’ - 0
+
f,
递减 极小值 递增
（2）由xxaxxg2ln)(2，得222)(xxaxxg．
又函数xxaxxg2ln)(2为[1，+∞）上单调函数，
①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，
则g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式0222xxax在[1，+∞）上恒成立．
而φ（x）=222xx在[1，+∞）上的最大值为φ（0）=0，所以a≥0．
②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，
根据①，在[1，+∞）上φ（x）max=φ（1）=0，φ（x）没有最小值．
所以g'（x）≤0在[1，+∞）上是不可能恒成立的．
综上，a的取值范围为[0，+∞）．
20. 解：（Ⅰ）PC⊥AM，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，
PA⊥面ABCD，
故可以建立如图所示的空间直角坐标系，
又∵PA=AD=2，
∴P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0），
∴M（0，1，1），C（2，2，0），
∴，
∵，
∴，
设，
∵求得，
∵，
∴AN⊥PC，
又PC⊥AM且AM∩AN=A，
∴PC⊥面AMN。
（Ⅱ）设平面BAN 的法向量为，
∵，
∴，
∵是平面AMN的法向量，
∴，∴二面角B-AN-M的余弦值。
21.
22. 解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）
∵f（x）=x2+2x+alnx
∴xaxxxf22)(2 （x＞0），
设g（x）=2x2+2x+a，
，∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调增函数，
∴g（0）≥0，或g（1）≤0，
∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴实数a的取值范围是{a|a≥0，或a≤﹣4}．
（2）不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3可化为
2t2﹣4t+2≥alnt2﹣aln（2t﹣1）
∴2t2﹣alnt2≥2（2t﹣1）﹣aln（2t﹣1）
令h（x）=2x﹣alnx（x≥1），则问题可化为h（t2）≥h（2t﹣1）
∵t≥1，
∴t2≥2t﹣1
要使上式成立，只需要h（x）=2x﹣alnx（x≥1）是增函数即可
即02)(xaxg在[1，+∞）上恒成立，
即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，
故a≤2
∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
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